40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где – известные коэффициенты системы 1 – известные правые части системы 1 – неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83302. Организация сестринской помощи за пациентами с описторхозом 85.54 KB
  В приемном отделении на больного медицинская сестра заводит историю болезни и его осматривает врач. Процедурная медицинская сестра выполняет парентеральное введение лекарственных средств: внутривенное струйное и капельное подкожное внутримышечное введение.
83303. Антимонопольне регулювання як складова конкурентної політики держави 394.49 KB
  Роль конкуренції та конкурентної політики держави в сучасній економічній системі. Теоретичні засади вивчення природи конкуренції заклали класики економічної теорії. Під час дослідження даної теми були поставлені такі завдання: визначити суть значення конкуренції та конкурентної поітики...
83304. Совершенствование отчета о движении денежных средств 62.86 KB
  Целью данной курсовой работы является – на основе подбора, систематизации и обобщения данных разных источников дать понятие об отчете о движении денежных средств, его назначении и целевой направленности, а также содержании и правилах формирования.
83305. Организация работы структурного подразделения молодежного кафе 65.2 KB
  В рыночной российской экономике повысились требования к производственному и обслуживающему персоналу предприятий общественного питания, усилился контроль со стороны государственных органов, назрела необходимость рациональной организации и управления деятельностью предприятий общественного питания.
83306. Федеральное собрание Российской Федерации как представительный и законодательный орган России, его состав и полномочия 74.69 KB
  В соответствии с Конституцией РФ, принятой 12 декабря 1993 года, Федеральное Собрание является парламентом РФ. Согласно Советскому энциклопедическому словарю за 1985 год понятие «парламент» происходит от французского слова parler – «говорить».
83307. Оценка принципов разработки ПО 265 KB
  Известно, что основной задачей первых трех десятилетий компьютерной эры являлось развитие аппаратных компьютерных средств. Это было обусловлено высокой стоимостью обработки и хранения данных. В 80-е годы успехи микроэлектроники привели к резкому увеличению производительности компьютера...
83308. Кредит и кредитная система 241.5 KB
  Теоретические основы функционирования кредита и кредитной системы РФ. Сущность понятие функции и виды кредита. Анализ развития кредита в современной России. На нижнем уровне действуют коммерческие банки подразделяющиеся на универсальные и специализированные банки инвестиционные банки...
83309. Экономическое обоснование затрат предприятия 258 KB
  Экономику понимают, во-первых, как совокупность производственных отношений общества, его экономический базис; во-вторых, как народное хозяйство страны; в-третьих, как научную дисциплину, экономическую теорию.
83310. Технико-экономические расчеты при проектировании участка механической обработки детали типа крышка в условиях серийного типа производства. Режим работы двусменный 226.57 KB
  Для предприятий серийного производства характерны значительно меньшие, чем в единичном, трудоемкость и себестоимость изготовления изделий. В серийном производстве, по сравнению с единичным, изделия обрабатываются с меньшими перерывами, что снижает объемы незавершенного производства.