40132

Матрицы

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Матрицы. Определение умножение матриц на число и сложение их умножение матриц ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения. Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк. m n – порядки матрицы они определяют размерность матрицы Обозначение: Если m = n то матрица называется квадратной.

Русский

2013-10-15

93 KB

1 чел.

1. Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)  

Основные операции над матрицами:

  1.  Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица Сmn: сij=aij+bij . (1)

Обозначение:

Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1 А+В=В+А (коммутативность)  

2 (А+В)+С = А+(В+С)  (ассоциативность)

Док-во очевидным образом из определения.

  1.  Произведение матрицы А на число R называется матрица С: cij = aij   (2)

Обозначение:  (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1 ()А = (А)  (ассоциативность)

2 (А+В) = А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц)  

3 (+)А = А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

ЗАМ: Разностью матриц А и В называется матрица С:  С + В = А. Обозначение . Имеет место:

  1.  Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением матрицы Аmn на матрицу Вnp называется матрица Сmp:  (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1 (АВ)С=А(ВС)   (ассоциативность)

2 А(В+С) = АВ+АС

   (А+В)С = АС+ВС   (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей. Докажем 2:

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность.  Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = Dn – диагональная матрица, то

В частности если D = E  и  D = 0.

Ранг матрицыmax порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов. Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

  •  перестановка любых двух строк (столбцов)
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k.  Если же среди них , то процесс повторяется.

Обратная матрица.

A = (Аnn)

Матрица В называется правой обратной к А, если АВ = Е

Матрица C называется  левой обратной к А, если СА = Е.

Если В и С существует, то В = С.

Если А – невырожденная (), то вместо «левой» и «правой» говорят просто об обратной матрице к А. Таким образом, обратная матрица В определяется отношением:

АВ = ВА = Е.

Из этого равенства видно, что А и В взаимообратные, А = В-1 и В = А-1

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

Вычисляется det A,

Если det A0, то вычисляется P=PAij – алгебраическое дополнение), 

В=РТ,

.

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У.  (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А-1У. Так как решение единственно, то В= А-1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43495. Процесс управления организацией на основе анализа деятельности фирмы ЗАО «Комфорт» 338 KB
  Миссия организации и стратегическое видение Цели организации SWOTанализ Оценка и анализ внешней среды Управленческое обследование внутренних сильных и слабых сторон организации Анализ стратегических альтернатив и выбор стратегии Реализация стратегического плана Организация взаимодействия и полномочия Мотивация Контроль Выводы и рекомендации Далее описывается основное содержание глав курсовой работы. Рекомендации по выполнению курсовой работы Характеристика организации В настоящем разделе кратко излагаются основные характеристики...
43496. Исследование и программная реализация методов алгоритмов теории графов 115 KB
  Реализовать выбранный алгоритм на языке Pscl желательно использовать представление графа списками. Пояснительная записка включает в себя 23 страницы текста рисунок исходного графа рисунок МОД схему алгоритма 2 использованных источника. Данная программа позволяет: Ввести граф используя матрицу длин дуг; Получить матрицу задающую минимальное остовное дерево; Провести тестирование алгоритма; Введение Во многих прикладных задачах теории графов важно иметь возможность сопоставить ребрам графа определенные числа которые соответствуют...
43497. МУНИЦИПАЛЬНОЕ ПРАВО РОССИИ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ 85.5 KB
  Развитие законодательства о местном самоуправлении в РФ. Государственный контроль и надзор за законностью местного самоуправления. Закон РФ Об общих принципах организации местного самоуправления в РФ от 6 октября 2003 г. Закон РФ О милиции от 18 апреля 1991 г.
43498. Проектирование ленточного конвейера 781 KB
  Наиболее трудоемкими в пищевой промышленности являются погрузочно-разгрузочные работы, которые занимают существенный объем в производственной деятельности предприятий. Погрузочно-разгрузочные работы выполняются на всех этапах основных производственных процессов. Для механизации этих операций используется подъемно-транспортное оборудование.
43499. Состояние рынка ценных бумаг в Казахстане 528 KB
  При купонных платежах государство устанавливает фиксированную годовую процентную ставку (купон), который выплачивается кредиторам либо раз в год, либо раз в полгода. В этом случае та сумма, которую государство заимствует в начале периода, будет равняться той сумме, которую оно выплатит в конце периода. Этот метод используете правительствами для большинства государственных облигаций.
43500. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ 63 KB
  Объем курсовой работы устанавливается в пределах 30 машинописных страниц Темы курсовых работ по Теории государства и права Предмет и методология теории государства и права Развитие и современное состояние теории государства и права Происхождение государства и права Общая характеристика теорий происхождения государства и права Понятие и сущность государства Государственная власть: характерные признаки и формы осуществления Соотношение государства права и экономики Типология государства Социалистический тип государства:...
43501. Разработка технологического процесса изготовления детали зубчатого колеса цилиндрического горизонтального двухступенчатого с раздвоенной быстроходной ступенью редуктора 9.25 MB
  Целью данной курсовой работы является разработка технологического процесса изготовления детали заданного качества, вытекающего из служебного назначения изделия, типом производства и оптимальной производительности труда, в нашем случае зубчатого колеса цилиндрического горизонтального двухступенчатого с раздвоенной быстроходной ступенью редуктора.
43502. ТРУДОВОЕ ПРАВО. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 133 KB
  В ходе изучения монографических источников рекомендуется составить краткий конспект изучаемого труда зафиксировать основополагающие положения дискуссионные моменты на которые необходимо обратить особое внимание. Научные статьи по трудовому праву наиболее часто публикуются в таких журналах Государство и право РФ Хозяйство и право РФ Пленумы Верховного суда РФ Пленумы Министерства Труда РФ и в некоторых других. Понятия и принципы правовой организации оплаты труда. Норма труда.