40102

Математическая модель маятника на каретке

Курсовая

Физика

В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем t угол отклонения маятника и xt положение каретки. Для записи уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода 1.1 получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка 1. Дифференциальные уравнения в форме Коши Для записи системы дифференциальных уравнений в форме...

Русский

2013-10-15

1.46 MB

114 чел.

  1.  перевернутый МАЯТНИК НА КАРЕТКЕ КАК неустойчивый механический ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Описание объекта управления

Динамические модели перевернутых маятников различной конфигурации часто используются в исследованиях как наглядные примеры неустойчивых объектов, в частности, при сравнении методов синтеза алгоритмов автоматической стабилизации.

Многозвенные перевернутые маятники служат упрощенными примерами шагающих роботов, ракет на старте, нескольких барж, которых толкает буксир и т. д. и т. п.

Принципиальная схема неустойчивого механического объекта — перевернутого маятника на каретке — изображена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Принципиальная схема перевернутого маятника на каретке

На рис. 1.1 приняты следующие обозначения параметров:

  •  m – масса маятника, кг;
  •  M – масса каретки, кг;
  •  l – длина маятника, м,

а также переменных:

  •  (t) – угол отклонения маятника, рад;
  •  x(t) – положение каретки, м;
  •  f(t) – сила, действующая на каретку, Н (кг*м/сек2).

Рассматриваемый механический объект имеет две степени свободы —вращательное движение маятника и поступательное движение каретки. Управление таким объектом осложняется тем обстоятельством, что имеется только одно управляющее воздействие — сила  f(t), приложенная к каретке.

Кроме того, иногда можно измерять только положение каретки, и нет датчиков угла маятника, нет также датчиков скоростей их изменения.


1.2. Математическая модель маятника на каретке

как объекта управления

Классические и современные методы синтеза систем автоматического управления основаны на математических моделях в виде дифференциальных или разностных уравнений. Рис. 1.1 можно интерпретировать как символьную модель, представленную на языке механики. Для перевода на язык математических моделей используют законы классической механики. Такой способ построения математических моделей называют аналитическим — он возможен для объектов хорошо изученной природы.

Примем следующие допущения:

  •  массы сосредоточены;
  •  отсутствует сопротивление среды;
  •  отсутствует трение.

В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем (t) — угол отклонения маятника и x(t) — положение каретки.

Для записи уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода

                                            (1.1)

где — кинетическая энергия,  — потенциальная энергия (для консервативных сил), — приложенная к каретке неконсервативная обобщенная сила.

Выражение для кинетической энергии запишется так

                                                  (1.2)

где

С учетом этих выражений вместо (1.2) получим

.                                (1.3)

Потенциальная энергия для силы тяжести равна

.                                       (1.4)

В результате подстановки (1.3) и (1.4) в (1.1) получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка

                             (1.5)

                 (1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) представляют собой выражения баланса моментов, действующих на маятник, и баланса сил, действующих на каретку.

Если за начало отсчета угла маятника принять нижнее положение равновесия, то в уравнениях (1.5), (1.6) изменятся знаки некоторых слагаемых с учетом тождеств: . В результате запишутся несколько иные уравнения:

                             (1.5, а)

                 (1.6, б)

Эти уравнения описывают так называемый козловый кран, в котором роль маятника играет груз на тросе.


2.3. Дифференциальные уравнения в форме Коши

Для записи системы дифференциальных уравнений в форме Коши — системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, исходные уравнения разрешим относительно старших производных. Заметим, что вторые производные  в уравнения (1.5), (1.6) входят линейно. С учетом этого, приведем уравнения к матричной форме:

.

Прежде всего, проверим существование и единственность решения — вычислим определитель матрицы:

и убедимся в том, что он не равен нулю.

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера

 

Заметим, что правые части уравнений не содержат переменных , т. е. положение и скорость каретки не влияют на ускорения маятника и каретки. Объект может занимать любое положение или совершать равномерное поступательное движение. Это не отразится на динамике системы “каретка-маятник”.

Теперь легко записать уравнения объекта в форме Коши:

                 

;

;      (1.7)

           ;

Если за начало отсчета угла маятника принять нижнее положение равновесия, то изменятся некоторые знаки во втором и четвертом уравнениях системы (1.7):

;             (1.7, а)

                                (1.7, б)


2.4. Линеаризация дифференциальных уравнений

Будем рассматривать малые отклонения переменных  и , когда приближенно можно принять:   Пренебрегая малыми величинами высших порядков, вместо нелинейных уравнений (1.7) получим линейные (линеаризованные) уравнения в символьном виде:

                                              (1.8)

Запишем линейную систему (1.8) в матричной форме с использованием вектора состояний  

;                         (1.9)

.                                           (1.10)                             

Получена линейная модель в так называемой форме пространства состояний

Первое из этих уравнений называется уравнением состояний, второе — уравнением выхода.

Матричная форма пространства состояний является стандартом для анализа линейных стационарных систем (типа LTILinear Time-Invariant). Для моделей класса LTI разработано большое количество методов, алгоритмов и программ анализа и синтеза систем управления. Такая форма принята как одна из основных в программе MATLAB/Control System Toolbox фирмы The MathWorks, Inc.

В уравнении выхода (1.10) за выход объекта — измеряемую непосредственно переменную принято положение каретки, т. е. скаляр. Поэтому матрица выхода С оказывается строкой. Если за выход принимать вектор , то матрица выхода будет иметь две строки

,

а матрица обхода получится столбцовой

.

Когда интересуются нижним положением равновесия маятника, т. е. начало отсчета углов внизу, некоторые элементы матриц А и В изменят знаки.


2.5. Передаточная функция объекта

Передаточная функция представляет собой отношение изображений выхода и входа линейного объекта при нулевых начальных условиях. Для получения передаточной функции дифференциальные уравнения преобразуют по Лапласу и составляют отношение изображений.

Прежде всего, получим характеристический полином матрицы

,                                (1.11)

который является знаменателем передаточных функций. Для маятника с нижним положением равновесия характеристический полином имеет вид:

.                          (1.11, а)

Далее запишем полиномы числителей передаточных функций: от входа — силы , приложенной к каретке, до переменной выхода — положения каретки

,                                      (1.12)

и до переменной  — углового положения маятника

.                                                (1.13)

 


2. анализ объекта управления

2.1. Компьютерное моделирование маятника на каретке

 Линеаризованные уравнения (1.9) позволяют исследовать устойчивость и качественный характер движений при малых отклонениях состояния системы от положения равновесия. Для исследования поведения объекта управления при произвольных отклонениях необходимо решать нелинейные уравнения (1.7). Для автоматизации численных решений при конкретных начальных условиях и внешних воздействиях разработаны программные средства; далее будем использовать программу MATLAB/Simulink фирмы The MathWorks, Inc.

 В окне команд MATLAB введем команду

>>simulink3

Появится окно с подсистемами блоков. Выберем опции File/New/Model; откроется окно без имени (‘Untitled). Построение компьютерной модели сводится к выбору соответствующих библиотечных блоков и их соединение ориентированными связями, как показано на рис. 2.1. Представленная структурная схема — модель объекта на языке Simulink. Основу программы образуют два двойных интегратора, входами которых являются вторые производные переменных.

Рис. 2.1. Модель на языке графического редактора Simulink

 

Блоки Fcn и Fcn1, реализуют выражения, находящиеся в правых частях второго и четвертого уравнений системы (1.7):

Fcn: ((M+m)*9.8*sin(u[1])-m*l*u[2]*u[2]*sin(u[1])*cos(u[1])-u[3]*cos(u[1]))/(l*M+m*l*sin(u[1])*sin(u[1]));

Fcn1: (m*l*l*u[2]*u[2]*sin(u[1])+l*u[3]-m*l*9.8*sin(u[1])*cos(u[1]))/(l*M+m*l*sin(u[1])*sin(u[1]))

На входы этих блоков подается вектор = (u[1] u[2] u[3])'.

Сохраним модель под именем ′mayatnik′.

Выберем следующие значения параметров: l = 0.25 м; m = 0.2 кг; M = 0.4 кг и введем их в рабочее пространство MATLAB:

>>l=0.25;

>>m=0.3;

>>M=0.2;

Проведем компьютерный эксперимент при следующих начальных условиях:  — маятник отклонен на 1 рад, угловая скорость маятника, положение и скорость каретки равны нулю. Рассматриваем свободные движения автономной системы — к каретке не оказывается воздействие, т. е. . На рис. 2.2 приведены результаты моделирования, из которых ясно, что верхнее положение маятника не устойчиво — при малейшем отклонении от него состояние системы не возвращается к нему, а начинаются колебания маятника относительно нижнего положения.  Маятник колеблется с амплитудой  радиан, а каретка совершает периодические движения своеобразной формы.

Рис. 2.2. Поведение объекта управления при  начальных условиях

Колебания маятника и каретки не затухают, так как построенная ранее математическая модель игнорирует потери энергии на преодоление сопротивления среды и трение.


2.2. Линеаризация компьютерной модели в среде MATLAB/Simulunk

Программа MATLAB/Simulink позволяет получить линеаризованную модель для заданных значений параметров по команде

>>[A,B,C,D]=linmod2('mayatnik')

если в правой части команды вписать имя simulink-модели. Для выбранных параметров модели получим следующие матрицы:

A =

         0         0              0    1.0000

         0         0     1.0000         0

         0   98.0000         0         0

         0  -14.7000         0         0

B =

         0

         0

       -20

         5

C =   

         1     0     0     0

D =    0

Получена четвёрка матриц системы линейных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний.

,

где:  — абстрактный вектор состояний.

Сопоставляя матрицы, полученные вручную (1.9), (1.10) и по команде linmod2, можно заметить отличие в расположении элементов. Это объясняется различной нумерацией переменных. Соответствие между абстрактным и физическим векторами состояний легко устанавливается по структуре матриц:

.


2.3. Анализ устойчивости положения равновесия

Устойчивость “в малом” положения равновесия  нелинейной модели (1.7) можно выявить на основе первого метода Ляпунова, т. е. по линеаризованной модели. Ляпунов показал, что об устойчивости “в малом” положения равновесия можно судить по линеаризованным уравнениям. Условием асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной системы является принадлежность корней характеристического полинома (собственных значений матрицы состояний) линеаризованной системы открытой левой полуплоскости.

Корни характеристического полинома (1.11) равны:

.                                        (2.1)

Имеется действительный положительный корень (в правой полуплоскости); кроме того, полином имеет двукратный нулевой корень. Это свидетельствует о неустойчивости положения равновесия нелинейной системы.

Корни характеристического полинома (1.11, а) равны:

,                                        (2.1, а)

т. е. имеется пара мнимых корней, отражающих колебательные свойства системы. Частота колебаний маятника, подвешенного на подвижной каретке, отличается от частоты маятника с неподвижной точкой подвеса в раз. Таким образом, подвижная опора повышает частоту колебаний маятника. Очевидно, если масса каретки многократно превышает массу маятника, то поведение системы приближается к поведению маятника с неподвижной точкой подвеса.

Условием устойчивости является: , где  — собственные значения матрицы A (корни его характеристического полинома), i = 1,2,3,4. Вычислим собственные значения матрицы A с помощью команды:

>> eig(A)

ans =

          0

          0

     9.8995

    -9.8995

Видим, что имеется двукратное нулевое собственное значение и одно “правое” значение, что говорит о неустойчивости положения равновесия. Это отвечает нашим представлениям о поведении объекта и результатам компьютерного моделирования.

 


2.4. Получение передаточной функции в среде MATLAB/Simulunk

Программа MATLAB\Control System Toolbox позволяет получить передаточную функцию объекта численно.  Для получения числителя и знаменателя ПФ воспользуемся командами

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

num =

          0    0.0000    5.0000   -0.0000 -196.0000

den =

          1.0000   -0.0000  -98.0000         0         0

>> plant=tf(num,den)

 

1.294e-015 s^3 + 5 s^2 - 1.267e-013 s - 196

-------------------------------------------

      s^4 - 1.776e-015 s^3 - 98 s^2

Вычислительные ошибки приводят к наличию весьма малых коэффициентов, к сожалению, иногда повышающих степени полиномов. Следует вручную отредактировать коэффициенты

>> num_m=[5 0 -196];

>> den_m=[1 0 -98 0 0];

В результате получим ПФ объекта для малых отклонений

5 s^2 - 196

------------

s^4 - 98 s^2

Вычислим нули и полюсы ПФ :        

>> zpk(plant_m)

Zero/pole/gain:

5 (s-6.261) (s+6.261)

-----------------------

s^2 (s-9.899) (s+9.899)

Получена так называемая факторизованная форма ПФ.

Если необходимо сохранить структуру линеаризованной модели, то для этого достаточно линеаризовать только выражения в блоках

Fcn: ((M+m)*9.8*u[1]-u[3])/(l*M);

Fcn1: (u[3]-m*9.8*u[1])/M


2.5. Анализ управляемости и наблюдаемости

Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости :

>> rank(ctrb(A,B))

ans =

    4

Матрица управляемости имеет полный ранг, что свидетельствует о полной управляемости объекта. Действуя с силой  на каретку, можно стабилизировать верхнее положение маятника и привести каретку в исходное положение.

Наблюдаемость можно проверить по критерию Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости :

>> rank(obsv(A,C))

ans =

    4

Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, объект наблюдаем полностью.


3. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ МАЯТНИКА НА КАРЕТКЕ

Целью синтеза является стабилизация верхнего положения равновесия маятника и исходного (нулевого) состояния покоя каретки.   

Синтез проведем по линеаризованной модели объекта, так как нет универсальных методов синтеза систем стабилизации для нелинейных моделей.

3.1. Синтез системы стабилизации маятника

на каретке методами пространства состояний

Задачу будем решать на основе линеаризованной модели объекта, т. е. система автоматической стабилизации должна будет обеспечивать устойчивость при малых отклонениях состояния от положения равновесия.

3.1.1 Регулятор состояния

Пусть имеется информация обо всех переменных состояния объекта

.                                                  (3.1)

Алгоритм регулятора состояния запишется так:

.          (3.2)

Уравнение замкнутой системы в стандартной форме пространства состояний получим, если из уравнений объекта (3.1) и регулятора состояния (3.2) исключим переменную

,

где — матрица замкнутой системы. Отметим, что замкнутая система получилась автономной — она не имеет входов.

В пункте 2.5 было доказано, что система управляема, значит эта задача имеет решение.


3.1.2. Синтез регулятора методом  размещения

собственных значений

Задача синтеза заключается в определении матрицы регулятора состояния K из условия желаемого расположения собственных значений матрицы системы (корней характеристического полинома системы).

Существует произвол в выборе желаемых собственных значений системы. Чем дальше находится от мнимой оси собственное значение, тем быстрее затухают процессы. Однако требование большего быстродействия означает необходимость приложения чрезмерных усилий на каретку. Назначим собственные значения системы с ориентацией на собственные значения объекта, которые вычислены ранее. Введем желаемые значения

>> p=[-7 -8 -9 -10]';

Матрицу регулятора, обеспечивающего желаемое расположение собственных значений, найдем по команде:

>> K=place(A,B,p)

  -25.7143  -32.8786   -4.7791  -12.3163

Проведем анализ устойчивости системы:

>> eig(A-B*K)

ans =

  -10.0000

  -9.0000

  -8.0000

  -7.0000

Замкнутая система имеет желаемое расположение собственных значений.

Регулятор состояния формирует управляющие воздействия на основе текущей информации обо всех переменных состояния. Однако реально измеряется только положение каретки х. Для вычисления остальных переменных состояния используют так называемый наблюдатель состояния [2, 24]. Если наблюдатель устойчив, то процессы затухают, в результате чего состояние модели  приближается к состоянию объекта .

Задача синтеза наблюдателя имеет решение, так как объект наблюдаем полностью (см пункт 2.3) и сводится к поиску матрицы L.

Для синтеза наблюдателя воспользуемся методом размещения собственных значений – назначим собственные значения наблюдателя несколько дальше от мнимой оси в левой полуплоскости:  

>> po=3*p

po =

  -21

  -24

  -27

  -30

Матрица наблюдателя L вычисляется по команде:

>> L=place(A',C',po)'

1.0e+004 *

   0.0102

  -0.5114

  -5.4285

   0.3977 

Динамический регулятор получим, если объединить регулятор состояния и наблюдатель. В результате динамический регулятор имеет четвертый порядок. Поэтому рекомендуется синтезировать редуцированный наблюдатель, учитывающий, что одна из переменных состояния — положение каретки — измеряется непосредственно.

Уравнения динамического регулятора имеют вид:

;

,

где матрицы вычисляются по команде:

>> [Ar1,Br1,Cr1,Dr1]=reg(A,B,C,D,K,L);

>> regulator1=ss(Ar1,Br1,Cr1,Dr1);

Передаточная функция регулятора выглядит так

>> [numr1,denr1]=ss2tf(Ar1,Br1,Cr1,Dr1);

>> regulator1=tf(numr1,denr1)

3.76e005 s^3 + 3.152e006 s^2 - 6.704e006 s - 1.05e007

-----------------------------------------------------

 s^4 + 136 s^3 + 7876 s^2 - 1.623e006 s - 1.044e007

Знаменатель ПФ — характеристический полином динамического регулятора — имеет отрицательный коэффициент. Проверим устойчивость регулятора:

>> eig(Ar1)

ans =

1.0e+002 *

 -1.0221 + 1.0900i

 -1.0221 - 1.0900i

  0.7467          

 -0.0626      

Регулятор неустойчив — имеется положительное собственное значение.

Недостатком процедуры синтеза является избыточность наблюдателя, который заключается в превышении необходимого порядка. Поскольку одна из переменных состояния, а именно, положение каретки измеряется непосредственно, то нет необходимости в ее восстановлении. Может быть синтезирован наблюдатель пониженного порядка.


3.1.3. Анализ системы с динамическим регулятором

Для анализа по линейным моделям получим матрицы системы уравнений замкнутой системы:

>> sysc1=feedback(plant,regulator1);

и вычислим собственные значения системы:

>> eig(sysc1)

ans =

 -30.0000

 -27.0000

 -24.0000

 -21.0000

 -10.0000

  -9.0000

  -8.0000

  -7.0000  

Замкнутая система с динамическим регулятором устойчива и имеет желаемые собственные значения.

Анализ линейной модели показывает, что существует область устойчивости положения равновесия — имеет место устойчивость “в малом”. Однако для моделей рассматриваемого типа нет аналитических методов определения размеров области притяжения. Единственным способом важной для практики оценки является многократное компьютерное моделирование.

Прежде всего, подключим динамический регулятор к нелинейному объекту, как это показано на рис. 3.1.  

Для отредактированной нелинейной системы (см. рис. 3.1) целесообразен предварительный анализ устойчивости “в малом” положения равновесия. Для анализа существования области притяжения положения равновесия в соответствии с первым методом Ляпунова проведём линеаризацию замкнутой системы и вычислим собственные значения:

>> [Ac1,Bc1,Cc1,Dc1]=linmod2('mayatnik_reg1');

>> eig(Ac1)

ans =

 -30.0000

 -27.0000

 -24.0000

 -21.0000

 -7.0000

  -8.0000

  -9.0000

 -10.0000

Так как получены те же собственные значения, то область устойчивости существует.

Рис. 3.1. Система «нелинейный объект + динамический регулятор»  

Оценим размеры области притяжения положения равновесия путём многократных компьютерных экспериментов. Для примера на рис. 3.2.  

Рис. 3.2. Поведение системы при максимальном отклонении маятника на 0.121 рад

приведены результаты для максимального начального отклонения маятника, когда линейный динамический регулятор способен стабилизировать нелинейный объект.


3.2. Аналитическое конструирование регуляторов

Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме как экстремали тех или иных функционалов. Наиболее часто, в силу относительной простоты вычислений при достаточной физичности, применяют интегральные квадратичные функционалы . В случае, когда объект описан в форме пространства состояний, интегральный квадратичный функционал записывается в виде

,

(3.3)

где: v — вектор состояния; u — скалярное управление; Q — неотрицательно-определенная весовая матрица; r — весовой коэффициент. Безусловная экстремаль  функционала (3.3) отвечает желаемому поведению и зависит от выбора весовых коэффициентов.

Выберем весовую матрицу единичной; коэффициент при управлении также положим равным единице:

>> Q=eye(4)

    1     0     0     0

    0     1     0     0

    0     0     1     0

    0     0     0     1

>> r2=1;

Матрица регулятора состояния вычисляется по команде ?????

>> [K1,S,E]=lqr(A,B,Q,r2)

K1 =

  -1.0000  -16.7054   -2.5344   -1.7914

E =

 -24.5187          

 -3.9820          

 -1.4133 + 0.1003i

 -1.4133 - 0.1003i

Программа выдает коэффициенты регулятора состояния К и собственные значения замкнутой системы Е.

Примем тот же наблюдатель, что и ранее. Матрицы динамического регулятора, объединяющего регулятор состояния и наблюдатель, получим по выполнению команды

>> [Ar2,Br2,Cr2,Dr2]=reg(A,B,C,D,K1,L);

полученный регулятор назовем так

>> regulator2=ss(Ar2,Br2,Cr2,Dr2);

Имитация системы «нелинейный объект + линейный регулятор» показывает, что процессы (рис. 3.3) затухают при максимальном отклонении маятника 0.341 рад.

Рис. 3.3. Процессы в системе линейно-квадратичным регулятором

при максимальном начальном отклонении маятника 0.341 рад


3.3. Синтез регулятора для маятника на каретке

операторным методом

Запишем дифференциальное уравнение объекта от входа — силы , приложенной к каретке, до переменной выхода — положения каретки в операторной форме

,

(3.4)

где — символ оператора дифференцирования; операторные полиномы

,

.

Поскольку операторные полиномы не имеют общих нетривиальных делителей, объект по этому каналу полностью управляем и наблюдаем, т. е. нет неподвижных корней характеристического полинома — обратная связь, подобранная соответствующим образом, способна переместить любые корни. Заметим также, что отношение ненулевых полюсов и нулей зависит от соотношения масс маятника и каретки и равно .

Необходимым топологическим условием перемещения собственных  значений является создание контура управления — реализация принципа обратной связи.  

Структурный синтез — определение порядка регулятора — сводится к анализу степеней полиномов. Степени операторных полиномов объекта  равны соответственно:. Порядок регулятора равен , а порядок системы .

Пусть численные значения коэффициентов полиномов объекта равны:

.

Искомое дифференциальное уравнение стабилизирующей отрицательной обратной связи (регулятора ) также запишем в операторной форме

.

(3.5)

В раскрытом виде с учетом степеней полиномов  получим:

.

Следовательно, необходимо найти значения семи коэффициентов дифференциального уравнения регулятора.

Поскольку порядок системы равен семи, назначим семь желаемых корней в левой полуплоскости: -0.2; -0.5; -1.0; -1.5; -2.5; -5.0; -10.0. Один из корней характеристического полинома объекта (левый) оставляем на месте.

Желаемый характеристический полином построим с помощью команд MATLAB:

>> r3=[-0.2 -0.5 -1 -1.5 -2.5 -5 -10];

>> poly(r3)

ans =

1.0000   20.7000  146.8500  464.9250  716.0250  535.1250  175.6250   18.7500

По этим коэффициентам желаемый полином запишется так .

 Характеристический полином замкнутой системы

Из тождества

следует система уравнений

Матрица системы составлена из коэффициентов полиномов объекта; такая матрица называется матрицей Сильвестра. Ее определитель — результант полиномов — отличен от нуля, если полиномы взаимно просты. Следовательно, задача размещения корней операторным методом разрешима, если характеристика вход-выход объекта является полной, т. е. объект полностью управляем и наблюдаем. В рассматриваемом примере решение существует и единственно.

Для численного решения системы воспользуемся программой MATLAB; введем матрицу

>>C3 = [       0     0     0  -196     0     0     0

                   0     0     0     0  -196     0     0

                -98     0     0     5     0  -196     0

                   0   -98    0     0     5     0  -196

                   1     0   -98    0     0     5       0

                   0     1     0     0     0     0       5

                   0     0     1     0     0     0       0]

и коэффициенты желаемого полинома

>> a3=[18.7500 175.6250 535.1250 716.0250 464.9250 244.8500 20.7000]';

К пятому элементу добавлен коэффициент, равный 98.

Для решения воспользуемся командой

>> R3=C3\a3

R3 =

1.0e+003 *

  -1.6715

  -0.1755

   0.0207

  -0.0001

  -0.0009

   0.8330

   0.0841

Получен вектор коэффициентов регулятора R3.

По коэффициентам вектора R3 составим числитель и знаменатель передаточной функции (операторы дифференциального уравнения регулятора):

>> den3=[1 R3(3) R3(2) R3(1)];

>> num3=[R3(7) R3(6) R3(5) R3(4)];

>> regulator3=tf(num3,den3)

84.07 s^3 + 833 s^2 - 0.896 s - 0.09566

---------------------------------------

   s^3 + 20.7 s^2 - 175.5 s - 1671

Дифференциальное уравнение регулятора имеет вид:

Заметим, что регулятор неустойчив — полином имеет отрицательные коэффициенты.

Вначале проведем анализ линейной системы. Передаточная функция объекта

>> plant_m=tf([5 0 -196],[1 0 -98 0 0])

5 s^2 - 196

------------

s^4 - 98 s^2

Передаточная функция замкнутой системы

>> sysz3=feedback(plant_m,regulator3)

 

    5 s^5 + 103.5 s^4 - 1073 s^3 - 1.241e004 s^2 + 3.44e004 s + 3.276e005

------------------------------------------------------------------------------

s^7 + 20.7 s^6 + 146.8 s^5 + 464.9 s^4 + 716 s^3 + 535.1 s^2 + 175.6 s + 18.75

 

Можно заметить, что знаменатель передаточной функции совпадает с желаемым полиномом.

Вычислим собственные значения замкнутой системы

>> eig(sysz3)

-10.0000

  -5.0000

  -2.5000

  -1.5000

  -1.0000

  -0.5000

  -0.2000

Они получились в точности заданными.

Подключим к нелинейной модели объекта линейный регулятор, как показано на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Система, образованная нелинейным объектом и линейным регулятором

Переходные процессы в системе при максимальном отклонении маятника   рад приведены на рис. 3.5.

 Система регулирования, синтезированная операторным методом, может оказаться весьма чувствительной к изменениям параметров объекта и неточной реализации алгоритма. Для иллюстрации введем коэффициенты передаточной функции регулятора с клавиатуры, сохраняя четыре значащие цифры

>> regulator3=tf([84.07 833 -0.896 -0.09566],[1 20.7 -175.5 -1671])

Передаточную функцию замкнутой системы получим по команде:

>> sysc3=feedback(plant_m,regulator3)

5 s^5 + 103.5 s^4 - 1074 s^3 - 1.241e004 s^2 + 34398 s + 327516

--------------------------------------------------------------------------------

s^7 + 20.7 s^6 + 146.8 s^5 + 465.4 s^4 + 716.8 s^3 + 489.5 s^2 + 175.6 s + 18.75

Видно, что коэффициент знаменателя (характеристического полинома замкнутой системы) при второй степени равен 489.5 вместо желаемого значения 535.1. Такое отличие объясняется необходимостью выполнения операций по вычитанию больших по модулю примерно равных величин.

Рис. 3.5. Процессы в системе при максимальном отклонении маятника 0.074 рад

Система в данном примере устойчива, однако, ее собственные значения:

 -9.9978          

 -5.2087          

 -2.2529 + 1.1111i

 -2.2529 - 1.1111i

 -0.4098 + 0.4138i

 -0.4098 - 0.4138i

 -0.1682      

отличаются от заданных.

Однако это не оказывает существенного влияет на размер области устойчивости и характер процесса, но при этом максимальное отклонении маятника ненамного увеличилось и тало равным 0.075 рад (см. рис. 3.6).

Рис. 3.6. Процессы в системе при максимальном отклонении маятника 0.075 рад


3.4. Синтез системы стабилизации частотным методом

Частотные методы позволяют синтезировать линейные системы с одним входом и одним выходом (типа SISO) с учетом естественной динамики объектов или корректируемых систем.

Целесообразно воспользоваться весьма развитыми средствами MATLAB/SISO Design Tool, позволяющими автоматизировать синтез и коррекцию систем в частотной области. Однако здесь для наглядности процедуры синтеза покажем, как можно ограничиться только основными командами MATLAB/Control System Toolbox.  

По паре вход-выход  передаточная функция объекта вырождается до второго порядка -20/(s^2 - 98), так как исходная передаточная функция имеет два нулевых нуля и полюса. Напомним, что это означает неполную наблюдаемость объекта по этому каналу ― с помощью обратной связи от измерителя углового положения маятника до привода каретки нельзя стабилизировать каретку.

Частичная наблюдаемость по одному из каналов может быть и положительным свойством объекта. Здесь это свойство будет использовано для декомпозиции синтеза и децентрализации управления.

Вначале найдем обратную связь, стабилизирующую положение маятника ― от выхода объекта  до входа . Другими словами, ищется обратная связь, перемещающая неустойчивый полюс 9.899.

На рис. 3.7. приведена логарифмическая амплитудно-частотная характеристика канала  (кривая 1).

Рис. 3.7 . Логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутого контура стабилизации маятника

Известно, что обратная связь перемещает корни характеристического полинома системы в разной степени в зависимости от усиления контура на частотах, равных модулям корней. Например, если усиление контура менее -20 дБ, то корни, модули которых принадлежат этому диапазону частот, перемещаются мало. Полюсы передаточной функции объекта вообще неподвижны, если их компенсируют равные им нули, т. е. на комплексной частоте полюсов фактическое усиление контура равно нулю.

Как следует из рис. 3.7.  (кривая 1), усиление объекта по рассматриваемому каналу мало на всех частотах. В контур необходимо ввести усилитель, чтобы на частотах перемещаемых полюсов усиление превышало 20 дБ. Для повышения степени подвижности неустойчивого полюса 9.899 повысим усиление контура примерно в 200 раз или на 52 дБ (кривая 2). Это расширяет полосу частот контура и повышает быстродействие системы.

Далее сформируем типовой желаемый вид ЛАЧХ в среднечастотной области. Как известно, типовая асимптотическая ЛАЧХ в области средних частот имеет наклон -20 дБ/дек. Чем длиннее этот отрезок, тем больше запас устойчивости системы.

Асимптотическая ЛАЧХ нескорректированного контура состоит из двух асимптот ― низкочастотной с наклоном 0 дБ/дек и высокочастотной с наклоном -40 дБ/дек. Для придания желаемой ЛАЧХ контура типового вида в области средних частот введем в контур действительный нуль -20 и действительный полюс -1000, т. е. последовательную коррекцию с передаточной функцией

>> corr1=tf([1/20 1],[1/1000 1])

0.05 s + 1           

-----------     ,   

                                                                                                          (3.6)

0.001 s + 1

что дает отрезок асимптоты с наклоном -20 дБ/дек в окрестности частоты среза  рад/с  (кривая 3) на рис. 3.6. При этом крайние частоты отрезка асимптоты отличаются в 50 раз, что должно обеспечивать большой запас устойчивости замкнутой системы. Заметим также, что такая активная коррекция еще более расширяет полосу частот контура стабилизации маятника, т. е. повышает быстродействие системы.

Ввиду относительной малости постоянной времени знаменателя передаточной функции (3.6) можно полагать, что для стабилизации маятника принят ПД-регулятор с передаточной функцией 200(0.05 s + 1)/(0.001 s + 1).

Создадим simulink-модель системы с замкнутым контуром стабилизации маятника с именем 'lin_m1' (рис. 3.8).

Проведем анализ устойчивости системы стабилизации положения маятника: преобразуем модель к форме пространства состояний

>> [A3,B3,C3,D3]=linmod2('lin_m1');

и вычислим собственные значения матрицы

>> eig(A3)

        0

        0

-735.3807

-242.7621

 -21.8572

Рис. 3.8. Структурная схема линейной  системы стабилизации маятника

Цель достигнута ― собственные значения подсистемы  являются отрицательными действительными числами (это следствие большого запаса устойчивости), и находятся достаточно далеко от границы устойчивости (в силу большого значения частоты среза). Естественно, что два нулевых собственных значения неуправляемой части объекта остались на месте.  

Приступим ко второму этапу синтеза ― к стабилизации положения каретки. На этом этапе объектом синтеза оказывается подсистема, синтезированная на первом этапе. Ее входом, как и на первом этапе, является сила , действующая на каретку, а выходом ― положение каретки .

Вычислим и отредактируем передаточную функцию системы, полученной в результате первого этапа синтеза

>> plant2= tf([5 5000 -196 196000],[1 1000 199900 3902000 0 0])

        5 s^3 + 5000 s^2 - 196 s + 196000

-------------------------------------------

s^5 + 1000 s^4 + 199900 s^3 + 3.902e006 s^2

или в факторизованном виде

5 (s+1000) (s^2  - 0.07839s + 39.2)

-----------------------------------

s^2 (s+735.4) (s+242.8) (s+21.86)

Неминимальнофазовая передаточная функция является полной ― она не имеет одинаковых нулей и полюсов.

Наличие правого нуля 37.77 требует, чтобы на этой частоте усиление контура должно быть малым. Известно, что полюсы замкнутой системы стремятся к нулям разомкнутой системы, модули которых принадлежат диапазону частот, где велико усиление контура. Следовательно, имеется ограничение на формирование желаемой ЛАЧХ ― на частоте 37.77 рад/с усиление должно быть не более -16 … -20 дБ. Тогда замкнутая система не будет иметь собственных значений, близких к правому нулю передаточной функции объекта второго уровня.

Частотная характеристика объекта второго уровня приведена на рис. 3.8 (кривая 1). Низкочастотная асимптота ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек пересекает ось 0 дБ на частоте среза примерно равной 0.2 рад/с.

Рис. 3.9. Частотные характеристики второго этапа синтеза: объекта (кривая 1);

объекта с усилителем в контуре (кривая 2); контура после коррекции (кривая 3)

Для расширения полосы частот, а следовательно, быстродействия системы, введем в контур усилительное звено с коэффициентом усиления 10, что поднимет ЛАЧХ на 20 дБ (кривая 2). Дальнейшему повышению усиления контура препятствует условие малости усиления (менее -16…-20 дБ) на частоте 37.77 рад/с, равной модулю правого нуля передаточной функции ранее синтезированной подсистемы.

Другим условием, накладываемым на желаемую ЛАЧХ контура второй подсистемы, является малое усиление на частотах корней, сформированных на первом этапе. Это требование автономности подсистем; оно также ограничивает полосу частот второй подсистемы и, тем самым, ограничивает быстродействие подсистемы стабилизации каретки. В частности, усиление должно быть мало (менее -16…-20 дБ) на частотах: 26.0231; 83.7981; 890.1788 рад/с. Таким образом, желаемая ЛАЧХ типового вида должна проходить ниже этих контрольных точек, что обеспечивает соблюдение обоих оговоренных выше условий. Очевидно, достаточно контролировать только низшую из перечисленных частот.

Далее действуем аналогично процедуре синтеза первого контура. Включим активную последовательную коррекцию с передаточной функцией

>> comp2=tf([3 1],[0.1 1])

3 s + 1

--------- ,

0.1 s + 1

т. е. введем в контур действительный нуль -1/3 и полюс -10, что дает типовую ЛАЧХ с отрезком асимптоты с наклоном -20 дБ/дек в окрестности частоты среза  рад/с (кривая 3 на рис. 3.8).

Ввиду малости постоянной времени знаменателя можно полагать, что для стабилизации каретки принят ПД-регулятор с передаточной функцией 10(3 s + 1)/(0.1 s + 1).

Создадим simulink-модель системы с замкнутым контуром стабилизации маятника с именем 'linear_pend_2' (рис. 3.9). Для анализа устойчивости системы преобразуем модель к форме пространства состояний

>> [A2,B2,C2,D2]=linmod2('linear_pend_2');

и вычислим собственные значения

>> eig(A2)

 -890.06          

 -97.09          

 -10.52 + 8.29i

 -10.52 – 8.29i

 -1.35          

 -0.47  

Получили устойчивую линейную систему шестого порядка (см. рис. 3.9). Поскольку на частоте 26 рад/с усиление второго контура недостаточно мало, собственное значение первой подсистемы  -26.0231 изменилось и превратилось вместе с другим в пару комплексных собственных значений .  

Рис. 3.9. Структурная схема линейной системы стабилизации перевернутого маятника на каретке 'linear_pend_2'

На рис. 3.10 приведены частотные характеристики контуров стабилизации маятника (быстрый контур) и каретки (медленный контур) до и после коррекции. Видна большая разница в полосах существенных частот. Частота среза первого контура  рад/с, а второго контура  рад/с. Существенная разница частот обеспечивает практическую автономность контуров.

Рис. 3.10 . Частотные характеристики контуров стабилизации маятника

(кривые 1 и 2) и каретки (кривые 3 и 4) до и после синтеза

 

Заметим, что синтез проводился без оптимизации процессов («на глазок»). Можно предположить, что оптимизация процедуры позволило бы несколько повысить быстродействие системы.

Анализ завершим исследованием системы 'pendulum_freq', образованной нелинейным объектом и двумя линейными регуляторами (рис. 3.11).

Линеаризация системы дает те же собственные значения:

>> [af,bf,cf,df]=linmod2('pendulum_freq');

>> eig(af)

 -890.06          

 -97.09          

 -10.52 + 8.29i

 -10.52 – 8.29i

 -1.35          

 -0.47  

Многократным компьютерным моделированием можно оценить область притяжения положения равновесия системы. Нелинейная система имеет устойчивое положение равновесия при максимальном отклонении маятника от верхнего положения в 1 рад и максимальном отклонении каретки 0.9 м. На рис. 3.12  и рис. 3.13 приведены соответствующие переходные процессы

>> plot(t,x)

>> hold on

>> plot(t,theta)

Большой разброс собственных значений приводит к сильно различающимся по темпу процессам стабилизации маятника и каретки.

Рис. 3.11. Нелинейная система 'pendulum_freq', образованная двумя регуляторами

Рис. 3.12. Переходные процессы в нелинейной системе при максимальном отклонении маятника 1 рад и нулевом положении каретки

Рис. 3.13. Переходные процессы в системе при максимальном отклонении

каретки 0.9 м  и верхнем положении маятника

Такого результата ранее не удавалось получить другими методами ― области притяжения положения равновесия синтезированных систем оказывались значительно меньшими.

Свойство неполной наблюдаемости маятника на каретке по выходу ― угловому положению маятника позволило реализовать декомпозицию процедуры синтеза. Вначале синтезируется стабилизирующая обратная связь для маятника, после чего находится регулятор положения каретки. Ограничения, обеспечивающие условия приближенной автономности подсистем стабилизации маятника и каретки, естественным образом учитываются благодаря частотному подходу. Важнейшей особенностью частотного подхода является естественный учет динамики объекта (нескорректированного контура) при выборе желаемого поведения, т. е. желаемой частотной характеристики. Применение развитых компьютерных программ позволяет устранить ограничения классических частотных методик, так как легко контролируется возможность компенсации нулей и полюсов.


4. СИНТЕЗ АЛГОРИТМА ЦИФРОФОГО УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Модели систем цифрового управления непрерывными объектами

Задачи синтеза дискретных систем управления имеют те же постановки, что и соответствующие задачи синтеза по непрерывным моделям. Вместе с тем, необходимо учитывать особенности моделей систем цифрового управления непрерывными объектами.

Дискретизация времени и квантование уровней сигналов в большинстве современных систем управления обусловлена применением цифровых управляющих устройств. На рис. 4.1 изображена принципиальная схема системы цифрового управления непрерывным объектом. Выделены аналого-цифровой АЦП и цифроаналоговый ЦАП преобразователи, реализующие операции дискретизации и континуализации сигналов. Как правило, АЦП совмещает измерительные (информационные), а ЦАП — исполнительные (энергетические) функции в системе управления.

   Рис. 4.1. Схема системы цифрового управления непрерывным объектом

Аналого-цифровые преобразователи содержат квантизаторы уровня, в которых число уровней определяется длиной машинного слова. Если мощность множества значений сигнала велика, как это бывает в современных компьютерах, то квантованием уровня в большинстве случаев моделирования можно пренебречь.

Рассмотрим задачу построения математических моделей отдельных элементов и системы в целом.

Динамика непрерывного объекта описывается дифференциальными уравнениями. Если ограничиться классом линейных стационарных моделей с сосредоточенными параметрами, объект будет описан обыкновенными линейными дифференциальными уравнениям с постоянными коэффициентами или в форме передаточной функции , равной отношению изображений по Лапласу переменных выхода  и входа  объекта при нулевых начальных условиях.

Пусть цифровое управляющее устройство УУ реализует алгоритм управления, описываемый в виде дискретной передаточной функции , равной отношению - изображений  и , где   изображение ошибки системы.

Таким образом, модель системы (см. рис. 4.2) оказывается неоднородной (гибридной), так как она образована разнородными элементами, а переносимая между ними информация кодируется различными типами сигналов: аналоговыми    и с дискретным временем  . Разнородные элементы взаимодействуют между собой с помощью интерфейса, роль которого играют АЦП и ЦАП (см. рис. 4.1).

Рис. 4.2. Структурная схема системы цифрового управления

Пренебрегая эффектом квантования уровня, примем, что моделью АЦП является так называемый «ключ», который периодически замыкается на пренебрежимо малое (по сравнению со скоростью изменения переменной) время (рис. 4.3, а). Период замыкания обозначают  (англ. – sampling time). Ключ позволяет получать информацию о переменной ошибки в равноотстоящие моменты времени  .

  1.           а                                                                 б

Рис. 4.3. Примеры графических изображений: дискретизатор времени непрерывного сигнала («ключ») (а); фиксирующее устройство (б)

Другая часть интерфейса   ЦАП представляет собой экстраполятор или формирующее устройство. Его назначение по определенному закону предсказывать значения функции  до поступления на вход новой информации. Простейший и часто применяемый тип формирующего устройства экстраполятор нулевого порядка или фиксатор сохраняет постоянное значение сигнала:

.

Сигнал на выходе фиксатора (см. рис. 4.3, б), обозначаемого как , имеет вид ступенчатой функции непрерывного времени.

Таким образом, дискретизацию времени осуществляет «ключ», а континуализацию — фиксирующее устройство (экстраполятор), условные изображения которых приведены на рис. 4.3. Эти элементы имеют дополнительные входы для периодических сигналов от таймера (см. рис. 4.1); на рис. 4.3, а рядом с ключом записан символ ТS – период замыкания ключа. Работа формирующего устройства в гибридных моделях обычно должна быть синхронизирована с работой ключа.


4.2. Компьютерное моделирование систем с цифровыми

управляющими устройствами

Для анализа и синтеза систем управления по неоднородным моделям не применимы расчетные методы, базирующиеся на аналитических методах решения уравнений динамики. Здесь возможности, как правило, ограничиваются компьютерной имитацией. На этом примере задание дискретной передаточной функции дополняется указанием периода дискретизации времени c.

Рис. 4.4. Модель системы цифрового управления в среде MATLAB/ Simulink

Следует обратить внимание на то, что выход блока Discrete Transfer Fcn, реализующего дискретную передаточную функцию, непосредственно подается на вход блока Transfer Fcn, имитирующего непрерывную передаточную функцию. Это возможно, если блок Discrete Transfer Fcn реализован в окружении интерфейса (рис. 4.5). При конкретизации содержания этого блока необходимо дополнительно указать время дискретизации . Сигнал на выходе блока имеет вид ступенчатой функции непрерывного времени, как и положено для фиксатора.

Рис. 4.5. Схема реализации блока Discrete Transfer Fcn

 

Несмотря на широкие возможности современных программ имитации динамических систем, этот универсальный метод анализа конкретных систем плохо приспособлен для вывода суждений общего характера о поведении систем. Решение задач синтеза с помощью многократной имитации становится весьма трудоемким при значительной исходной неопределенности.


4.3. Однородные модели цифровых систем управления

Возникает необходимость в поиске путей применения расчетных, аналитических методов исследования. Однако последние разработаны для линейных однородных моделей непрерывных или дискретных, т. е. не могут непосредственно применяться к гибридным моделям. Таким образом, становится актуальной задача построения эквивалентных однородных моделей гибридных систем. Построение однородных моделей означает исключение всех других типов переменных кроме одного.

4.3.1. Дискретные модели систем цифрового управления

Для построения эквивалентной однородной модели с дискретным временем необходимо исключить переменные непрерывного времени  в последовательности преобразований, представленной на рис. 4.2. В результате замены последовательности из трех элементов – фиксатора, непрерывного объекта и ключа – получится дискретная модель объекта в виде разностных уравнений. Модель системы окажется однородной – дискретной во времени, представленной, например, в форме разностных уравнений. Дискретизации непрерывных моделей посвящено большое количество работ.

Рассмотрим кратко один из методов дискретизации линейной системы, дифференциальные уравнения которой представлены в форме пространства состояний:

.

Ее решение имеет вид:

.                           (4.1)

Поскольку на входе непрерывной системы стоит фиксатор, входная переменная остается постоянной от момента  до момента , т. е. на интервале времени между моментами замыкания ключа. Полагаем, что работа фиксатора синхронизирована с работой ключа. Примем за начало и конец отсчета моменты  и ; тогда решение (4.1) запишется так:

.

После замены переменной интегрирования

получим разностное уравнение в форме пространства состояний:

,

где:

                            (4.2)

Как известно, функция от квадратной матрицы представляет собой матрицу того же размера. Ее собственные значения связаны с собственными значениями матрицы-аргумента той же функциональной зависимостью. Следовательно, собственные значения матрицы состояний дискретной системы связаны с собственными значениями матрицы непрерывной системы так:

.                                                    (4.3)

На рис. 4.6 изображены комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем.

Рис. 4.6. Плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем

В программе MATLAB/Control System Toolbox процедура дискретизации линейных моделей (класса LTILinear Time-Invariant) выполняется по команде c2d. Можно выбрать методы, предполагающие наличие фиксатора нулевого порядка на входе, метод Тастина и др.  

В результате дискретизации объекта получим однородную дискретную модель замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 4.7.

Если для примера передаточная функция непрерывного объекта равна

,

то в результате дискретизации времени с периодом с получим дискретную передаточную функцию

.

Рис. 4.7. Однородная дискретная модель цифровой системы управления

По отношению к однородной дискретной модели могут быть применены соответствующие методы анализа и синтеза.

4.3.2. Непрерывные модели цифровых систем управления

Если учесть, что современные контроллеры являются быстродействующими и обладают большой точностью представления уровней сигналов, для большинства технологических процессов можно пренебречь как дискретизацией времени, так и квантованием уровня. В такой ситуации цифровое управляющее устройство изначально моделируется как непрерывная система, а однородная модель в форме дифференциальных уравнений вполне адекватно описывает поведение всей системы управления.

Необходимо подчеркнуть, что гибридные и однородные модели эквивалентны только при конкретизации свойств сигналов. В общем случае переход к однородным моделям путем игнорирования явлений дискретизации времени и квантования уровня сопровождается сокращением области адекватности моделей. В каждом конкретном случае следует количественно и качественно оценивать влияние этого эффекта на возможность объяснения поведения системы.

Рассмотрим ситуацию, когда необходимо учитывать специфику поведения цифровой системы или заранее нет уверенности в том, что эффект дискретизации времени не оказывает существенного влияния на процессы управления. В этом случае построение эквивалентной непрерывной модели связано с расчетами, сопровождающими исключение некоторых переменных.

Рассмотрим гибридную систему, изображенную на рис. 4.2. Для построения эквивалентной однородной непрерывной модели необходимо исключить переменные дискретного времени . Иногда такая процедура называется континуализацией, либо построением модели, ориентированной на объект. В результате получают эквивалентную непрерывную модель контроллера в форме дифференциального уравнения, описывающего причинно-следственную связь непрерывных переменных . Система окажется однородной непрерывной и будет описываться дифференциальными уравнениями.

Пусть имеем разностные уравнения цифрового управляющего устройства в форме пространства состояний:

.

Процедура континуализации является обратной по отношению к процедуре дискретизации. Матрицы дифференциального уравнения в форме пространства состояний

могут быть получены из соотношений:

Разработаны различные методы и соответствующие алгоритмы континуализации. В программе MATLAB/Control System Toolbox процедура континуализации линейных моделей (класса LTILinear Time-Invariant) выполняется по команде d2c. Можно выбрать методы, предполагающие наличие фиксатора первого порядка, метод Тастина и др.  

Если собственные значения дискретной системы являются действительными отрицательными, то не существует соответствующей непрерывной системы того же порядка. Формально это следует из того, что не существует логарифма отрицательных действительных чисел. Действительно, составляющая движений дискретной системы (мода), определяемая отрицательным собственным значением, является знакопеременной. В непрерывных системах моды, определяемые действительными собственными значениями, сохраняют знак.

Отметим, что команда d2c программы MATLAB/Control System Toolbox в случае действительного отрицательного собственного значения дискретной системы предлагает непрерывную систему более высокого порядка с комплексными собственными значениями.

Континуализация дискретного контроллера дает однородную непрерывную модель замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Однородная непрерывная модель цифровой системы управления

Если для примера дискретная передаточная функция

описывает дискретный алгоритм для периода дискретизации с, то  

передаточная функция непрерывного регулятора равна:

.


4.4. Способы синтеза алгоритмов цифрового управления

Алгоритмы цифрового управления непрерывными объектами можно

синтезировать двумя способами как это иллюстрируется на рис. 4.9:

  •  дискретизация аналогового регулятора;
  •  синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта.

4.4.1. Дискретизация аналогового регулятора

 

Основным вопросом при дискретизации непрерывных регуляторов является значение периода дискретизации. На выбор периода дискретизации влияют динамика объекта и требования к процессам в синтезируемой системе, область адекватности моделей по частоте, а также условия технической реализации. Слишком большой период будет означать потерю информации о состоянии объекта и запоздалое оказание на объект управляющих воздействий. Слишком малый период затрудняет решение проблем реализации алгоритмов, а также вызывает вычислительные проблемы. Выбор сколь угодно малого периода дискретизации теоретически не означает стремление к переходу от разностного уравнения к дифференциальному.

В соответствии с теоремой Котельникова – Шеннона частота дискретизации сигнала  должна быть больше удвоенной максимальной частоты в спектре непрерывного периодического сигнала .

Рис. 4.9. Способы синтеза алгоритмов цифрового управления

Отсюда получим

.

Поскольку на этапе синтеза не известна максимальная частота процессов, можно ориентироваться на модули желаемых собственных значений. Например, можно положить, что

.

Сигналы в контуре управления не являются периодическими,  поэтому эту частоту необходимо увеличить, т. е. уменьшить период дискретизации. За ориентировочное значение периода дискретизации можно принять

.

В дальнейшем полученное значение необходимо уточнять при анализе замкнутой системы.

Пример дискретизации аналогового регулятора системы стабилизации маятника на каретке рассмотрен в 4.6.


4.4.2. Синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта.

Метод размещения собственных значений

Регулятор состояния дискретной системы не отличается от непрерывного случая, так как регуляторы состояния являются статическими.

Процедура синтеза регулятора состояния для дискретного случая отличается только выбором желаемых собственных значений. Их необходимо назначать в единичном круге — в области устойчивости дискретных систем. При выборе желаемых собственных значений можно руководствоваться несколькими соображениями.

Во-первых, можно потребовать схожести дискретных процессов с процессами в аналоговой системе. Тогда желаемые собственные значения дискретной системы являются отображениями желаемых собственных значений непрерывной системы в соответствии с формулой (4.3). Соответствующие команды:

>>q=exp(p*Ts)

>>qo=exp(po*Ts)

Далее находятся матрицы коэффициентов регулятора состояния и наблюдателя

>>Kd=place(Ad,Bd,q)

>>Ld=place(Ad’,Cd’,qo)’

а также динамический дискретный регулятор

>>[Ard,Brd,Crd,Drd]=dreg(Ad,Bd,Cd,Dd,Kd,Ld);

>>dregulator=ss(Ard,Brd,Crd,Drd,Ts);

 Во-вторых, можно попробовать синтезировать систему с конечным временем затухания процессов. Для этого желаемые собственные значения выбираются равными нулю.


4.4.3. Аналитическое конструирование дискретных регуляторов

Линейно-квадратичный регулятор для дискретной системы

минимизирует функционал

,

где: v — вектор состояния; u — скалярное управление; Q — неотрицательно-определенная весовая матрица; r — весовой коэффициент. Безусловная экстремаль  функционала отвечает желаемому поведению и зависит от выбора весовых коэффициентов.

Матрица регулятора состояния

,

обеспечивающая условный минимум функционала, находится так

>>[K,S,E]=dlqr(Ad,Bd,Q,r) 

Программа возвращает коэффициенты регулятора K, матрицу решения уравнения Риккати S и собственные значения системы E.

 Может оказаться целесообразным синтез дискретного регулятора состояния для непрерывного объекта

>>[Kd,S,e]=lqrd(A,B,Q,r,Ts)

обеспечивающего в системе процессы, подобные процессам в непрерывной системе.


4.5. Дискретизация аналогового регулятора

4.5.1. Дискретизация аналогового регулятора,  полученного методом пространства состояний

Проведем дискретизацию регулятора, полученного методом пространства состояний по заданным собственным значениям

 -30.0000

 -27.0000

 -24.0000

 -21.0000

 -10.0000

   -9.0000

   -8.0000

   -7.0000

Дискретизация требует выбора периода . Поскольку при синтезе не известна максимальная частота процессов, будем ориентироваться на максимальный по модулю собственное значение, т. е. примем рад/с. Так как процессы в системе  не являются периодическими, увеличим максимальную частоту в десять раз и получим оценочное значение периода дискретизации

с.

Но дискретизация непрерывного регулятора для периода с дает неустойчивую систему.

Выберем период дискретизации с и подвергнем дискретизации объект и регулятор

>> dplant1=c2d(plant,0.001);

>> dregulator1=c2d(regulator1,0.001);

Замкнем систему

>> dsysc1=feedback(dplant1,dregulator1);

и вычислим модули ее собственных значений

>> abs(eig(dsysc1))

   0.9957

   0.9957

   0.9965

   0.9965

   0.9948

   0.9948

   0.9844

   0.9094

Видим, что они принадлежат единичному кругу, а значит, дискретная линейная система устойчива.

Проведем компьютерное моделирование системы «нелинейный непрерывный объект+линейный дискретный регулятор», как показано на рис. 4.10.  

Рис. 4.10. Процессы в системе с регулятором, полученным дискретизацией

аналогового регулятора для с

 

Построим графики процессов при максимальном отклонении маятника от верхнего положения равновесия на 0.35 рад. 

>> plot(t,y)

которые приведены на рис. 4.11.  При отклонениях, превышающих это значение, линейный дискретный регулятор не способен стабилизировать маятник на каретке.

Рис. 4.11 . Процессы в системе с дискретным регулятором

при отклонении маятника 0.35 рад

Интересно отметить, что непрерывный регулятор обеспечивает устойчивые процессы при несколько меньшем значении максимального отклонения маятника 0.34 рад (см. рис. 3.4). Процессы в непрерывной системе также худшего качества.

4.5.2. Дискретизация аналогового регулятора,  полученного методом АКР


4.5.3. Дискретизация аналогового регулятора,

полученного операторным методом

Система, синтезированная операторным методом, оказывается весьма чувствительной к дискретизации времени. Покажем это на примере стабилизации маятника на каретке (см. 3). Для избежания ошибок округления коэффициенты регулятора назначим непосредственно из решения системы уравнений.

C =

        0         0         0  -98.0000         0         0         0

        0         0         0         0  -98.0000         0         0

 -58.8000         0         0    2.5000         0  -98.0000         0

        0  -58.8000         0         0    2.5000         0  -98.0000

   1.0000         0  -58.8000         0         0    2.5000         0

        0    1.0000         0         0         0         0    2.5000

        0         0    1.0000         0         0         0         0

>> a=[6.2705 63.9056 221.4175 341.4710 260.0493 156.9853 16.8247]';

>> R=C\a

R =

 1.0e+003 *

  -2.5100

  -0.3315

   0.0168

  -0.0001

  -0.0007

   1.5037

   0.1954

>> den=[1 R(3) R(2) R(1)];

>> num=[R(7) R(6) R(5) R(4)];

>> regulator=tf(num,den)

 Выберем малый период дискретизации и получим дискретные модели объекта и регулятора

>> dplant3=c2d(plant,0.0001);

>> dregulator3=c2d(regulator3,0.0001);

и вычислим передаточную функцию замкнутой системы

>> dsysc3=feedback(dplant3,dregulator3);

ее собственные значения

>> z=eig(dsysc3)

1.0086          

  1.0043 + 0.0084i

  1.0043 - 0.0084i

  0.9945 + 0.0104i

  0.9945 - 0.0104i

  0.9867 + 0.0045i

  0.9867 - 0.0045i

находятся вне единичного круга — дискретная линейная система не устойчива. Можно убедиться, что дальнейшее уменьшение периода дискретизации не дает положительного результата.


4.5.4. Дискретизация аналоговых регуляторов,

полученных частотным методом

В 3.3 предложена процедура синтеза системы стабилизации перевернутого маятника на каретке частотным методом с использованием приема декомпозиции. В результате построена двухконтурная (двухуровневая) система (см. рис. 3.11), обеспечивающая наибольшую область притяжения положения равновесия (см. рис. 3.12 и рис. 3.13).

Реализуем дискретный вариант регуляторов. Для быстрого контура регулирования положения маятника примем период дискретизации времени 0.001 с:

>> reg1=tf([1/20 1],[1/1000 1]);

>> dreg1=c2d(reg1,0.001)

50 z - 49.37

------------

z - 0.3679

Sampling time: 0.001

Для второго контура стабилизации каретки выбран регулятор с несколько отличающимися от непрерывного прототипа параметрами:

>> reg3=tf([10 1],[0.1 1])

10 s + 1

---------

0.1 s + 1

 Подвергнем его дискретизации; для медленного контура стабилизации каретки период дискретизации может быть выбран равным 0.1 с. Как показано в 3.3, частота среза первого и второго контуров отличаются примерно в 100 раз.

>> dreg3=c2d(reg3,0.1)

100 z - 99.37

-------------

z - 0.3679

Sampling time: 0.1

 

Таким образом, получим систему цифрового управления непрерывным объектом, где контроллеры работают с периодами дискретизации, различающимися в 100 раз. Модель системы pendulum_freq_discr приводится на рис. 4.12.

4.12. Модель ‘‘pendulum_freq_discr 

На рис. 4.13 показаны результаты компьютерной имитации при начальных отклонениях маятника 0.3 рад и каретки 1 м.

Рис.4.13. Процессы в системе с дискретными регуляторами


4.6. Синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта

Подвергнем линейную модель объекта дискретизации для периода с. В случае дискретизации аналогового регулятора, построенного методом пространства состояний, такой период оказался недопустимо большим.

>> Ts=0.01;

>> dplant=c2d(plant,Ts);

Собственные значения дискретного объекта

>> eig(dplant)

   1.0000

   1.0000

   1.0797

   0.9262

связаны с собственными значениями непрерывного объекта

>> eig(plant)

        0

        0

   7.6681

  -7.6681

следующим соотношением

,

где — собственные значения непрерывной и дискретной систем. Известно, что собственные значения матриц связаны тем же функциональным соотношением, что и матрицы

,

где  и  — матрицы состояний дискретного и непрерывного объектов.

Как видно из расположения собственных значений, дискретный объект также неустойчив — двукратное собственное значение на единичной окружности и одно — вне единичного круга.

Дискретизация не приводит к потере управляемости объекта:

>> [Ad,Bd,Cd,Dd]=ssdata(dplant);

>> rank(ctrb(Ad,Bd))

ans =

    4

Дискретный регулятор будем синтезировать методом пространства состояний по заданным собственным значениям системы. Желаемые собственные значения выберем так, чтобы процессы в дискретной системе не слишком отличались от соответствующих процессов в непрерывных системах.

