40136

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке эпсилон-дельта и языке пределов, равномерная непрерывность

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Обратное не верно: xn=nsin n неограниченная не бесконечно большая Функция Функцией y = fx называется закон по которому каждому значению xDfR ставится в соответствие единственное действительное число yR. Функция может быть задана аналитически то есть формулой таблично или графически. y=x2 Если функция задана таблично то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию заменяя функцию линейной квадратичной на участке между двумя значениями аргумента. Например fx0=0 = 3  O1...

Русский

2013-10-15

165 KB

22 чел.

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие  по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn,.. = {xn} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Если даны 2 последовательности {xn} и {yn}, то последовательность {xn + yn} называется их суммой, {xn * yn}  – произведением, {xn / yn} для  yn  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при

 если  >0 такой номер N0>0:    n > N0:   

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример.

1,  1-1/2,  -1,     2,  1,  1-1/4,  -2,      3,  1-1/8,  -3, …     n,  1-1/2n,  -n, …

Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; -

– неконечный,     – неконечный.

Последовательность расходящаяся.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример.

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {xn} называется бесконечно малой.

Если  – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая:  бесконечно большая неограниченная

Неограниченный: для M > 0    n0N:  |xn|  M 

Бесконечно большая: для >0  N0: для всех n>N0:  |xn| >

n = N0+1  |xn| >   M  n

бесконечно большая неограниченная. Обратное не верно:

xn=n*sin n

неограниченная

не бесконечно большая

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x),  xD(f)} называется  множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x2

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

  для  > 0   > 0:   xD(f) O(x0) \ {x0}:  f(x) O(A)

(O  -окрестность).

Зачем \ {xn}.  Например

f(x0=0) = 3  O(1)

Левосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Правосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Двусторонний предел

  

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

  1.  
  2.  .

На языке пределов:  функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2)  

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1)

2) для  > 0   > 0:  x: | xx0| < δ: | f(x) – f(x0)|  < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

f(x0+) = A  < 

f(x0–) = B  <

x0разрыв I рода, скачок

2. Если хотя бы один из односторонних

пределов = или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют  и конечны. (Пример: y = x2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма , произведение , частное, суперпозиция  есть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x, ax, logax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

 

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

 

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0  это точка разрыва.

– разрыв II рода.

Пример

– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть ;

2. для последовательность .

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Т1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то такая окружность O(x0) точки x0: f(x) > 0

Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b]  f(c)=0

Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = , f(b) = , – между и , тогда с[a, b]:  f(с) =

Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0   > 0:  x1, x2  M из |x1x2|< δ => |f(x1)-f(x2)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x1. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

окрестность

1 2       … n N0

x0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31824. СВИНЦОВО-КИСЛОТНИЙ АКАМУЛЯТОР 6-СТ-90 550.5 KB
  Приготовление пасты. Расчёт объема пасты осуществляется по формуле. Поэтому при формировании очередной партии пластин отрицательной и положительной пасты меняются местами и следовательно изменяется полярность подачи напряжения на шины.3 Приготовление пасты Активная масса свинцовых аккумуляторов образуется в результате электрохимических процессов окисления или восстановления протекающих в электродных пастах при формировании намазных этими пастами пластин.
31825. Разработка информационно-справочного ресурса культурно-развлекательного центра «Мистик» способного представлять текстовую и графическую информацию пользователю 8.37 MB
  3 Анализ достоинств и недостатков имеющихся технологий 3 Техническое задание на создание ресурса 22 4 Проектирование работы ресурса с помощью UML 32 5 Реализация информационного ресурса 5.1 Разработка информационного ресурса 5.2 Описание интерфейса 6 Тестирование работы ресурса и контрольный пример работы 6.1 Тестирование интернет ресурса 6.
31826. Создание электронного ресурса, который поможет сделать процесс управления образованием более оперативным и удобным 4.53 MB
  3 Описание языка [2] PHP англ. PHP: Hypertext Preprocessor PHP: препроцессор гипертекста англ. [4] В области программирования для Сети PHP один из популярных скриптовых языков наряду с JSP Perl и языками используемыми в SP.NET благодаря своей простоте скорости выполнения богатой функциональности кроссплатформенности и распространению исходных кодов на основе лицензии PHP.
31827. Поиск субоптимальных параметров в методе аддитивного расщепления 240.81 KB
  Субоптимальные параметры расщепления максимально с точностью до малого параметра расширяют по вещественной оси спектральную область сходимости. Также проблематично бывает проверить условие сходимости которое обычно не выполняется. В связи с этим в данной дипломной работе для схемы МАР находятся такие параметры при которых спектральная область сходимости содержала бы интервал на вещественной оси наибольшей длины. Для случая когда спектральный радиус применяется метод аддитивного расщепления [13]: произвольный набор начальных...
31828. Реалии Третьего рейха и проблема их перевода 1.1 MB
  Вот некоторые из подобных явлений: Слово о воздушной войне речь рейхсминистра Геббельса Ein Wort zum Luftkrieg von Reichsminister Doktor Goebbelsâ N № 210 Вера и красота женская фашистская организация Glube und Schönheit N № 21 офицеры вермахта офицерыэсэсовцы Offiziere der Wehrmcht SSOffiziereâ R № 59 Германия и песнь о Хорсте Весселе ds Deutschlnd und ds HorstWesselLied R № 214 назначенный на 1 апреля 1933 года бойкот врачебной практики...
31829. ИМЯ, ЧИСЛО, МИФ: ФИЛОСОФСКО-АНТРОПОЛОГИЧЕСКИЙ АСПЕКТ 182.34 KB
  Триединство имени-числа-мифа, возможно, является инструментом для осознанной интерпретации потока реальности, которая необходима как связующий бытие и сознание элемент, но также как специфический «фильтр» воспринимающего субъекта.
31830. Рассчитаны основные элементы схемы, разработана печатная плата и конструкция универсального модуля 877 KB
  1 Выбор типа печатной платы.2 Выбор материала печатной платы.3 Выбор метода изготовления печатной платы.6 Расчет размеров печатной платы15 2.
31831. Нетрадиционные формы урока 178 KB
  Специфика урока иностранного языка. У урока иностранного языка особенная специфика которую учитель иностранного языка не может не учитывать. Именно преподавание организованное на основе заданий коммуникативного характера обучение иноязычной коммуникации используя все необходимые для этого задания и приемы является отличительной особенностью урока иностранного языка. Интернет на уроках иностранного языка.