39957

Газодинамика как раздел механики сплошных сред

Лекция

Физика

Краткий очерк развития механики жидкости и газа. Математический аппарат используемый в механике жидкости и газа [1. Газодинамика как раздел механики сплошных сред Многие машины и аппараты созданные к настоящему времени характеризуются перемещением газа или жидкости внутри их или перемещением самого аппарата в среде газа или жидкости. Целью курса Газодинамика является изучение явлений протекающих в газе и жидкости и закономерностей которым эти явления подчиняются.

Русский

2013-10-13

907.5 KB

26 чел.

ЛЕКЦИЯ №1. ВВЕДЕНИЕ 

План лекции

[1] ЛЕКЦИЯ №1. ВВЕДЕНИЕ

[1.1] 1.1. Газодинамика как раздел механики сплошных сред

[1.2] 1.2.Основные свойства жидкой и газообразной сред.

[1.3] 1.3. Установившееся и неустановившееся движения сплошной среды

[1.4] 1.4. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории. Трубка тока и струя.

[1.5] 1.5. Краткий очерк развития механики жидкости и газа. Важнейшие работы в области гидрогазодинамики отечественных и зарубежных ученых

[1.6] 1.6. Математический аппарат, используемый в механике жидкости и газа

[1.7] Векторы и операции над ними.

[1.8] Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).

[1.9] Операции второго порядка.

[1.10] Интегральные соотношения теории поля.

[1.10.1] Поток векторного поля.

[1.10.2] Циркуляция вектора поля.

[1.10.3] Формула Стокса.

[1.10.4] Формула Гаусса-Остроградского.

1.1. Газодинамика как раздел механики сплошных сред

Многие машины и аппараты, созданные к настоящему времени, характеризуются перемещением газа или жидкости внутри их или перемещением самого аппарата в среде газа или жидкости. Проектирование аппаратов и их двигателей невозможно без знания массообменных процессов, протекающих внутри и вне их. Целью курса «Газодинамика», является изучение явлений, протекающих в газе и жидкости, и закономерностей, которым эти явления подчиняются.

Теоретическая механика использует понятия материальной точки и системы материальных точек. Материальная система может быть как дискретной, состоящей из отдельных материальных точек, так и сплошной, представляющей непрерывные распределения вещества и физических характеристик его состояния и движения в пространстве. В этом случае систему называют сплошной материальной средой или, короче, сплошной средой.

Простейшим примером сплошной среды является абсолютно твердое тело. Более общий образ изменяемой сплошной среды объединяет как упругие и пластические, так и жидкие и газообразные тела. Раздел теоретической механики, занимающийся движениями такого рода изменяемых сред, носит наименование механики сплошных сред.

Целью МСС является установление наиболее общих свойств и законов движения деформируемых сред с учетом физико-механических свойств их материалов. Значение МСС состоит в том, что эта дисциплина является основой для более узких, прикладных дисциплин, изучающих движение газов, жидкостей или твердых тел. К их числу относятся: механика жидкости и газа, и в частности – газовая динамика. Развитие МСС связано с широким применением математических методов исследования различных процессов и явлений, происходящих в сплошной среде.

Реальными материальными частицами, составляющими материальное тело, и в частности, газ, являются атомы и молекулы. Они находятся в непрерывном хаотическом движении и взаимодействуют между собой за счет сил электромагнитного происхождения. Характер хаотического движения и взаимодействия молекул различен для тел, находящихся в различных агрегатных состояниях. Число молекул N в практически малых объемах тела огромно (в 1 см3 твердого тела содержится порядка 1024 молекул). При описании движения каждой молекулы как абсолютно твердого тела для 1 см3 вещества потребовалось бы не менее 6*N ~ 6*1024 дифференциальных уравнений 1-го порядка и такое же число краевых условий. Поэтому изучение движения деформируемых сред чрезвычайно сложно, если рассматривать тело как совокупность материальных частиц. Однако необязательно знать движение каждой материальной частицы - на практике нужно знать некоторые средние, суммарные характеристики. Это положение определяет два основных подхода к изучению движения деформируемых сред: статистический и феноменологический.

