40136

Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке эпсилон-дельта и языке пределов, равномерная непрерывность

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Обратное не верно: xn=nsin n неограниченная не бесконечно большая Функция Функцией y = fx называется закон по которому каждому значению xDfR ставится в соответствие единственное действительное число yR. Функция может быть задана аналитически то есть формулой таблично или графически. y=x2 Если функция задана таблично то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию заменяя функцию линейной квадратичной на участке между двумя значениями аргумента. Например fx0=0 = 3  O1...

Русский

2013-10-15

165 KB

20 чел.

5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие  по некоторому закону вещественное число xn, то множество занумерованных вещественных чисел x1, x2,…, xn,.. = {xn} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значеня.

Если даны 2 последовательности {xn} и {yn}, то последовательность {xn + yn} называется их суммой, {xn * yn}  – произведением, {xn / yn} для  yn  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при

 если  >0 такой номер N0>0:    n > N0:   

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x0 называется предельной точкой множества M, если в окрестности x0 содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример.

1,  1-1/2,  -1,     2,  1,  1-1/4,  -2,      3,  1-1/8,  -3, …     n,  1-1/2n,  -n, …

Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; -

– неконечный,     – неконечный.

Последовательность расходящаяся.

Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число).

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример.

-1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к.

Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {xn} называется бесконечно малой.

Если  – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая:  бесконечно большая неограниченная

Неограниченный: для M > 0    n0N:  |xn|  M 

Бесконечно большая: для >0  N0: для всех n>N0:  |xn| >

n = N0+1  |xn| >   M  n

бесконечно большая неограниченная. Обратное не верно:

xn=n*sin n

неограниченная

не бесконечно большая

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR.

При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x),  xD(f)} называется  множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x2

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x0 является предельной точкой области определения функции, тогда

  для  > 0   > 0:   xD(f) O(x0) \ {x0}:  f(x) O(A)

(O  -окрестность).

Зачем \ {xn}.  Например

f(x0=0) = 3  O(1)

Левосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Правосторонний предел

  для  > 0   > 0:   x:     

Двусторонний предел

  

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

  1.  
  2.  .

На языке пределов:  функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она:

1) определена в этой точке;

2)  

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если:

1)

2) для  > 0   > 0:  x: | xx0| < δ: | f(x) – f(x0)|  < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f)

f(x0+) = A  < 

f(x0–) = B  <

x0разрыв I рода, скачок

2. Если хотя бы один из односторонних

пределов = или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют  и конечны. (Пример: y = x2 / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Сумма , произведение , частное, суперпозиция  есть функция непрерывная.

Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x, ax, logax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

 

Исследовать на непрерывность, точки разрыва

 

Функция элементарна. В своей области определения непрерывна

0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0  это точка разрыва.

– разрыв II рода.

Пример

– неэлементарная функция

Определение непрерывности функции по Гейне

Функция непрерывна в точке x0, если:

1. она определена в точке x0, то есть ;

2. для последовательность .

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Т1. Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в точке x0 и f(x0)>0, то такая окружность O(x0) точки x0: f(x) > 0

Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b]  f(c)=0

Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = , f(b) = , – между и , тогда с[a, b]:  f(с) =

Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0   > 0:  x1, x2  M из |x1x2|< δ => |f(x1)-f(x2)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x1. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

