39959

Элементы гидродинамики

Лекция

Физика

Cилы действующие в жидкости 3.1 – Элементарный параллелепипед в потоке жидкости Грани бесконечно малой частицы жидкости имеющей в начале движения форму прямого параллелепипеда с ребрами dx dy dz с течением времени могут скашиваться и растягиваться рис.8 представляет собой уравнение неразрывности жидкости.9 Здесь под плотностью жидкости понимается предел отношения массы частицы к ее объему 3.

Русский

2013-10-13

441 KB

19 чел.

Лекция 3. Элементы гидродинамики

План.

3.1. Движение жидкой частицы

3.2. Уравнение неразрывности

3.3. Cилы, действующие в жидкости

3.3. Связь между напряжениями и деформациями

3.5. Уравнения Навье-Стокса

3.6. Уравнение энергии

3.1. Движение жидкой частицы

Рассмотрим движение бесконечно малой жидкой частицы, имеющей первоначальную форму параллелепипеда (рис. 3.1). В отличие от твердого тела жидкая частица при своем движении может сильно деформироваться.

Рисунок 3.1 – Элементарный параллелепипед в потоке жидкости

Грани бесконечно малой частицы жидкости, имеющей в начале движения форму прямого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, с течением времени могут скашиваться и растягиваться (рис. 3.2 и 3.3).

Пусть составляющие скорости движения частицы в точке а (рис. 3.1) равны u, v, w; тогда составляющие скорости в точке b равны

;;

в точке d

;;

и в точке е

;;

Скашивание ребра ab частицы за бесконечно малое время dt, которое вызывается разностью компонентов скорости в точках а и b (рис. 3.2), характеризуется смещением точки b, равным

Относительное смещение или угловая деформация

Скашивание ребра ad приводит к угловой деформации

Ввиду того что угловые деформации за время  незначительны, угол наклона грани можно считать равным тангенсу этого угла.

   

Рисунок 3.2 – Угловая деформация граней  Рисунок 3.3 – Линейная деформация граней

Полное скашивание первоначально прямого угла в точке а в этом случае равно

а скорость соответствующей угловой деформации

      (3.1а)

Индекс z указывает на то, что рассматривается деформация частицы в плоскости ху, перпендикулярной к оси z; в остальных двух плоскостях скорости скашивания координатных углов равны, очевидно,

      (3.1б)

      (3.1в)

Используя те же угловые смещения граней частицы, можно определить угловые скорости ее вращения. Поскольку направления вращения ребер аb и ad противоположны, средняя угловая скорость вращения частицы в целом около оси z составляет

     (3.2а)

Для остальных двух осей вращения имеем соответственно

;   (3.2б - 3.2в)

Вектор угловой скорости вращения w, составляющие которого wx, wу и wz, носит название завихренности, или вихря скорости, его величина определяется, очевидно, следующим равенством:

     (3.2г)

Остановимся теперь на линейных деформациях частицы. Скорости движения точек a и d (рис. 3.3) в направлении оси х отличаются на величину

    (3.3)

В связи с этим частица удлиняется за время dt на величину

Относительное удлинение частицы

а скорость относительного удлинения частицы в направлении оси х равна

     (3.3а)

По аналогии, скорости относительного удлинения по другим осям

;     (3.4б – 3.4в)

Удлинение сторон параллелепипеда, изображающего жидкую частицу (рис. 3.1), в общем случае ведет к изменению ее объема; умножая разность скоростей поступательного движения противоположных граней параллелепипеда, определенную по формуле (3.3), на площадь каждой из этих граней, получим скорость изменения его объема за счет линейной деформации в направлении оси абсцисс; составляя подобные выражения для скоростей изменений объема по остальным двум координатным осям и суммируя все три величины, найдем полную скорость изменения объема жидкой частицы:

После деления этого выражения на первоначальный объем жидкой частицы V = dx dy dz, приходим к важной в газовой динамике величине скорости относительного изменения объема жидкой частицы:

    (3.5)

На основании (3.3) имеем окончательно

     (3.6)

3. 2. Уравнение неразрывности

Выражение, стоящее в правой части равенства (3.6), называется в теории поля дивергенцией (или расхождением) вектора скорости и обозначается так:

    (3.7)

где  — вектор скорости.

