40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. нулевая матрица 0=А1А = векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43184. Особливості уяви дітей дошкільного віку 340 KB
  Центральним новоутворенням психічного розвитку дітей дошкільного віку є уява. Уява - один із важливих психічних процесів, що безпосередньо входить у будь-який творчий процес людини на різних етапах її життя та забезпечує засвоєння різних форм людської культури в онтогенезі. Уява формується разом із допитливістю дитини ще в ранньому віці, але свого інтенсивного розвитку і особливого значення набуває саме в дошкільному віці.
43185. Эффективность действия галоперидола и сероквеля на продуктивную, негативную, депрессивную симптоматику в рамках параноидной непрерывно-текущей шизофрении (согласно критериям МКБ 10) у женщин 310.5 KB
  От своевременной и адекватной терапии больных шизофренией в конечном счете зависит отдаленный прогноз и исход заболевания. К ним следует отнести вопросы о предпочтительности монотерапии или полипрогмазии необходимость лечения в межприступном периоде вопрос о способах введения нейролептиков и уровня их доз резистентность к нейролептической терапии. В связи с этим трудно переоценить значение любого атипичного нейролептика особенно если он действительно позволяет решить проблему побочных эффектов и резистентности к терапии. Общие принципы...
43186. Порядок учета и контроля выпуска и отгрузки готовой продукции 251 KB
  В настоящее время бухгалтерская служба имеет реальную возможность формировать модель хозяйственной деятельности предприятия, основываясь на базе первичных учетных документов, что вывело ее в разряд подразделений, которые, способны осуществлять прогнозирование финансового результата. Подвергнув обработке журналы хозяйственных операций, составленные в течение нескольких прошедших периодов, бухгалтерия может с определенной степенью точности предугадать величину будущей прибыли и повлиять на нее.
43187. Инфляция и её социально-экономические последствия 341.5 KB
  Проблема инфляции занимает человечество уже более 200 столетий. Целю курсовой работы является : раскрыть смысл процесса инфляции посредством рассмотрения понятия инфляции ее причин и видов. Задачи курсовой работы: раскрыть смысл понятия инфляция; дать классификацию инфляции; изучить экономические и социальные последствия инфляции; рассмотреть историю инфляционных процессов и выявить их влияние на экономику; выявить возможные причины инфляции и проанализировать их; изложить возможности преодоления инфляции и меры борьбы с ней;...
43188. Создание автоматизированной информационной системы (АИС) с учебно-исследовательской базой данных (БД) 3.79 MB
  БАЗА ДАННЫХ СУЩНОСТИ АТРИБУТЫ СВЯЗИ ПЕРВИЧНЫЙ КЛЮЧ НОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАПРОСЫ ФОРМЫ ОТЧЕТЫ. Цель работы создание автоматизированной информационной системы АИС с учебноисследовательской базой данных БД. Достигнутые результаты: определены все наиболее значимые сущности предметной области и их атрибуты создана база данных для учета продаж путевок учета отелей и клиентов туристической фирмы.
43189. СВЕТОФОР НА ОСНОВЕ МИКРОКОНТРОЛЕРА 375.5 KB
  Бурный процесс автомобилизации с каждым годом охватывает все большее число стран, постоянно увеличивается автомобильный парк, количество вовлекаемых в сферу дорожного движения людей. Рост автомобильного парка и объема перевозок ведет к увеличению интенсивности движения, что в условиях городов с исторически сложившейся застройкой приводит к возникновению транспортной проблемы. Особенно остро она проявляется в узловых пунктах улично-дорожной сети. Здесь увеличиваются транспортные задержки, образуются очереди и заторы, что вызывает снижение скорости сообщения, неоправданный перерасход топлива и повышенное изнашивание узлов и агрегатов транспортных средств.
43190. Взаимосвязь между состоянием здоровья населения и загрязнением атмосферного воздуха в г.Абакане 376.5 KB
  К раздражителям вызывающим эти болезни относятся SO2 и SO3 азотистые пары HCl HNO3 H2SO4 H2S фосфор и его соединения. В структуре заболеваемости детей по Республике Хакасия наибольшую часть составили болезни органов дыхания 429 второе место занимают болезни органов пищеварения 77 третье болезни кожи и подкожной клетчатки 68. Инфекционные и паразитарные болезни травмы составили 73 и 63 соответственно. В структуре заболеваемости подростков на 1 месте с удельным весом 2315 3 ранг находятся...
43191. Проектирование состава тяжелого цементного бетона на плотных заполнителях 1.7 MB
  Корректировка состава бетонной смеси по удобоукладываемости. Расчет расхода материалов на заданный объем бетоносмесителя. Проектирование состава имеет цель установить такой расход материалов на 1 бетонной смеси при котором наиболее экономично обеспечивается получение удобоукладываемой бетонной смеси и заданной прочности бетона а в ряде случаев необходимой морозостойкости водонепроницаемости и специальных свойств бетона. Состав бетонной смеси выражают в виде соотношения по массе реже по объему между количествами...
43192. Розробка структури і технології управління об’єктом на прикладі ТОВ „Альтаір” 1.2 MB
  Товариство з обмеженою відповідальністю «Альтаір» було створене, не маючи в своєму розпорядженні зовсім ніякої бази, крім початкового капіталу, що склав 897 тисяч гривень. Така ситуація має свої як переваги, так і недоліки. Їх дуже гарно можна виявити, порівнявши нашу фірму з багатьма сучасними підприємствами автомобільного транспорту, які були створені зовсім недавно на базі старих нерентабельних державних АТП.