40105

Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.

Русский

2013-10-15

178 KB

18 чел.

18. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод. (ДСМ)

ДСМ, как и СМ, называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи:

исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса .

Предположим   (1)

и  (2)

Вектор X0, соответствующий АБ может быть недопустимым, так как среди его компонент могут быть отрицательные числа. Вектор X0 называется псевдорешением

Вектор  является допустимым решением двойственной задачи.

Для псевдорешения  можно записать

AX = B

X = A-1B

YTA = CT

YT = CTA-1

Согласно взаимосвязи между значениями целевых функций исходной и двойственной задач ( F(X)  Z(Y) ) для допустимого решения исходной задачи  и допустимого решения двойственной задачи  выполняется

Лемма. Для двух допустимых решений двойственной пары X = (x1, x2, …, xn) и Y = (y1, y2, …, ym) выполняется  F(X)  Z(Y)

ДОК-ВО: ЧТД

Таким образом, если поиск оптимального решения исходной задачи вести путем перехода от одного псевдорешения к другому, то при этом необходимо уменьшать значения целевой функции исходной задачи. Таким образом, основные принципы ДСМ заключаются в том, чтобы:

  1.  каждый раз выполнялось (2)
  2.  значения целевой функции убывало.

Определим выбор разрешающего элемента , удовлетворяющего вышеуказанным принципам. Согласно СМ можно записать:

(3)

Пусть . Вектор , тогда из (3)

Чтобы гарантировать выполнение этого неравенства для должно выполняться .  (4)

Пусть .

Для  условие (3) будет выполняться в силу (2) и (4).

Для  условие (3) представим в виде

, так как , то знак изменится.

надо выбрать из условия  (5)

Установим принцип выбора строки . Для этого воспользуемся 2-м принципом ДСМ. Учитываем

Значение . Чтобы обеспечить это  надо выбрать так, что:

(6)

Алгоритм ДСМ формулируется так:

  1.  Выбираем базис и строим I симплекс-таблицу
  2.  Если все , то решение оптимально, иначе переход к 3.
  3.  Находим строки, где . Если для некоторой выполняется , то система несовместна,

иначе выбирается  (для условности можно выбирать наименьшую отрицательную ).

  1.  Выбираем  j0 согласно (5). Разрешающий элемент
  2.  Строится новая симплекс-таблица и переходим к шагу 2.

В ДСМ, как и в СМ, возможно зацикливание в случае, когда   (7)

В этом случае F не изменит значения при переходе к новому базису. Если зацикливание произошло, то можно изменить номера i0 и j0, то есть изменить выбор разрешающего элемента и продолжить решение. Если (7) не возникает, то зацикливания нет и целевая функция периодически убывает. Если на i-ой итерации произошло убывание целевой функции, то предыдущее базисное решение на последующих итерациях не вычисляется, и за конечное число итераций прекратиться убывание целевой функции, найдено  оптимальное решение.

Случаи, когда удобно применять ДСМ

Применимость ДСМ на практике ограничена тем, что сложно выбрать базис (1), который обеспечивает условие (2).

Укажем случаи, когда выбор базиса не представляет труда.

1) пусть имеется следующая исходная задача:

В этой задаче правые части ограничений могут быть как положительными, так и отрицательными, а все коэффициенты целевой функции .

Перейдем к дополнительным переменным:

В качестве базиса  выберем .

В силу того, что , то

Таким образом, задача подготовлена к применению ДСМ.

2) в некоторых практических задачах можно обнаружить, что найденное решение не отражает действительную ситуацию. Это происходит, когда при построении ЭММ не было учтено некоторое ограничение. Это ограничение должно быть добавлено, и задача должна быть решена заново с учетом этого ограничения. Если ограничение имеет вид неравенства, то удобнее применять ДСМ.

Предположим  – оптимальное решение исходной задачи на max, т.е. все .