В сплошной несжимаемой среде объем частицы не изменяется, следовательно, равенство

    (3.8)

представляет собой уравнение неразрывности жидкости.

Условие постоянства массы жидкой частицы может быть записано в следующем виде:

     (3.9)

Здесь под плотностью жидкости  понимается предел отношения массы частицы к ее объему

    (3.10)

причем предполагается, что, стремясь к нулю, объем  стягивается к некоторой внутренней точке.

Продифференцировав по времени обе части равенства (3.9) и поделив результат на величину M, получим

Отсюда на основании (3.5) приходим к уравнению неразрывности для сжимаемой сплошной среды

     (3.11)

Заменяя полную производную плотности жидкости по времени частными производными и используя (3.7), получаем

    (3.12а)

Сумма последних трех членов представляет собой дивергенцию вектора плотности тока , поэтому уравнение неразрывности для газа можно записать также в форме

    (3.12б)

При выводе дифференциального уравнения неразрывности рассматривалось движение отдельной жидкой частицы; такой метод исследования ввел в газодинамику Лагранж. В другом методе исследования, развитом впервые Эйлером, рассматривается не поведение отдельных частиц, а изменение по времени параметров жидкости в фиксированных точках пространства; метод Эйлера во многих случаях удобнее метода Лагранжа — и в гидродинамике, и в газовой динамике им пользуются чаще.

§ 3. Силы, действующие в жидкости

Выделим некоторый объем жидкости (рис 3.3) и рассмотрим его изолированно от окружающей жидкой среды.

Силы, действующие на заданный объем жидкости, могут быть двух видов: объемные и поверхностные Объемные силы приложены ко всем материальным частицам, составляющим объем. К объемным силам относятся: сила тяжести, силы магнитные и электрические. Поверхностные силы распределены по поверхности выделенного объема. Они возникают в результате воздействия окружающей среды на данный объем.

Поверхностные силы, в зависимости от того, как они направлены по отношению к данному элементу поверхности, подразделяются на нормальные и тангенциальные.

Для того чтобы характеризовать изменение от точки к точке объемной силы Р или поверхностной силы F, вводят понятие о напряжении, подразумевая под ним предел отношения силы к объему V (или соответственно к поверхности S), который достигается при стягивании объема (или поверхности) к некоторой внутренней точке.

Итак, напряжение объемной силы в данной точке среды есть

поверхностное напряжение

Силы нормальные действуют как в покоящейся, так и в движущейся жидкости; силы касательные возникают только при движении жидкости, да и то лишь в том случае, когда жидкие частицы деформируются.

Для большинства жидкостей, как показывает опыт, справедлива гипотеза Ньютона, согласно которой напряжения пропорциональны скоростям деформаций. Коэффициент пропорциональности, зависящий от рода жидкости и ее состояния, носит название коэффициента динамической вязкости.

Рисунок 3.3 – Схема сил, действующих на две грани элементарного параллелепипеда

Составим уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости для элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Обозначим компоненты объемного напряжения  через , , , а компоненты нормального напряжения, приложенные к граням параллелепипеда и параллельные соответствующим координатным осям, — х, у, z, компоненты тангенциальных напряжений, лежащие в плоскости каждой грани, — буквой с двумя индексами (первый указывает ось, перпендикулярную данной грани, а второй — ось, параллельную направлению напряжения, например ху, xz, yz). Заметим, что из условия равновесия параллелепипеда следует равенство моментов сил относительно произвольной оси и равенство касательных напряжений с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами:

    (3.13а)

По закону Ньютона произведение массы параллелепипеда на его ускорение равно равнодействующей всех сил, приложенных к параллелепипеду.

