40136

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке эпсилон-дельта и языке пределов, равномерная непрерывность

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Обратное не верно: xn=nsin n неограниченная не бесконечно большая Функция Функцией y = fx называется закон по которому каждому значению xDfR ставится в соответствие единственное действительное число yR. Функция может быть задана аналитически то есть формулой таблично или графически. y=x2 Если функция задана таблично то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию заменяя функцию линейной квадратичной на участке между двумя значениями аргумента. Например fx0=0 = 3  O1...

Русский

2013-10-15

165 KB

20 чел.

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие  по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn,.. = {xn} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Если даны 2 последовательности {xn} и {yn}, то последовательность {xn + yn} называется их суммой, {xn * yn}  – произведением, {xn / yn} для  yn  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при

 если  >0 такой номер N0>0:    n > N0:   

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример.

1,  1-1/2,  -1,     2,  1,  1-1/4,  -2,      3,  1-1/8,  -3, …     n,  1-1/2n,  -n, …

Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; -

– неконечный,     – неконечный.

Последовательность расходящаяся.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример.

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {xn} называется бесконечно малой.

Если  – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая:  бесконечно большая неограниченная

Неограниченный: для M > 0    n0N:  |xn|  M 

Бесконечно большая: для >0  N0: для всех n>N0:  |xn| >

n = N0+1  |xn| >   M  n

бесконечно большая неограниченная. Обратное не верно:

xn=n*sin n

неограниченная

не бесконечно большая

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x),  xD(f)} называется  множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x2

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

  для  > 0   > 0:   xD(f) O(x0) \ {x0}:  f(x) O(A)

(O  -окрестность).

Зачем \ {xn}.  Например

f(x0=0) = 3  O(1)

Левосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Правосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Двусторонний предел

  

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

  1.  
  2.  .

На языке пределов:  функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2)  

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1)

2) для  > 0   > 0:  x: | xx0| < δ: | f(x) – f(x0)|  < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

f(x0+) = A  < 

f(x0–) = B  <

x0разрыв I рода, скачок

2. Если хотя бы один из односторонних

пределов = или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют  и конечны. (Пример: y = x2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма , произведение , частное, суперпозиция  есть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x, ax, logax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

 

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

 

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0  это точка разрыва.

– разрыв II рода.

Пример

– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть ;

2. для последовательность .

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Т1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то такая окружность O(x0) точки x0: f(x) > 0

Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b]  f(c)=0

Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = , f(b) = , – между и , тогда с[a, b]:  f(с) =

Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0   > 0:  x1, x2  M из |x1x2|< δ => |f(x1)-f(x2)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x1. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

окрестность

1 2       … n N0

x0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38606. Разработка метода синтеза третбутилзамещенных хиноксалинопорфиразинов 580.5 KB
  В дипломе представлен обзор литературы об особенностях комплексных соединений природных и синтетических порфиринов, о строении и спектральных свойствах, а также о способах синтеза фталоцианина и его структурных аналогов, экспериментальная часть и обсуждение результатов.
38607. ВПЛИВ ТРИВОЖНОСТІ НА ПРОЯВИ ОБМАНУ У ДОШКІЛЬНОМУ ВІЦІ 2.28 MB
  У нашому дослідженні під тривогою розуміється психічний стан, що виникає в ситуаціях невизначеної небезпеки, функціональне попередження про можливу небезпеку і спонукання людини до дослідження оточуючої дійсності з метою виявлення загрозливих об’єктів (за В. Вікторовою).
38608. ТЕХНИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА ЮНЫХ ОРИЕНТИРОВЩИКОВ 12 – 13 ЛЕТ 3.77 MB
  С помощью карты начальник дистанции планирует трассы оборудует их на местности. Все спортивные карты должны оформляться в условных знаках и обладать определенными качествами: точность информативность объективность читаемость и полнота содержания Зубков С. У спортивной карты можно выделить две функции. Его применение служит двум целям ориентирование карты и выдерживание направления на местности.
38610. Гидрохимия кислых рудничных вод и геохимия донных отложений Медногорской геотехнической системы (Южный Урал) 1.42 MB
  Пыль из объединенного дымохода Медногорского медно-серного комбината состоит из пирита, халькопирита, станнина, Cu-Zn-шпинели, кварца и алюмосиликатов. Аэральные потоки тяжелых металлов в виде тонкодисперсной пыли при депонировании в почвах формируют техногенные геохимические аномалии, пространственное положение которых определяется, главным образом, розой ветров.
38611. Проектирование предприятия по обработке мясных продуктов в поселке Торбеево, Торбеевского района, Республики Мордовия 226 KB
  Эффективность производства мяса и мясных продуктов в значительной мере зависит от региона вида и породы животного условий их кормления и содержания а также от термической оснащенности мясоперерабатывающих предприятий. Химический состав и энергетическая ценность мяса представлены в таблице 1. Таблица 1 Химический состав и энергетическая ценность мяса Ассортимент продукции.2 Требования к качеству готовой продукции Химический состав мяса зависит от вида пола возраста породы упитанности животных и части туши.
38612. Цифровой звук в мультиплексах 2.31 MB
  Использование в звукочитающих системах кинопроекторов фотоэлемента делало наиболее предпочтительной фонограмму, состоящую из металлического серебра чёрно-белой киноплёнки. Появление цветного кино на многослойных киноплёнках заставило искать способы улучшения качества фонограммы, поскольку изображение таких киноплёнок состоит из красителей
38613. Выполнение отделочных строительных работ на оконных заглушинах из кирпича 198 KB
  Расчетнопояснительная записка на тему: выполнение отделочных строительных работ на оконных заглушинах из кирпича. Подготовка объекта к отделочным строительным работам 2. Выполнение штукатурных работ. Выполнение малярных работ.
38614. Анализ механизма начисления и выплаты пенсий, выявление проблем и разработка путей их решения 896 KB
  Появление внебюджетных и целевых бюджетных фондов находится в общей децентрализации государственных финансов на этапе рыночных преобразований. Выделение в составе бюджетов различных уровней и за пределами специальных фондов, со своими источниками и направлениями расходования, призвано было принципиально изменить подход всех субъектов социально-экономической сферы к финансовым средствам. Основная причина создания всех фондов одна – обеспечение более эффективного использования средств.