40103

СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Построение компьютерной модели с целью имитации движений, а также применение методов теории управления упрощается, если исходные уравнения привести к форме Коши. Для этого разрешим исходные уравнения относительно старших производных. Заметим, что старшие производные входят в уравнение линейно, что позволяет представить уравнения в матричной форме

Русский

2013-10-15

13.61 MB

16 чел.

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»

кафедра АПУ

Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине “Теория управления”

СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

 Выполнили:  Золотарев А.Р.

Миненков Д.В.

гр. 4322             

Проверил:      Имаев Д.Х.       

каф. АПУ         

Санкт-Петербург

2007

Содержание

Введение

1. Перевернутый маятник как объект управления

1.1. Описание объекта

1.2. Математические модели объекта управления

1.2.1. Нелинейные дифференциальные уравнения

 1.2.2. Линеаризованные дифференциальные уравнения

2. Анализ объекта управления

2.1.Компьютерная имитация объекта

2.2. Линеаризация моделей

2.3. Анализ устойчивости положения равновесия

2.4. Анализ управляемости и наблюдаемости объекта

2.5. Передаточная функция линеаризованного объекта

3. Синтез регулятора

3.1. Синтез регулятора состояния

3.2. Синтез наблюдателя состояния

3.3. Динамический регулятор

3.4. Анализ замкнутой системы

3.4.1. Расчетный анализ

3.4.2. Компьютерная имитация нелинейной системы

4. Синтез дискретного регулятора

4.1. Дискретизация непрерывного регулятора

4.2. Синтез дискретного регулятора

4.3. Анализ замкнутой системы

Заключение

Список используемой литературы

3

4

4

5

5

7

7

8

8

8

8

9

11

11

11

12

13

13

13

15

15

20

22

24

25

Введение

Предметом курсового проектирования является синтез алгоритмов управляющего устройства, предназначенного для стабилизации механического объекта – перевернутого маятника на подвижной каретке.

 

Целью курсового проектирования является освоение методов анализа, синтеза и компьютерной имитации непрерывных и дискретных динамических систем управления.

 

Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи:

 

  1.  Составить нелинейную математическую модель объекта и верифицировать её путем компьютерной имитации.
  2.  Провести анализ устойчивости, управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели.
  3.  Синтезировать регулятор состояния.
  4.  Синтезировать наблюдателя состояний и динамический регулятор.
  5.  Оценить размеры области притяжения положения равновесия системы, образованной нелинейным объектом и линейным регулятором.
  6.  Построить дискретный регулятор по непрерывному прототипу и провести анализ системы, образованной непрерывным нелинейным объектом и линейным дискретным регулятором.
  7.  Синтезировать дискретный регулятор на базе линейной дискретной модели объекта и провести анализ замкнутой системы.

Синтез систем управления проводиться методом пространства состояний [1]

Анализ объекта и систем управления по линеаризованным моделям проводиться с помощью программы MATLAB®/ControlSystemToolbox фирмы

The MathWorks, Inc.

Компьютерная имитация нелинейных моделей проводится с помощью программы MATLAB® Simulink.

Для оформления пояснительной записки использован текстовый редактор Microsoft Word. Рисунки выполнены с помощью программы MS Paint  и InkScape.


1. ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Описание объекта

Механический объект представляет собой перевернутый маятник на каретке (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Механический объект

Система имеет две степени свободы – поступательное движение каретки и вращательное движение маятника. На рисунке приняты следующие обозначения:

 M – масса каретки, кг;

 mмасса маятника, кг;

 l – длина маятника, м;

 Θ – угол отклонения маятника, рад;

 х –положение каретки, м;

 f – сила, приложенная к каретке, Н.

Целью управления являеться стабилизация маятника в верхнем положении равновесия и каретки в положении 0 (Θ=0, х=0). Управляющее воздействие – сила  f.

Для заданного варианта курсового проекта примем следующие значения параметров:

m = 1 кг;

l = 1 м;

M = 4 кг.

