40104

Синтез алгоритмов управления нестабильным объектом

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи: 1 – составить нелинейную математическую модель объекта и провести анализ методом компьютерного моделирования; 2 – провести анализ устойчивости управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели; 3 – синтезировать регулятор состояния методом размещения собственных значений [2]; 4 – синтезировать наблюдатель состояний и динамический регулятор; 5 – оценить размеры области притяжения положения равновесия нелинейной системы с непрерывным регулятором; 6 – построить...

Русский

2013-10-15

449.5 KB

19 чел.

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский Государственный  Электротехнический

Университет «ЛЭТИ» им. Ульянаова Ленина

(СПБЭТУ)

Факультет КТИ

Кафедра АПУ

КУРСОВАЯ РАБОТА (ПРОЕКТ)

По дисциплине: Основы Теории Управления

На тему: Синтез алгоритмов управления нестабильным объектом

Выполнили:  Ли Игорь                                                           Проверил:

                      Кугушев Александр                                         Проф. Д. Х. Имаев

                      Афонин Павел

Факультет:     КТИ

Группа:          6361  

Санкт - Петербург

2009

Введение

Предметом курсового проектирования является синтез алгоритмов управляющих устройств, предназначенных для стабилизации механического объекта – перевернутого маятника на каретке.

Целью курсового проектирования является освоение методов анализа, синтеза и компьютерного моделирования нелинейных систем с помощью программ MATLAB\Simulink и MATLAB\Control System Toolbox фирмы The MathWorks, Inc [1].

Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи:

1 – составить нелинейную математическую модель объекта и провести анализ методом компьютерного моделирования;

2 – провести анализ устойчивости, управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели;

3 – синтезировать регулятор состояния методом размещения собственных значений [2];

4 – синтезировать наблюдатель состояний и динамический регулятор;

5 – оценить размеры области притяжения положения равновесия нелинейной системы с непрерывным регулятором;

6 – построить дискретный регулятор по непрерывному прототипу и провести анализ системы, образованной нелинейным непрерывным объектом и дискретным регулятором;

7 – синтезировать дискретный регулятор по дискретной модели объекта и оценить размеры области притяжения полученной системы.

Для оформления пояснительной записки использована программа  Microsoft Word 2003 [3]. Для оформления иллюстративного материала использована программа Paint.

        

  1.  Неустойчивый механический объект управления

  1.  Описание объекта управления (ОУ)

На рис.1.1 изображена принципиальная схема неустойчивого механического объекта – перевернутого маятника на каретке.

Рис.1.1. Принципиальная схема перевернутого маятника на каретке

На рис. 1.1 приняты следующие обозначения параметров:

  •  m – масса маятника, кг;
  •  M – масса каретки, кг;
  •  l – длина маятника, м;

а также переменных:

  •  (t) – угол отклонения маятника, рад;
  •  x(t) – положение каретки, м;
  •  f(t) – сила, действующая на каретку, кг*м/сек2.

Рис 1.1 можно интерпретировать как символьную модель, представленную на языке механики. Рассматриваемый механический объект имеет две степени свободы – вращательное движение маятника и поступательное движение каретки. Управление таким объектом осложняется тем обстоятельством, что имеется только одно управляющее воздействие – сила  f(t), приложенная к каретке. Кроме того, можно измерять только положение каретки, и нет датчиков угла маятника.

1.2. Математическая модель объекта управления

Примем следующие допущения:

- массы сосредоточены;

- отсутствует сопротивление среды;

- отсутствует трение.

С учётом этих упрощений можно записать уравнение баланса моментов, действующих на маятник:

,

и баланса сил, действующих на каретку:

.

В результате получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка.

Анализ объекта и его компьютерное моделирование упрощаются, если дифференциальные уравнения разрешены относительно старших производных. Заметим, что вторые производные в исходные уравнения входят линейно. С учетом этого, приведем уравнения к матричной форме:

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера. Прежде всего, проверим существование и единственность решения – вычислим определитель матрицы:

.

