40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85234. ОСОБЕННОСТИ НАСЛЕДОВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ ИМУЩЕСТВА ПО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВУ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 446 KB
  Одним из наиважнейших элементов в системе частного права на котором в большой степени основывается институт права частной собственности выступает наследственное право поскольку даже сама возможность передачи по наследству нажитого направлена на обеспечение стабильности имущественных...
85235. ПУТИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ПРИМЕРЕ ЗАО «СТРОЙСЕРВИС» 374.5 KB
  Для успешного развития любой отрасли экономики необходимо своевременное воспроизводство капитала посредством инвестиций. Их количественный и качественный состав определяет характер и скорость восполнения экономических ресурсов, потребляемых в процессе производства благ.
85236. Совершенствование регулирования деятельности коммерческих банков Центробанком 724 KB
  Оптимизация стратегии реформирования российской экономики обеспечение стабильного развития и динамичных темпов экономического роста являются в настоящее время без преувеличения первостепенной задачей. Одной из важных задач российской экономической науки сегодня является исследование влияния государства...
85237. Утеплювач для зовнішніх огороджуючих конструкцій 457.06 KB
  Розрахунок тепловтрат зовнішніх огороджуючи конструкцій. Найбільш поширеними системами теплоізоляції є системи фасадної теплоізоляції опоряджені штукатурками та конструкції зовнішніх стін із фасадною теплоізоляцією з вентильованим повітряним прошарком.
85239. АНАЛИЗ ОРГАНИЗАЦИИ И ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ВНЕДРЕНИЯ CRM-СИСТЕМЫ 2.56 MB
  Целью данной работы является оценка эффективности внедрения CRM-системы «Петрол плюс». Для достижения поставленной цели выполняются следующие задачи: Описание особенностей, видов и этапов внедрения CRM-систем; Обоснование показателей эффективности внедрения CRM-систем...
85240. Активное управление портфелем ценных бумаг в условиях неопределенности и риска 1.81 MB
  На современном этапе реформирования экономики Украины, актуальной проблемой является обеспечение полноценного функционирования фондового рынка, как эффективного механизма перераспределения финансовых ресурсов между субъектами экономической деятельности.
85241. Пути повышения эффективности управления оборотными активами ОАО «Дзержинский мясокомбинат» 550.5 KB
  Теоретические основы управления оборотными активами Общие основы управления оборотными активами Особенности управления оборотными активами Анализ технико-экономических и финансовых показателей ОАО Дзержинский мясокомбинат Пути повышения эффективности управления оборотными активами ОАО Дзержинский мясокомбинат Анализ состава и структуры оборотных активов ОАО Дзержинский мясокомбинат Оптимизация размера основных видов оборотных активов Пути рационального использования оборотных средств ОАО Дзержинский...