40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. – пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. – нулевая матрица 0=А1А = – векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52897. GLOBAL COLLABORATIVE WORK WITH EPALS 79 KB
  An outstanding American philosopher, psychologist and educational reformer John Dewey perfectly said, "Education is not a preparation for life; education is life itself." We are in an era in which teachers and books are not the only sources of information and lectures are not the only method for delivering and acquiring knowledge. Learning in the 21st century requires critical thinking, adept use of technology...
52898. ЕПОХА ГЕНІЇВ І ТИТАНІВ 231 KB
  Група ІІ Географи та винахідники Великі географічні відкриття та наукові винаходи епохи Ренесансу Група ІІІ Філософи Світоглядні засади гуманізму та його втілення митцями доби Відродження Група ІV Мистецтвознавці Основні тенденції розвитку мистецтва Ренесансу Група V Педагоги –гуманісти Гуманістичні теорії навчання та втілення мрії про щасливе майбутнє у творах представників епохи Група VІ Літературознавці та декламатори Людські почуття та пристрасті у творах найвидатніших представників епохи...
52899. Еритроцити. Переливання крові 153 KB
  Мета уроку 1. Навчальна: Формування поняття про еритроцити як формені елементи крові; формування поняття про групи крові; формування поняття про взаємозв’язок біологічних явищ з математичними діями. Тип уроку: урок засвоєння нових знань Форма уроку: уроклабораторія Обладнання: мікрокопи постійні мікропрепарати крові людини та жаби таблиця Групи крові Міжпредметний зв’язок: біологія тварин історія математика статистика географія фізика Технологічна карта уроку № Етап урока Форма реалізації Кінцевий...
52900. Урок – конкурс з трудового навчання «Технічні ерудити» 34 KB
  Для цього весь навчальний рік розподіляють між навчальними предметами для проведення тижнів фізики хімії літератури трудового навчання тощо. Оскільки в конкурсі передбачено тури в яких виконуються трудові операції треба провести інструктаж з правил безпечної роботи. Після кожного туру конкурсу журі оголошує результати в балах. Програма проведення конкурсу 1й тур Кожний учасник змагання отримує завдання виконати на дошці ескіз деталі та проставити розміри на око.
52901. Екологічний ерудиціон (екологічна гра) 76 KB
  І ми спробуємо сьогодні дати відповідь на нього. Команда за кожну правильну відповідь отримує свою смужку а земна куля очищається від сміття. За правильну відповідь 1 бал Запитання 1. Якщо команда дає неправильну відповідь з подальшої боротьби в цьому турі вибуває.
52902. Уроки литературы в 5 классе. Книга для учителя 1.12 MB
  Из русской литературы XVIII века балладу сказки романы рассказ. Вариативная природа фольклора Урок чтения и обсуждения произведений 3 Сказки как вид народной прозы. Сказки о животных волшебные бытовые сказки Урок знакомства с теоретическими понятиями Царевналягушка Урок чтения и изучения произведения 5 Царевналягушка.
52903. Спонтанні роздуми… 305.5 KB
  Пазли чомусь асоціюються в мене з педагогікою. Тож хіба пазли – то не своєрідний символ науки педагогіки До речі перші пазли були створені не для забавки а як навчальний посібник у 1761 році лондонський торговець географічними картами Джон Спілсбері наклеював останні на дерев′яну основу і розрізав отриманий сандвіч на шматки неправильної форми. І ще: навіть у давнину пазли розрізнялися кількістю й химерністю форм частинок на які було розбито малюнок. Відтак можна говорити про рівні складності завдання А це вже щось зовсім методичне...