1.2. Математические модели объекта управления

1.2.1. Нелинейные дифференциальные уравнения

Примем следующие упрощения – сосредоточенность масс, отсутствие трения, сопротивления среды. Математическая модель может быть получена аналитически и представляется в форме двух нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

;

.

Построение компьютерной модели с целью имитации движений, а также применение методов теории управления упрощается, если исходные уравнения привести к форме Коши. Для этого разрешим исходные уравнения относительно старших производных. Заметим, что старшие производные входят в уравнение линейно, что позволяет представить уравнения в матричной форме:

.

Система имеет решение, если определитель не тождественен нулю:

Воспользуемся правилом Крамера:

;

.

Уравнения в форме Коши примут вид:

Состояние объекта характеризуется вектором (   ).

1.2.2. Линеаризованные дифференциальные уравнения

Рассмотрим объект относительно следующего состояния (0 0 0 0). Целью управления является стабилизация этого положения равновесия.

Пусть отклонения переменных объекта от рассматриваемого положения равновесия малы, тогда     Тогда получаем линеаризованные уравнения в форме Коши:

Учтём  конкретное значение параметров:

Запишем уравнения в матричной форме:

Получили линеаризованное уравнение в форме пространства состояний:

Матрицы и  имеют вид:

                        


2. АНАЛИЗ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Компьютерная имитация объекта

Структурное представление моделей в среде программы Matlab/Simulink изображено на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Модель объекта в среде программы MATLAB/Simulink

Проведем исследование модели при различных начальных условиях (рис 2.2).

 

 

 

 

Рис. 2.1. Поведение модели при различных начальных условиях. Синяя кривая – положения маятника, зеленая – положение каретки

2.2 Линеаризация моделей

Применение аналитических методов расчета возможно для линейных моделей. Проведем линеаризацию исходной нелинейной модели в предположении о малых отклонениях  от состояния (0 0 0 0). Линеаризация выполняется автоматически по команде

[A, B, C, D]= linmod2('kyps1')

A =     0         0         0    1.0000

        0         0    1.0000         0

        0   12.2625         0         0

        0   -2.4525         0         0

B =      0

        0

  -0.2500

   0.2500

C =     1     0     0     0

D =     0

В результате выполнения этой команды мы получили модель объекта в форме пространства состояний.

2.3 Анализ устойчивости положения равновесия

В соответствии с первым методом Ляпунова устойчивостью положения равновесия в “малом” отклонении является устойчивость линеаризованной системы. Как известно, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы А имели отрицательные действительные части. Вычислим собственные значения матрицы А по команде eig(A):

ans =    0

        0

   3.5018

  -3.5018

Имеется один правый действительный корень, следовательно рассматриваемое положение равновесия объекта неустойчиво.

Для стабилизации маятника в верхнем положении равновесия необходимо создать систему управления. Известно, что переместить собственные значения объекта можно только охватив его обратной связью.

2.4 Анализ управляемости и наблюдаемости объекта

Для анализа управляемости и наблюдаемости воспользуемся критерием Калмана, который сводиться к проверке ранга матриц управляемости и наблюдаемости.

Матрица управляемости находиться по команде

U = ctrb (A, B)

U =      0    0.2500         0    0.6131

        0   -0.2500         0   -3.0656

  -0.2500         0   -3.0656         0

   0.2500         0    0.6131         0

Проверим ранг матрицы управляемости командой

rank (U)

ans = 4

 Матрица имеет полный ранг (невырожденная), следовательно, объект по этому входу (воздействие на каретку) полностью управляем.

Составим матрицу наблюдаемости с помощью команды

V = obsv (A,C)

V = 1.0000         0         0         0

        0         0         0    1.0000

        0   -2.4525         0         0

        0         0   -2.4525         0

Проверим ранг этой матрицы:

rank (V)

ans = 4

Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно объект наблюдается полностью по этому входу.