Составим соответствующее уравнение для проекций ускорения и равнодействующей силы на ось х. Нормальные напряжения, приложенные к торцовым граням, дают составляющую силы:

Составляющие силы от тангенциальных напряжений, действующих на боковые и верхние грани:

Если компоненты вектора скорости по осям х, у, z обозначить через u, v, w и учесть, что масса частицы dM =  dx dy dz, то уравнение движения вдоль оси х для единицы объема жидкости примет вид

   (3.13б)

Полную производную скорости в уравнении (3.13б) можно выразить через частные производные:

   (3.13в)

Тогда уравнение движения вдоль оси х можно представить в виде

 .14а)

Таким же образом можно вывести уравнения движения в направлении осей у и z:

  (3.14б)

 (3.14в)

Среднее арифметическое трех нормальных напряжений

    (3.15а)

не изменяется при преобразовании координат и для невязкой жидкости равно давлению, взятому с обратным знаком.

Для дальнейшего удобно выделить из нормальных напряжений так называемые дополнительные напряжения, определяемые из условий

    (3.15б)


Используя эти соотношения, систему дифференциальных уравнений движения можно представить в виде

   (3.16)

3.3. Связь между напряжениями и деформациями

Связь между напряжениями, действующими на параллелепипед (рис. 3.3), и скоростями деформации последнего, как уже указывалось, устанавливается законом трения Ньютона.

Касательные напряжения вызывают деформации сдвига (угловые деформации), определение которых было дано в 3.1 этой лекции. Так как согласно гипотезе Ньютона в жидкости напряжения пропорциональны скоростям деформаций, то в соответствии с (3.1) имеем

    (3.17а)

где, как уже указывалось, коэффициент пропорциональности ц есть коэффициент динамической вязкости, зависящий от рода жидкости и ее состояния (температуры, давления).

Касательные напряжения в двух других координатных плоскостях суть соответственно

    (3.17б)

    (3.17в)

Подробный анализ полей напряжений и деформаций, выполненный разными методами в гидродинамике и в кинетической теории газов, позволил установить связь между нормальными и касательными напряжениями, из которой следует, что добавочное нормальное напряжение равно

    (3.18)

где , е — относительные линейная и объемная деформации, определяемые соответственно из (3.3) и (3.6).

Кроме того, в гидродинамике вязкой сжимаемой жидкости принимается второе обобщение гипотезы Ньютона, согласно которому среднее нормальное напряжение равно сумме двух членов: первый член есть давление, взятое с отрицательным знаком, которое не зависит от скорости объемной деформации, а второй член пропорционален последней:

      (3.19)

здесь — коэффициент, который называется второй вязкостью. Знак минус при давлении учитывает, что оно всегда направлено внутрь выделенного объема жидкости. Итак, согласно (3.18) и (3.19), составляющие нормального напряжения выражаются следующим образом:

    (3.20)

В несжимаемой жидкости е = 0, откуда = — р,

;;    (3.21)

В кинетической теории газов доказывается, что для одноатомного совершенного газа отношение /, т. е. является весьма малой величиной, что дает право пренебречь второй вязкостью. Будем считать это справедливым для всех газов, хотя строгого обоснования такого предположения для многоатомных газов не существует. Для весьма плотного газа (при очень высоком давлении), двухфазного (газо-жидкостного) течения и в других особых случаях допущение  заведомо несправедливо.

В дальнейшем будем рассматривать газ без второй вязкости, т.е. положим =0, тогда нормальные напряжения определяются следующими выражениями:

     (3.22)

Из (3.18) следует, что добавочные нормальные напряжения возникают только в вязких жидкостях, когда .

Подставляя в (3.18) значения x и е из (3.3) и (3.6), получим

    (3.23а)

и соответственно для осей y и z.

    (3.23б)

    (3.23б)

В несжимаемой жидкости добавочные нормальные напряжения связаны со скоростями линейной деформации точно такими же соотношениями, как касательные напряжения со скоростями угловых деформаций.

Для несжимаемой жидкости

     (3.24)

3.5. Уравнения Навье—Стокса

Пользуясь формулами (3.6), (3.17), (3.19) и (3.23), можно в дифференциальных уравнениях (3.13), с учетом = 0, т. е = —р, заменить напряжения скоростями деформаций. При этом мы получим так называемые дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости Навье — Стокса.