Решение:

;

Теперь легко записать уравнения в форме Коши:

;

;

;

.

1.3. Линеаризация дифференциальных уравнений объекта управления

Будем рассматривать малые отклонения переменных  и ; тогда:

С учётом сказанного, получим линейные уравнения:

Запишем линейную систему в матричной форме с использованием вектора состояний -  

Получена линейная модель в так называемой форме пространства состояний

(ФПС– State Space):

ФПС является стандартом для анализа систем типа LTILinear Time-Invariant.

2. Анализ объекта управления

2.1. Компьютерное моделирование

 

Исходные нелинейные дифференциальные уравнения нельзя решить аналитическим способом. Поэтому используют численные решения при конкретных начальных условиях и внешних воздействиях. Для автоматизации численных решений разработаны программные средства; далее будем использовать программу MATLAB/Simulink фирмы The MathWorks Inc.

 На рис. 2.1 представлена схема моделей объекта – программа на языке графического редактора Simulink.

Рис. 2.1. Схема модели объекта – программа на языке графического редактора Simulink

 

Параметры:

l = 1 м;

m = 0.1 кг;

M = 0. 8кг.

Проведем серию компьютерных экспериментов при следующих начальных условиях:

   - положение равновесия;

а)  - отклонение маятника на 1 рад;

б)  - отклонение скорости маятника на 1 рад/сек;

в)  - отклонение каретки на 1 м;

г)  - отклонение скорости каретки на 1 м/сек.

.            

                                         a)                                                                      b)

                        

                                        c)                                                                      d)

Рис. 2.2. Поведение объекта управления при различных начальных условиях:

а)  - отклонение маятника на 1 рад;

б)  - отклонение скорости маятника на 1 рад/сек;

в)  - отклонение каретки на 1 м;

г)  - отклонение скорости каретки на 1 м/сек.

2.2 Линеаризация компьютерной модели

Проведём автоматическую линеаризацию компьютерной модели (см. рис. 2.1) для малых отклонений переменных   и .

Получена четвёрка матриц системы линейных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний.

,

где:  - абстрактный вектор состояний.

Сопоставляя структуру матриц, полученных вручную (см. 1.3) и полученных по команде linmod2, можно заметить отличие в расположении элементов. Это объясняется

разницей нумерации переменных. Необходимо установить соответствие между абстрактным и физическим векторами состояний:

Для линейных моделей разработано большое количество методов, алгоритмов и программ анализа и синтеза систем управления. Будем пользоваться программой MATLAB\Control System Toolbox.

   

2.3 Анализ устойчивости положения равновесия объекта управления

Ляпунов показал, что об устойчивости “в малом” положении равновесия можно судить по линеаризованным уравнениям. Уравнением устойчивости является:

, где  - собственные значения матрицы A (корни его характеристического полинома), i = 1,2,3,4. Вычислим собственные значения матрицы A с помощью команды:

Видим, что имеется одно “правое” значение, что говорит о неустойчивости положения равновесия. Это отвечает нашим представлениям о поведении объекта и результатам компьютерного моделирования. Необходимо создать систему автоматической стабилизации объекта.

  1.  Синтез регуляторов.

3.1 Регулятор состояния.

Пусть измеряются все переменные состояния объекта. Тогда алгоритм регулятора запишется так:

На рис. 3.1 изображена структура замкнутой системы. Объект описывается так:

Из уравнений, описывающих объект и регулятор, исключим переменную :

и приведем уравнение к стандартному виду:

,

где: -матрица замкнутой системы.

Задача синтеза заключается в определении матрицы регулятора  из условия, что матрица системы  имеет желаемые собственные значения. Задача имеет решение, если объект управляем. Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости U=:

Матрица управляемости имеет полный ранг, что свидетельствует о полной управляемости объекта. Действуя с силой  на каретку, можно стабилизировать верхнее положение маятника и привести каретку в исходное положение.

