40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где известные коэффициенты системы 1 известные правые части системы 1 неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28301. Система гражданского права 13.98 KB
  Система гражданского права Система гражданского права представляет собой внутренне согласованное единство и деление правовых норм составляющих данную отрасль права. Состоит из: подотраслей права норм регулирующих однородные отношения обязательственное право вещное право исключительные права личные неимуще права наследственное право жилищное транспортное Подотрасль состоит из правовых институтов. Все гражданскоправовые нормы составляющие систему гражданского права можно условно разделить на Общую и Особенную части. В Общую...
28302. Основные гражданско-правовые системы современности 17.03 KB
  Основные гражданскоправовые системы современности. Современный мир отличается многообразием гражданскоправовых систем. Каждое суверенное государство имеет свое национальное гражданское право. Вместе с тем в мире существуют своеобразные типы семьи правовых систем охватывающие группы права ряда государств.
28303. Источники гражданского права. Их классификация 14.7 KB
  Источники гражданского права. Нормы гражданского права содержатся и в так называемых подзаконных актах указах Президента РФ постановлениях Правительства РФ актах министерств и иных федеральных органов исполнительной власти. Наиболее важные законы группируются: в области корпаративного права зн об акционерных обществах зн об ООО зн об госуд.муницип и унитарных предприятиях зн о банкротстве ряд знов о некомерческих организациях в области обязательственного права зн о рынке ценных бумаг о финансовой аренделизинге о...
28304. Действие гражданского законодательства во времени, в пространстве и по кругу лиц 14.26 KB
  Действие гражданского законодательства во времени в пространстве и по кругу лиц. Под действием гражданского законодательства во времени понимается определение начального и конечного момента действия правового акта регулирующего гражданские отношения. По общему правилу акты гражданского законодательства не имеют обратной силы и применяются к отношениям возникшим после введения их в действие. Различают даты принятия акта гражданского законодательства опубликования и вступления в силу.
28305. Применение гражданского законодательства 14.21 KB
  В теории права различают 4 формы реализации права: 1 . Применение это такой способ реализации права кот связан с властными действиями юрисдикционных органов и должностных лиц. Применять норму права это значит применять власть а нередко принуждения санкции наказания. в случае пробелов в нем осуществляется путем применения аналогии закона и аналогии права.
28306. Гражданское правоотношение: понятие, элементы, содержание 15.11 KB
  Гражданское правоотношение: понятие элементы содержание. Гражданское правоотношение это урегулированные нормами гражданского права имущественные и личные неимущественные отношения. Элементы гражданского правоотношения как и любого правоотношения состоит из трех необходимых элементов: 1 субъектов; 2 объекта; 3 содержания. Виды правоотношй: 1.
28307. Субъекты и объекты гражданских правоотношений 14.49 KB
  Субъекты и объекты гражданских правоотношений Элементами гр. Субъекты гражданских правоотношений это те лица которые несут права и обязанности в правоотношении. В качестве субъектов гражданских правоотношений выступают граждане РФ иностранные граждане лица без гражданства юридические лица как российские так и иностранные. Особый субъект гражданских правоотношений государство и муниципальные образования.
28308. Основания возникновения, изменения и прекращения гражданских правоотношений 13.73 KB
  возникают из: сделок административных актов в резте создания произведений науки литературы и искусства и иных резтов интеллект деятети. вследствии причинения вреда другому лицу а также в следствии приобретения или сбережения имущества за счет средств другого лица без достаточных оснований в следствии иных действий граждан и организаций.
28309. Правосубъектность: понятие, состав, сравнительная характеристика по видам субъектов гражданских правоотношений 15.56 KB
  Так ребенок умершего зачатый при его жизни но родившийся после его смерти по закону приобретает право на наследство умершего. Факты рождения и смерти устанавливаются по медицинским показаниям. С определением момента смерти также связано много различных медицинских и правовых вопросов. Так в медицине различают состояние клинической смерти когда происходит остановка работы отдельных органов сердца почек головного мозга однако существует возможность восстановления жизнеспособности организма и биологической смерти когда начинаются...