40136

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке эпсилон-дельта и языке пределов, равномерная непрерывность

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Обратное не верно: xn=nsin n неограниченная не бесконечно большая Функция Функцией y = fx называется закон по которому каждому значению xDfR ставится в соответствие единственное действительное число yR. Функция может быть задана аналитически то есть формулой таблично или графически. y=x2 Если функция задана таблично то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию заменяя функцию линейной квадратичной на участке между двумя значениями аргумента. Например fx0=0 = 3  O1...

Русский

2013-10-15

165 KB

20 чел.

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие  по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn,.. = {xn} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Если даны 2 последовательности {xn} и {yn}, то последовательность {xn + yn} называется их суммой, {xn * yn}  – произведением, {xn / yn} для  yn  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при

 если  >0 такой номер N0>0:    n > N0:   

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример.

1,  1-1/2,  -1,     2,  1,  1-1/4,  -2,      3,  1-1/8,  -3, …     n,  1-1/2n,  -n, …

Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; -

– неконечный,     – неконечный.

Последовательность расходящаяся.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример.

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {xn} называется бесконечно малой.

Если  – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая:  бесконечно большая неограниченная

Неограниченный: для M > 0    n0N:  |xn|  M 

Бесконечно большая: для >0  N0: для всех n>N0:  |xn| >

n = N0+1  |xn| >   M  n

бесконечно большая неограниченная. Обратное не верно:

xn=n*sin n

неограниченная

не бесконечно большая

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x),  xD(f)} называется  множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x2

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

  для  > 0   > 0:   xD(f) O(x0) \ {x0}:  f(x) O(A)

(O  -окрестность).

Зачем \ {xn}.  Например

f(x0=0) = 3  O(1)

Левосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Правосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Двусторонний предел

  

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

  1.  
  2.  .

На языке пределов:  функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2)  

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1)

2) для  > 0   > 0:  x: | xx0| < δ: | f(x) – f(x0)|  < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

f(x0+) = A  < 

f(x0–) = B  <

x0разрыв I рода, скачок

2. Если хотя бы один из односторонних

пределов = или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют  и конечны. (Пример: y = x2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма , произведение , частное, суперпозиция  есть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x, ax, logax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

 

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

 

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0  это точка разрыва.

– разрыв II рода.

Пример

– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть ;

2. для последовательность .

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Т1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то такая окружность O(x0) точки x0: f(x) > 0

Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b]  f(c)=0

Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = , f(b) = , – между и , тогда с[a, b]:  f(с) =

Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0   > 0:  x1, x2  M из |x1x2|< δ => |f(x1)-f(x2)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x1. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

окрестность

1 2       … n N0

x0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49524. Расчет параметров систем передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами 676 KB
  Для преобразования непрерывного сообщения в цифровую форму используются операции дискретизации и квантования. ЗАДАНИЕ НА ПРОЕКТИРОВАНИЕ Исходными данными для выполнения работы являются: параметр характеризующий порядок фильтра формирующего сообщение: к=4; эффективное значение относительной среднеквадратической ошибки передачи информации: =05=0005; частота определяющая ширину спектра сообщения: f0=1200 Гц; вид модуляции: ЧМ; закон распределения: W4 x = . СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНОГО...
49525. Проект лавы 248.13 KB
  Расчёт толщины стружки и производительности струговой установки Описание технологии работы струговой установки Время крепления призабойного пространства индивидуальной крепью Проведение ниш Крепление сопряжений Выбор способа управления кровлей и обоснование специальной крепи. при работе по падению До 5 Сопротивляемость угля резанию кН м до 250 Характеристика пород непосредственной кровли Не ниже средней устойчивости Скорость движения струга м сек 152 Толщина стружки см до 10 Схема работы струга Челноковая...
49526. Расчет параметров систем передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами 412.93 KB
  Расчет информационных характеристик источника сообщения и канала связи К входным преобразованиям относятся ограничения максимальных значений сообщения дискретизация и квантования непрерывного сообщения. Полагая что три из перечисленных выше ошибок имеют одинаковую величину определим их значения: 2 где 1 эффективное значение относительной ошибки вызванной временной дискретизацией сообщения 2 эффективное значение относительной ошибки вызванной ограничением максимальных...
49527. ЭСН и ЭО механического цеха 430.6 KB
  Перед энергетикой в ближайшем будущем стоит задача всемерного развития и использования возобновляемых источников энергии: солнечной, геотермальной, ветровой, приливной и др. Развития комбинированного производства электроэнергии и теплоты для централизованного теплоснабжения промышленных городов.
49529. Разработка процесса разделения углеводородной смеси 183 KB
  В результате чего выходящие из аппарата пары представляют собой почти чистый НК. Часть конденсата возвращаемая на орошение аппарата называется флегмой другая часть отводится в качестве дистиллята. Она заключается в конденсации газов и последующей ректификации полученного конденсата. В промышленных установках для охлаждения газов используют дросселирование сжатого газа эффект Джоуля Томсона; адиабатическое и политропное расширение газа с совершением внешней работы в специальных аппаратах детандерах; применяют также различные...
49531. Методы анализа бактериостойкости материалов и изделий 937 KB
  Цель работы: закрепление и углубление знаний, полученных при изучении курса микробиологии, приобретение практических навыков и опыта работы в микробиологической лаборатории. Ознакомление с понятием «биоповреждение», его видами и механизмами возникновения, подробное изучение методов анализа бактериостойкости материалов и изделий, а также способов их защиты от биоповреждений.
49532. Капитальный ремонт пути на новых материалах 669.5 KB
  Капитальный ремонт пути на новых материалах Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине: Техническое обслуживание и ремонт железнодорожного пути КП. ЗАДАНИЕ на курсовой проект студента 3 курса специальности 270204 Строительство железных дорог путь и путевое хозяйство по дисциплине Техническое обслуживание и ремонт железнодорожного пути Самойлова Виктора Сергеевича...