Существует произвол в выборе желаемых собственных значений системы. Чем дальше находится от мнимой оси собственное значение, тем быстрее затухают процессы. Однако, требование большего быстродействия означает необходимость приложения чрезмерных усилий на каретку. Назначим собственные значения системы с ориентацией на собственные значения объекта:

Матрицу регулятора, обеспечивающего желаемое расположение собственных значений, найдем по команде:

 

Проведем анализ устойчивости системы:

Замкнутая система имеет желаемое расположение собственных значений.

Проведем следующий вычислительный эксперимент: расположим желаемые собственные значения дальше от мнимой оси:

ближе к мнимой оси:

Видим, что при изменении собственных значений в 10 раз, происходит изменение элементов матрицы регулятора в 1000 раз, что вызовет проблемы технической реализации.

3.2 Синтез наблюдателя состояния.

Регулятор состояния формирует управляющие воздействия на основе текущей информации обо всех переменных состояния. Реально измеряется только положение каретки х. Для вычисления остальных переменных состояния используют так называемый наблюдатель состояния (рис. 3.2)

Рис. 3.2 Система с наблюдателем состояния.

Если наблюдатель устойчив, то процессы затухают, в результате чего состояние модели  приближается к состоянию .

Задача синтеза наблюдателя сводится к поиску матрицы L, и имеет решение, если объект наблюдаем полностью. Наблюдаемость можно проверить по критерию Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости :

Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, объект наблюдаем полностью.

Для синтеза наблюдателя воспользуемся методом размещения собственных значений – назначим собственные значения наблюдателя несколько дальше от мнимой оси в левой полуплоскости.

 

             Матрица наблюдателя L вычисляется по команде:

 

3.3 Динамический регулятор

 Если объединить регулятор состояния и регулятор, то получим динамический регулятор (рис. 3.3)

Рис 3.3 Система с динамическим регулятором.

Уравнения динамического регулятора имеют вид:

;

,

где матрицы вычисляются по команде:

Проверим устойчивость регулятора:

Регулятор неустойчив.

3.4 Анализ системы

3.4.1 Анализ по линейным моделям.

Для анализа получим матрицы системы уравнений замкнутой системы:

 Вычислим собственные значения системы:

 Анализ в линейном плане показывает, что замкнутая система устойчива и имеет желаемые собственные значения.

 

3.4.2 Компьютерное моделирование системы «нелинейный объект + динамический регулятор»

Прежде всего, подключим динамический регулятор к нелинейному объекту:

Рис 3.4 Система «нелинейный объект + динамический регулятор»

Для анализа существования области притяжения положения равновесия, проведём линеаризацию замкнутой системы:

и вычислим собственные значения:

Так как получены те же собственные значения  -  все в порядке.

Оценим размеры области притяжения положения равновесия путём многократных компьютерных экспериментов. В итоге, получим:

рад/с  м

Рис .3.5 Процесс при

\

Рис. 3.6 Процесс при

  1.  Синтез цифровых алгоритмов управления

  1.  Системы цифрового управления

Алгоритм управления в современных системах, как правило, реализуется в цифровых устройствах (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Система цифрового управления.

Для синтеза алгоритмов управления необходимы математические модели. Модель системы строится путем соединения моделей элементов: ОУ (объект управления), ИЭ (измерительный элемент), ИМ (исполнительный механизм) и УУ (управляющее устройство). Модель ОУ в результате линеаризации имеет вид дифференциального уравнения в форме пространства состояний:

Измерительный элемент выдает информацию о состоянии объекта в дискретные моменты времени:

(Ts – период дискретизации)

Модель исполнительного механизма является экстраполятором нулевого порядка (фиксатором).

для

Управляющее устройство описывается разностными уравнениями:

где - ошибка системы.

Модель системы получается соединением моделей элементов (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Модель системы.

Полученная модель является  “гибридной” – она содержит как непрерывные, так и дискретные переменные и элементы.

Задачей проекта является поиск алгоритмов управления и периода дискретизации времени Ts.

  1.  Способы синтеза цифровых управляющих устройств.

