40108

Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Парная игра с нулевой суммой задается формально матрицей игры – матрицей А = {ij} элементы которой определяют выигрыш первого игрока и проигрыш второго если первый игрок выберет iю стратегию а второй jю стратегию. Пара i0j0 называется седловой точкой матрицы решением игры если выполняются условия: mx по столбцу I игрок min по строке II игрок Значение функции выигрыша в седловой точке называется ценой игры. Тогда выигрыш первого игрока при условии что он выбирает...

Русский

2013-10-15

119.5 KB

24 чел.

23. Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования.

Матричной называют парную игру с нулевой суммой при условии, что каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Парная игра с нулевой суммой задается формально матрицей игры – матрицей А = {aij}, элементы которой определяют выигрыш первого игрока (и проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию, а второй - j-ю стратегию. Пара  (i0,j0) называется седловой точкой матрицы (решением игры), если выполняются условия:  (max по столбцу (I игрок), min по строке (II игрок))

Значение функции выигрыша в седловой точке называется ценой игры.

Седловая точка обеспечивает равновесие в игре, но она существует не всегда (н-р, в 2-х пальцевой игре Морра ее нет). В случае, когда нет седловой точки игрокам не выгодно пользоваться одной и той же стратегией, так как в этом случае противник будет выбирать наилучший для себя вариант. Тогда выбор стратегий должен быть вероятностным – выбор осуществляется случайным образом с определенными вероятностями.

Если обозначить через  вероятности выбора i-ой стратегии первым игроком. При этом:

Сумма равна 1, так как он обязан что-то выбрать, у него нет возможности не выбрать

А через  вероятности выбора j-ой стратегии вторым игроком:

то наборы  и  называются смешанными стратегиями первого и второго игроков соответственно. Смешанная стратегия – это набор вероятностей чистых стратегий.

Тогда выигрыш первого игрока при условии, что он выбирает i-ю стратегию, а второй – j-ю стратегию составит .

Функция выигрыша первого игрока  – мат. ожидание выигрыша первого игрока. Соответственно средний выигрыш второго игрока = –M(x, y)

Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существует   

Решение задачи (нахождение оптимальных смешанных стратегий) заключается в нахождении седловой точки функции M(x, y) на множестве . Оптимальность понимается в том смысле, что набор устраивает игроков, никто не хочет выбирать другие стратегии.

Тогда  и  называются оптимальными смешанными стратегиями игроков. Задачи заключается в нахождении оптимальных смешанных стратегий игроков и цены игры

Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования. (II метод)

Пусть игра определена матрицей   и ценой игры V. По следствию теоремы об оптимальности смешанных стратегий:

Если для смешанных стратегий () и числа V одновременно выполняются (1) и (2), то

– оптимальные стратегии игроков   (m + n неравенств)       (*)

1) Рассмотрим левую часть:

Решение СЛАУ сводится к задаче ЛП.

(1)

2) Рассмотрим правую часть (аналогично):

V меняем на W, так как системы (1)-(2) независимы, поэтому они имеют разные переменные.

(2)

Допустим, решили задачи и получили:

Если в этих решениях последние координаты совпадали бы, то выполнялись бы неравенства:

 

Тогда для каких-то  выполнялось бы следствие теоремы оптимальности.

Покажем двойственность.

Необходимо получить двойственные задачи.

Обозначим

{неравенства (3)-(4) лучше написать в развернутом виде, чтобы была видна двойственность}

  (3)

ЗАМ:

Аналогично для второй задачи:

   (4)

Задачи (3) и (4) – двойственные, т.е. решение одной можно найти из решения другой (в последней симплекс-таблице в строке оценок на местах, соответствующих дополнительным переменным). Значения линейных форм в оптимальной точке совпадут. Поэтому, получив решения , получим

Алгоритм решения:

  1.  по матрице А построить задачи (3) и (4)
  2.  найти решения задач

тогда  – цена игры, оптимальные стратегии игроков:

Преимущества и недостатки метода:

+ сразу получаем решение игры, т.е. не надо переобозначать

+ можно решать игры с любой ценой игры

– больше на 2 переменные

– надо вводить дополнительные переменные, так как


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76691. Судоходные сооружения канала имени Москвы 74.5 KB
  Сооружения канала создают замечательный архитектурный ансамбль; каждый шлюз имеет особый облик. Башни шлюзов имеют завершения в виде декоративных надстроек или скульптур. Крупнейшим сооружением канала имени Москвы является Северный (Химкинский) речной вокзал, построенный по проекту А. М. Рухлядева...
76692. Будова й еволюція всесвіту 57 KB
  Наше Сонце також є рядовою зорею входить до складу нашої Галактики яка у свою чергу включена в Місцеве скупчення галактик. Молочний Шлях який ми бачимо на нічному небі у вигляді сріблястої смуги розсипаних зір становить основну частину нашої Галактики.
76693. Биологическая адаптация человека 151.5 KB
  Целью моей работы является изучение биологических и социальных аспектов адаптации человека ее опосредованный характер. Биологические и социальные аспекты адаптации человека Экология человека или социальная экология это область экологии изучающая взаимодействие человеческого общества и окружающей среды.
76695. История космических иследовании 21 KB
  Освоение космоса, космические исследования относятся к одному из основных направлений научно-технической революции. Рассмотрение этого направления в технико-экономическом аспекте представит определенный интерес для специалистов, разрабатывающих международные программы сотрудничества в области экономики, науки и техники.
76696. Творчість Григорія Сковороди 45.5 KB
  Григорій Савович Сковорода народився 3 грудня 1722 р. в селі Чорнухах, що на Полтавщині, у сім’ї малоземельного козака. У дитинстві малий Гриць дуже любив сидіти під вербою, спостерігати за навколишнім світом і грати на сопілці, подарованій старим кобзарем.
76697. Неолітична революція 33.06 KB
  Неолітична революція полягала в тому що людина від полювання і збиральництва перейшла до привласнювання, тобто почала розводити тварин (рогата худоба,коні,подекуди дикі свині)та почала вирощувати рослини замість того, щоб шукати їх.
76698. Личность. Структура личности 34.46 KB
  Понятие личности относится к числу наиболее сложных в человекознании. На данный момент выделяют четыре теории личности: Биологизаторская по данной теории каждая личность формируется и развивается в соответствии с её врожденными качествами и особенностями социальное окружение...
76699. Маркетинг в общественном питании 35.89 KB
  Применение маркетингового подхода обеспечивается по отношению к таким элементам как: персонал – знания умения и навыки которые устанавливаются исходя из требований к уровню качества продукции и услуг; процесс -– этапы производства продукции и обслуживания потребителя...