Статистический подход базируется на методах статистической механики и представляет собой вероятностные методы, применение средних характеристик по большому количеству частиц, а также введение дополнительных гипотез о свойствах молекул и их взаимодействии с целью упрощения модели. Однако при сложном строении молекул использование статистических методов затруднено, так как недостаток информации не позволяет сформулировать гипотезу о взаимодействии молекул, а получаемые уравнения чрезмерно сложны.

Феноменологический подход (от гр. phainomenon - явление) базируется на общих, полученных из опыта, закономерностях и гипотезах, которые принимаются за истинные и используются для построения последующих уравнений и выводов. В основу этого подхода положены понятие материального континуума и соответствующая этому понятию гипотеза сплошности.

Материальный континуум (сплошная среда) есть состоящая из большого числа малых частиц фиктивная субстанция, которая непрерывно заполняет область пространства, отведенную данному телу, независимо от его агрегатного состояния. Таким образом, в рамках феноменологического подхода имеет место абстрагирование от реального строения тел и переход к идеализированному представлению вещества в виде материального континуума. Этот переход позволяет использовать при исследовании движения деформируемых тел аппарат дифференциального и интегрального исчисления непрерывных функций.

В данном курсе лекций газодинамика рассматривается на основе механики сплошной среды, и, следовательно, в рамках феноменологического подхода при ограничениях и упрощениях, определяемых гипотезами механики сплошных сред.

Первая гипотеза МСС - гипотеза сплошности - связана с понятием материального континуума.

Вторая гипотеза МСС связана с понятием пространства. Под пространством понимается бесконечно большая совокупность точек, однозначно задаваемых с помощью чисел, называемых координатами, которые определяют положение точки относительно начала координат. Предполагается, что пространство, в котором рассматривается движение деформируемых сред, является евклидовым.

Третья гипотеза МСС - гипотеза абсолютного времени. Согласно этой гипотезе, время течет одинаково вне зависимости от выбора системы отсчета, в которой рассматривается движение деформируемой среды.

1.2.Основные свойства жидкой и газообразной сред.

Основное свойство принимаемой модели жидкой и газообразной среды — ее сплошность (непрерывность распределения массы и физико-механических характеристик среды), — лежащая в основе кинематики жидкости и газа. Для динамики существенно второе основное свойство жидкой или газообразной среды — ее легкая подвижность или текучесть, — выражающееся в том, что для большинства жидкостей касательные напряжения (внутреннее трение) в среде отличны от нуля только при наличии относительного сдвига между слоями среды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует. В этом заключается отличие жидкой или газообразной среды, например, от упругой среды, в которой касательные напряжения, обусловленные наличием деформаций (а не скоростей деформаций) сдвига, отличны от нуля и при относительном покое среды.

Количественная связь между касательными напряжениями и скоростями сдвига может быть различной. Установление наиболее общих законов этой связи составляет цель специальной науки — реологии. Реологические закономерности особенно важны для изучения движений некоторых специфических по своей микроструктуре жидкостей (расплавы пластических материалов, масляные краски, целлюлоза и др.). В настоящем курсе мы будем иметь дело преимущественно с двумя простейшими моделями жидкой или газообразной среды: идеальной (без внутреннего трения) и вязкой (ньютоновской, с напряжением трения, пропорциональным скорости сдвига). Все газы и многие широко применяемые на практике жидкости (вода, глицерин, жидкие металлы) являются обычными ньютоновскими вязкими средами.

Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием в молекулярной структуре.