2.5 Передаточная функция линеаризованного объекта

Получим передаточную функцию объекта по команде:

[num, den]=ss2tf(A, B, C ,D)

num =     0    0.0000    0.2500   -0.0000   -2.4525

den =1.0000    0.0000  -12.2625         0         0

printsys (num, den)

num/den =

4.4409e-016 s^3 + 0.25 s^2 - 6.1062e-015 s - 2.4525

---------------------------------------------------

s^4 + 4.4409e-016 s^3 - 12.2625 s^2

Исчезающие малые коэффициенты числителя и знаменателя появляются из-за неточной линеаризации исходной нелинейной модели. Вручную определим коэффициенты числителя и знаменателя:

num1 = [0.25 0 -2.4525]

den1 = [1 0 -12.2625 0 0]

obj = tf(num1, den1)

Получаем:

Transfer function:

0.25 s^2 - 2.453

------------------

s^4 - 12.26 s^2

По передаточной функции объекта получим матрицы модели в форме пространства состояний: 

[A1, B1, C1, D1] = ssdata (obj)

A1 =     0    3.0656         0         0

   4.0000         0         0         0

        0    2.0000         0         0

        0         0    2.0000         0

B1 =0.5000

        0

        0

        0

C1 =     0    0.1250         0   -0.3066

D1 =     0

Из сопоставления А1,В1,С1,D1 следует, что они различные. Это является следствием того, что переход от передаточной функции к форме пространства состояний не является однозначным, а осуществляется с точностью до невырожденного преобразования матрицы состояния.

Вычислим нули и полюсы передаточной функции объекта.

zpk(obj)

Zero/pole/gain:

0.25 (s-3.132) (s+3.132)

--------------------------

 s^2 (s-3.502) (s+3.502)

Получили так называемую факторизованную форму передаточной функции – числитель и знаменатель разложены на линейные множители. Нет одинаковых нулей и полюсов.

 3. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА

3.1. Синтез регулятора состояния

Регулятор состояния представляет собой устройство, реализующее отрицательную обратную связь по всем компонентам вектора состояния. Матрица состояния замкнутой системы A-Bk должна иметь желаемые собственные значения, что обеспечивается надлежащим выбором матрицы регулятора k.

Для синтеза регулятора воспользуемся методом размещения собственных значений, мод. Назначим следующие собственные значения замкнутой системы:

p = [-1 -2 -3 -4]'

Матрицу регулятора найдем по команде:

k = place (A, B, p)

k = -9.7859 -198.8359  -60.3874  -20.3874

Проверим собственные значения замкнутой системы:

eig(A - B * k)

ans = -4.0000

   -3.0000

   -2.0000

   -1.0000

Замкнутая система имеет желаемые собственные значения , т.е. синтез регулятора состояния проведен корректно.

3.2. Синтез наблюдателя состояния

Регулятор состояния предполагает измерение всех составляющих вектора состояния. В нашем примере непосредственно измеряется только положение каретки, а остальные компоненты вектора состояния необходимо вычислять с помощью устройства, называемого наблюдателем состояния.

Задача синтеза наблюдателя состояния имеет решения, если объект наблюдаем.

Наблюдатель состояния представляет собой быстродействующую следящую систему с обратной связью и позволяющей асимптотически оценивать вектор состояния.

Задача синтеза наблюдателя является дуальной по отношению к задаче синтеза регулятора состояний. Решим эту задачу тем же методом размещения собственных значений.

Введем следующие собственные значения наблюдателя:

po = [-8 -10 -12 -14]'

Матрица обратной связи наблюдателя получается по команде:

L = place (A',C',po)'

L =

 1.0e+003 *

   0.0440

  -2.3011

  -9.1214

   0.7283

На рисунке  3.1 изображена схема системы управления

Рис. 3.1. Схема системы управления

3.3. Динамический регулятор

Динамический регулятор представляет собой объединение регулятора состояния и наблюдателя состояния. Матрица динамического регулятора вычисляется по команде:

[Ar, Br, Cr, Dr] = reg (A, B, C, D, k, L)

Ar =1.0e+003 *

  -0.0440         0         0    0.0010

   2.3011         0    0.0010         0

   9.1190   -0.0374   -0.0151   -0.0051

  -0.7258    0.0473    0.0151    0.0051

Br =1.0e+003 *

   0.0440

  -2.3011

  -9.1214

   0.7283

Cr = -9.7859 -198.8359  -60.3874  -20.3874

Dr = 0

Проверим устойчивость самого регулятора:

eig(Ar)

ans = -47.7585 +55.0254i

-47.7585 -55.0254i

44.6489          

-3.1319

Оказалось, что регулятор сам является неустойчивым динамическим звеном. Вместе с тем, замкнутая система, образованная неустойчивым объектом и неустойчивым регулятором, является устойчивой системой, причем имеет желаемое собственное значение.

