40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29089. Предмет гражданского права 27.5 KB
  Предметом гражданского права являются три группы отношений: 1 имущественные отношения только товароденежные: отношения собственности и другие вещные отношения; отношения связанные с исключительными правами на результаты интеллектуальной деятельности отношения возникающие в рамках договорных и иных обязательств 2 относительно имущественные: отношения авторства на произведения науки литературы искусства изобретения результаты интеллектуальной деятельности 3 личные неимущественные отношения: отношения невозможно оценить в...
29090. Методология гражданского права. Приемы и методы гражданского права. Элементы юридической техники, применяемые в гражданском праве (отраслевые аксиомы, презумпции, фикции, юридические конструкции) 28.5 KB
  Методология гражданского права. Приемы и методы гражданского права. В методологию входят: Правопонимание нормативное психологическое историческое Методы общенаучные частнонаучные специальные Толкование интерпретация норм обычаев принципов права Отраслевая техника аксиомы презумпции фикции юридические конструкции договор сделка юр. лицо Методы гражданского права способ регуляции или защиты: Общенаучные анализ синтез системно структурный Частнонаучные метод толкования права сравнительно правовой...
29091. Принципы и функции гражданского права 34 KB
  Принципы и функции гражданского права. