40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81654. Ми тебе не забули, Тарасе! 871 KB
  Шевченка виставка книг Шевченка виставка літератури про Шевченка Ім’я освячене любов’ю портфоліо Життєвий шлях плакат літопис долі Кобзаря газета Шевченко художник репродукції картин квітка пам’яті Вінок Заповітів Шевченка кросворд плакат Шануємо Кобзаря карта Шевченківських місць в Україні дитячі малюнки до пейзажної лірики.
81655. Краса мрій про майбутнє і нове 83 KB
  У гірській країні на схилі великої і старої гори знайшов прихисток маленький Горбик. А маленький Горбок мріяв про казки чарівні далекІ країни і чудеса які йому ніяк не вдавалося побачити самому. З усіх боків його оточували високі гори і тому Горбок міг мріючи дивитися тільки вгору на безмежно таємниче і загадкове зоряне небо.
81656. Перенос слова 36.5 KB
  Задачи: Образовательная: на основе занимательной литературы развивать умение переносить слова с учетом особенностей слогов и изученных правил; Развивающая: развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать; развивать наблюдательность, внимание, память, активность, грамотную речь учащихся;
81657. Людина починається з добра! Урок-спектакль за творами В.О. Сухомлинського 74 KB
  Мета: Продовжувати знайомство учнів з творами В.О. Сухомлинського; формувати у дітей уявлення про те, що добра, чуйна людина завжди допомагає іншим, поважає, піклується про стареньких, добре ставиться до рідних і друзів; навчати учнів оцінювати вчинки головних героїв оповідань, наслідувати їх позитивні риси, прагнути до самовдосконалення...
81658. Цвіркун та праця 52 KB
  Обладнання: малюнок цвіркуна мурашки торбинка запитань словникові слова картинки з написом Обвинувачі Захисники карта світу. За що боровся сірійський народ Що цікавого можна розповісти про про автора Які бувають цвіркуни Прочитайте рядки про весняне пробудження цвіркуна Знайдемо рядки осуду цвіркуна мурашиним родом.
81659. Аппликация из бумаги и картона. Виды бумаги и картона. Свойства картона. Последовательность действий при работе с бумагой и картоном по шаблону. Изготовление сюжетной аппликации «Ежик» 73 KB
  Сказочный персонаж ежик Шуршик стаканчики с водой полоски бумаги и картона альбомы для уроков труда бумага картон клей ножницы шаблоны салфетки. Вспомним о разновидности бумаги проведем исследовательскую работу чтобы раскрыть свойства картона и выполним практическую работу по изготовлению аппликации.
81660. Різноманітність тварин в природі. Я і Україна (природознавство) 553.5 KB
  Удосконалювати навички роботи в малих групах формувати уміння порівнювати тварингрупувати їх. Виховна: виховувати любов до природи дбайливе ставлення до тварин. На нас чекають цікаві пригодиви дізнаєтесь які є групи тварин.
81661. Русская литерная критика эпохи предромантизма:полемика о «старом» и «новом» слоге; дискуссии о принципах перевода «Иллиады» Гомера; дискуссии о новых поэтических жанрах 31.86 KB
  Начав перевод Илиады поэт вскоре убедился что традиционный александрийский стих не передаст стих Гомера. В результате напряженных творческих исканий он понял Гомера как народного поэта Древней Греции как поэта общественнонациональной темы. Следовательно чтобы понять и почувствовать Гомера не надо ориентироваться на современный изящный вкус Переводчику Гомера должно отречься от раболепства перед вкусом гостиных перед сей прихотливой утонченностью и изнеженностью обществ.
81662. Становление русской романтической критики в тв-ве В.А.Жуковского, К.Н.Батюшкова. Типологический анализ 1й из статей Жуковского 32.99 KB
  Типологический анализ 1й из статей Жуковского. Создание новой школы в русской поэзии и соответствующей запросам этой школы новой критики связано с именем Василия Андреевича Жуковского 1783 I8S2. Статьи Жуковского его размышления об искусстве в письмах и дневниках многочисленные эстетические конспекты являющиеся важным свидетельством активного самообразования и самоопределения богатейший материал для осмысления вклада поэта в русскую критику. Обращает на себя внимание тесная сращенность критической и поэтической мысли Жуковского...