40135

Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Евклидово пространство. Векторное линейное пространство Непустое множество элементов называется векторным пространством над полем лямбда если выполняется следующие аксиомы: I. – пространство строк из n чисел xyx1y1xnyn x=x1 xn =00 =x x=1x=x1xn = вещественное пространство является векторным. – нулевая матрица 0=А1А = – векторное пространство.

Русский

2013-10-15

147.5 KB

3 чел.

4. Линейные пространства. Аксиоматика, примеры (линейные пространства строк из n чисел, т*n-матриц, непрерывных на отрезке функций). Размерность, базис и система координат в Rn разложение по базису. Евклидово пространство.

Векторное (линейное) пространство

Непустое множество элементов  называется векторным пространством над полем  (лямбда), если выполняется следующие аксиомы:

I. V – абелева (коммутативная) группа относительно операции сложения. Означает, что определена операция сложения: (декартово произведение)

любой паре (х, у) ставится в соответствие элемент z = x + y, обладающий свойствами

1 х + у = у + х   (коммутативность)

2 (х + у) + z = x + (y + z)   (ассоциативность)

3 аксиома нуля   V:   x + = x

4  x  V, (-x)  V:    x + (-x) = .

(-x – противоположный к x)

V является коммутативной группой по операциям сложения.

II. пусть  – поле скаляров (R – вещественное, С – комплексные)

и определены операции умножения:

Выполняются аксиомы:

5  (х) = ()х (ассоциативность)

6 ( + )х = х + х  (дистрибутивность)

7 (х + у) = х + у  (дистрибутивность)

, то ВП называется вещественным (ВВП)

, то ВП называется комплексным (СВП)

В любом ВП:

1)

2)

Рассмотрим на конкретных примерах:

1.   – пространство строк из n чисел

x+y(x1+y1,…,xn+yn),

x=(x1,…, xn),

=(0,…,0) (=x),

(-x)=(-1)x=(-x1,…,-xn) => вещественное пространство является векторным.   

2.  – множество всех матриц размерности nm с обычными операциями сложения и умножения на число.

– нулевая матрица,

0=А+(-1)А  =>  – векторное пространство.  

3.  – множество всех непрерывных на [a,b] функций. С обычными действиями над функциями.

Нулевой элемент = 0 – постоянная функция .

Противоположный элемент  -f – противоположная функция => V – ВВП.

Размерность ВП

ВП V называется n-мерным, если в этом пространстве хотя бы 1 линейно независимая система из n элементов, а любая система из (n+1) элемента будет линейно зависима.

n называется размерностью и обозначается n = dim V

dim V = max число линейно независимых элементов

Пример 

Система  линейно независима, если  выполняется только когда все ,,…,=0.

Если в V имеется любое число линейно независимых элементов, то оно называется бесконечномерным.

УТВ. dim V = n  любые n линейно независимых элементов образуют базис этого пространства.

Базис

Пусть V – ВП

Система  называется базисом этого пространства V, если она

1) линейно независима

2) для   

(любой элемент представляется как комбинация остальных элементов) – разложение элемента x по базису {ei} с координатами (x1,…,xn), которые определены только в данном базисе.

xV, ! разложение, т.е. координата xi относительно базиса определяется однозначно.

Док-во: допустим имеется еще одно разложение

Получили противоречие, ч.т.д.

Пример  образует базис.

Численное значение базиса заключается в следующем: линейные операции над элементами сводятся к таким же операциям над обычными числами:

1)

2)

Система координат в R3.

– попарно перпендикулярны, ,  – ортонормированный базис.

– единичные орты. Приводим к общему началу и строим систему координат.

O – начало координат

Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат

Получим прямоугольную систему координат.

Возьмем любую точку М – она порождает радиус-вектор точки М. Координаты вектора  можем найти через проекции на эти оси.

Система координат в R2.

xmпроекция  на Ox

, тогда

– направляющие косинусы

Евклидово пространство – вещественное векторное пространство, для которого:

1. имеется правило

 

2. скалярное произведение подчинено следующим аксиомам:

1)  (x, y) = (y, x)   (коммутативность)

2)  (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)   (дистрибутивность)

3)  (x, y)=(x, y)

4)  (х, х) = х2 >= 0,

если (х, х) = 0 => х=0.

Свойства ЕП

1  – неравенство Коши-Буняковского.

Док-во:

рассмотрим неравенство как квадратное уравнение,

Обобщение Т.Пифагора: если (х,у) = 0, т.е. ортогональные, то

(x + y, x + y) = (x, x) + (y, y).


j

k

O

M

z

y

x

ym

i

j

xm

O

M

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75050. Основные направления поэтического творчества Ф. Достоевского 111.5 KB
  Цель моей исследовательской работы: выявить основные направления поэтического творчества Ф. Достоевского. Объект исследования: произведения поэта, литература о жизни и творчестве поэта после выхода из острога в 1854 году. Задачи исследования я бы сформулировала так: «Каково поэтическое наследие Ф.М.Достоевского?»
75051. Берегите око от монитора 505 KB
  Целью моей исследовательской работы стало изучение влияния компьютера на здоровье школьников а именно влияние компьютера на зрение ребёнка исходя из этого были поставлены следующие задачи: Задачи: Проанализировать влияние компьютера на зрение учащихся.
75052. Исследование динамики распространения вируса гриппа среди населения 114.5 KB
  В последние дни апреля 2009 года в средствах массовой информации появилось сообщение о появлении в Мексике нового вируса гриппа. Жертвами заболевания в Мексике стали в основном взрослые люди от 25 до 45 лет отличительная черта пандемического гриппа. человек 165 населения том числе...
75053. Формирование желаемого поведения (на примере кошки) 92 KB
  Цель моей работы - изучение теории подкрепления и её практическое применение в воспитании домашней кошки Василисы. Мной поставлены задачи: познакомиться с теорией подкрепления желаемого поведения, изучить законы подкрепления, применить принципы подкрепления на практике.
75054. Памятники 63 KB
  Памятники –- это не только архитектурные сооружения со своими композиционными особенностями но это прежде всего история. А история нашего города –- это памятники которые могут о многом поведать: и смутные годы гражданской войны и героические страницы Великой Отечественной и давно забытый...
75055. Каспий. Карты прошлого и настоящего 970.5 KB
  Свое название море получило от имени древних племен - каспиев, населявших среднее и юго-восточное Закавказье во втором тысячелетии до нашей эры. В первом тысячелетии до нашей эры соседние племена оттеснили каспиев в юго-западную часть побережья, которое получило название Каспиана.
75056. Диета и ее последствия 656.5 KB
  Цель работы: Определить позитивные и негативные стороны диет. Гипотеза: Не каждая диета является подходящей для любого организма. Задачи: Проследить историю диет. Изучить виды диет. Опросить девушек разных возрастных групп Провести анкетирование среди девушек нашей школы «Как я отношусь к диетам»
75057. Особенности почв участка Кожуховского затона 334 KB
  Существенным и неотъемлемым качеством почвы является её плодородие. Плодородие почвы называют её способность обеспечивать растения необходимым количеством питательных элементов воды и воздуха.
75058. Абак. Реконструкция римского абака 348 KB
  Первыми приспособлениями для вычислений были вероятно всем известные счётные палочки которые и сегодня используются в начальных классах многих школ для обучения счёту. Абак - счётная доска применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н.