40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. нулевая матрица 0=А1А = векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11786. Программирование в MatLab и табулирование функций 120 KB
  Лабораторная работа №7 Программирование в MatLab и табулирование функций Цель работы Дальнейшее изучение прикладного пакета и освоение основных элементов программирования. Порядок выполнения лабораторной работы Создать 2 отдельных Мфайла содержащих каждый ...
11787. Анализ рынков с помощью ресурсов Интернета 216.5 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Анализ рынков с помощью ресурсов Интернета Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.65 Прикладна...
11788. Работа с сервисами в Интернете 304 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Работа с сервисами в Интернете Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.65 Прикладная информатика
11789. Работа со специализированными базами данных в Интернете 732.5 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Работа со специализированными базами данных в Интернете Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.6...
11790. Средства поиска информации в Интернете 907 KB
  Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Мировые информационные ресурсы Средства поиска информации в Интернете Методические указания к выполнению лабораторных работ предназначены для студентов специальности 080801.65 Прикладная инфо
11791. Работа в виртуальной машине Microsoft Virtual PC 259.48 KB
  Отчёт по лабораторной работе №1: Работа в виртуальной машине Microsoft Virtual PC Список причин выключения компьютера раздела Shutdown Event Tracker: Other Planned Выключение или перезагрузка по неизвестной причине. Выберите эту опцию если другие причины выключения/перезагру
11793. Современное состояние и перспективы развития токсикологии отравляющих и аварийно-опасных химических веществ (АОХВ) 106 KB
  В настоящее время в РФ функционирует более 3.5 тыс. объектов, на которых имеются СДЯВ. Суммарная площадь загрязнения при потенциальных авариях может захватить территорию, на которой проживает более трети населения страны. Статистика последних лет свидетельствует, что ежегодно происходит около 50 крупных аварий с выбросов СДЯВ
11794. ОСНОВЫ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ 122.5 KB
  Уровень готовности общества к решению этих задач в значительной степени определяется подготовленностью широких слоев населения к действиям в чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени.