40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. нулевая матрица 0=А1А = векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52747. Люди перестають мислити, коли перестають читати. Інтерактивне навчання 3.76 MB
  На сучасному етапі навчання літератури значну роль відведено вихованню вдумливого читача людини з розвиненим критичним мисленням здатної оцінювати себе і навколишній світ що не можливо без формування базових якостей особистості розвитку її активного начала. Над проблемою Критичне мислення як засіб розвитку творчої особистості учня в процесі соціалізації працюю з 2007 року. У дзеркалі соціології читання відображає наші цінності та погляди стереотипи свідомості та алгоритми мислення реакцію на своє оновлення та духовне...
52748. Біоадекватна технологія як умова розвитку творчого мислення школярів 59 KB
  Проект Концепції літературної освіти в 11річній загальноосвітній школі визначає головною метою літературної освіти виховання читацької особистості з розвиненим естетичним смаком самостійним критичним мисленням гуманістичним світоглядом. Обєкт літературної освіти особистість учня його духовноемоційний світ моральні цінності та орієнтації творче мислення уява читацькі компетенції мовлення. Вивчення літератури за біологічно адекватною технологією БАТ якраз і сприяє розвязанню таких завдань як формування в...
52749. Формування у молодших школярів мотивації до навчання 48.5 KB
  Проблема розвитку мотивації навчання в останній час стає все більш актуальною. свідчать що основи мотивації навчання закладаються у початковій школі тому саме молодший шкільний вік має великі резерви формування мотиваційної сфери учнів. Зусилля практиків та науковців сьогодні спрямовані на дослідження певних організаційних форм та змістових компонентів навчальної діяльності за яких відбувається посилення мотивації навчання що оптимізує весь навчальновиховний процес.
52750. Організація дитчого самоврядування 119 KB
  З цією метою у школі сформована певна діюча структура органів самоврядування. Провідна ідея: всебічне виховання учнів через участь в органах самоврядування. Пріоритетні напрями діяльності: навчальна робота; виховна робота; інформаційно методична робота; розвиток учнівського самоврядування. Організація самоврядування побудована на інноваційних підходах: задоволення учнівської природної потреби у...
52751. Розвиток критичного мислення учнів на уроках математики як важливого елементу продуктивної технології навчання 147.5 KB
  Кривий Ріг Україна Розвиток критичного мислення учнів на уроках математики як важливого елементу продуктивної технології навчання У статті розкрито розвиток критичного мислення учнів на уроках математики як важливого елементу продуктивної технології навчання. Як відомо у шкільній освіті існує безліч методів навчання різні типи уроків які переслідують одну єдину мету засвоєння знань учнями. Учень і вчитель є рівноправними субєктами навчання. Організація інтерактивного навчання припускає моделювання життєвих ситуацій використання...
52753. Розробка і виготовлення композицій за творами О.Довженка на уроках трудового навчання з теми «Художня обробка деревини» 2.71 MB
  Із творчістю одного з таких митців – письменника, художника, кінемотографіста, дуже талановитої людини - Олександра Петровича Довженка, діти продовжують знайомство на уроках праці, розробляючи і виготовляючи композиції за його творами. Батьківщина Олександра Петровича – це золотаві соняшники, жовтогарячі колоски пшениці, синє волошкове поле, мальовничі луки, Біла круча на Десні, пісня солов’я...Саме про це й говоримо на уроках. Зачитуємо епізоди з творів письменника, а потім виконуємо завдання: створити композицію за уривками
52754. ХОЧЕШЬ СТАТЬ МИЛЛИОНЕРОМ? DO YOU WANT TO BE A MILLIONAIRE? 142.81 KB
  Начало викторины. Организационный момент. Игра дает шанс поиграть каждому из 7 участников по очереди. Они сидят на стульях перед сценой, спиной к зрительному залу. Ведущий задает вопросы в порядке увеличения трудности вопроса и его стоимости. У участников есть 1 подсказка - помощь друга. В случае ошибки ему выдается стоимость предыдущего вопроса (в евромонетах), а затем принимается следующий игрок. Правильные ответы приветствуются аплодисментами. В конце игры объявляются победители. Great Britain is divided into ... (10 «евро») a) three parts; b) five parts; c) four parts; d) two parts. 2. What is a Picadilly Circus? (20 «евро») a) a circus; b) a square; c) a street; d) a house. 3. What is the Tower of London now? (50 «евро») a) a prison; b) a museum; c) a house; d) a fortress.
52755. Інтегрований урок. Українська література + фізична культура. 5 клас 195.5 KB
  Завдання: прочитати речення з певними інтонаціями: Спочатку із захопленням потім з осудом Ну і богатир Із захватом із розчаруванням Оце так козак Зачудовано із зневагою Яка красуня Домашнє завдання 3хв. Перевірка домашнього завдання Що ви знаєте про речення Як ви розумієте епіграф до нашого уроку Мотивація навчання школярів 45хв. Завдання: створити словесний образ слова здоровя або 2. Завдання: Скласти 5 речень з ключовими словами: Діти Небезпека Правила Здоровя Оголошення теми і мети уроку 1хв.