Расстояния между молекулами в жидкости крайне малы, что приводит к возникновению значительных молекулярных сил сцепления, особенно интенсивно проявляющихся на внешних поверхностях, отделяющих данную жидкость от других жидкостей или газов. Под действием этих поверхностных сил жидкость подвергается столь сильному сжатию, что влияние малых изменений давлений, почти не сказывается на изменении объема (сжатии) жидкости; исключением могут явиться лишь процессы распространения подводных взрывов, гидравлического удара и др. В отличие от газов, жидкости можно считать малосжимаемыми, а иногда в простейшей, достаточной для описания многих гидродинамических явлений схеме — просто несжимаемыми.

В противоположность жидкостям, в газах межмолекулярные расстояния велики, а силы взаимодействия между молекулами сравнительно малы. В связи с этим газы обладают свойством значительной по сравнению с жидкостями сжимаемости. Однако, в случае слабых перепадов давлений, малых скоростей движения и отсутствия сколько-нибудь значительных нагревов и газ можно с достаточной степенью приближения рассматривать как несжимаемый.

Свойство сжимаемости, таким образом, не является чем-то присущим одной среде и не имеющим место в другой. Все непрерывные материальные среды, будь то жидкость или газ, сжимаемы, но степень сжимаемости их зависит от динамических и термодинамических условий движения.

Указанных выше двух основных свойств модели жидкости как сплошной среды — непрерывности и легкой подвижности — достаточно, чтобы установить уравнения равновесия жидкости и кинематические описания движения

1.3. Установившееся и неустановившееся движения сплошной среды

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени, т.е.

     (1.1)

Если это условие не соблюдается и параметры в точке меняются с течением времени

            (1.2)

движение называют неустановившимся (нестационарным).

Следует обратить внимание на то, что речь идет о параметрах в точке. Чтобы уяснить это, рассмотрим канал, показанный на рис. 1.1. В газодинамике каналы, в которых площадь сечения уменьшается по ходу потока, называют конфузорами. Ясно, что скорость течения по ходу канала будет возрастать. Возникает вопрос, может ли быть установившемся движение в таком канале? Очевидно, может, если параметры в точках A и B не будут изменяться с течением времени, т.о. определение вида движения не требует, чтобы параметры в точках А, В и С были одинаковы.

1.4. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории. Трубка тока и струя.

В отличие от кинематики отдельной точки или системы точек газодинамика имеет свои специфические для нее приемы задания движения.

Пусть некоторая частица среды М (х, у, z) в момент времени t = t0 занимала положение М0 (х0, у0, z0); ее координаты х, у, z в любой момент t можно рассматривать как функции от времени t и параметров x0, у0, z0, определяющих выбор данной индивидуальной частицы.

Положение частиц в момент времени t может быть задано их декартовыми координатами в функции от величин: t, a, b, с, называемых переменными Лагранжа

    (1.3)

Условимся в дальнейшем обозначать проекции скорости на оси прямоугольных декартовых координат через u, v, w, тогда будем иметь:

    (1.4)

Другой, получивший более широкое применение прием задания движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени t и координат х, у, z точек пространства, по отношению к которому происходит движение жидкости, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин t, x, у, z называют переменными Эйлера; движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей

    (1.5)

Основное отличие методов Лагранжа и Эйлера заключается в том, что в методе Лагранжа величины х, у, z являются переменными координатами движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты фиксированных точек пространства, мимо которых в данный момент времени проходят различные частицы жидкости.

Поле скоростей будет стационарным, или неизменяющимся во времени, если в равенства (1.5) время t не входит явно. В более общем случае поле может быть нестационарным, зависящим от времени. Обтекание одного и того же тела может быть стационарным или нестационарным в зависимости от того, в какой системе координат течение рассматривать. Так, поле скоростей, возникающее, например, при поступательном, прямолинейном и равномерном движении тела, будет стационарным, если рассматривать движение воздуха по отношению к координатной системе, жестко связанной с телом, и нестационарным, если движение относить к неподвижной координатной системе, связанной с неподвижным воздухом.

Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Линии тока в жидкости при нестационарном поле скоростей не совпадают с траекториями ее частиц.

