40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. – пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. – нулевая матрица 0=А1А = – векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81573. Биохимические механизмы мышечного сокращения и расслабления. Роль градиента одновалентных ионов и ионов кальция в регуляции мышечного сокращения и расслабления 107.85 KB
  В настоящее время принято считать что биохимический цикл мышечного сокращения состоит из 5 стадий: 1 миозиновая головка может гидролизовать АТФ до АДФ и Н3РО4 Pi но не обеспечивает освобождения продуктов гидролиза. Актомиозиновая связь имеет наименьшую энергию при величине угла 45 поэтому изменяется угол миозина с осью фибриллы с 90 на 45 примерно и происходит продвижение актинана 10–15 нм в направлении центра саркомера; 4 новая молекула АТФ связывается с комплексом миозин–Fактин; 5 комплекс миозин–АТФ обладает низким...
81574. Саркоплазматические белки: миоглобин, его строение и функции. Экстрактивные вещества мышц 122.6 KB
  Концентрация адениновых нуклеотидов в скелетной мускулатуре кролика в микромолях на 1 г сырой массы ткани составляет: АТФ – 443 АДФ – 081АМФ – 093. в мышечной ткани по сравнению с концентрациейадениновых нуклеотидов очень мало. К азотистым веществам мышечной ткани принадлежат имидазолсодержащие дипептиды карнозин и ансерин.; метилированное производное карнозина ансерин был обнаружен в мышечной ткани несколько позже.
81575. Особенности энергетического обмена в мышцах. Креатинфосфат 126.43 KB
  Принято считать что процессом непосредственно связанным с работающим механизмом поперечнополосатого мышечного волокна является распад АТФ с образованием АДФ и неорганического фосфата. Возникает вопрос: каким образом мышечная клетка может обеспечить свой сократительный аппарат достаточным количеством энергии в форме АТФ т. каким образом в процессе мышечной деятельности происходит непрерывный ресинтез этого соединения Прежде всего ресинтез АТФ обеспечивается трансфосфорилированием АДФ с креатинфосфатом. Данная реакция...
81576. Биохимические изменения при мышечных дистрофиях и денервации мышц. Креатинурия 106.28 KB
  Общими для большинства заболеваний мышц прогрессирующие мышечные дистрофии атрофия мышц в результате их денервации тенотомия полимиозит некоторые авитаминозы и т. являются резкое снижение в мышцах содержания миофибриллярных белков возрастание концентрации белков стромы и некоторых саркоплазматических белков в том числе миоальбумина. Наряду с изменениями фракционного состава мышечных белков при поражениях мышц наблюдается снижение уровня АТФ и креатинфосфата.
81577. Химический состав нервной ткани. Миелиновые мембраны: особенности состава и структуры 152.07 KB
  Данилевский впервые разделил белки мозговой ткани на растворимые в воде и солевых растворах белки и нерастворимые белки. которые разделили белки нервной ткани на 4 фракции: извлекаемые водой 45 раствором КСl 01 раствором NOH и нерастворимый остаток. В настоящее время сочетая методы экстракции буферными растворами хроматографии на колонках с ДЭАЭцеллюлозой и дискэлектрофореза в полиакриламидном геле удалось выделить из ткани мозга около 100 различных растворимых белковых фракций.
81578. Энергетический обмен в нервной ткани. Значение аэробного распада глюкозы 129.8 KB
  На долю головного мозга приходится 2–3 от массы тела. Следовательно 100 г мозга потребляет в 1 мин 37 мл кислорода а весь головной мозг 1500 г – 555 млкислорода. Газообмен мозга значительно выше чем газообмен других тканей в частности он превышает газообмен мышечной ткани почти в 20 раз. Интенсивность дыхания для различных областей головного мозга неодинакова.
81579. Биохимия возникновения и проведения нервного импульса. Молекулярные механизмы синаптической передачи 109.17 KB
  Молекулярные механизмы синаптической передачи Большинство исследователей придерживаются мнения что явления электрической поляризации клетки обусловлены неравномерным распределением ионов К и Nпо обе стороны клеточной мембраны. Мембрана обладает избирательной проницаемостью: большей для ионов К и значительно меньшей для ионов N. При определенных условиях резко повышается проницаемость мембраны для ионов N. Объясняется это тем что количество ионов N выкачиваемых из клетки с помощью натриевого насоса не вполне точно уравновешивается...
81580. Медиаторы: ацетилхолин, катехоламины, серотонин, γ-аминомаслянная кислота, глутаминовая кислота, глицин, гистамин 107.74 KB
  γАминомасляная кислота выполняет в организме функцию ингибирующего медиатора центральной нервной системы. Действие ГАМК в ЦНС осуществляется путём её взаимодействия со специфическими ГАМКергическими рецепторам Глутаминовая кислота является нейромедиаторной аминокислотой одним из важных представителей класса возбуждающих аминокислот. Эндогенные лиганды глутаминатных рецепторов глутаминовая кислота и аспарагиновая кислота.
81581. Нарушения обмена биогенных аминов при психических заболеваниях. Предшественники катехоламинов и ингибиторы моноаминооксидазы в лечении депрессивных состояний 108.33 KB
  Предшественники катехоламинов и ингибиторы моноаминооксидазы в лечении депрессивных состояний. Например резерпин – понижающее артериальное давление средство специфически тормозит процесс переноса катехоламинов в специальные гранулы нейронов и тем самым делает эти амины доступными действию эндогенной МАО. Многие антидепрессанты вещества снимающие депрессию увеличивают содержание катехоламинов в синаптической щели т. К таким веществам в частности относятся имипрамин блокирует поглощение норадреналина нервными волокнами амфетамин...