[numr, denr] = ss2tf(Ar, Br, Cr, Dr)

regulator = tf (numr, denr)

 

Transfer function:

9.931e005 s^3 + 3.395e006 s^2 - 3.24e005 s - 1.315e005

-------------------------------------------------------

  s^4 + 54 s^3 + 1203 s^2 - 2.338e005 s - 7.424e005

3.4. Анализ замкнутой системы

3.4.1 Расчетный анализ

Расчетный анализ проведем по линейным моделям. Получим матрицы замкнутой системы.

obj = ss(A, B, C, D)

system = feedback(obj, regulator)

[As, Bs, Cs, Ds] = ssdata(system)

Проверим собственные значения системы:

eig(As)

ans = -14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

-1.0000

-2.0000

-4.0000

-3.0000

Замкнутая система имеет назначенные собственные значения.

3.4.2 Компьютерная имитация нелинейной системы.

Подключим линейный динамический регулятор к нелинейному объекту, как это показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Система с динамическим регулятором

Прежде всего убедимся в том, что положение равновесия устойчиво при малых отклонениях. Для этого подвергнем линеаризации замкнутую систему:

[Ac1, Bc1, Cc1, Dc1]=linmod2('kyps2')

Вычислим собственные значения:

eig(Ac1)

ans = -14.0000

-12.0000

-10.0000

-8.0000

-1.0000

-2.0000

-4.0000

-3.0000

Получены желаемые собственные значения. Положение равновесия устойчиво. Оценим максимальные отклонении маятника  и положения каретки , при которых положение равновесия устойчиво, т.е. процессы сходятся. На рис. 3.3 показаны переходные процессы, а – при отклонении каретки , б – при отклонении маятника

а

б

Рис. 3.3. Переходные процессы в системе с регулятором. Синяя кривая – положения маятника, зеленая – положение каретки, а – при отклонении каретки , б – при отклонении маятника

4. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО РЕГУЛЯТОРА

Дискретный регулятор может быть получен двумя способами (рис. 4.0.): дискретизацией непрерывного регулятора и синтезом дискретного регулятора по дискретной модели. В этом разделе представлены оба способа.

Рис. 4.0. Способы получения дискретного регулятора

4.1. Дискретизация непрерывного регулятора

Основным вопросом при дискретизации непрерывного регулятора является выбор периода дискретизации .  Необходимо разрешить противоречие между следующими требованиями:

  1.  слишком малые значения  усложняют техническую реализацию.
  2.  слишком большие – приводят к недопустимой потере информации, в результате чего замкнутая система может оказаться неустойчивой, хотя в непрерывной системе существовала область устойчивости.

Период дискретизации выбирается путем приближения. Для выбора начального значения можно воспользоваться теоремой Котельникова-Шеннона, которая утверждает, что частота дискретизации должна быть в два раза выше максимальной частоты в спектре сигнала.  Спектр сигналов, циркулирующих в контуре регулирования, определяется максимальными по модулю собственными значениями, которые были назначены при синтезе. Примем, что максимальная частота в спектре сигналов в 10 раз выше максимального модуля собственных значений. В нашем случае это  - максимальное собственное значение умножить на 10. Для нахождения периода дискретизации возьмем частоту, увеличенную в два раза:

.