Рассмотрим точку М жидкости (рис. 1.2), скорость которой в данный момент времени равна V. Чтобы построить линию тока для одного и того же выбранного момента времени, отступим вдоль вектора скорости в смежную точку M1, нанесем на чертеже скорость V1 точки M1, отметим на этом векторе точку М2, близкую к М1, проведем вектор ее скорости V2 и т.д. Полигон MM1M2M3..., если стороны его взять сколь угодно малыми, представит линию тока, проведенную через данную точку в данный момент времени. Для построения траектории частицы жидкости, в данный момент времени находящейся в точке М, проследим за движением этой частицы с течением времени. За малый промежуток времени частица переместится вдоль вектора скорости V из точки М в смежное свое положение М', причем перемещение ММ' подбором промежутка времени можно при желании сделать равным произвольному малому отрезку MM1 линии тока. Скорость в точке М' уже не будет, как ранее, равна V1, так как за протекший малый промежуток времени, в силу нестационарности поля, скорость изменится и станет равной, скажем, V'. Таким образом, траектория далее уже пойдет по направлению М'М", а затем М"М"' и т. д.; полигон ММ'М"М'"... представит траекторию частицы с тем меньшей ошибкой, чем меньшими будут выбираться промежутки времени. Из построения сразу вытекает важный для дальнейшего результат: при стационарности поля скоростей линии тока совпадают с траекториями частиц.

Через каждую точку пространства можно в данный момент времени провести только одну линию тока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, даже бесчисленное множество линий тока, либо, наоборот, ни одной; такие точки называются особыми.

Проведем в данный момент времени некоторый замкнутый, себя не пересекающий, контур С (рис. 1.3), ни одна точка которого не является особой. Через каждую точку такого контура можно провести определенную линию тока. Совокупность этих линий тока образует поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из нее поверхностью тока, проведенной через замкнутый контур, называется трубкой тока. Если контур С бесконечно мал, то трубка тока называется элементарной, в противном случае — конечной.

Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь основным свойством трубки — непроницаемостью ее боковой поверхности, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объема вдоль трубки.

Струей называют часть жидкости, ограниченную поверхностью траекторий точек замкнутого контура. В случае стационарного поля скоростей, когда линии тока не отличаются от траекторий, трубка тока совпадает со струей. В этом случае, разбив поток на трубки тока, можно рассматривать движение объемов жидкости в течение любого конечного промежутка времени.


1.5. Краткий очерк развития механики жидкости и газа. Важнейшие работы в области гидрогазодинамики отечественных и зарубежных ученых

Дать на прочтение

Развитие МЖГ подтверждает наличие взаимной связи между наукой и практикой.

Существенны заслуги Архимеда (287-212 г.г. до н.э.) в создании гидростатики. Работы Архимеда послужили толчком к появлению ряда замечательных гидравлических аппаратов.

Идеи Архимеда были продолжены Стевином (1548-1620), Галилеем (1564-1642) и Паскалем (1623-1662). Существенное значение для дальнейшего развития МЖГ имеет закон Паскаля о независимости давления жидкости на расположенную внутри нее площадку от ориентации этой площадки.

Открытия Галилея, Гюйгенса, Ньютона привели в конце ХVIІ к расцвету общей механики и подготовили предпосылки к скачку в развитии МЖГ. Особое значение имело установление Ньютоном основных законов и уравнений динамики, обобщение которых на сплошные среды и в первую очередь на жидкость приводит к образованию самодеятельного раздела теоретической механики - гидродинамики. Громадный вклад в создание теоретической гидродинамики принадлежит академикам Российской Академии наук Леонарду Эйлеру (1707-1738) и Даниилу Бернулли (1700-1782). Эйлер впервые получил основную систему уравнений движения идеальной жидкости (1755), положив этим начало аналитической механики сплошной среды.

М.В. Ломоносов (1711-1765) своими исследованиями по упругости газов и теплоте способствовал развитию механики газа.

