40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где известные коэффициенты системы 1 известные правые части системы 1 неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80945. Обєкт і придмет методики історії як науки 29.56 KB
  Предмет методики - історія як шкільна дисципліна, процес навчання історії. Обєктом дослідження методики виступає процес навчання, а предметом - внутрішні закономірності взаємодії головних чинників процесу навчання історії в якості навчального предмета
80946. Методичні прийми роботи з підручником при вивченні темп: «Давній Єгипет» 32.39 KB
  Один з прийомів може бути таким: скласти план по темі Стародавній Єгипет. Зокрема складання плану для підзаголовків Землеробство основне заняття єгиптян і Початок обробки металів допоможуть учням встановити взаємозв`язок фактів в історії: спочатку змінюється техніка покращуються знаряддя праці виникають нові галузі виробництва і лише тоді відбуваються зміни в соціальній структурі суспільства.
80947. Контроль навчання, його функції, види методи 37.51 KB
  У дидактиці це нагляд спостереження і перевірка успішності учнів. Спостереження за учнями під час занять перевірка їх знань навичок і вмінь зошитів навчальної і практичної діяльності учнів є засобами контролю. Облік успішності передбачає фіксацію результатів контролю у вигляді оцінки Функції контролю перевірки і оцінки навчальних досягнень учнів. Ці функції оцінки знань учнів різнопланові.
80948. Система перевірки знань, умінь, навичок; учнів після вивчення теми «Україна в другій половині XIX століття» 35.42 KB
  Повторити та узагальнити матеріал з даної теми. Хронологічний конкурс Цей конкурс має характер розминки і передбачає знання хронології історичних подій. Командам потрібно розташувати події в хронологічній послідовності і вказати дати, коли вони сталися. Максимальна оцінка за цей конкурс шість балів.(робота з індивідуальними картками)
80951. Характеристика сучасної системи шкільної історичної освіти в Україні 36.25 KB
  Програма шкільних курсів історії. У програмі шкільних курсів історії закладено такі пріоритети. Вивчення історії України. Вивчення історії ХХ століття.
80952. Необхідність використання художньої літератури в навчанні історії України 35.92 KB
  Твори художньої літератури рекомендуються у всіх шкільних підручниках з кожного курсу історії художня література є для учнів одним з важливих джерел для ознайомлення з історичним минулим і одним з ефективних засобів їх морального і естетичного виховання. Чому слід використовувати художні твори Тому що Художній образ як правило відрізняється влучністю і переконливістю. Літературні памятники Звичайно це твори створені в ту епоху яку ми вивчаємо тобто твори написані сучасниками описуваних явищ і подій. Твори цієї групи є документами...
80953. Основні компоненти змісту історичної освіти 33.66 KB
  Зміст освіти його основні компоненти: Зміст шкільної історичної освіти один із компонентів процесу навчання історії певна система історичної інформації яка засвоюється у вигляді історичних знань умінь і навичок в яких особистість засвоює вже відомі способи діяльності досвід творчої пізнавальної діяльності у розв\'язанні проблем що вирішувались людством у минулому. Лернером 1 досвід пізнавальної діяльності що відображений у знаннях про природу суспільство техніку мислення і способи діяльності...