Проведем дискретизацию полученного ранее непрерывного регулятора по команде:

[Ard, Brd, Crd, Drd] = c2dm(Ar, Br, Cr, Dr, T)

Ard =    0.1318   -0.0065   -0.0021    0.0124

27.6701    0.8804   -0.0188    0.3528

77.7434   -0.9900    0.6228    1.0583

-42.9546   -0.7949   -0.2537    0.7507

Brd =    0.8686

 -27.6637

 -77.7639

  43.0087

Crd =   -9.7859 -198.8359  -60.3874  -20.3874

Drd =   0

Полученные матрицы отвечают разностным уравнениям дискретного регулятора в форме пространства состояний:

Проведем расчетный анализ дискретной системы, изображенной на рис 4.1

Рис. 4.1. Линейная модель дискретной системы

Получим дискретную модель объекта из непрерывной модели командой:

[Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm (A,B,C,D,T)

Ad =   1.0000   -0.0005   -0.0000    0.0200

        0    1.0025    0.0200         0

        0    0.2455    1.0025         0

        0   -0.0491   -0.0005    1.0000

Bd =      0.0001

-0.0001

-0.0050

 0.0050

Cd =     1     0     0     0

Dd =     0

Вычислим матрицу замкнутой дискретной системы:

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

Вычислим собственные значения системы:

abs(eig (Acd))

ans =    1.6076

   1.6076

   0.1058

   1.1914

   1.0627

   0.9946

   0.9392

   0.9348

Замкнутая дискретная система оказалась неустойчивой. Причиной этого может быть слишком большой . Чтобы проверить это уменьшим  в десять раз.

T = 0.002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans =       0.8185

   1.0449

   1.0449

   1.0117

   1.0059

   0.9991

   0.9937

   0.9930

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить  в десять раз.

T = 0.0002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans =       0.9807

   1.0042

   1.0042

   1.0012

   1.0006

   0.9999

   0.9994

   0.9993

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить  в десять раз.

T = 0.00002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans =       0.9981

   1.0004

   1.0004

   1.0001

   1.0001

   1.0000

   0.9999

   0.9999

Система вновь оказалась неустойчивой. Попробуем уменьшить  в десять раз.

T = 0.000002;

[Ard,Brd,Crd,Drd]=c2dm(Ar,Br,Cr,Dr,T);

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T);

[Acd,Bcd,Ccd,Dcd]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard,Brd,Crd,Drd);

abs(eig(Acd))

ans =       0.9998

   1.0000

   1.0000

   1.0000

   1.0000

   1.0000

   1.0000

   1.0000

Система стала устойчивой, однако возможны проблемы с последующей реализацией дискретного регулятора.

[numrd1,denrd1]=ss2tf(Ard,Brd,Crd,Drd);

dreg1=tf(numrd1,denrd1)

Transfer function:

1.986 s^3 - 5.958 s^2 + 5.958 s - 1.986

-----------------------------------------------

 s^4 - 4 s^3 + 6 s^2 - 4 s + 0.9999

Замкнутая дискретная система в линейном приближении оказалась устойчивой при периоде дискретизации .

Проведем имитационное исследование модели, образованной нелинейным непрерывным объектом  и  линейным  дискретным  регулятором для оценки размеров области притяжения (Рис 4.2).

Рис. 4.2. Гибридная модель системы

Экспериментально удалось установить, что регулятор не способен стабилизировать объект при отклонении маятника даже . Переходные процессы при этом показаны на рис. 4.3.а. На рис. 4.3.б увеличен отрезок стартового поведения системы.

Рис. 4.3.а. Переходные процессы в системе с регулятором при .

Рис. 4.3.б. Переходные процессы в системе с регулятором при .

Из графиков видно, что мы не смогли дискретизировать непрерывный регулятор, поэтому попробуем провести синтез дискретного регулятора.

4.2. Синтез дискретного регулятора

Проведем синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта, которую получим для периода дискретизации .

Дискретизацию объекта проведем по команде:

[Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm(A,B,C,D,T);

Проведем анализ устойчивости дискретного объекта:

abs(eig(Ad))

ans =       1.0000

   1.0000

   1.0070

   0.9930

Полученные собственные значения матрицы Ad  связаны с собственными значениями матрицы непрерывной модели А следующим соотношением:

, т.к. Аd=.

Проверим это:

r=eig(A)

z=exp(r*0.002)

z =           1.0000

   1.0000

   1.0070

   0.9930

Действительно, получены те же самые собственные значения.