Например, для движения параллельно оси х

После несложных преобразований в случае неизменного значения вязкости во всей области течения () имеем

(3.25)

Используя обозначения для оператора Лапласа

и дивергенции вектора скорости

запишем уравнение (3.25) в более компактной форме:

 (3.26а)

и по аналогии для движения в направлении осей у и z

 (3.26б)

 (3.26в)

Уравнения (3.26) называются уравнениями Навье — Стокса. В векторной форме уравнения Навье — Стокса сводятся к одному уравнению вида

  (3.27)

где R — вектор напряжения объемной силы.

В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к стенкам, ограничивающим течение, поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений Навье — Стокса нужно использовать в качестве граничного условия равенство нулю скорости течения у стенки (Ww = 0).

В случае несжимаемой жидкости ( = const) последние члены в уравнениях Навье — Стокса  отсутствуют (div W = 0), вследствие чего эти уравнения принимают более простой вид:

    (3.28)

или

    (3.29)

Решение уравнений Навье — Стокса даже для несжимаемой жидкости представляет собой очень сложную задачу.

До сих пор удалось решить эти уравнения точно лишь в некоторых простейших случаях, например для течения вязкой жидкости по прямой трубе; для течения между двумя параллельными плоскими стенками, из которых одна неподвижна, а другая движется и др.

Задачи гидродинамики вязкой жидкости решаются обычно приближенно путем отбрасывания некоторых членов в уравнениях Навье — Стокса, которые в тех или иных конкретных условиях могут быть малы по сравнению с другими членами.

3.6. Уравнение энергии

Составим дифференциальное уравнение сохранения энергии для движущейся частицы сжимаемой среды. Согласно первому закону термодинамики подведенное к телу тепло идет на повышение его внутренней энергии и на совершение работы деформации

     (3.30)

Здесь dQ = dQн + dQтр — суммарное количество тепла, подведенное к 1 кг вещества за счет теплообмена частицы с окружающей средой (dQн) и работы сил трения (dQrp), p dv — работа сжатия (деформации), dU = cvdT — внутренняя энергия газа.

Для частицы с объемом V = dx dy dz и массой G = pV условие сохранения энергии запишется в следующем виде:

   (3.31)

Здесь dqн — тепло, полученное частицей извне, dqтр — тепло трения, выделяющееся на ее гранях.

Тогда секундный поток тепла, приходящийся на единицу объема частицы, равен

    (3.32)

Если подвод тепла из окружающей среды осуществляется только путем теплопроводности, то через единицу поверхности, согласно гипотезе Фурье, проходит в единицу времени поток тепла

     (3.33)

Здесь - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств жидкости (температуры, давления), dТ/dn — градиент температуры по нормали к поверхности, dqF/dt — секундный поток тепла, F — поверхность частицы.

Возвращаясь к элементарному параллелепипеду dx, dy, dz (рис. 3.3), запишем секундный расход тепла через грань площадью dy dz в направлении оси х

Секундный приток тепла через противоположную грань составляет

Таким образом, увеличение запаса тепла в объеме dx dy dz вследствие притока тепла через указанную пару граней в течение промежутка времени dt составляет

Аналогично, приток тепла в направлении осей у и z составляет соответственно

;

Общее количество тепла, подведенное к частице путем теплообмена с внешней средой за время dt,

 (3.34)

Найдем теперь количество тепла, поступающее в объем  вследствие работы сил трения.

Силы вязкости, приложенные к противоположным граням параллелепипеда, имеют противоположные направления. Секундная работа равна произведению силы на проекцию скорости на направление силы. Например, дополнительные нормальные напряжения , действующие на гранях площадью , совершают за одну секунду работу

Таким же способом определяется работа, которую производят касательные напряжения  и , приложенные к тем же граням, в направлении двух других составляющих скорости (u и w):

;

Работа нормальных и тангенциальных напряжений, действующих на остальных двух парах граней, рассчитывается аналогичным образом. В итоге получается следующее выражение для суммарной секундной работы сил трения, действующих на поверхности параллелепипеда:

(3.35)

Однако не вся работа вязких сил превращается в тепло. Часть этой работы,соответствующая равнодействующей вязких сил, которая вызывает ускорение частицы, расходуется на приращение механической энергии частицы.

Компоненты равнодействующей вязких сил в направлении осей х, у, z были определены в п.3.3 при выводе уравнений движений; работа, совершаемая этими компонентами равнодействующей сил в единицу времени, очевидно, равна

(3.36)

Вычтя из полной работы (3.35) работу перемещения частицы (3.36), получим искомую часть секундной работы вязких сил, трансформирующуюся в тепло:

 (3.37)

Если теперь в уравнении (3.32) величину суммарного секундного притока тепла dq=dqн+dqтр заменить с помощью (3.33) и (3.37), то получим уравнение энергии

(3.38)

После замены в (3.37) вязких напряжений их значениями согласно (3.17) и (3.23) получим тепло трения, выделяющееся за одну секунду в элементарном параллелепипеде:

      (3.39)

где множитель

 (3.40)

носит название диссипативной функции.

Используя определение функции Ф, получаем уравнение сохранения энергии в виде

 (3.41а)

Преобразуем второй член левой части этого уравнения с помощью условия сохранения массы (3.11а):

Тогда уравнение энергии можно представить также в следующем виде:

 (3.41б)

Для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния р/ = RT, уравнение энергии упрощается, так как

Отсюда

  (3.41в)

Если коэффициент теплопроводности не изменяется во всей области течения, то имеем уравнение энергии в следующей форме:

   (3.42)

В несжимаемой жидкости второй член левой части уравнения энергии (3.31а) равен нулю и, кроме того, cp = cv = с, поэтому уравнение энергии получается в следующем виде:

     (3.43)

Диссипативная функция Ф в этом случае также принимает более простую форму, так как последний член правой части (3.40) равен нулю.

Для стационарного двумерного (плоскопараллельного) течения уравнение энергий (3.42) примет следующий вид:

(3.43)

В некоторых случаях в газовой динамике удобнее пользоваться другой формой уравнения энергии, которую можно получить с помощью уравнений Навье — Стокса.

Умножим первое из уравнений Навье — Стокса (3.16) на составляющую скорости u, второе — на v, третье—на w и сложим почленно все три уравнения. Тогда будем иметь

(3.44)

Складывая уравнение (3.44), отражающее изменение кинетической энергии, с уравнением (3.42), учитывающим изменение энтальпии, и используя выражение (3.40), получаем после некоторых преобразований

(3.45)

Как известно, сумма энтальпии и кинетической энергии называется полной энтальпией (полным теплосодержанием)

      (3.46)

Подставляя (3.46) в левую часть уравнения (3.456) и заменяя с помощью (3.8), (3.17) и (3.23) напряжения скоростями деформаций, получаем после преобразований уравнение энергии в таком виде:

 (3.47)

где

В газовой динамике имеет большое значение безразмерная величина

носящая название числа Прандтля. Введем это число в правую часть уравнения (3.38) и получим

 (3.48)

Значение числа Прандтля зависит от физических свойств среды. Для газов число Прандтля близко к единице (например, для воздуха Рг = 0,72). При Рг = 1 третий член правой части равен нулю и уравнение энергии упрощается:

