40132

Матрицы

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Матрицы. Определение умножение матриц на число и сложение их умножение матриц ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения. Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк. m n – порядки матрицы они определяют размерность матрицы Обозначение: Если m = n то матрица называется квадратной.

Русский

2013-10-15

93 KB

1 чел.

1. Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)  

Основные операции над матрицами:

  1.  Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица Сmn: сij=aij+bij . (1)

Обозначение:

Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1 А+В=В+А (коммутативность)  

2 (А+В)+С = А+(В+С)  (ассоциативность)

Док-во очевидным образом из определения.

  1.  Произведение матрицы А на число R называется матрица С: cij = aij   (2)

Обозначение:  (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1 ()А = (А)  (ассоциативность)

2 (А+В) = А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц)  

3 (+)А = А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

ЗАМ: Разностью матриц А и В называется матрица С:  С + В = А. Обозначение . Имеет место:

  1.  Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением матрицы Аmn на матрицу Вnp называется матрица Сmp:  (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1 (АВ)С=А(ВС)   (ассоциативность)

2 А(В+С) = АВ+АС

   (А+В)С = АС+ВС   (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей. Докажем 2:

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность.  Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = Dn – диагональная матрица, то

В частности если D = E  и  D = 0.

Ранг матрицыmax порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов. Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

  •  перестановка любых двух строк (столбцов)
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k.  Если же среди них , то процесс повторяется.

Обратная матрица.

A = (Аnn)

Матрица В называется правой обратной к А, если АВ = Е

Матрица C называется  левой обратной к А, если СА = Е.

Если В и С существует, то В = С.

Если А – невырожденная (), то вместо «левой» и «правой» говорят просто об обратной матрице к А. Таким образом, обратная матрица В определяется отношением:

АВ = ВА = Е.

Из этого равенства видно, что А и В взаимообратные, А = В-1 и В = А-1

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

Вычисляется det A,

Если det A0, то вычисляется P=PAij – алгебраическое дополнение), 

В=РТ,

.

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У.  (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А-1У. Так как решение единственно, то В= А-1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44946. Организация вычисляемого перехода 41.46 KB
  Вычисляемый переход осуществляется при помощи команды ddwf PCF которая формально описывается так: сложить содержимое регистров W и PC с сохранением результата сложения в регистре PC имеется ввиду младший байт счетчика команд с названием PCL. Для вычисляемого перехода адрес в PC на момент исполнения команды ddwf PCF является как бы начальной точкой отсчета т. число находящееся в регистре W на момент исполнения команды ddwf PCF которое и будет приращением счетчика команд PC.
44947. Динамическая индикация 59.87 KB
  Для краткости эти регистры обозначим под названиями LED с соответствующей нумерацией. Например если результат измерения подсчета нужно вывести на индикацию как 4 разрядное десятичное число то двоичный результат измерения “прогоняется†через двоично-десятичное преобразование о нем позднее в итоге которого результат измерения помещается в младшие полубайты 4х регистров LED от LED0 до LED3.0 MHz ; DtL equ 0Ch DtH equ 0Dh D_H equ 0Eh D_L equ 0Fh Step equ 1Bh Led0 equ 1Ch Led1...
44949. Работа с EEPROM памятью данных 61.93 KB
  Поставим перед собой достаточно простую и конкретную задачу (что-то типа задания на первоначальную разработку). Допустим, что в ходе исполнения программы нужно изменить (модифицировать) содержимое пяти ячеек EEPROM памяти, начиная с адреса 7. Для простоты модификации (и для обеспечения наглядности наблюдения за происходящими в EEPROM памяти изменениями) к первому числу (по адресу 7) необходимо добавить 1...
44950. Однокристальные микроконтроллеры серии PIC 231 KB
  Микроконтроллеры семейств PIC (Peripheral Interface Controller) компании Microchip, обладающие особой популярностью, построены на основе передовых технологий микроконтроллеров. Им свойственны следующие особенности: электрически программируемые пользователем ППЗУ, минимальное энергопотребление, высокая производительность, хорошо развитая RISC-архитектура
44952. Автоколебательный мультивибратор 33.87 KB
  Проанализируем нашу программу, реализующую функцию автоколебательного мультивибратора, с одним выходом. Форма сигнала меандр (скважность, т.е. отношение периода к длительности импульса – 2). Под этот выход можно назначить любой из выводов порта А или В...
44953. Устройство формирования сигнала тонального вызова 87.52 KB
  Полупериоды формируем используя €œзакольцовку рабочей точки программы в подпрограммах задержки по аналогии с программой Multi. К моменту начала составления текста программы желательно определиться с как можно большим количеством исходных данных. Так как программа должна исполняться непрерывно то в случае нахождения устройства в режиме ожидания включения на передачу рабочая точка программы должна €œзакольцеваться€ до последующего нажатия на кнопку в какой-нибудь подпрограмме. Часто такого рода закольцовки осуществляют в...
44954. Сканирование с прерыванием 110.21 KB
  Определимся с терминологией применяемой при описании программы работы устройства. Для удобства объяснения и восприятия целесообразно разделить рабочую часть программы на две части. Условимся называть группу команд в которой осуществляется сканирование каналов на наличие сигнала прерывания “основным телом†программы а часть которая отрабатывается после ухода в прерывание как подпрограмму прерывания. Следовательно речь идет о необходимости “ухода†рабочей точки программы на время наличия сигнала прерывания в подпрограмму...