Дискретный объект является неустойчивым, необходимо синтезировать регулятор. Выберем ту же методику размещения собственных значений.

Основным вопросом является выбор желаемых собственных значений. Здесь можно рассмотреть два подхода:

1. стремление к аналогии с непрерывной системой;

2. назначение нулевых собственных значений для получения процессов с конечным временем затухания.

Убедимся в том, что дискретная модель наблюдаема и управляема:

U = ctrb(Ad,Bd)

U =  1.0e-007 *

   0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

  -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  -0.5000   -0.5000   -0.5000   -0.5000

   0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

V=obsv(Ad,Cd)

V =          1.0000         0         0         0

   1.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000

   1.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000

   1.0000   -0.0000   -0.0000    0.0000

rank(U)

ans =     3

rank(V)

ans =     3

Матрицы управляемости  U и наблюдаемости V имеют неполный ранг, значит,  дискретный объект не полностью управляем и наблюдаем.

Попробуем назначить желаемые собственные значения при синтезе регулятора состояния  из условия получения процессов похожих на процессы в непрерывной системе и посмотрим, сможем ли мы стабилизировать объект:

p=[-1 -2 -3 -4]';

z=exp(p*0.002)

z =          0.9980

   0.9960

   0.9940

   0.9920

Вычислим матрицу регулятора состояний:

kd=place(Ad,Bd,z)

kd =  1.0e+016 *

  -9.6937   -9.6937   -0.0020   -0.0020

Поскольку измеряется только положение каретки , необходимо синтезировать наблюдатель состояния:

po = [-8 -10 -12 -14]';

zo = exp(po*0.002);

Ld = place(Ad', Cd', zo)'

??? Error using ==> place

Can't place eigenvalues there.

Видимо, MATLAB не может найти решения уравнения Ad-Cd*Ld=zo.

Попробуем подтвердить наши догадки:

Ld = acker(Ad', Cd', zo)'

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

        Results may be inaccurate.

Ld =  1.0e+013 *

   0.0000

  -0.0000

  -1.0489

   0.0000

Очевидно, что система будет неустойчивой. Подтвердим это, проведя синтез до конца.

Вычислим матрицу динамического дискретного регулятора:

[Ard1,Brd1,Crd1,Drd1]=dreg(Ad,Bd,Cd,Dd,kd,Ld)

Ard1 =  1.0e+019 *

   0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

  -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  -1.2536   -0.0000   -0.0000   -0.0000

   1.2536    0.0000    0.0000    0.0000

Brd1 =  1.0e+019 *

  -0.0000

   0.0000

   1.2536

  -1.2536

Crd1 =  1.0e+026 *

  -2.5073   -0.0000   -0.0000   -0.0000

Drd1 =  2.5073e+026

4.3. Анализ замкнутой системы

Вычислим матрицы системы разностных уравнений в форме пространства состояний:

[Ard1,Brd1,Crd1,Drd1]=feedback(Ad,Bd,Cd,Dd,Ard1,Brd1,Crd1,Drd1);

abs(eig(Ard1))

ans =  1.0e+004 *

   2.5690

   2.5686

   0.0003

   0.0001

   0.0000

   0.0000

   0.0001

   0.0001

Система явно неустойчива – покажем это на графиках:

[numrd2,denrd2]=ss2tf(Ard1,Brd1,Crd1,Drd1);

Рис. 4.4. Гибридная модель системы

При симуляции получаем ошибку (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Ошибка системы MATLAB/Simulink

Таким образом, полученная нами система не только неустойчива, но и не реализуема на практике, т.к. даже не может быть промоделирована с использованием текущих технических средств.


Заключение

В результате курсового проектирования на базе нелинейной модели объекта в форме системы дифференциальных уравнений четвертого порядка получена линеаризованная модель объекта, которая позволила провести анализ устойчивости положения равновесия, анализ управляемости и наблюдаемости. Сделан вывод о необходимости синтеза регулятора, стабилизирующего неустойчивое положение маятника на каретке. По линейной непрерывной модели объекта, полученной для малых отклонений от положения равновесия, с помощью метода размещения собственных значений синтезирован регулятор состояния. Для реализации динамического регулятора был также синтезирован наблюдатель состояний. В результате была получена  система, состоящая из нелинейного объекта и регулятора, не позволяющего стабилизировать систему даже при небольших ее отклонениях от положения равновесия.

