40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где известные коэффициенты системы 1 известные правые части системы 1 неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23166. Краса і щирість почуттів в інтимній ліриці Василя Симоненк 28.5 KB
  Симоненка переважно тісно поєднані з пейзажними соціальними громадянськими все ж вірші про кохання у його поетичній спадщині займають чільне місце. Самовіддане глибоке кохання сповнює ліричного героя у вірші €œОбражайся на менеяк хочеш€. Несподівано прийшла любов до ліричного героя у вірші €œВона прийшла€. Такими є вірші €œРозвели нас дороги похмурі.
23168. Літературний гурт Молода муза 89 KB
  То й не дивно гурток становила молодь вихідці із сіл та провінційних містечок Галичини вчорашні випусники університету або ті що його не закінчили канцеляристи вчителі гімназій чи €вільні художники€. І все ж таки його положення було краще ніж інших скажімо Яцківа чи Карманського. Нам зашивалися роти в його товаристві бо ми добре знали гостроту його язика та великі відомості з якими не один із нас не міг суперечити Говоріть що врешті відзивався Франко якому хотілося поговорити і забути...
23169. Місце і значення творчості В. Симоненка в українській літературі 24.5 KB
  Симоненка в українській літературі Поезія Василя Симоненка вийшла з глибин народного життя з мужності народу з його горя і героїчної боротьби. Симоненка. Симоненка досить широкий про що свідчить і поезія і художня проза. Симоненка в літературі про значення його поезії Олесь Гончар: Серед літераторів трапляються й такі без яких їхня доба могла б спокійно обійтись нічого істотного не втративши.
23170. Мотиви лiрики Василя Симоненка 30 KB
  Центральною в його творчостi слушно вважається патрiотична тема любовi до України її безталанного народу висловленої з недвозначною вiдвертiстю i в цьому пряме продовження шевченкiвських традицiй поєднана з iдеєю неповторностi людського я . Мiж цими датами напiвголодне довоєнне дитинство лихолiття й злиднi студентське братерство але й нашпигована пильними шукачами ворогiв народу атмосфера лiтературна студiя iменi Василя Чумака скорочено СIЧ творчi суперечки в гуртожитку далi активна участь у роботi Черкаського обласного...
23171. Нацiональний пафос поезiї Олега Ольжича 28 KB
  Звичка оцiнювати творчiсть поетiв за вiдповiднiстю тiй або iншiй iдеологiї зазвичай виправдана. До того ж подiбний пiдхiд нерiдко породжував флюгерiв вiд поезiї що завжди намагаються дотримуватись офiцiйного найзручнiшого курсу. Та все ж таки часом треба переступати через iдеологiчнi забобони й вiдокремлювати подумки поета вiд полiтика в однiй особi талант вiд переконань.
23172. Неокла́сики 34 KB
  На відміну від інших груп Неокласики не дбали про своє організаційне оформлення і не виступали з ідейноестетичними маніфестами. Те що неокласики прагнули впроваджувати в своїй творчості форми та методи грецького й римського мистецтва представникам влади здалось невизнанням радянської дійсності. Неокласики позиціонували себе як естетів і жорстко протиставляли себе народництву і романтизму. Неокласики належать до так званих письменників доби розстріляного відродження.
23173. Неоромантизм поезiї Олени Телiги 28.5 KB
  Але крiм бiльшої наближеностi до дiйсностi неоромантизм мав ще одну суттєву вiдмiннiсть вiд течiїпопередника: полiтичне зумовлення що розкидало естетично близьких митцiв по рiзних таборах революцiйної романтики що iдейно грунтувалася на своєрiдному месiанiзмi свiтової пролетарської революцiї та неоромантизму нацiональновизвольної боротьби що набув розквiту трохи пiзнiше: напередоднi й пiд час Другої свiтової вiйни. Телiгу до боротьби та залишилося в її творчостi назавжди. Скорiше це розмiрковування над ролями чоловiкiв i жiнок що...