40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где – известные коэффициенты системы 1 – известные правые части системы 1 – неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45333. Конституционно-правовой статус члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы 25.69 KB
  Конституционно-правовой статус члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы Конституционно-правовой статус члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы определяется Конституцией РФ ст. О статусе члена Совета Федерации и депутата Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации. Депутатом Государственной Думы является избранный представитель народа уполномоченный осуществлять в Государственной Думе законодательные и иные полномочия предусмотренные Конституцией РФ и федеральным законом. Срок полномочий...
45334. Система законодательных (представительных) и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации 20.8 KB
  Система законодательных представительных и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации устанавливается ими самостоятельно в соответствии с основами конституционного строя Российской Федерации и ФЗ от 06. Об общих принципах организации законодательных представительных и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации.Образование формирование деятельность законодательных представительных и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации их...
45335. Законодательный процесс в РФ 25.93 KB
  В составе городского поселения также могут находиться сельские населенные пункты не имеющие статуса сельских поселений в которых местное самоуправление осуществляется населением непосредственно и или через выборные и иные органы местного самоуправления. Городской округ городское поселение которое не входит в состав муниципального района и органы местного самоуправления которого осуществляют полномочия по решению установленных законом вопросов местного значения поселения и вопросов местного значения муниципального района а также могут...
45336. Подходы к построению систем искусственного интеллекта 33 KB
  Структурный подход Под структурным подходом подразумевается попытки построить искусственный интеллект путём моделирования структуры человеческого мозга. Основной моделируемой структурной единицей в персептронах как и в большинстве других вариантов моделирования мозга является нейрон. Позднее возникли и другие модели которые обычно называют нейронные сети . Эти модели различаются по строению отдельных нейронов по топологии связей между ними и по алгоритмам обучения.
45337. Понятие дерева возможностей 36.5 KB
  Дерево быстро разрастается рис.1 – Дерево возможных продолжений шахматной игры Все вершины могут быть двух типов. Таким образом дерево возможностей представляет собой чередующиеся слои альфа и бетавершин. Если бы дерево можно было обследовать полностью т.
45338. Основные понятия искусственного интеллекта 40 KB
  Интеллектом называется способность мозга решать задачи путём приобретения запоминания и целенаправленного преобразования знаний в процессе обучения на опыте и адаптации к разнообразным обстоятельствам. Искусственный интеллект – это одно из направлений информатики целью которого является разработка аппаратнопрограммных средств позволяющих пользователюнепрограммисту ставить и решать свои традиционно считающиеся интеллектуальными задачи общаясь с компьютером на ограниченном подмножестве естественного языка. Понятие интеллектуальной задачи...
45339. Знания как часть любой интеллектуальной системы 38 KB
  При этом возникает естественный вопрос что такое знания и чем они отличаются от обычных данных обрабатываемых компьютером. Знания являются более сложной категорией информации по сравнению с данными. Они описывают не только отдельные факты но и взаимосвязи между ними поэтому знания иногда называют структурированными данными.
45340. Проблемная область искусственного интеллекта 35 KB
  Для этого разрабатываются специальные модели представления знаний и языки для описания знаний выделяются различные типы знаний. Изучаются источники из которых система может брать знания и создаются процедуры и приёмы с помощью которых возможно приобретение знаний интеллектуальными системами. Проблема представления знаний в системах искусственного интеллекта чрезвычайно актуальна поскольку функционирование данных систем опирается на знания о проблемной области хранящиеся на компьютере.
45341. Проблема распознавания образов 67.5 KB
  В своей повседневной жизни человек настолько легко справляется с задачами распознавания что это считается само собой разумеющимся. В целом проблема распознавания образов состоит из двух частей: обучения и распознавания. За обучением следует процесс распознавания новых объектов который характеризует действия уже обученной системы.