 (3.49)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21758. Графики выходов рабочих 26 KB
  В них показывается порядок чередования смен и выходные дни для отдельных рабочих и бригад. В графиках выходов предусматривается: соответствие принятому числу рабочих смен продолжительности рабочего дня и рабочей недели т. режиму работы данного участка во времени; правильное чередование дней работы и отдыха; полное использование установленной нормы рабочего времени за месяц минимальное значение которой при 7часовом рабочем дне составляет 1731 ч а при 6часовом рабочем дне 1525 ч; правильное чередование смен; соблюдение постоянного...
21759. Алгоритм составления графиков выходов рабочих 23 KB
  Алгоритм составления графиков следующий: определяют число бригад в сутки исходя из недельного режима работы на рабочем месте; определяют явочное число рабочих в каждой смене в соответствии с выполняемыми производственными процессами объёмом работ и обслуживанием; составляют графики выходов: обозначают общевыходной день для участка; обозначают выходные дни для отдельных членов бригады или всей бригады; отмечают номера смен и порядок их ломки; вносят графические обозначения смены обозначаются цифрами а выходные дни – нулями; при...
21760. Научная организация труда и ее элементы 29.5 KB
  Прогрессивной следует считать организацию которая основывается на достижениях науки и передовом опыте позволяет наиболее эффективно соединить в одном производственном процессе сам труд предмет и средства труда. Научная организация труда НОТ это комплекс научно обоснованных планомерно осуществляемых технических организационных и экономических мероприятий обеспечивающих рациональное разделение и кооперацию труда совершенствование трудовых приемов и организации рабочих мест улучшение их обслуживания создание благоприятных...
21761. Элементы НОТ общего характера 25 KB
  К ним относятся: подготовка и повышение квалификации кадров совершенствование нормирования и оплаты труда воспитание трудящихся в духе сознательного отношения к труду соблюдение государственной и трудовой дисциплины. Достижения научнотехнического прогресса обусловливают постоянное изменение характера и содержания труда горняков профессионального и квалификационного состава рабочих кадров. Органическим элементом научной организации труда является нормирование труда которое основано на рациональном выполнении рабочих процессов....
21762. Планирование НОТ и внедрение планов НОТ 27 KB
  Для обеспечения эффективности производства и улучшения качества работы планируют и внедряют планы НОТ. Планы НОТ должны обеспечивать комплексность планируемых и осуществляемых мероприятий; реальность планируемых мероприятий учитывающих научную обоснованность мероприятий с использованием достижений научнотехнического прогресса; непрерывность планирования мероприятий НОТ и экономичность которая обеспечивается выбором оптимального варианта и сопоставления необходимых затрат с достигаемым эффектом от внедрения отдельных...
21763. Рудничная аэромеханика 162 KB
  Режимы движения воздуха в шахтных вентиляционных системах. Применение уравнения Бернулли к движению воздуха по горным выработкам. Основное уравнение аэростатики Аэростатика наука о равновесии газов воздуха. Одной из основных задач аэростатики является определение изменения давления неподвижного воздуха с ростом высоты или глубины а также условий равновесия находящегося в воздушной среде тела.
21764. Рудничная аэромеханика. Аэродинамическое сопротивление горных выработок и методы его расчета 1.87 MB
  Разделив в этой формуле левую и правую части выражения на площадь живого сечения потока S SM получим выражение кг м2 в котором величина Pлб SSм представляет собой лобовое сопротивление hлб; тогда окончательное выражение для подсчета величины потерь давления воздуха вызванных лобовым сопротивлением hлб = Cx кг м2 Суммарное сопротивление. Эквивалентное отверстие выработки или шахты площадь отверстия в тонкой стенке через которое при разности давлений по обе стороны стенки равной депрессии выработки или шахты проходит...
21765. Специальные вентиляционные режимы 223.5 KB
  Высокая температура в очаге пожара приводит к нагреву воздуха что вызывает нарушение вентиляции шахты в целом и отдельных ее участков изменяется дебит вентиляционных потоков и их направление. При пожарах могут применяться следующие вентиляционные режимы: неизменный по дебиту и направлению; ослабленный или усиленный по дебиту и неизменный по направлению; реверсивный в целом по шахте или на отдельных участках с изменением количества воздуха; нулевой при котором прекращается доступ воздуха к очагу пожара путем выключения вентиляторов или с...
21766. Проектирование вентиляции шахт 1.43 MB
  При проектировании вентиляции шахты решаются задачи выбора схем вентиляции участков и шахты прогноза выделений вредных газов в выработки определения расхода воздуха для вентиляции шахты проверки сечения выработок по допустимой скорости движения воздуха выбора калорифера для подогрева поступающего в шахту воздуха в зимнее время проверки устойчивости движения воздуха в выработках расчета депрессии шахты регулирования распределения воздуха по выработкам шахты выбора способа вентиляции шахты и вентилятора главного проветривания...