Следующий этап истории МЖГ, относящийся уже к ХIХ в., знаменуется, с одной стороны, дальнейшей математической разработкой гидродинамики идеальной жидкости, в частности, решением таких задач, как плоское и пространственное безвихревое движение, струйное разрывное движение, вихревое движение, волновое движение тяжелой жидкости, с другой - зарождение новых разделов: динамики вязкой жидкости и газовой динамики.

Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным случаем интегрирования уравнений Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости является безвихревое движение или движение с потенциалом скоростей. Понятие потенциала скоростей введено впервые Эйлером. Существование функции тока в случае плоского движения было установлено Лагранжем.

Основы учения о движении вязкой жидкости заложены в 1821 г. французским ученым Навье и получил свое завершение в 1825 г. в работах Стокса (1819-1903). Он сформулировал закон линейной зависимости напряжений от скоростей деформаций, представляющий обобщение простейшего закона Ньютона и дал, в окончательной форме, уравнения пространственного движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса).

Теоретическое исследование неустановившегося ламинарного движения в цилиндрической трубке впервые произвел И.С.Громека в работе “К теории движения жидкостей в узких цилиндрических трубках”, опубликованной в 1882 г. Вопрос о потере устойчивости ламинарного движения в цилиндрических трубках и переходе его в турбулентное был исследован экспериментально в период 1876-1883 г. г. английским физиком О. Рейнольдсом (1842-1912), установившем критерий этого перехода (число Reкр).

Параллельно с развитием гидродинамики вязкой жидкости создавалась динамика сжимаемого газа.

Появление авиации характеризовало историю развития гидродинамики в первой половине XX в. Теория крыла бесконечного размаха в плоскопараллельном потоке идеальной жидкости появилась одновременно в ряде стран: в России (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин), в Германии (Кутта), в Англии (Лангестер).

С именем Жуковского связано зарождение динамики полета. Н.Е.Жуковский наряду с Эйлером во Франции, а позднее Д.Прандтлем в Германии может по праву считаться создателем современной экспериментальной аэродинамики (Центральный аэрогидродинамический институт - ЦАГИ). Теоретические исследования С.А.Чаплыгина послужили образцом применения метода комплексного переменного в теории крыла в плоскопараллельном потоке, Чаплыгин заложил основу теории стационарного движения.

Фундаментальные идеи Жуковского и Чаплыгина были в дальнейшем развиты их учениками и последователями. Значительное углубление гидродинамика плоского безвихревого потока получила в работах М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, Л.И.Седова и других советских ученых, использующих метод комплексного переменного.

Центральное место в современной механике жидкости и газа занимает газовая динамика. Важную роль в развитии современной газовой динамики сыграла диссертация С.А.Чаплыгина "О газовых струях”, 1902 г. Эта работа послужила основой развития методов газовой динамики до- и сверхзвуковых скоростей. Развитие метода получило в работах С.А. Христиановича (по учету сжимаемости), Л.И.Седова (обтекание профилей при ρ = const дозвуковым потоком). Этот метод лег в основу предложенного Т. Карманом и Ченем приближенного способа учета влияния сжимаемости при дозвуковом обтекании профилей.

В области теории сверхзвуковых и смешанных течений С.А. Христианович в 1941 г. дал общий анализ течений вблизи явлений перехода звукового течения в сверхзвуковое. Идеи его развиты затем А.А.Никольским и Г.И. Тагановым.

Теория движения вязкой жидкости в 50-десятые годы получила, главным образом, в направлении изучения движения жидкости и газа в пограничном слое на основе простого приближенного метода его расчета на базе уравнения импульсов, полученного Карманом в 1921 г.

Теория устойчивости ламинарного движения и ламинарного пограничного слоя создались благодаря исследованиям Л.Прандтля, В.Толмина, Г.Шлихтинга (Германия); Т.Кармана, С.Лин (США); А.А. Дородницына, Лойцянского и др.

В настоящее время МЖГ широко развивает те свои разделы, которые находятся в тесной связи с новыми задачами естествознания техники. Это учение о сверх- и гиперзвуковых потоках реальных, однородных и неоднородных газов, плазмы, вопросы космической газодинамики, механики обычных вязких и различных "реологических” жидкостей (сложных растворов, жидких полимеров), проблемы кровообращения, перемещение живых существ в жидкости и другие вопросы биофизики и бионики.

1.6. Математический аппарат, используемый в механике жидкости и газа

Дать на прочтение

Изучение механики жидкости и газа, понимание сущности рассматриваемых физических явлений и процессов тесно связано с усвоением достаточно развитого математического аппарата, которым эта наука оперирует. Принципиально механика жидкости и газа может излагаться как на базе векторного, так и координатного методов

Одной из важнейших особенностей механики жидкости и газа является то, что в основу ее положена так называемая модель сплошной среды. Как известно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в сравнительно малом объеме (жидкости и газы) в физике широко используются два пути: феноменологический и статистический (иногда их называют корпускулярной и континуальной моделями). Феноменологический путь изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием.

При таком подходе жидкости и газы рассматриваются как непрерывная среда, способная делиться до бесконечности. Другими словами, жидкость и газ представляется состоящими из достаточно малых частиц непрерывным образом заполняющих пространство. Эта среда обладает свойством инерции и наделена различными физическими свойствами. В соответствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке, что позволяет при анализе движения среды применять математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, хорошо разработанный для непрерывных функций.

Понятие о частицах жидкости, которым широко оперирует механика жидкости и газа, неразрывно связано с понятием о физически бесконечно малом объеме. Это объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами объекта, но он содержит в себе настолько много молекул, что его средние характеристики (например, плотность) становятся устойчивыми по отношению к изменению объема. Поэтому, например, фраза «объем стягивается в точку» означает, что он стремится не к нулю, а к физически бесконечно малому объему. Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды. Количественно это можно оценить по величине числа Кнудсена, представляющего отношение длины свободного пробега молекул l к характерному размеру течения L, т.е.

 (1.1)

Принято считать, что законы механики жидкости и газа справедливы, если .

Векторы и операции над ними.

Полем какой-либо величины называется пространство, в каждой точке которого эта величина вполне определена. Если эта величина скаляр, т.е. характеризуется одним числом, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).

Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точке пространства величиной и направлением. К этому следует лишь добавить, что непременным условием, связанным с векторными величинами, является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма. Поэтому, например, поток автомашин, движущихся по улице и характеризующийся как величиной, так и направлением не является вектором.

Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат будем обозначать , , . Тогда вектор  может быть представлен как

 (1.2)

где , ,  - проекции (компоненты) вектора на соответствующие оси координат.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину

 (1.3)

где  - угол между векторами.

Ясно, что скалярное произведение обращается в нуль, если векторы  и  взаимно перпендикулярны.

Векторное произведение двух векторов.

В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор. Векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка

 (1.4)

Раскрывая определитель по общим правилам, получаем:

     (1.5)

Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). 

В теории поля рассматриваются три так называемые операции первого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные математические действия, превратить:

- скалярную величину в векторную;

- векторную величину в скалярную;

- векторную - в другую векторную;

Эти операции соответственно называются - градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.

Градиент какой-то скалярной функции  есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий:

 (1.6)

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Дивергенцией вектора  называется выражение вида

 (1.7)

Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное поле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если , то поле называют соленоидальным.

Вихрь поля (ротор) - это вектор, образующийся при выполнении операции

 (1.8)

Если , то поле называют безвихревым.

Операции второго порядка. 

Операции , , , переводящие скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор порождают пять операций второго порядка:

- превращение скалярной величины в векторную

;

- превращение векторной величины в скалярную

; ;

- превращение одной векторной величины в другую

; .

В теории поля показывается, что два из этих пяти соотношений тождественно равны нулю:  и . Операция  носит название оператора Лапласа для скалярного поля и имеет вид

 (1.9)

Интегральные соотношения теории поля. 

Поток векторного поля. 

Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а  - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например, ) называют поверхностный интеграл вида

   (1.10)

Рис. 1.1

Если рассматривается векторное поле ротора (), то поток этого поля представляется как

(1.11)

Циркуляция вектора поля. 

Пусть рассматривается векторное поле какой-то величины . Циркуляцией вектора  вдоль контура L называют криволинейный интеграл вида

 (1.12)

Иногда этот интеграл интерпретируется как «работа» векторного поля вдоль контура L. Если циркуляция векторного поля вдоль замкнутого пути (контура) равна нулю, то поле называют потенциальным.

Формула Стокса.

Эта формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую, т.е.

 (1.13)

т.е. циркуляция вектора поля вдоль контура равна потоку вихря через поверхность, ограниченную этим контуром.

Формула Гаусса-Остроградского.

Это соотношение, часто называемое преобразованием Гаусса-Остроградского, связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью

 (1.15)

Формула показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

В механике жидкости широко используется формула, являющаяся следствием формулы Гаусса-Остроградского для скалярного поля

 (1.16)

где  - скалярная функция.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43375. Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму 309 KB
  Кафедра автоматизації та енергоменеджменту ЗАВДАННЯ на виконання курсової роботи Маліновської Марії Володимирівни Тема курсової роботи: Вибір потужності двигуна і дослідження процесу пуску електроприводу двигуна постійного струму. Відповідно до заданого варіанту розрахувати потужність двигуна. Розрахувати можливе перевантаження обраного двигуна при роботі в короткочасному режимі із часом роботи хв.
43378. Використання табличного процесора MS Excel для рішення задач механіки та інженерії 1.57 MB
  Її аргумент Диапазон містить значення діапазону комірок з назвами деталей серед яких відшукуються ті що задовольняють умову поставлену в аргументі Критерий. Аргумент Диапазон_суммирования містить діапазон тих клітинок в якому відбувається підсумовування; при цьому обробляються тільки ті записи значення яких задовольняють поставлену умову. Функція ЕСЛИ використовується для перевірки умови стосовно значень та формул і повертає одне розраховане значення якщо задана умова після розрахунку дає значення ІСТИНА й інші розраховані значення...
43379. Криві в параметричному представленні 667.5 KB
  3 Визначити площу фігури обмеженої лініями 1будуємо графічне зображення фігури 2визначаю точки перетину кривих з віссю ОХ 3одна з одною 4обчислюємо площу Завдання 7.Авизначити вузлові точки xi у j та їх кількістьnкількість значень xim кількість значень у j відповідно до заданих для цих змінних проміжків та кроків hx i hy. Така крива епіциклоїда – могла б виникнути як траєкторія точки маленької окружності яка котиться по внутрішній фіксованій окружності. Обчислення каустики як траєкторії точки на окружностіщо котиться було...
43381. Формирование местного бюджета на примере муниципального образования полюстрово 755 KB
  Бюджетная система представляет собой регулируемую нормами права совокупность федерального бюджета, бюджетов субъектов Федерации и бюджетов органов местного самоуправления.
43382. Организация работы электротехнического цеха АТП г. Москва 1.25 MB
  Коэффициент механизации снижающий трудоемкость ЕО рассчитывается по формуле: где снижения трудоемкости за счёт применения моечной установки принимается 55 снижения трудоемкости путем замены обтирочных работ обдувом воздуха принимается 15 Трудоёмкость ТО1 tто1 = tн то1 K2 K5 = 311115 = 356 чел. ч tн то1 = 31 чел.
43383. Завдання та система органів державного управління безпекою України 187 KB
  Метою даного дослідження є проведення комплексного аналізу завдань, функцій системи органів державного управління безпекою України, а також розгляд існуючих проблем та перспектив розвитку, які повязані з їх практичним виконанням.