40105

Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.

Русский

2013-10-15

178 KB

14 чел.

18. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод. (ДСМ)

ДСМ, как и СМ, называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи:

исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса .

Предположим   (1)

и  (2)

Вектор X0, соответствующий АБ может быть недопустимым, так как среди его компонент могут быть отрицательные числа. Вектор X0 называется псевдорешением

Вектор  является допустимым решением двойственной задачи.

Для псевдорешения  можно записать

AX = B

X = A-1B

YTA = CT

YT = CTA-1

Согласно взаимосвязи между значениями целевых функций исходной и двойственной задач ( F(X)  Z(Y) ) для допустимого решения исходной задачи  и допустимого решения двойственной задачи  выполняется

Лемма. Для двух допустимых решений двойственной пары X = (x1, x2, …, xn) и Y = (y1, y2, …, ym) выполняется  F(X)  Z(Y)

ДОК-ВО: ЧТД

Таким образом, если поиск оптимального решения исходной задачи вести путем перехода от одного псевдорешения к другому, то при этом необходимо уменьшать значения целевой функции исходной задачи. Таким образом, основные принципы ДСМ заключаются в том, чтобы:

  1.  каждый раз выполнялось (2)
  2.  значения целевой функции убывало.

Определим выбор разрешающего элемента , удовлетворяющего вышеуказанным принципам. Согласно СМ можно записать:

(3)

Пусть . Вектор , тогда из (3)

Чтобы гарантировать выполнение этого неравенства для должно выполняться .  (4)

Пусть .

Для  условие (3) будет выполняться в силу (2) и (4).

Для  условие (3) представим в виде

, так как , то знак изменится.

надо выбрать из условия  (5)

Установим принцип выбора строки . Для этого воспользуемся 2-м принципом ДСМ. Учитываем

Значение . Чтобы обеспечить это  надо выбрать так, что:

(6)

Алгоритм ДСМ формулируется так:

  1.  Выбираем базис и строим I симплекс-таблицу
  2.  Если все , то решение оптимально, иначе переход к 3.
  3.  Находим строки, где . Если для некоторой выполняется , то система несовместна,

иначе выбирается  (для условности можно выбирать наименьшую отрицательную ).

  1.  Выбираем  j0 согласно (5). Разрешающий элемент
  2.  Строится новая симплекс-таблица и переходим к шагу 2.

В ДСМ, как и в СМ, возможно зацикливание в случае, когда   (7)

В этом случае F не изменит значения при переходе к новому базису. Если зацикливание произошло, то можно изменить номера i0 и j0, то есть изменить выбор разрешающего элемента и продолжить решение. Если (7) не возникает, то зацикливания нет и целевая функция периодически убывает. Если на i-ой итерации произошло убывание целевой функции, то предыдущее базисное решение на последующих итерациях не вычисляется, и за конечное число итераций прекратиться убывание целевой функции, найдено  оптимальное решение.

Случаи, когда удобно применять ДСМ

Применимость ДСМ на практике ограничена тем, что сложно выбрать базис (1), который обеспечивает условие (2).

Укажем случаи, когда выбор базиса не представляет труда.

1) пусть имеется следующая исходная задача:

В этой задаче правые части ограничений могут быть как положительными, так и отрицательными, а все коэффициенты целевой функции .

Перейдем к дополнительным переменным:

В качестве базиса  выберем .

В силу того, что , то

Таким образом, задача подготовлена к применению ДСМ.

2) в некоторых практических задачах можно обнаружить, что найденное решение не отражает действительную ситуацию. Это происходит, когда при построении ЭММ не было учтено некоторое ограничение. Это ограничение должно быть добавлено, и задача должна быть решена заново с учетом этого ограничения. Если ограничение имеет вид неравенства, то удобнее применять ДСМ.

Предположим  – оптимальное решение исходной задачи на max, т.е. все .

Добавляем неравенство:

Вводим дополнительную переменную:

Составим расширенную матрицу полученной системы:

Обозначим строку i через .

Сделаем следующее преобразование последней строки матрицы A по следующей формуле:

В этом случае из  вычитается линейная комбинация . В результате получаем следующую расширенную матрицу:

Каждый столбец A есть вектор Aj, записанный в базисе

Таким образом,  – симплекс-таблица, построенная по методу дополнительных переменных. Надо записать в таблицу  Так как вектор  – базисный и , то  совпадают с оценками заключительной симплекс-таблицы задача готова к применению ДСМ, если при этом .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57369. Ознайомлення з дією додавання. Знак «+». Складання прикладів на додавання за предметними малюнками. Написання цифр 33.5 KB
  Мета: вчити учнів складати приклади на додавання; ознайомити зі знаком вчити читати цей знак; формувати вміння обчислювати приклади на додавання записувати приклади в зошит...
57370. Складання прикладів на додавання за малюнками монет. Порівняння чисел. Поняття на, над, під. Порівняння за віком (молодий — старий) 32.5 KB
  Мета: формувати в учнів вміння складати приклади на додавання на основі малюнків; вправляти учнів у засвоєнні результатів додавання в межах 5 на основі складу чисел; розвивати мислення.
57371. Число і цифра 8. Написання цифри 8. Порівняння чисел у межах 8. Послідовність чисел у межах 8. Додавання у випадку трьох доданків 36.5 KB
  Мета: ознайомити з числом і цифрою 8; пояснити утворення числа 8; вчити писати цифру 8; закріплювати нумерацію чисел у межах 8; розвивати логічне мислення вдосконалювати навички усної лічби. Фронтальне опитування Назвати числа від 1 до 7; від 3 до 7; від 1 до 5.
57372. Склад числа 10. Послідовність чисел у межах 10. Складання й розв’язання прикладів на додавання. Написання цифр 32.5 KB
  Мета: показати утворення числа 10 шляхом складання окремих групп предметів закріпити у дітей знання усної нумерації чисел першого десятка формувати навички кількісної та порядкової лічби; розвивати увагу уяву логічне мислення.
57373. Повторення складу числа 10. Складання прикладів за малюнками предметів та монет. Розпізнавання геометричних фігур. Написання цифр 31.5 KB
  Мета: продовжити роботу над формуванням у дітей вміння порівнювати числа в межах 10; закріплювати знання складу числа 10; вдосконалювати навички усної лічби; розвивати логічне мислення. Повторення складу числа 10 На дошці силуети будинків.
57374. Ознайомлення з термінами доданок, сума. Складання прикладів на додавання за числовим відрізком, за малюнком 35.5 KB
  Мета: розкрити зміст дії додавання; ознайомити учнів з компонентами дії додавання доданками сумою; продовжити формування вміння складати приклади на додавання; вдосконалювати навички усної лічби...
57375. Повторення складу чисел 5 і 6. Складання й розв’язання прикладів за малюнками предметів і монет 31 KB
  Назвіть усі числа від 1 до 7. Яке число стоїть за числом 7 Більше воно чи менше 7 Назвіть усі числа менше 7. За яким числом воно стоїть Як утворити число 6 додаючи 1 Порівняйте числа 6 і 7. Порівняйте числа 3 і 5.