40132

Матрицы

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Матрицы. Определение умножение матриц на число и сложение их умножение матриц ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения. Матрицы это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк. m n порядки матрицы они определяют размерность матрицы Обозначение: Если m = n то матрица называется квадратной.

Русский

2013-10-15

93 KB

1 чел.

1. Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)  

Основные операции над матрицами:

  1.  Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица Сmn: сij=aij+bij . (1)

Обозначение:

Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1 А+В=В+А (коммутативность)  

2 (А+В)+С = А+(В+С)  (ассоциативность)

Док-во очевидным образом из определения.

  1.  Произведение матрицы А на число R называется матрица С: cij = aij   (2)

Обозначение:  (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1 ()А = (А)  (ассоциативность)

2 (А+В) = А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц)  

3 (+)А = А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

ЗАМ: Разностью матриц А и В называется матрица С:  С + В = А. Обозначение . Имеет место:

  1.  Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением матрицы Аmn на матрицу Вnp называется матрица Сmp:  (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1 (АВ)С=А(ВС)   (ассоциативность)

2 А(В+С) = АВ+АС

   (А+В)С = АС+ВС   (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей. Докажем 2:

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность.  Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = Dn – диагональная матрица, то

В частности если D = E  и  D = 0.

Ранг матрицыmax порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов. Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

  •  перестановка любых двух строк (столбцов)
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k.  Если же среди них , то процесс повторяется.

Обратная матрица.

A = (Аnn)

Матрица В называется правой обратной к А, если АВ = Е

Матрица C называется  левой обратной к А, если СА = Е.

Если В и С существует, то В = С.

Если А – невырожденная (), то вместо «левой» и «правой» говорят просто об обратной матрице к А. Таким образом, обратная матрица В определяется отношением:

АВ = ВА = Е.

Из этого равенства видно, что А и В взаимообратные, А = В-1 и В = А-1

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

Вычисляется det A,

Если det A0, то вычисляется P=PAij – алгебраическое дополнение), 

В=РТ,

.

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У.  (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А-1У. Так как решение единственно, то В= А-1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79344. Площадь прямоугольника 30.1 KB
  Цели урока: формирование совокупности компетенций, необходимых для вычисления площади прямоугольника развивать мыслительные операции; воспитывать прилежание, аккуратность, стремление к выполнению всех заданий; уважение друг к другу...
79345. Гуморальная регуляция физиологических функций. Физиология желез внутренней секреции 192.5 KB
  Изучить закономерности гуморальной регуляции механизмы действия гормонов структурно-функциональную организацию эндокринной системы виды и функции гормонов желез внутренней секреции: щитовидной паращитовидных поджелудочной половых вилочковой надпочечников и эпифиза.
79346. ПЕРВЫЙ ЗВОНОК 60 KB
  В первый день сентября всем радость даря Каждый раз повторяется это Каждый собрался солнышком согрет Только первого класса что-то нет Вед: Нет первый класс здесь и с нетерпением ждет когда его позовут на линейку ведь первоклассники сегодня самые главные действующие лица праздника.
79350. Відкритття Америки. Христофор Колумб 46.5 KB
  Every year the 12th of October Americans celebrate Columbus Day. And today at our lesson we shall speak about this famous sailor. We shall read the texts answer the questions and work with the map, and by the end of our lesson you will have known more about the great discoverer.
79351. Безпечна поведінка – запорука міцного здоров’я 8.65 MB
  Стан напруги який виникає в людини під впливом сильних чинників Що таке наркотики Яка інша назва наркотику ЛСД Назвіть пожежонебезпечні матеріали Номер служби газу Які місця в автомобілі є найбільш безпечними для пасажирів Обмеження або позбавлення прав громадян...
79352. Подорож до країни Математики 438 KB
  Спочатку ми вирушимо до круглого озера, біля якого в будиночку живе дідусь Ох. Потім нам потрібно зустрітися в лісовій школі з тітонькою Совою та її учнями. Далі ми відпочинемо на лісовій галявині, поласуємо медом на пасіці, що знаходиться біля квітучої лісової галявини...