40105

Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.

Русский

2013-10-15

178 KB

18 чел.

18. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод. (ДСМ)

ДСМ, как и СМ, называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи:

исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса .

Предположим   (1)

и  (2)

Вектор X0, соответствующий АБ может быть недопустимым, так как среди его компонент могут быть отрицательные числа. Вектор X0 называется псевдорешением

Вектор  является допустимым решением двойственной задачи.

Для псевдорешения  можно записать

AX = B

X = A-1B

YTA = CT

YT = CTA-1

Согласно взаимосвязи между значениями целевых функций исходной и двойственной задач ( F(X)  Z(Y) ) для допустимого решения исходной задачи  и допустимого решения двойственной задачи  выполняется

Лемма. Для двух допустимых решений двойственной пары X = (x1, x2, …, xn) и Y = (y1, y2, …, ym) выполняется  F(X)  Z(Y)

ДОК-ВО: ЧТД

Таким образом, если поиск оптимального решения исходной задачи вести путем перехода от одного псевдорешения к другому, то при этом необходимо уменьшать значения целевой функции исходной задачи. Таким образом, основные принципы ДСМ заключаются в том, чтобы:

  1.  каждый раз выполнялось (2)
  2.  значения целевой функции убывало.

Определим выбор разрешающего элемента , удовлетворяющего вышеуказанным принципам. Согласно СМ можно записать:

(3)

Пусть . Вектор , тогда из (3)

Чтобы гарантировать выполнение этого неравенства для должно выполняться .  (4)

Пусть .

Для  условие (3) будет выполняться в силу (2) и (4).

Для  условие (3) представим в виде

, так как , то знак изменится.

надо выбрать из условия  (5)

Установим принцип выбора строки . Для этого воспользуемся 2-м принципом ДСМ. Учитываем

Значение . Чтобы обеспечить это  надо выбрать так, что:

(6)

Алгоритм ДСМ формулируется так:

  1.  Выбираем базис и строим I симплекс-таблицу
  2.  Если все , то решение оптимально, иначе переход к 3.
  3.  Находим строки, где . Если для некоторой выполняется , то система несовместна,

иначе выбирается  (для условности можно выбирать наименьшую отрицательную ).

  1.  Выбираем  j0 согласно (5). Разрешающий элемент
  2.  Строится новая симплекс-таблица и переходим к шагу 2.

В ДСМ, как и в СМ, возможно зацикливание в случае, когда   (7)

В этом случае F не изменит значения при переходе к новому базису. Если зацикливание произошло, то можно изменить номера i0 и j0, то есть изменить выбор разрешающего элемента и продолжить решение. Если (7) не возникает, то зацикливания нет и целевая функция периодически убывает. Если на i-ой итерации произошло убывание целевой функции, то предыдущее базисное решение на последующих итерациях не вычисляется, и за конечное число итераций прекратиться убывание целевой функции, найдено  оптимальное решение.

Случаи, когда удобно применять ДСМ

Применимость ДСМ на практике ограничена тем, что сложно выбрать базис (1), который обеспечивает условие (2).

Укажем случаи, когда выбор базиса не представляет труда.

1) пусть имеется следующая исходная задача:

В этой задаче правые части ограничений могут быть как положительными, так и отрицательными, а все коэффициенты целевой функции .

Перейдем к дополнительным переменным:

В качестве базиса  выберем .

В силу того, что , то

Таким образом, задача подготовлена к применению ДСМ.

2) в некоторых практических задачах можно обнаружить, что найденное решение не отражает действительную ситуацию. Это происходит, когда при построении ЭММ не было учтено некоторое ограничение. Это ограничение должно быть добавлено, и задача должна быть решена заново с учетом этого ограничения. Если ограничение имеет вид неравенства, то удобнее применять ДСМ.

Предположим  – оптимальное решение исходной задачи на max, т.е. все .

Добавляем неравенство:

Вводим дополнительную переменную:

Составим расширенную матрицу полученной системы:

Обозначим строку i через .

Сделаем следующее преобразование последней строки матрицы A по следующей формуле:

В этом случае из  вычитается линейная комбинация . В результате получаем следующую расширенную матрицу:

Каждый столбец A есть вектор Aj, записанный в базисе

Таким образом,  – симплекс-таблица, построенная по методу дополнительных переменных. Надо записать в таблицу  Так как вектор  – базисный и , то  совпадают с оценками заключительной симплекс-таблицы задача готова к применению ДСМ, если при этом .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

566. Устройство кузова пассажирского вагона 66 KB
  Конструкция кузова пассажирского вагона существенно отличается от кузова грузового вагона. Боковые продольные балки. Пакеты теплоизоляции. Монтаж котла отопления, калориферов, бака для воды и вентиляционного агрегата.
567. Планирование конкурентной цены и рационального объема продаж нового товара 279.5 KB
  Определение исходной цены и объема продаж нового товара. Оценка уровня конкурентоспособного товара по технико-эксплуатационным параметрам. Экспертная оценка предпочтительности товаров по параметрам. Определение диапазона конкурентной цены. Установление окончательной цены и объема продаж. Анализ воздействия ключевых факторов на прибыль.
568. Финансовое планирование и финансовый контроль на предприятиях 86 KB
  Финансовое планирование – это разновидность управленческой деятельности, направленной на определение необходимого объёма финансовых ресурсов, их оптимальное распределение и использование с целью обеспечения финансовой устойчивости хозяйствующего субъекта. Значение и задачи финансового планирования на предприятии.
569. Построение приложений локальных баз данных средствами СУБД Microsoft Access 74.5 KB
  Формирование письма исполнителю (указание выполнить дело, запрос о причинах задержки сроков исполнения). Разработка телефонного справочника. Автоматизация составления расписания. Вывод списка продуктов и сметы для данного блюда на N персон.
570. Исследование и настройка узлов магнитофона 75 KB
  Изучить строение магнитофона и дать оценку его функционированию. Проверка магнитофона произошла успешно, были выявлены неточности и недостатки в работе, но в общем можно сказать, что данный магнитофон пригоден для работы, и может использоваться в домашних условиях.
571. Расчет однопредметной прерывно – поточной производственной линии по обработке детали 866 KB
  Принципы организации производственного процесса. Характеристика прямоточных однопредметных линий с точки зрения основных принципов организации производства. Выбор и обоснование типов производства и вида поточной линии (участка)
572. Особенности демографической ситуации в России 515.5 KB
  Структуры населения: Трудовая, этническая, семейная. Статистика уровня жизни населения и демографическая ситуация в стране. Обобщающие показатели уровня жизни населения. Основные показатели естественного движения населения.
573. Робоче місце оператора комп’ютерного набору. Ергономіка і організація праці 81.5 KB
  Робоче місце – це зона трудової діяльності співробітника, яке оснащене необхідними засобами для виконання посадових обов’язків. Серед канцелярських приладів і спеціального обладнання можна виділити предмети, які найбільш часто використовуються при роботі з документами.
574. Процедура проведення фокус-групи 79 KB
  Метод фокус-груп, або сфокусоване інтерв'ю вперше був використаний соціологами Р.Мертоном і Р. Кендаллом (США) в 1944 г, що випустили підручник Фокусированное інтерв'ю (який і до цього дня залишається основним навчальним посібником).