40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где известные коэффициенты системы 1 известные правые части системы 1 неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

8 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72512. ОСНОВЫ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ В ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 282.5 KB
  Экономическая природа цены проявляется в двойственной роли которую она играет на рынке. В качестве регулятора цены позволяют ограничивать потребление ресурсов они являются мотивацией производства. В процессе ценообразования учитывается действие различных факторов: текущий спрос ценовая...
72513. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 149.5 KB
  Возникновение и развитие рынка, в рамках которого осуществляется кругооборот ресурсов, доходов и продуктов, происходит при выполнении нескольких обязательных условий. Среди них: общественное разделение труда, которое неизбежно приводит к обмену продуктами и услугами; экономическая обособленность...
72514. Лекция по истории хип-хопа 372 KB
  Что такое хип-хоп в понимании большинства Это рэпперы читающие о золотых цепях машинах клубах и торговле наркотиками. Моя лекция призвана не только разрушить эти стереотипы но и рассказать о многообразии хип-хоп культуры с момента её возникновения и до наших дней.
72516. Классификация ОЭП 58 KB
  Это в первую очередь определяет специфику входящих в состав ОЭП элементов особенности схемного построения этих приборов а также алгоритмов используемых для обработки сигналов. В сущности ОЭП это сложная система включающая такие устройства как оптические фотоэлектрические электронные...
72517. Возрастание и убывание функций 165.5 KB
  Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. необходимое условие существования экстремума Если функция fx дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума то производная функции обращается в нуль в этой точке.
72518. Экономика строительных материалов Республики Беларусь 64.5 KB
  Строительный комплекс рассматривается как межотраслевая система включающая совокупность предприятий объединений и организаций деятельность которых направлена на создание реконструкцию и освоение объектов производственного и непроизводственного назначения.
72519. Олиго и полисахариды 131.5 KB
  Дисахариды Состоят из двух остатков моносахаридов, связанных гликозидной связью. Все дисахариды в кислой среде гидролизуются до моносахаридов. Восстанавливающие дисахариды мальтоза, лактоза, целлобиоза. Характерна цикло-оксо-таутомерия и мутаротация.
72520. Альфа-Аминокислоты. Пептиды. Белки 215 KB
  Белки это - важнейший класс биологических соединений. Они играют ключевую роль в клетке, присутствуют в виде главных компонентов в любых формах живой материи, поэтому по-прежнему неопровержимо определение Ф.Энгельса, что «жизнь есть способ существования белковых тел».