40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. нулевая матрица 0=А1А = векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26884. Морфофункциональная характеристика черепно-мозговых нервов 4.77 KB
  морфофункциональная характеристика черепномозговых нервов Каждый отдел головного мозга человека исторически связан с конкретными дистантными анализаторами хеморецепторами фоторецепторами тактильными или слуховыми системами анализа внешней и внутренней среды организма. Как правило рецепторы расположены на некотором расстоянии от мозга и соединены с ним посредством нервов. Черепные нервы устаревшее название черепномозговые нервы двенадцать пар нервов выходящих из мозгового вещества в основании мозга и иннервирующих структуры...
26885. V-я и VI 1-я пары черепно-мозговых нервов. Общая характеристика, ветвление 2.98 KB
  Двенадцать пар черепномозговых нервов принято делить на 3 чувствительных I пара обонятельный U пара зрительный и VIII пара преддверноулитковый 5 двигательных III пара глазодвигательный IV пара блоковый VI пара отводящий XI пара добавочный и XII пара подъязычный и 4 смешанных V пара тройничный VII пара лицевой IX пара языкоглоточный и X пара блуждающий; в состав последних входят чувствительные двигательные и вегетативные волокна. 5 пара тройничный нервn.
26886. Общие закономерности строения вегетативной нервной системы 2.13 KB
  В симпатической нервной системе преганглионарные нейроны находятся в промежуточном боковом роге спинного мозга от верхнегрудного до среднепоясничного отдела Т1ТЗ. Преганглионарные парасимпатические нейроны залегают в стволе мозга и крестцовом отделе спинного мозга. Постганглионарные нейроны находятся в вертебральных и превертебральных ганглиях в симпатической системе а в парасимпатической они расположены в непосредственной близости от стенки органа который они иннервируют.
26887. Симпатическая часть вегетативной нервной системы. Солнечное сплетение 4.18 KB
  Симпатическая нервная система делится на центральную расположенную в спинном мозге и периферическую включающую многочисленные соединённые друг с другом нервные ветви и узлы. По своему ходу симпатические волокна отделяются от двигательных соматических и далее в виде белых соединительных ветвей вступают в узлы пограничного симпатического ствола. В состав солнечного сплетения входят правый и левый чревные узлы непарный верхний брыжеечный узел большой и малый внутренностные нервы и многие другие которые отходят от узлов в разные стороны...
26888. Парасимпатическая часть вегетативной нервной системы 4.21 KB
  Преганглионарные волокна отходят от центров в составе черепномозговых или спинномозговых нервов. От центров расположенных в среднем мозге преганглионарные волокна доходят до ресничного узла а от него идут постганглионарные волокна к глазу где разветвляются в сфинкторе зрачка и ресничной мышце.Слезоотделительныйпреганглиолярные волокна доходят до клинонёбного ганглия постганглиолярные волокна достигают слёзных желёз желёз неба и носовой полости; 2.Краниальныйоральный слюноотделительный преганглиолярные волокна доходят до...
26889. Блуждающий нерв 4.81 KB
  Направляясь латерально и вниз он покидает череп через переднюю часть яремного отверстия вместе с языкоглоточным и добавочным нервами располагаясь между ними. В области яремного отверстия блуждающий нерв утолщается за счёт верхнего узла лат. ganglion superius а немного ниже через 1015 см имеется ещё один узел несколько больших размеров лат. Спускаясь ниже блуждающий нерв в области шеи ложится на переднюю заднюю поверхность внутренней яремной вены лат.
26891. Защитные и вспомогательные образования глаза 1.53 KB
  Защитные и вспомогательные образования глаза К защитным и вспомогательным приспособлениям глаза относятся орбита глазной жир мышцы глаза веки ресницы конъюнктива слезный аппарат. Орбита является костным остовом глаза и защищает глазное яблоко от механических воздействий. Из коньюнктивального мешка слеза оттекает по носослезному каналу который начинается от слезного мешка во внутреннем углу глаза а заканчивается отверстием на слизистой оболочке носовой полости у входа.
26892. Оболочки и светопреломляющие среды глазного яблока 3.11 KB
  Наружная оболочка глазного яблока соединительнотканного происхождения и делится на две части склеру и роговицу. Склераsclera или белочная оболочка толстая прочная непрозрачная расположена в заднем отделе глазного яблока. Средняя сосудистая оболочка в которой в большом количестве разветвляются сосуды также делится на заднюю собственно сосудистуюchorioidea и переднюю части. В собственной сосудистой оболочке находится отражательная оболочкаtapetum.