окрестность

1 2       … n N0

x0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29582. Массовое сознание 12.93 KB
  На общественное мнение влияют мнения людей признаваемых обществом авторитетными и компетентными личный опыт людей В формировании общественного мнения выделяются: субъект воздействия элитные группы стремящиеся к достижению или удержанию власти заказчики и исполнители государство аналитики журналисты и т.; объект воздействия массовое сознание изменение которого является целью субъекта; инструмент воздействия СМИ как массмедиа так и институты социализации культура и т. Формы и способы влияния общественного мнения на личность...
29583. Массовое сознание: Субъективистский и объективистский подходы 14.37 KB
  Массовое сознание включает в себя понятие массы: МассаОртега и Гаса это суждение некомпетентных низкое качество современной цивилизации; Масса Юнгер механизное общество в котором человек является придатком машины; Масса Зиммель Вебер Манхейм это бюрократическое общество которое отличается широко расчленненой организацией в которой принятие решений допускается на высших этапах иерархии; МассаЛенин совокупность трудящихся наименее организованных и просвещенных. МассаШарков это шаблонное Например когда в деревнях все...
29584. Стратегия и тактика планирования рекламной кампании 16.33 KB
  Стратегия и тактика планирования рекламной кампании. Планирование рекламной кампании это процесс в котором принимают участие все структурные подразделения рекламного агентства и маркетинговый отдел рекламодателя. Результат этого процесса составление плана рекламной кампании на определенный период. Главная задача планирования рекламной кампании определить как будет доноситься рекламное послание до потребителя: в какой форме с помощью каких средств массовой информации и в рамках какого бюджета.
29585. Основные понятия в медиапланировании (рейтинг, доля, HUT, PUT, PUR). Их расчет и соотношение в планировании рекламных кампаний 33.55 KB
  Home Using TV одним из базовых показателей в медиапланировании является число людей или домохозяйств в которых смотрят телевизор. Этот показатель описывает количество людей или домохозяйств использующих ТВ на определенный момент времени Иными словами это процент индивидуумов или домохозяйств использующих телевизор в данное время дня. Показатель HUT не включает людей смотрящих телевизор вне дома например в магазинах аэропортах отелях и т. То есть рекламное сообщение смогут увидеть те люди которые по крайней мере в данный момент...
29586. Медиавес рекламной кампании и его измерение (охват, частота, количество предъявлений) 46.5 KB
  Охват — это количество разных индивидуумов, которые были затронуты графиком прохождения рекламной кампании за данный период времени, или, другими словами, увидели нашу рекламную кампанию, наше рекламное объявление хотя бы один раз, обычно представляется в процентном формате.
29587. Принципы отбора медианосителей и оценка их эффективности 13.6 KB
  Рейтинг телевизионного времени доля в тех телезрителей которые смотрели конкретный канал в определенное время от потенциального числа телезрителей. Максимально высокий рейтинг имеет пиковое телевизионное время праймтайм. Сумма всех рейтингов целевой рейтинг показатель чистого полезного охвата умноженный на частоту контакта. Стоимость одного общерейтингового пункта мера определяющая эффективность конкретной программы.
29588. Эффективность рекламных кампаний и лояльность потребителей. Экономические и коммуникативные показатели эффективности 16.05 KB
  Наиболее популярный способ выявления эффективности рекламы методика облегчения вспоминания используемая для того чтобы определить в какой мере человек способен вспомнить ее содержание. Но даже если человек и хорошо запомнил содержание рекламы это вовсе не означает что он готов купить то что рекламируют. Второй способ выявления эффективности рекламы методика узнавания. Людям которые прочитали журнал или видели телевизионную программу предъявляют копии рекламы и задают вопросы о ней.
29589. Новые технологии и виды услуг рекламного рынка 15.87 KB
  Относительно низкая стоимость проекта. Небольшие временные затраты в разработке проекта. Краткосрочность эффекта от реализации проекта Маркетинг слухов Преимущества: 1. Невысокая стоимость в организации проекта.
29590. Соотношение охвата и частоты в медиапланировании. Использование ПО в медиапланировании 20.38 KB
  Соотношение охвата и частоты в медиапланировании. Охват это численность представителей ЦА в рамках компании имевших контакт с рекламой хотя бы 1 раз. При вычислении охвата получатели сообщения учитываются лишь один раз независимо от числа прочитанных ими газет просмотренных или прослушанных телерадиопрограмм. Охват аудитории может быть представлен и как характеристика аудитории которая видела слышала рекламу определенное число раз и как характеристика аудитории которая видела слышала рекламу не менее определенного числа раз.