Добавляем неравенство:

Вводим дополнительную переменную:

Составим расширенную матрицу полученной системы:

Обозначим строку i через .

Сделаем следующее преобразование последней строки матрицы A по следующей формуле:

В этом случае из  вычитается линейная комбинация . В результате получаем следующую расширенную матрицу:

Каждый столбец A есть вектор Aj, записанный в базисе

Таким образом,  – симплекс-таблица, построенная по методу дополнительных переменных. Надо записать в таблицу  Так как вектор  – базисный и , то  совпадают с оценками заключительной симплекс-таблицы задача готова к применению ДСМ, если при этом .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78368. Система потенциалов национальной экономики 36.08 KB
  Система потенциалов национальной экономики. Виды совокупного экономического потенциала национальной экономики. Национальное богатство часть совокупного экономического потенциала национальной экономики. Совокупный экономический потенциал: понятие и сущность Основным направлением функционирования современной экономики РК ее реформирования является устранение сдерживающих факторов и активизация развития экономики.
78369. Домашние хозяйства, Фирмы и предпринимательство в Казахстане 35.42 KB
  Домашние хозяйства Фирмы и предпринимательство в Казахстане. Домашние хозяйства в экономической системе страны. Домашние хозяйства в экономической системе страны. В системе экономических отношений домашние хозяйства имеют исключительно важное значение поскольку они являются собственниками факторов производства находящихся в частной собственности.
78370. Государство в современном Казахстане и его функции 44.15 KB
  Производство общественных благ. Понятие сущность классификация общественных благ. Специфика потребления общественных благ. Условия эффективного обеспечения общественными благами в национальной экономике.
78371. Кинетика хемостимулированного окисления полупроводников (на примерах кремния и соединений AIIIBV) 29 KB
  Целью данной работы являлось установление механизма хемостимулирующего действия ванадия и его оксида на оксидирование GaAs и InP.
78372. Растровая графика. Растровые представления изображений 163.5 KB
  Количество цветов растрового изображения. Растровые изображения напоминают лист клетчатой бумаги на котором любая клетка закрашена либо черным либо белым цветом образуя в совокупности рисунок. растровая графика описывает изображения с использованием цветных точек пиксели расположенных на сетке. В частности изменение размеров растровой графики может привести к разлохмачиванию краев изображения поскольку пиксели будут перераспределяться на сетке.
78373. Векторная графика. Элементы (объекты) векторной графики. Объекты и их атрибуты 379 KB
  Достоинства и недостатки векторной графики. Элементы объекты векторной графики. Пример векторной графики В отличие от растровой графики в векторной графике изображение строится с помощью математических описаний объектов окружностей и линий. Ключевым моментом векторной графики является то что она использует комбинацию компьютерных команд и математических формул для объекта.
78374. Трехмерная графика. Программные средства обработки трехмерной графики 60 KB
  Вид поверхности определяется расположенной в пространстве сеткой опорных точек. Каждой точке присваивается коэффициент величина которого определяет степень ее влияния на часть поверхности проходящей вблизи точки. От взаимного расположения точек и величины коэффициентов зависит форма и гладкость поверхности в целом.
78375. Лінійні підпростори 492.5 KB
  Познайомити з поняттям лінійної оболонки; познайомити з поняттям лінійного підпростору, навчити знаходити перетинання і суму підпросторів; навчити знаходити базис суми і базис перетинання підпросторів лінійного простору. Лінійні оболонки. Підпростори лінійних просторів. Перетинання і сума підпросторів лінійного простору. Підпростір симетричних і підпростір кососиметричних матриць.
78376. Ознаки ефективної команди. Поняття ефективності програміста в команді 62 KB
  Атмосфера, яку можна відчути або спостерігати, є неформальною, комфортною, релаксуючою (сприяє зняттю напруги). В робочій атмосфері відсутня очевидна напруга, люди залучені і зацікавлені процесом роботи, немає нудьги.