40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где – известные коэффициенты системы 1 – известные правые части системы 1 – неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71547. Складання проекту лісових культур для Криницького лісництва ДП Бучацьке ЛГ 352.5 KB
  Завдання досліджень - вивчення наукової літератури, яка стосується теми роботи; складання методики досліджень, вибірка інформації щодо лісокультурного фонду лісництва, обґрунтування типів, технології створення лісових культур на даній ділянці.
71548. Порода английский кокер спаниель и его практическое использование 1.01 MB
  Выбрав в качестве четвероногого питомца именно спаниеля и не пожалев времени на его воспитание, вы сможете вырастить надежного и преданного друга, охотника и защитника.Несмотря на предполагаемое испанское происхождение спаниелей, Великобритания по праву считается второй родиной этой породы
71549. Особенности управления в Новгородской республике и Пскове 58.5 KB
  Современные историки по-разному оценивают вечевой строй в Новгороде. видят в вече проявление начал народоправства. Различается и периодизация истории выборных институтов и реконструкция вечевых процедур. Янин опираясь на результаты своих многолетних археологических раскопок древних городов...
71550. Казанский университет 68 KB
  Так как с начала существования отделения в нем стала преподаваться хирургия то следует считать что история кафедры хирургии в Казани начинается с 1814 года. Вначале эта кафедра была единственной на врачебном отделении на ней начиналось и заканчивалось обучение студентов хирургии.
71551. Построение пространственной модели 833.5 KB
  Нужно представить форму разрабатываемой детали как совокупность простых геометрических элементов. Все элементы должны воспроизводиться как solids-примитивы. Ими могут быть призма, цилиндр, сфера, конус, тор. Более сложные элементы нужно представить как тела, получаемые...
71553. Формування полікапроамідної текстильної нитки 25.94 KB
  Мета: Ознайомитися з формуванням полікапроамідної текстильної нитки Методи: словесний, наочний План: Технічні показники прядильної машини «Текстима-2060» Опис технологічного процесу формування нитки на машині Текстима - 2060 Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби...
71554. История становления и развития социологии как науки 191.5 KB
  Концепция постиндустриального общества Д. Изменения в экономической политической и социальной сфере общества в XVIII-XIX веках. Конт первым решил использовать научный метод для изучения общества. Он полагал что с помощью науки можно познать скрытые законы управляющие всеми обществами.
71555. Методы педагогической психологии 93 KB
  Специфика применения основных методов психологического исследования в педагогической психологии. Классификация методов психолого педагогического исследования. Методом исследования любой науки является способ познания ее предметной области. Применительно к педагогической психологии метод...