40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где известные коэффициенты системы 1 известные правые части системы 1 неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

8 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26683. Понятие гена и генома. Генетический код. Регуляция активности генов на примере лактозного оперона 14.35 KB
  Регуляция активности генов на примере лактозного оперона. 2Является универсальным 3Вырожденность 1АК может кодироваться несколькими триплетами 4Неперекрывающийся то есть триплет кодирует только 1АК 5Стопкодоны 3 последовательности: УАА УАГ УГА Регуляция действия генов на примере лактозного оперона. Лактоза расщепляется на глюкозу и галактозу под действием фермента βгалактозидаза P lacI P O lacZ lacY lacC Строение лакоперона:1 P промотер который связывается с мРНК. Ген lacI не входит в состав оперона.
26684. Генетическая информация о структуре белков и нуклеиновых кислот у всех организмов заключена в молекулах ДНК или РНК в виде генов 17.31 KB
  Генетическая информация о структуре белков и нуклеиновых кислот у всех организмов заключена в молекулах ДНК или РНК в виде генов. РП ДНК проходит в соответствии с правилами УотсонКрика. Во время РП каждая из цепей родительской ДНК служит матрицей для дочерней комплементарной цепи полуконсервативный механизм. Главный фермент РП ДНКзависимая ДНКполимераза.
26685. Генетика пола. Половые хромосомы. Типы хромосомного определения пола. Наследование, сцепленное с полом. Генетический анализ при этом типе наследования 14.29 KB
  У кузнечиков тип XO самки гомогаметны а самцы гетерогаметны; у моли тип XO наоборот самки гетерогаметны а самцы гомогаметны. Были проведены 2 типа скрещиваний дрозофил: в одном самки были нормальными по цвету глаз w а самцы белоглазые w в другом белоглазых самок w скрещивали с нормальными самцами w. В первом типе скрещивания все самки и самцы первого поколения были красноглазыми нормальными. Во втором поколении все самки были красноглазыми а самцы как красноглазыми так и белоглазыми в соотнош.
26686. Генетика популяций самоопылителей 16.7 KB
  2 в F2 начинается индивидуальный отбор. изучаются для отбора. Массовый отбор малоэффективен полученные сорта неустойчивы. Семейный отбор отбор потомнков 1 семьи.
26687. Закон гомологических рядов наследственной изменчивости Н.И. Вавилова 12.26 KB
  Закон Вавилова говорит что генетически близкие виды и роды характеризся сходными рядами наследств. Этот закон можно выразить формулой: Закон Вавилова имеет большое теоретич. Этот закон в селекционной практике важен потому что прогнозирует возможность обнаружить неизвестные формы растений у данного вида если они уже известны у других видов.
26688. Мейоз 18.64 KB
  Также происходит рекомбинация генго материала обмен участками м у гомологичными хромосомами кроссинговер активация транскрипции в профазе первого деления и отсутствие Sфазы м у 1ми 2м делением. Профазу первого I мейотического деления подразделяют на 5 стадий: лептотена стадия тонких нитей зиготена стадия сливающихся нитей пахитена стадия толстых нитей диплотена стадия двойных нитей диакинез стадия обособления двойных нитей. Затем следует метафаза I деления и последующие фазы деления клеток наступает следующий П цикл в...
26689. Генетика человака и методы изучения генетики человека 32.6 KB
  Биологический вид Homo sapiens составляет часть биосферы и прдукт ее эволюции. Человек подчиняеться законам наследственной изменчивости. Мы есть нечто иное как продукт наших генов
26691. Древние платформы 1.31 MB
  Однако Криворожские месторождения по запасам в десятки раз уступают Курским. Такого же типа протерозойские месторождения известны на Кольском полуострове Оленегорское Костамукшское. Магматические железорудные месторождения Енское Ковдорское Африканда Кольский полуостров снабжают сырьем Череповецкий металлургический комбинат. С корой выветривания гипербазитов связаны месторождения никеля и на Украинском щите.