39956

Основы теории подобия

Лекция

Физика

Основы теории подобия План. На эти вопросы и отвечает теория подобия являющаяся основой современного физического эксперимента. В общем случае различают три вида подобия: геометрическое кинематическое и динамическое. Для площадей S и объемов V ; Применительно к физическим явлениям элементарные представления геометрического подобия расширяются и распространяются на все величины характеризующие данный процесс.

Русский

2013-10-13

362.5 KB

26 чел.

Лекция 9. Основы теории подобия

План.

9.1. Введение

9.2. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений

9.3. Понятие об автомодельности

9.4. Анализ размерностей

9.1. Введение

При рассмотрении различных разделов, связанных с движением жидких сред, неоднократно приходилось сталкиваться с процессами и явлениями, которые в силу своей сложности не позволяют получить аналитические решения, необходимые для инженерной практики. Вместе с тем переход от качественных суждений к количественным соотношениям играет ведущую роль в творческой деятельности человека.

Рассматриваемые в настоящем пособии вопросы непосредственно связаны с методологией научного познания. Однако, этот аспект, безусловно важный с познавательных позиций, далеко выходит за рамки курса, поэтому мы ограничимся лишь технической стороной.

Принципиально, процесс познания человеком природы можно условно разделить на две стадии: анализ и синтез. На первой стадии, т.е. на стадии анализа, изучаемый объект мысленно расчленяется на более простые составные части, выделяются свойства и связи.

На этапе синтеза происходит их соединение с целью воссоздания единого целого. Этап завершается построением математической модели, которая с какой-то степенью приближения описывает поведение изучаемого объекта. Обычно математическая модель представляет систему либо системы дифференциальных уравнений. Что же касается степени приближения модели, то она обусловлена теми упрощающими предпосылками, которые положены в основу. Здесь важную роль играет так называемый фактор неопределенности. Суть его сводится к тому, что с усложнением математической модели за счет более полного учета влияющих факторов уменьшается возможность получения точного, имеющего практическое значение представления. Другими словами, неопределенность решения возрастает по мере углубленного анализа реальной задачи.

Так, например, система дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики является математической моделью, описывающей движение идеальной жидкости. Усложнение модели за счет учета сил вязкого трения приводит к системе дифференциальных уравнений Навье-Стокса.

Если модель разрешима, т.е. уравнения могут быть проинтегрированы любым путем, то можно считать, что решена и поставленная конкретная задача. Полученные результаты сопоставляются с теми, что наблюдаются в природе. Если они близки, то это означает, что модель правильно отражает поведение и свойства реального объекта, если нет, нужно ввести какие-то дополнительные факторы, не учтенные ранее, т.е. улучшить ее. Все это, конечно, не означает, что этот процесс идет легко и просто. Он может быть связан с преодолением огромных трудностей как математического, так и вычислительного характера. Новые проблемы возникают в двух случаях: несмотря на все усилия уравнения, составляющие математическую модель, проинтегрировать не удается; изучаемое явление оказывается столь сложным, что не поддается математическому описанию.

В качестве примера первого случая можно привести уравнения Навье-Стокса, которые не могут быть проинтегрированы для большинства важных для практики случаев. Очевидно, что единственным в этих условиях способом решения задачи является эксперимент на физической модели, под которой понимается уменьшенный (либо увеличенный) реальный объект исследования. При этом сразу возникают три вопроса: как спроектировать и построить модель, какие величины необходимо измерять при проведении опытов, и как перенести результаты опытов, полученных на модели на натурный объект. На эти вопросы и отвечает теория подобия, являющаяся основой современного физического эксперимента. Прежде чем приступить к в ее рассмотрению, необходимо уяснить, что же понимается под подобием? Одно из наиболее удачных определений этого понятия принадлежит академику Л.И.Седову: «Подобными называются такие явления (процессы), когда по характеристикам одного из них можно получить характеристики другого простым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц к другой».

В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое. Наиболее простым является подобие геометрическое, требующее, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, другими словами, модель повторяет натуру в каком-то масштабе.

Это требование можно записать в виде

 

где kL - масштабный множитель.

