40134

Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Условие существования решения решение систем по формулам Крамера и методом исключений фундаментальная система решений. СЛАУ называется система nго порядка: 1 СЛАУ можно представить в виде матрицы АХ = В где – известные коэффициенты системы 1 – известные правые части системы 1 – неизвестные искомые величины Набор nмерный набор называется решением СЛАУ если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство набор удовлетворяет 1. Если система...

Русский

2013-10-15

130 KB

7 чел.

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система решений.

СЛАУ называется система n-го порядка:  (1)

СЛАУ можно представить в виде матрицы  АХ = В,

где

– известные коэффициенты системы (1)

– известные правые части системы (1)

– неизвестные (искомые) величины

  •  Набор  (n-мерный набор) называется решением СЛАУ, если при подстановке их вместо соответствующих неизвестных  каждое из уравнений системы превращается в истинное равенство (набор удовлетворяет (1)).
  •  Если система обладает хотя бы 1 решением, она называется совместной.
  •  Если имеется лишь единственное решение, то она называется определенной.
  •  Если имеется более 1 решения, то система называется неопределенной.
  •  Если нет ни одного решения, то она называется несовместной.
  •  Если решение одной системы является решением другой системы, то системы называются равносильными.

А – основная матрица

– расширенная матрица

Условия совместимости:

Т. Кронекера-Капелли. Система совместна (имеет хотя бы 1 реш-е)  

 

Док-во: ()

решение  (2)

 А имеет базисный минор r-го порядка. Любой столбец А представляется в виде линейной комбинации базисных столбцов. Перепишем соотношение (2) в виде:

 

линейная комбинация r базисных столбцов  максимальное число линейно независимых столбцов . Аналогично в обратную сторону.

 Решение по формулам Крамера.

Метод применяется в случае квадратной СЛАУ:

Если определитель , то система n-го порядка имеет единственное решение, которое дается в формуле Крамера (в терминах элементов):

,

– определитель, полученный из основного  путем замены j-го столбца столбцом из правой части В.

Док-во:

(для n = 3) Умножим на  и складываем правые и левые части:

Аналогично для .

=>  A-1 => X=A-1B  –  формула Крамера в терминах матричного представления.

Метод Гаусса (метод последовательных исключения).

Не обязательно det0, не обязательно квадратные матрицы. Расширенную матрицу приводим к треугольному виду с единицами на главной диагонали путем элементарных преобразований строк (не столбцов). Элементарные преобразования – 1) перестановка любых двух строк (столбцов); 2) умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0; 3) умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу).

На каждом этапе исключаются некоторые переменные (отсюда название метода).

И потом обратный ход: с конца подставляем решение в предыдущую строку.

Пример

 – «укороченная» система

Фундаментальная система решения однородной системы.

 (2)

АХ=0

, т.к. В = 0. => (2) всегда имеет решение, т.е. совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если r = n => существует единственное нулевое решение по теореме Крамера, так как все .

Если r < n => k = n-r – число свобод неизвестных.

Множество решений системы (2) образует подпространство пространства Rn:

– ВП, поэтому (аксиомы проверять не надо) надо проверить лишь:

L – ВП, его размерность = k   =>   достаточно найти k линейно независимых частных решений, т.е. фундаментальную систему решения.

ФСР является базисом подмножества решений однородной системы (2)

Если – базис, то общее решение есть линейная комбинация этих (свободных) элементов: .

ФСР показывает применение понятия базиса в теории СЛАУ.

Пр.   r=2, k=4-2=2.

Исходная система ~   

1. x3=1, x4=0 => x1=0, x2=1 => f1 = (0,1,1,0).      2. x3=0, x4=1 => x1=0, x2=-1 => f2 = (0,-1,0,1).

f1 и f2 независимы, т.к. det0, существует минор II порядка отличный от 0.

{f1, f2} – базис или фундаментальная система решений. Общее решение:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6324. Математичні моделі завад в каналах звязку. Поняття про модуляцію 243 KB
  Вступ В попередніх лекціях ми говорили про те, що забезпечення інформаційної безпеки пов'язане з комплексним рішенням трьох задач, пов'язаних із забезпеченням доступності, цілісності та конфіденційності інформації. Рішення таких зада...
6325. Цивільна оборона в сучасних умовах 59.5 KB
  Цивільна оборона в сучасних умовах План: Роль і місце Цивільної оборони в житті суспільства Визначення та основні завдання Цивільної оборони Організація і проведення рятувальних та інших необхідних робіт у районах лиха та осередк...
6326. Основні поняття та визначення ІТ 43 KB
  Основні поняття та визначення ІТ План Поняття про ІТ, інф.ресурси, інф. продукти, інф. послуги Оцінювання ефективності інформаційних технологій Специфіка реалізації інформаційних технологій. Поняття заощадження соціального ча...
6327. Виховна робота в Збройних Силах України 98.5 KB
  ВСТУП Виховна робота у військових підрозділах ЗС України організується і проводиться згідно з концепцією виховної роботи у Збройних силах та інших військових формуваннях України, затвердженої Указом Президента України від 4 вересня 1998 року №981/98...
6328. Поняття адміністративного процесуального права та його місце у правовій системі України 119 KB
  Поняття адміністративного процесуального права та його місце у правовій системі України План: 1. Адміністративне процесуальне право як самостійна галузь права. Предмет та методи адміністративного процесуального права. 2. Співвідношення адміністратив...
6329. Філософія її призначення, зміст і функції в суспільстві 52.05 KB
  Філософія її призначення, зміст і функції в суспільстві План: Філософія як слово. Предмет філософії. Функції філософії. Цінність філософії для особи і суспільства. Слово Філософія - грецького походження, буквально означає...
6330. Сучасна вища школа в освітній системі України 75 KB
  Сучасна вища школа в освітній системі України План Система освіти України, її структура Принципи діяльності освітніх закладів Характеристика вищої освіти України початку третього тисячоліття 1. Система освіти України, її структура ...
6331. Поняття, суть і завдання кримінального процесу 81.48 KB
  Поняття, суть і завдання кримінального процесу ПЛАН: Вступ 1. Поняття, сутність та форми кримінального процесу. 2. Завдання кримінального процесу. 3. Система стадій кримінального процесу. 4. Кримінально-процесуальна форма, функції, відносини та гара...
6332. Соціологія як наука. Класифікація соціальних законів. Основні групи категорій соціології 94 KB
  Соціологія як наука Виникнення соціології як окремої науки. Етапи формування соціологічного знання. Предмет і об'єкт соціології. Класифікація соціальних законів. Основні групи категорій соціології. Місце соціології...