Для реализации дискретного регулятора было использовано два способа: дискретизация непрерывного регулятора и синтез дискретного регулятора на основе дискретной линеаризованной модели объекта. На основе анализа результатов была подтверждена эквивалентность этих способов. Т.к. ни одним из них стабилизировать объект не получилось.

При синтезе дискретного регулятора, мы пытались уменьшить период дискретизации, чтобы повысить устойчивость объекта. Снизив период дискретизации до

T=0.000002;

[Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm(A,B,C,D,T);

abs(eig(Ad))

ans =       1.0000

   1.0000

   1.0000

   1.0000,  мы добились того, что объект стал находится на границе устойчивости. Но реализация такого регулятора сложна и бессмысленна, т.к. объект неуправляем и не наблюдаем.

Задачи, поставленные в курсовом проекте не решены, что позволяет говорить о том, что цель проекта не достигнута.


Список используемой литературы

  1.  С. Е. Душин, Н. С. Зотов, Д. Х. Имаев, Н. Н. Кузьмин, В. Б. Яковлев “Теория автоматического управления”.- М.:Высшая школа, 2003
  2.  “MATLAB Help” 1994-2006 The MathWorks, Inc.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58517. ВОЕННЫЕ ПОХОДЫ ФАРАОНОВ 33.5 KB
  ЗАДАЧИ: образовательные изучить причины характер и последствия военных походов фараонов Древнего Египта научить распознавать интересы различных общественных групп; развивающие продолжить формирование умений работать с исторической картой...
58518. Пилявецька битва 34 KB
  Мета: Дидактична: формувати початкові знання та елементарн уявлення про Пилявецьку битву; навчати сприймати історичний текст, вибирати в тексті основне; розвивати читацькі навички; розвивати вміння користуватись історичними картами.
58519. Причини і початок Французької революції 58.5 KB
  Охарактеризуйте економічний розвиток Франції напередодні революції. Охарактеризуйте королівську владу у Франції. Визначте роль третього стану в соціальноекономічному і політичному житті Франції.
58520. Встановлення Якобінської диктатури 57 KB
  прихід якобінців до влади; 24 червня 1793 р. прихід до влади термідоріанців; 1795–1799 рр. перехід влади до трьох консулів. Вивчення нового матеріалу Організація влади якобінців.
58521. ІV Універсал Центральної Ради. Проголошення незалежності УНР 79 KB
  Перед зовнішньою агресією УЦР виявилася фактично беззбройною. Більшість із них заплатили власним життям за недалекоглядну політику лідерів УЦР але нічого змінити не змогли. Керівники УЦР були змушені переглянути свої погляди на статус України і відмовившись від гасел автономії у складі рівноправної федерації...
58522. Запровадження радянської влади в Україні 78 KB
  Мета: навчальна охарактеризувати політику воєнного комунізму в Україні; розповісти про червоний терор повстанський рух Н. наступ денікінців в Україні денікінський режим; серпень 1919 р. Стара назва якою радянська влада в Україні прикривалася в 1918 р.
58523. конспект Позакласного заходу з історії студенткипрактикантки V курсу 51 групи факультету історії та пр. 48 KB
  Мета: навчальна: розширити знання учнів з історії Першої світової війни; детальніше розкрити події Першої світової війни. Обладнання: роздатковий матеріал афоризми про історію зображення подій і діячів Першої світової війни...
58524. УРОК КАК ОСНОВНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ИНФОРМАТИКЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ УРОКОВ ПО ИНФОРМАТИКЕ. ДИДАКТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ УРОКОВ ИНФОРМАТИКИ 31 KB
  Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися по всем предметам в средней школе является урок. Преподавание основ информатики и вычислительной техники без сомнения наследует все дидактическое богатство накопленное школой...