При синтезе непрерывной системы были назначены следующие значения

p =

   -1

   -2

   -4

   -7

Теперь вычислим собственные значения дискретной системы по команде

>> q=exp(p*Ts)

   0.9900

   0.9802

   0.9608

   0.9324

Матрица коэффициентов регулятора состояний дискретной системы вычисляется так

>> Kd=place(Ad,Bd,q)

Kd =

  -0.5327  -11.9367   -1.6167   -1.0110

Аналогично назначим собственные значения дискретного наблюдателя. Для непрерывного наблюдателя они были следующими:

po =

   -5

  -10

  -20

  -35

Для дискретного наблюдателя их вычислим

>> qo=exp(po*Ts)

   0.9512

   0.9048

   0.8187

   0.7047

Они принадлежат единичному кругу, но дальше от границы устойчивости (имеют меньшие модули), что должно обеспечивать быстрейшее затухание процессов в наблюдателе. Матрицу наблюдателя вычислим так:

>> Ld=place(Ad',Cd',qo)'

   0.6264

 -27.2384

-206.0671

  12.9491

Дискретный динамический регулятор объединяет регулятор состояния и наблюдатель; его матрицы вычисляются по команде

>> [Ard,Brd,Crd,Drd]=dreg(Ad,Bd,Cd,Dd,Kd,Ld);

>> ddregulator=ss(Ard,Brd,Crd,Drd,0.01);

Последний аргумент команды декларирует период дискретизации.

 Анализ по линейным дискретным моделям предполагает проверку собственных значений замкнутой системы

>> dsysc=feedback(dplant,ddregulator);

>> abs(eig(dsysc))

   0.4756

   0.9104

   0.9104

   0.9900

   0.9802

   0.9608

   0.9477

   0.9324

Можно заметить, что замкнутая система имеет в точности назначенные при синтезе регулятора собственные значения, но собственные значения наблюдателя несколько иные.

Проведем компьютерную имитацию системы «нелинейный непрерывный объект+дискретный линейный регулятор» с целью оценки максимальных отклонений (рис. 4.14).

Получен положительный результат, заключающийся в том, что по сравнению с дискретизацией аналогового регулятора синтез по дискретной модели объекта дает желаемый результат для периода дискретизации времени в десять раз больше.

Попытаемся увеличить периода дискретизации до 0.1 с и повторим процедуры анализа и синтеза.

>> Ts=0.1;

>> dplant=c2d(plant,Ts);

>> abs(eig(dplant))

   1.0000

   1.0000

   2.1529

   0.4645

Рис. 4.14.  Процессы в системе «нелинейный непрерывный объект+дискретный линейный регулятор» с (по дискретной модели объекта) рад

 

Расположение собственных значений относительно единичного круга сохраняется. Проверим, является ли дискретный объект управляемым

>> [ad,bd,cd,dd]=ssdata(dplant);

>> rank(ctrb(ad,bd))

    4

Дискретизация также сохранила свойство полной управляемости объекта.

Выберем желаемые собственные значения, опираясь на аналоговый прототип — отобразим их по известной формуле:

>>p =[-1 -2 -4 -7]’;

>> q=exp(p*Ts)

   0.9048

   0.8187

   0.6703

   0.4966

Коэффициенты регулятора состояния равны

>> Kd=place(ad,bd,q)

  -0.2782   -9.3391   -1.2541   -0.5438

Анализ устойчивости по линейной модели дает те же значения

>> abs(eig(ad-bd*Kd))

   0.4966

   0.6703

   0.8187

   0.9048

 

Синтез наблюдателя:

>>po =[-5 -10 -20 -35]’;

>> qo=exp(po*Ts)

qo =

   0.6065

   0.3679

   0.1353

   0.0302

Матрицу дискретного наблюдателя вычислим по команде

>> Ld=place(ad',cd',qo)';

Динамический дискретный регулятор

>> [Ard,Brd,Crd,Drd]=dreg(ad,bd,cd,dd,Kd,Ld);

> ddregulator=ss(Ard,Brd,Crd,Drd);

Укажем период дискретизации

>> ddregulator.Ts;

и вычислим собственные значения дискретной замкнутой системы с динамическим регулятором

>> dsysc=feedback(dplant,ddregulator);

>> abs(eig(dsysc))

  6.7923

   0.8855

   0.8855

   0.9048

   0.8187

   0.6703

   0.4966

   0.4651

Система не устойчива — одно собственное значение находится вне единичного круга. Таким образом, период дискретизации с оказывается недопустимо большим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26479. Морфофункциональная характеристика мякиша 32 KB
  Морфофункциональная характеристика мякиша МЯКИШИ torus – упругие утолщения кожного покрова которые служат для опоры конечности о землю и обеспечивает амортизацию обладают большой чувствительностью осязание имеют хорошо развитый подкожный слой липоциты эласт. волокна располагаются на автоподиях Лошадь запястье пальмарно заплюсна плантарно каштаны пясть плюсна – шоры пальцевый мякиш стрелка внутри копыта Собака на грудной – запястные пястные пальцевые на тазовой – плюсневые пальцевые Свинья КРС...
26480. СПЛАНХНОЛОГИЯ 24.5 KB
  Внутренние органы оъединяют в 3 аппарата: пищеварительный: система органов пищеварения пищеварительный канал пищеварительные железы вспомогательный аппарат жевательные мышцы челюсти зубы мышцы брюшного пресса и т. дыхательный: система органов дыхания дыхательные пути – носовая полость глотка гортань трахея органы дыхания – лёгкие вспомогательный аппарат органы дыхыхательной распираторики – грудная клетка диафрагма мышцы брюшного пресса мочеполовой: почки мочевыводящие...
26481. МЫШЦЫ ГРУДНОЙ КЛЕТКИ 39.5 KB
  cerratus dorsalis craniflis i caudalis e поверхностная мышцы прикрывает мускулатуру позвоночного столба лежит дорсально в области холки в области поясницы закрепление различно у разных видов = инспиратор слабо развит у КРС экспираторнаиболее хорошо выражен у лошади и собаки иннервация – венральные ветви спинномозговых нервов межрёберные закрепляется широким апоневрозом на остистых отростках грудных позвонков 58 поясничных позвонков 15 закрепляются зубцами на верхней трети и теле рёбер Л – 512 КРС – 58...
26483. ГОЛОВНОЙ МОЗГ (ENCEPHALON) – высший отдел ЦНС 40 KB
  С дорсальной поверхности располагается ромбовидная ямка дно Iv мозгового желудочка – vixii пара ЧМН С вентральной поверхности – 2 пирамидальных пути tractus pyramidalis lateralis et medialis – соединяют кору ГМ и СМ Впереди – трапециевидное тело corpus trapecioideus тройничный нерв подъязычный XII пара – каудально перекрещивающиеся пиромидальные пути функции продолговатого мозга : центр сердечнососудистой деятельности и дыхания центр защитных рефлексов рвота понос слезоотделение чихание кашель центр пищеварительной...
26484. Распорядительная документация. Подготовка и оформление приказов 40.5 KB
  Основанием для издания приказа являются: нормативные документы государственных или муниципальных органов; решения совета директоров общих собраний акционеров; производственная необходимость. Подготовка приказа включает следующее: изучения существа вопроса; сбор необходимых сведений; подготовка проекта приказа; согласование проекта; подписание руководителем. Приказы оформляются на общем бланке предприятия или на бланке приказа. Датой приказа является дата его подписания руководителем.
26485. Справочно-информационная документация. Справка. Виды справок 44 KB
  Справки бывают двух основных видов: справки подтверждающие работу учебу оплату труда место проживания и т. составляемые по запросам граждан; справки по производственным вопросам составляемые по запросу руководства. Справки по запросам граждан работников выдает руководство организации с указанием специальности должности квалификации периода работы и размера заработной платы ст. Справки по запросам граждан работников как правило оформляются на бланках справок формата А5 имеющих адресные данные предприятия и трафаретный...
26486. Современное деловое письмо. Виды и оформление служебного письма 881.5 KB
  Виды и оформление служебного письма.д По содержанию и назначению письма могут быть: инструкционные содержащие указания и разъяснения подведомственным организациям; гарантийные дающие гарантии выполнения какихлибо обязательств оплаты сроков и т.; информационные содержащие полезную для адресата информацию а также просьбы напоминания предложения; рекламные рекламирующие товары и услуги; коммерческие содержащие конкретные предложения по заключению сделок; рекламационные содержащие претензии по качеству товаров или услуг;...
26487. Особенности оформления писем, предаваемых электронной почтой 49 KB
  Особенности оформления писем предаваемых электронной почтой. Напомним вначале что электронным письмом называют документ передаваемый по каналам электронной почты. Адрес в системе электронной почты состоит из имени электронного почтового ящика которое обычно совпадает с регистрационным именем пользователя и домена который описывает место компьютер или локальную систему где этот электронный ящик на ходится. В целом требования к оформлению текста документов посылаемых электронной почтой аналогичны нормам изложенным в главе 3 п.