40136

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке эпсилон-дельта и языке пределов, равномерная непрерывность

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Обратное не верно: xn=nsin n неограниченная не бесконечно большая Функция Функцией y = fx называется закон по которому каждому значению xDfR ставится в соответствие единственное действительное число yR. Функция может быть задана аналитически то есть формулой таблично или графически. y=x2 Если функция задана таблично то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию заменяя функцию линейной квадратичной на участке между двумя значениями аргумента. Например fx0=0 = 3  O1...

Русский

2013-10-15

165 KB

20 чел.

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие  по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn,.. = {xn} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Если даны 2 последовательности {xn} и {yn}, то последовательность {xn + yn} называется их суммой, {xn * yn}  – произведением, {xn / yn} для  yn  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при

 если  >0 такой номер N0>0:    n > N0:   

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример.

1,  1-1/2,  -1,     2,  1,  1-1/4,  -2,      3,  1-1/8,  -3, …     n,  1-1/2n,  -n, …

Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; -

– неконечный,     – неконечный.

Последовательность расходящаяся.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример.

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {xn} называется бесконечно малой.

Если  – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая:  бесконечно большая неограниченная

Неограниченный: для M > 0    n0N:  |xn|  M 

Бесконечно большая: для >0  N0: для всех n>N0:  |xn| >

n = N0+1  |xn| >   M  n

бесконечно большая неограниченная. Обратное не верно:

xn=n*sin n

неограниченная

не бесконечно большая

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x),  xD(f)} называется  множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x2

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

  для  > 0   > 0:   xD(f) O(x0) \ {x0}:  f(x) O(A)

(O  -окрестность).

Зачем \ {xn}.  Например

f(x0=0) = 3  O(1)

Левосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Правосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Двусторонний предел

  

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

  1.  
  2.  .

На языке пределов:  функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2)  

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1)

2) для  > 0   > 0:  x: | xx0| < δ: | f(x) – f(x0)|  < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

f(x0+) = A  < 

f(x0–) = B  <

x0разрыв I рода, скачок

2. Если хотя бы один из односторонних

пределов = или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют  и конечны. (Пример: y = x2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма , произведение , частное, суперпозиция  есть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x, ax, logax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

 

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

 

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0  это точка разрыва.

– разрыв II рода.

Пример

– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть ;

2. для последовательность .

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Т1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то такая окружность O(x0) точки x0: f(x) > 0

Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b]  f(c)=0

Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = , f(b) = , – между и , тогда с[a, b]:  f(с) =

Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0   > 0:  x1, x2  M из |x1x2|< δ => |f(x1)-f(x2)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x1. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

окрестность

1 2       … n N0

x0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60612. Методичні рекомендації щодо ефективності проблемного навчання 29 KB
  Ушинського що привчати учнів виконувати розумову працю необхідно поступово починаючи з молодших класів; будувати навчальний процес так щоб вивчення нового матеріалу спиралося на знання попереднього...
60618. Приклади формулювання мети уроку 36 KB
  Приклади формулювання мети уроку: Дидактичної навчальної: Засвоєння наукових технічних виробничих понять законів теорій фактів звязків; Формування умінь застосовувати одержані знання для розвитку навчальних навчальновиробничих задач; Формування наукових і політичних умінь та навиків; Формування спеціальних умінь і навиків; Формування системи знань умінь і навиків на основі між предметних звязків; Закріплення і вдосконалення знань умінь і навиків Формування умінь та навиків самоконтролю;...