40132

Матрицы

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Матрицы. Определение умножение матриц на число и сложение их умножение матриц ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения. Матрицы это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк. m n порядки матрицы они определяют размерность матрицы Обозначение: Если m = n то матрица называется квадратной.

Русский

2013-10-15

93 KB

1 чел.

1. Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)  

Основные операции над матрицами:

  1.  Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица Сmn: сij=aij+bij . (1)

Обозначение:

Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1 А+В=В+А (коммутативность)  

2 (А+В)+С = А+(В+С)  (ассоциативность)

Док-во очевидным образом из определения.

  1.  Произведение матрицы А на число R называется матрица С: cij = aij   (2)

Обозначение:  (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1 ()А = (А)  (ассоциативность)

2 (А+В) = А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц)  

3 (+)А = А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

ЗАМ: Разностью матриц А и В называется матрица С:  С + В = А. Обозначение . Имеет место:

  1.  Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением матрицы Аmn на матрицу Вnp называется матрица Сmp:  (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1 (АВ)С=А(ВС)   (ассоциативность)

2 А(В+С) = АВ+АС

   (А+В)С = АС+ВС   (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей. Докажем 2:

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность.  Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = Dn – диагональная матрица, то

В частности если D = E  и  D = 0.

Ранг матрицыmax порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов. Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

  •  перестановка любых двух строк (столбцов)
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0
  •  умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k.  Если же среди них , то процесс повторяется.

Обратная матрица.

A = (Аnn)

Матрица В называется правой обратной к А, если АВ = Е

Матрица C называется  левой обратной к А, если СА = Е.

Если В и С существует, то В = С.

Если А – невырожденная (), то вместо «левой» и «правой» говорят просто об обратной матрице к А. Таким образом, обратная матрица В определяется отношением:

АВ = ВА = Е.

Из этого равенства видно, что А и В взаимообратные, А = В-1 и В = А-1

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

Вычисляется det A,

Если det A0, то вычисляется P=PAij – алгебраическое дополнение), 

В=РТ,

.

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У.  (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А-1У. Так как решение единственно, то В= А-1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13761. Портрет в искусстве России 123 KB
  Портрет в искусстве России. 18 век в России называют веком портрета. Портрет самое бесспорное достижение нашей национальной школы именно благодаря чему русская живопись достигла уровня европейской. В жанре портрета писали лучшие русские художники: Ф. Рок...
13762. Особенности киномузыки 609.5 KB
  Особенности киномузыки Итак фильма без музыки не существовало никогда. Даже во времена немого кино под сменяющиеся друг друга экранные картины импровизировал музыканттапёр. Одним из таких тапёров в студенческие годы был Д. Шостакович. В кино музыка не требует отдель...
13763. Государственная (итоговая) аттестация по ФИЗИКЕ 215.25 KB
  Государственная итоговая аттестация по ФИЗИКЕ Тренировочный вариант № 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по физике отводится 3 часа 180 минут. Работа состоит из 3 частей и включает 27 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий 119. К к
13764. Проблемы развития малых и средних гостиниц на примере гостиницы Park Hotel г.Ставрополя 97.5 KB
  Выявить требования к организации деятельности малых гостиниц; Описать особенности организации и специфику деятельности малых гостиниц как наиболее перспективных в развитии малого бизнеса; Провести анализ работы малых гостиниц на базе гостиницы «Park Hotel» города Ставрополя
13765. Связь грамматики и лексики в русском языке 95.09 KB
  Сочинение рассуждение на основе прочитанного текста С2. Первый раздел тем. Связь грамматики и лексики в русском языке Возможные цитаты которые могут быть в этом разделе Грамматика может показать как люди пользуются яз
13766. Пишем сочинение на лингвистическую тему 175.5 KB
  1. Как сформулировано задание С2. Напишите сочинениерассуждение приняв в качестве тезиса слова известного лингвиста Г. Степанова: Словарь языка свидетельствует о чём думают люди а грамматика как они думают. Аргументируя свой ответ приведите по 1 примеру из проч...
13767. Терминологический словарь к ЕГЄ. Биология 956 KB
  Аберрации. См. Мутации хромосомные. Абиогенез от греч. а частица отрицания bios жизнь и genesis рождение появление процесс возникновения живых организмов из веществ неорганической неживой природы. Автор гипотезы А.И. Опарин 1924. Абиотические экологические факторы о...
13768. Шпаргалка к ЕГЄ. Биология 202.5 KB
  1.Предмет задачи и методы изучения общей биологии. Значение общей биологии. Впервые этот термин был предложен в 1802 г. французким ученым Ж. Б. Ламарком. Для обозначения науки о жизни как особом явлении природы. Современная биология это комплекс биологических наук изуча...
13769. Шпаргалка к ЕГЄ. Генетика и Биология 187 KB
  1Методы изучения наследственности человека Применимость к человеку классического генетического анализа как основного метода изучения наследственности и изменчивости исключена изза невозможности экспериментальных скрещиваний длительности времени достижения поло...