Используют два способа синтеза, которые представлены на рис. 4.3:

Рис. 4.3. Два способа синтеза.

Первый способ заключается в дискретизации аналогового прототипа. При втором способе дискретный регулятор синтезируется непосредственно на дискретной модели объекта.

  1.  Дискретизация непрерывного регулятора.

Основным вопросом является выбор периода Ts. Этот период не может быть большим, так как это приводит к потере информации. С другой стороны, слишком малое значение Ts затрудняет техническую реализацию АЦП, ЦАП и УУ. Будем подбирать оптимальное значение Ts путем компьютерного моделирования.

Непрерывный регулятор был получен в разделе 3. В качестве первого приближения выберем Ts = 0.01.

>>dregalator=c2d(regulator,Ts)

Подключим дискретный регулятор к нелинейному объекту и проведем серию экспериментов при различных начальных условиях с целью оценки области притяжения к положению равновесия.

Вывод: дискретный регулятор при выбранном значении Ts (= 0.01) не способен стабилизировать положение равновесия объекта.

Уменьшим Ts в 10 раз и проведем расчеты.

  1.  Синтез цифровых управляющих устройств по дискретной модели объекта.

Как следует из рисунка 4.3, имеется возможность синтеза цифровых регуляторов для дискретных объектов. Для этого проведем дискретизацию линеаризованного объекта и выберем период дискретизации времени Ts = 0.001. Такое значение было выбрано в предыдущем параграфе. Дискретизация объекта выполняется по команде:

>>plant = ss (A, B, C, D)

>>dplant = c2d (plant ,Ts)

 Для синтеза дискретных систем воспользуемся методом размещения собственных значений. Условием устойчивости дискретных систем является: . Это означает принадлежность собственных значений к кругу единичного радиуса с центром в начале координат. Как и в случае непрерывных систем, необходимо назначить желаемые собственные значения в области устойчивости.

Пусть непрерывный объект описывается дифференциальными уравнениями:

Дискретный объект описывается разностными уравнениями:

где , Ts – период дискретизации времени.

Известно, что собственные значения матрицы преобразуются по той же функциональной зависимости , где  - собственные значения матрицы Ad,  - собственные значения матрицы A.

При выборе желаемых собственных значений дискретной системы  будем ориентироваться на собственные значения непрерывной системы.

>>p=[-7.6 -7 -5 -3]

>>z=exp (p*Ts)

 Регулятор состояния находится по команде:

>>Kd=place (Ad, Bd,z)

Поскольку измеряется только положение каретки x, необходимо строить наблюдатель состояния для оценки остальных переменных. Назначим желаемое собственное значение наблюдателя, ориентируясь на непрерывный наблюдатель, синтезируемый ранее.

>>p0=p*5

Найдем собственные значения дискретного наблюдателя:

>>z0=exp (p0*Ts)

и проведем синтез наблюдателя:

>>Ld=place (Ad’, Cd’, z0)’  

 Найдем матрицы дискретного динамического регулятора:

>>[Ard, Brd, Crd, Drd] = dreg (Ad, Bd, Cd, Dd, Kd, Ld)

 Структура линейной дискретной системы изображена на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. Структура линейной дискретной системы.

Проведем анализ устойчивости замкнутой линейной системы.

>>[Ads, Bds, Cds, Dds]=feedback(Ad, Bd, Cd, Dd, Ard, Brd, Crd, Drd);

>>eig(Ads)

>>abs(eig(Ads))

 Дискретная система устойчива и имеет желаемые собственные значения.

Проведем серию компьютерных экспериментов с системой (нелинейный непрерывный объект + линейный дискретный регулятор (рис. 4.5))

Рис. 4.5. система “нелинейный непрерывный объект + линейный дискретный регулятор”.

Рис. 4.6. Процесс при = 0.014.

Рис. 4.7. Процесс при =0.06.

Заключение

В результате курсового проектирования построена математическая модель механического объекта в виде нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, полученных из условий баланса моментов, действующих на маятник и баланса сил, действующих на каретку.

