40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. нулевая матрица 0=А1А = векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24149. Культура России в XVI в. 32.19 KB
  Фольклор Фольклор XVI в. в XVI в. Публицистика XVI в.
24150. Культура России в 1598-1613 гг 25.48 KB
  Первый период смуты характеризуется борьбой за престол различных претендентов. Таким образом первый этап смуты был отмечен правлением Лжедмитрия I 1605 1606 гг. Второй период смуты. Третий период смуты характеризуется борьбой с иноземными захватчиками.
24151. Экономическое развитие России в XVII в. XVII в 21.87 KB
  XVII в время массового заселения Волги Предуралья начало освоения Сибири. Новым было в XVII в. Всего в XVII в.
24152. Внутренняя политика России в XVII в 20.78 KB
  За малолетних правителей власть осуществляла царевна Софья пытавшаяся отдалить Петра от престола. Софья не желая расставаться с властью подняла против Петра стрелков но восстание было жестоко подавлено а Софья заточена в монастырь.
24153. Внешняя политика России в 17 веке 31.17 KB
  Западнорусские земли стали ареной борьбы населения против угнетения польской шляхтой. начался почти непрерывный ряд казацких восстаний против Польши. В Киевской области было образовано войско реестровых внесенных в списки казаков которые однако переходили на сторону мятежных запорожцев и обращали свое оружие против поляков. Под его командованием русская армия предприняла два неудачных похода против Крымского ханства 1687 1689 находившегося в вассальной зависимости от Турции.
24154. Культура России. 17 век 34 KB
  17 век XVII в. Мы часто говорим: древнерусская культура IXXVII веков но никогда не продлим это определение на следующий XVIII в. Такая переходность культуры в XVII в. В русской архитектуре XVII в.
24155. Россия на рубеже XVII -XVIII веков 30.86 KB
  Разрешение этих задач до Петра было только начато. Точно так же и первая задача национальнополитическая состоявшая в необходимости государственного объединения русского народа еще задолго до Петра вызвала ряд упорных войн с третьим врагом и ближайшим соседом Речью Посполитой. Но еще до Петра московским правительством была сознана невозможность одновременного разрешения обеих задач. Так еще до Петра покинута была на неопределенное время мысль о национальнополитическом объединении русского народа: чтобы поддержать добрые отношения с...
24156. Преобразования Петра I. Северная война 31.8 KB
  2011 Рубрика: История России 08 Петр I После смерти Федора на престол должен был взойти его брат Иван однако он был слаб здоровьем и патриарх с боярами предложили объявить царем Петра. По их требованию Софья была назначена регентом при малолетних Иване и Петре. Детство Петра прошло в селе Преображенском и в Немецкой слободе среди иностранных авантюристов ученых военных.
24157. Эпоха дворцовых переворотов 28.27 KB
  В первые годы прошедшие со смерти Петра Великого судьбу русского престола нельзя назвать благополучной: с 1725 г. Причинами дворцовых переворотов по мнению большинства историков стали: ü указ Петра 1 от 1722 года о наследии престола; ü большое количество прямых и косвенных наследников дома Романовых; ü противоречия между самодержавной властью правящей верхушкой и господствующим сословием. К концу правления Петра I напряженность отношений в этом треугольнике достигла критической отметки что было вызвано крайне невыгодным для...