Для площадей (S) и объемов (V)

;     

Применительно к физическим явлениям элементарные представления геометрического подобия расширяются и распространяются на все величины, характеризующие данный процесс. Если учесть, что они могут изменяться как во времени, так и в пространстве, образуя поля, то возникает понятие о временном подобии и подобии полей, называемое кинематическим подобием.

В механике жидкости оно сводится к подобию полей скоростей в потоках, движущихся в геометрически подобных каналах.

И наконец, имея в виду, что механическое движение происходит под действием сил, вводится понятие динамического подобия, которое требует, чтобы в соответствующих точках натуры и модели силы находились в постоянном соотношении.

Рассмотрим простейший пример. Известно, что движение любой механической системы подчиняется закону Ньютона

 (9.1)

Для двух подобных систем можно записать

  и  

Разделив первое на второе получим:

  либо  

Имея в виду, что  имеем

 

По смыслу L/t есть скорость, поэтому

 (9.2)

либо

 (9.3)

Очевидно, что полученные комплексы безразмерны.

Таким образом, для двух подобных систем сохраняется числовое равенство безразмерных комплексов F/L2u2. Кратко это условие можно записать так: . В честь Ньютона этот комплекс обозначается двумя первыми буквами его фамилии, т.е.

 (9.4)

и называют числом подобия Ньютона, а выражение  - основным законом динамического подобия механических систем (законом Ньютона).

Величины L и u, входящие в (9.4), называются определяющим линейным размером и определяющей скоростью. При проведении опытов они выбираются экспериментатором произвольно, исходя из удобства их измерения.

Полученные результаты заслуживают того, чтобы остановиться и сделать кое-какие полезные выводы. Во-первых, они позволяют ответить на один из поставленных выше вопросов: как спроектировать и построить модель. Ответ очевиден: так, чтобы она была геометрически подобна натуре.

Во-вторых, из сказанного следует, что для обеспечения динамического подобия не требуется, чтобы все величины, определяющие характер процесса в натурном объекте, были численно равны аналогичным величинам в модели. Достаточным является равенство безразмерных комплексов, составленных из этих величин для натуры и модели, называемых числами подобия.

Из математической статистики известно, что число опытов, которое необходимо поставить для того, чтобы получить закономерность, достоверно описывающую какое-то физическое явление, определяется из соотношения:

 (9.5)

где  - число экспериментальных точек, которое необходимо снять для обеспечения представительности опыта (min = 5); k - число величин, подлежащих варьированию в опытах.

Таким образом, минимальное число опытов

 N = 5k (9.6)

Если в опытах варьируется число Ньютона (например, за счет изменения скорости), то k= и N=5, но если изучать влияние каждой из величин (, u, L), то k=3 и число опытов N=129. Следовательно, использование числа подобия в качестве своеобразной «обобщенной переменной» позволяет уменьшить число необходимых опытов в 25 раз, а если для надежности принять =9, то в 90 раз.

В-третьих, можно ответить на вопрос о том, какие величины следует измерять в опытах и как переносить результаты на натурный объект. Так как при проведении опытов необходимо обеспечить равенство чисел подобия натуры и модели, то ясно, что измерению подлежат лишь те величины, которые входят в эти числа.

По результатам измерений можно вычислить числа подобия модели и, исходя из равенства их числам подобия натуры, произвести пересчет.

Остается открытым вопрос, который, по существу, является центральным. Как же найти числа подобия, характеризующие изучаемый процесс либо явление? Очевидно, что только ответ на него открывает путь для практической реализации теории подобия.

9.2. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений

Исходим из того, что математическая модель процесса нам известна, но она не может быть проинтегрирована. В этом случае числа подобия могут быть найдены методом, который по предложению известного американского  математика  и гидродинамика Г.Биркгофа назван инспекционным анализом. Как следует из названия, метод заключается в организованном по определенным правилам «инспектировании» дифференциальных уравнений, которое должно выявить числа подобия, позволяющие моделировать процесс. Отметим лишь, что этот метод не является единственным.

Базой инспекционного анализа является положение, рассматриваемое как постулат и сводящееся к следующему. Если две системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и имеют одинаковые граничные условия, и если значения всех параметров в этих уравнениях и граничных уравнениях равны, то эти две системы подобны, при условии существования единственности решения.

Любое дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений, т.е. решение их многозначно. Так, например, уравнение Навье-Стокса, может описывать движение жидкости в каналах, реках и океанах, движение атмосферных масс воздуха и т.п. Инженера интересует конкретное явление данного класса. Поэтому из множества возможных решений требуется лишь одно, соответствующее изучаемому явлению. Этого можно добиться, если при постановке задачи ввести дополнительные так называемые условия однозначности, которые включают:

- данные о физических свойствах среды (плотность, вязкость);

- сведения о начальном состоянии системы (начальные условия);

- данные о поведении системы на её границах (граничные условия).

Инспекционный анализ представляет собой определенный алгоритм, включающий два этапа: на первом из них отношение дифференциальных величин заменяются отношениями самих переменных, на втором - уравнение приводится к безразмерному виду путем деления всех его членов на один из них, выбранный произвольно.

Метод наиболее просто усвоить, обратившись к рассмотрению конкретного примера. Имея в виду, что в механике жидкости основными соотношениями, описывающими движение вязких сред, являются уравнения Навье-Стокса, целесообразно воспользоваться именно ими. Рассмотрим одну из проекций в декартовой системе координат. В данном случае безразлично какую, так как структура уравнений одинакова, что обеспечит и одинаковость получаемых результатов.

В проекции на ось x имеем

 

Будем считать, что из массовых сил действует только сила тяжести, т.е. X=g cos (cos учитывает знак). С учетом этого и после умножения всех членов уравнения  на плотность получим

 

                                                                                                        

 

 

В такой форме записи каждый из членов выражает силу, отнесенную к единице объема. При этом

и  - силы инерции;

- сила тяжести;

- сила давления;

- сила вязкого трения.

Действуя по алгоритму, заменим дифференциальные соотношения отношениями величин. Имеем:

;   ;   ;

;   

Приводим эти соотношения к безразмерному виду, приняв в качестве делителя один из комплексов. Как отмечалось выше, он может быть выбран произвольно. Пусть им будет Fu2, т.е. силы инерции. Получаем:

- это так называемый критерий гомохронности либо число подобия Струхаля.

, обратная величина  - число Фруда - отношение сил инерции к силам тяжести.

- число Эйлера, отношение сил давления к силам инерции.

, обратная величина  - число Рейнольдса - отношение сил инерции к силам вязкого трения.

Таким образом, при моделировании гидромеханических явлений необходимо использовать числа подобия Струхаля, Фруда, Рейнольдса и Эйлера.

Анализируя величины, входящие в числа подобия, легко  заметить, что они составлены из параметров, входящих в условия однозначности. Эти числа подобия называют определяющими.  Экспериментатор, разумеется, в определенных пределах, может изменять их величину (менять скорость, геометрические размеры, вязкость). В число Эйлера входит величина p - перепад давления (потеря давления), которая, как правило, является искомой. Другими словами, величина числа Эйлера является следствием (результатом) процесса. Числа подобия такого рода называются неопределяющими. С чисто математических позиций сказанное можно представить в виде

 (9.7)

Если изучается установившееся движение, при котором параметры в точке не изменяются с течением времени, то из рассмотрения выпадает число Струхаля и

 (9.8)

Следовательно, при моделировании гидромеханических явлений в данном случае должны соблюдаться следующие условия, обеспечивающие динамическое подобие:

;   

либо

;    (9.9)

Если при проведении опытов удается соблюсти эти требования, то подобие называется полным. Однако в реальных условиях добиться этого достаточно трудно, а иногда и просто невозможно. Поэтому обычно ограничиваются частичным подобием. Анализируя сущность явления, экспериментатор устанавливает какие из сил (тяжести, трения) играют определяющую роль в исследуемом процессе и моделирует только их. В этом случае при установившемся движении зависимость (9.9) распадается на две

  и   (9.10)

из которых и выбирается определяющая.

Дополнительно отметим, что для сжимаемых сред в число определяющих чисел подобия помимо полученных выше входит и число Маха.

Остается открытым лишь вопрос о кинематическом подобии. Опыт многочисленных исследований показывает, что для его решения не требуется каких-либо специальных мер. Если системы динамически подобны и течение происходит в геометрически подобных каналах, то кинематическое подобие обеспечивается автоматически.

Кратко остановимся еще на двух вопросах, носящих принципиальный характер. Первый из них связан с понятием геометрического подобия «в большом» и «малом». В начале раздела было показано, что геометрическое подобие натуры и модели может быть легко реализовано. Подобие геометрических границ объектов относится к подобию «в большом». Вместе с тем стенки каналов как натурные, так и модели имеют какую-то шероховатость. Очевидно, что моделирование шероховатости практически невозможно, и геометрическое подобие «в малом» недостижимо.

Второй вопрос связан с так называемым «масштабным эффектом». Суть его в том, что моделирование, основанное на классических принципах теории подобия, не обеспечивает масштабный переход. Это означает, что эффективность различного рода промышленных технологических аппаратов оказывается ниже той, которая должна была бы быть по результатам, полученным пересчетом с модельных испытаний. Более того, она ухудшается по мере увеличения размеров аппаратов. Это вынуждает исследователей отказываться от испытаний на моделях и переходу к испытаниям на объектах, построенных в натуральную величину, что резко повышает стоимость эксперимента, а при создании особо крупных аппаратов такой подход вообще невозможно реализовать. Исследования, выполненные в последние годы, показали, что в основе масштабного эффекта лежат чисто гидродинамические явления: неравномерность распределения потоков по сечению аппарата, увеличение масштаба турбулентности и т.п., что позволяет найти способы устранения этого эффекта.

9.3. Понятие об автомодельности

Автомодельность - кардинальное понятие теории подобия, принципиальное содержание которого сводится к так называемому вырождению чисел подобия. Формальным признаком её служит выпадение чисел подобия как аргументов, входящих в функциональную зависимость.

Для простоты будем считать, что в интересующем исследователя процессе определяющими является силы вязкого трения, т.е. зависимость (9.8) имеет вид Eu=f(Re) График этой зависимости устанавливается экспериментально, и часто имеет вид, показанный на рис. 9.1.

Рисунок 9.1 - Зависимость Eu=f(Re)

Как следует из рисунка, при увеличении числа Рейнольдса в опытах зависимость Eu=f(Re) ослабевает и при некотором конкретном для каждого случая значении числа Re, называемого граничным (Reгр) происходит «вырождение», т.е. число Эйлера перестает зависеть от Re.

Исчезновение (вырождение) числа Рейнольдса означает отсутствие предпосылок для подобия. Очевидно, механизм процесса таков, что не надо никаких условий для подобия и все процессы такого типа автоматически подобны между собой. Этот случай и называется автомодельностью. На рис.9.1 автомодельная область обозначена римской цифрой II.

В общем случае под автомодельной понимают область, в которой неопределяющее число подобия перестает зависеть от определяющего (либо определяющих).

Проведение опытов в этой области существенно упрощается. Действительно, если в области I экспериментатор должен заботиться о том, чтобы , что далеко не всегда возможно, то в автомодельной области достаточно, чтобы  было больше . Нужно лишь помнить, что какого-то универсального значения  не существует, оно всегда зависит от природы изучаемого объекта, в частности, от его формы. Поэтому, как правило, задачей первого этапа экспериментального исследования является нахождение граничного значения определяющего числа подобия.

Таким образом, приведенные сведения показывают, что если в результате анализа изучаемого явления удается составить его математическую модель, то принципиально задача постановки эксперимента может считаться разрешенной. К сожалению, возможность аналитического описания является скорее исключением, чем правилом.

9.4. Анализ размерностей

Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными. В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными.

Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L, единицы массы - M, единица времени - T. Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).

Под размерностью понимают символическое  выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид

 (9.11)

где x, y, z- показатели размерности.

Например, размерность скорости

 

Для безразмерной величины все показатели x = y = z = 0, и, следовательно, dim X = 1.

Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.

Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2 или км2.

Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Данное правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.

Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме, которая устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:

Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов N = m - n, где n - число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в МЖГ n = 3 (кг, м, с).

Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин  (m=5), т.е.

 (9.12)

Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа (N = mn = 5 – 3 = 2)

 (9.13)

где 1 и 2 - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.

Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (9.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).

Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (9.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс.

Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюстрирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия.

Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.

Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не p, а p/lт.е. потери давления на единицу длины трубы. Отношение h/l, где h - потери напора, носит название гидравлического  уклона.

Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k) ее стенок. Таким образом, зависимость (9.12) в рассматриваемом случае имеет вид

 

либо

 (9.14)

На этом и заканчивается первый и наиболее ответственный этап анализа размерностей.

В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, m=6. Следовательно, число безразмерных комплексов N = mn = 6 – 3 = 3, т.е. после соответствующей обработки (9.14) должна принять вид

 (9.15)

Существует несколько способов нахождения чисел . Воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.

Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.

Из параметров, входящих в (9.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d, . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.

Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (9.14)

; (9.16)

; (9.17)

; (9.18)

Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа  были безразмерны.

Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:

;  ;  

Вязкость  , т.е.  .

Параметр ,  и  .

И, наконец,  .

Таким образом, размерности чисел  будут

 

либо

 

Аналогично два других

 

 

В начале раздела 9.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа  можем записать

 

Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными

 

 

 

Откуда находим ; ; .

Подставляя эти значения в (9.6), получаем

  (9.19)

Действуя аналогично, легко показать, что

  и  .

Таким образом, зависимость (9.15) принимает вид

 (9.20)

Так как  есть неопределяющее число подобия (число  Эйлера), то (9.20) можно записать как функциональную зависимость

 

либо

 (9.21)

Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (9.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. v2/2, то она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а   v2/2 - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (9.21) целесообразно записать в виде

 (9.22)

Если теперь, как в (12.26), обозначить  буквой , то приходим к формуле:

 (9.23)

либо

 (9.24)

где  - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (9.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58707. Узагальнююче слово при однорідних членах речення. Двокрапка й тире при узагальнюючих словах у реченнях з однорідними членами 36 KB
  Мета: а навчальна: навчити розрізняти узагальнюючі слова при однорідних членах речення; моделювати схеми речень з узагальнюючим словом при однорідних членах; б розвиваюча: розвивати творчі вміння поширювати речення узагальнюючими...
58708. Число іменників (однина і множина) 87.5 KB
  Які іменники відносяться до власних Як пишуться власні іменники А як загальні Наведіть приклади. Які іменники відносяться до чоловічого роду Які до жіночого А які до середнього Актуалізація опорних знань. Я буду називати іменники а ви будете записувати у перший стовпчик іменники...
58709. Урок української літератури з використанням відеозаписів та особистісно орієнтованих технологій 59.5 KB
  Обладнання: портрети Сковороди книжки з його творами відеофільм Григорій Сковорода збірка Сад божественних пісень підручник. Де і коли народився Григорій Сковорода У Чорнухах на Полтавщині 3 грудня 1722 р. Сковорода Хто були його батьки...
58710. Клуб веселых математиков 39.5 KB
  Цель: обобщать и систематизировать знания по математике. Задачи: познакомить с различными видами задач по математике; развивать логическое мышление, внимание, память, наблюдательность, творческие способности...
58711. Здоровые дети – в здоровой семье 49.5 KB
  Оборудование Экран мультимедийный проектор ноутбук Набор цветных кружков красный желтый зеленый для каждого учащегося Ход мероприятия Слайд 1 Всем известно и понятно Что здоровым быть приятно. Слайд 2 Добрый день ребята.
58712. Поговорим об этикете 14.5 KB
  Цели: формирование у школьников этической культуры, дружелюбия и вежливости,уважения и чуткости по отношению к другим людям. Оборудование: сигнальные карточки - синего и красного цветов, иллюстрации.
58713. Умеем ли мы правильно питаться 39.5 KB
  Здравствуйте ребята А вы знаете что когда человек говорит слово здравствуйте он желает человеку здоровья. Помидоры Учитель: Кто догадался о чем пойдет речь на уроке ответы детей Верно ребята мы будем говорить о пользе продуктов.
58714. Національно-визвольна війна українського народу проти Речі Посполитої у 1648-1657 рр. Відродження української держави 71 KB
  Мета: Повторити й узагальнити вивчений матеріал з теми за схемою: передумови - хід подій – результати та змагання з метою систематизації набутих знань. Виховувати у учнів інтерес до навчання, почуття справжнього патріотизму і любові до своєї Вітчизни.