По линеаризованной модели объекта синтезирован динамический регулятор,

обеспечивающий асимптотическую устойчивость при следующих максимальных отклонениях:

маятника: = 0.056 рад;

каретки: = 0.014 м.

В результате дискретизации аналогового регулятора с периодом Ts = 0.001 сек получен дискретный регулятор, обеспечивающий устойчивость при отклонении: маятника на 0.065 рад, каретки – на 0.012 м.

По дискретной модели объекта синтезирован дискретный регулятор, обеспечивающий устойчивость системы при отклонении: маятника на 0.056 рад, каретки – на 0.014 м.

Таким образом, все поставленные задачи решены и достигнута цель курсового проектирования.

Литература

  1.  MATLAB User's Guide. The MathWorks, Inc., Natick, MA 1997.
  2.  Имаев Д.Х. и др. Теория автоматического управления. Москва, Высшая школа 2005.
  3.  Беленький Д.Н., Власенко С.Ю. Microsoft Word 2007. Санкт-Петербург 2002.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5286. Цифровые системы передач 389.5 KB
  Задание на контрольную работу Объединяются 1500 каналов тональной частоты и 7 каналов звукового вещания второго класса в системе с временным разделением каналов и 8-ми разрядной импульсно-кодовой модуляцией. Рассчитать временные и частотные...
5287. Организация обучения работников организаций в области ГО и зашиты от ЧС 125.5 KB
  Организация обучения работников организаций в области ГО и зашиты от ЧС, а также подготовки гражданских организаций гражданской обороны. Планирующие и отчетные документы УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ: 1. Довести до слушателей организацию подготовки должностных лиц и...
5288. Мероприятия и способы повышения устойчивости работы объектов экономики и жизнеобеспечения населения 165 KB
  Мероприятия и способы повышения устойчивости работы объектов экономики и жизнеобеспечения населения УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ: 1. Довести до слушателей сущность организационных, инженерно-технических и социальных мероприятий, направленных на п...
5289. Общие понятия об устойчивости работы объектов экономики и жизнеобеспечения населения 167 KB
  Общие понятия об устойчивости работы объектов экономики и жизнеобеспечения населения. Факторы, влияющие на устойчивость этих объектов УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ: Довести до слушателей содержание, организацию подготовки отраслей и объектов к устойчивому функцио...
5290. Действия руководителей формирований ГО и РСЧС при организации и проведению АСДНР 109.5 KB
  Действия руководителей формирований ГО и РСЧС при организации и проведению АСДНР УЧЕБНЫЕ ЦЕЛИ: Совершенствовать знания и навыки руководителей формирований ГО и РСЧС по организации и проведению АСДНР. ВРЕМЯ...
5291. Защита населения путем эвакуации при чрезвычайных ситуациях 114 KB
  Защита населения путем эвакуации при чрезвычайных ситуациях 1 Изучить с требования руководящих документов по организации, планированию и проведению эвакуационных мероприятий в чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени. Изучить виды о...
5292. Воздействие поражающих факторов ядерного оружия, обычных средств поражения и основных АХОВ на население и объекты 1.4 MB
  Изучить характеристику очага ядерного поражения. Изучить характеристику очагов поражения обычных средств поражения. Ознакомить с воздействием токсичных свойств основных АХОВ на население Место проведения занятия: класс инженерной защиты...
5293. Прогнозирование и оценка инженерной обстановки в интересах подготовки к защите и по защите населения, материальных и культурных ценностей 715 KB
  Изучить сущность прогнозирования обстановки в интересах защиты населения и территорий. Изучить метод прогнозирование инженерной обстановки на территории города при воздействии ядерных средств поражения. Ознакомить с методом прогнозирование...
5294. Организация строительного производства. Проектирование строительных. Генеральных планов 438.5 KB
  Введение Настоящие методические указания определяют состав, содержание, объем, последовательность и методику проектирования строительного генерального плана в курсовом и дипломном проектах по организации строительства. Предлагаемые методические указ...