40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. – пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. – нулевая матрица 0=А1А = – векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39864. Обществознание. Учебник для 11 класа 2.83 MB
  азделение общества на группы называют социальной дифференциацией. Слово «дифференциация» происходит от латинского корня, означающего «различие». Многие исследователи считают, что дифференциация свойственна любому обществу. Даже в первобытных племенах выделялись группы в соответствии с полом и возрастом, с присущими им привилегиями и обязанностями.
39865. АВТОМОБИЛЬНЫЙ РЕЧЕВОЙ ИНФОРМАТОР 675 KB
  Курсовой проект выполнен на листах содержит чертежей.5 В каждый тарный ящик должен быть вложен упаковочный лист составленный по форме принятой предприятием изготовителем и согласованной с представителем заказчика. Упаковочный лист и сопроводительная документация должны находиться в пакете из полиэтиленовой плёнки ГОСТ 1035482. Сам корпус изготовляется из листового алюминиевого сплава толщиной 1 мм.
39866. Автомобильный речевой информатор 320.5 KB
  Были произведены необходимые инженерные расчеты. РАСЧЕТНОТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Анализ технического задания описания работы информатора речевого автомобильного 1. Проверочный схемотехнический расчет 1. Компоновочный расчет 1.
39867. Разработка стенда для снятия фазо-токовых характеристик ферритовых фазовращателей 1.11 MB
  Нормы времени на разработку определяем из Нормативы времени на разработку КД в НИИ и КБ по всем направлениям техники на ОАО ММЗ; п – количество листов документации ед; К комплексный коэффициент учитывающий различные условия организации труда и вид разрабатываемой аппаратуры. К1 = 10 – тип производства – единичное; К2 = 10 – условия применения РЭС – стационарная; К3 = 14 – количество чертежей; К4 = 06 – одновариантная разработка чертежа; К5 = 12 – перевод на иностранный язык; К6 = 085 – метод размножения документов; К7 = 09 –...
39868. АЦП с буферной памятью 1.45 MB
  Схема АЦП с буферной памятью состоит из следующих блоков: генератор тактовых импульсов, счётчик формирователь адресов, буферную память составляет динамическое ОЗУ, мультиплексор, регистр последовательного приближения, буферный регистр, компаратор, ЦАП и три логических элемента.
39869. Разработка электронного блока для ИИС мониторинга тепловых полей растений 1.38 MB
  В данном дипломном проекте представлен электронный блок для мониторинга температуры деревьев предназначенный для мониторинга окружающей среды. Блок обеспечивает длительные измерения и регистрацию температуру стволов деревьев в атомном режиме. Между состоянием деревьев их водным режимом и температурой стволов существует определенная связь. Температуре деревьев свойственен свой суточный ход который коррелирует с суточным ходом солнечной радиации и температуры воздуха и оказывается смещен по сравнению с ними во времени в зависимости от...
39870. Модель зрительных функций (КЧСМ, ДЧСМ) 686 KB
  В частности физиологами военного труда путем определения надежности стабильная устойчивость и несущественные колебания параметра от одного измерения к другому и валидности адекватность параметра исследуемому явлению различных клиникофизиологических биохимических и психофизиологических параметров было установлено что только комплекс из шести показателей время сложной сенсомоторной реакции с выбором КЧСМ ЧСС пульсовое АД выносливость к статическому мышечному усилию и индекс стептеста обладает значимой корреляционной связью с...
39871. 40 квартирный жилой дом 5.52 MB
  Для защиты деревянных элементов от возгорания и биологического разрушения обработать их препаратом БОПОД. В каждой квартире установлен газовый котел АльфаКолор работающий на природном газу. Определяем расчетный пролет перемычки: Элемент перемычки работает как однопролетная свободно лежащая равномерно загруженная балка. Плита монолитно связана со ступенями которые армируют по конструктивным соображениям и её несущая способность с учетом работы ступеней вполне обеспечивается.
39872. Разработка эффективной технологии сушки рециклового винилхлорида 1.66 MB
  Наибольший интерес к винилхлориду проявили позднее когда И. Первое промышленное производство винилхлорида основанное на щелочной обработке дихлорэтана изза недостатков не позволили полностью удовлетворить растущие потребности в винилхлориде. Простота и удобство этой реакции позволили за очень короткое время построить первые заводы сначала в Германии а затем в Англии. В настоящее время основным видом сырья для производства винилхлорида традиционно используют этилен ацетилен смеси этилена с ацетиленом получаемые крекингом нафты или...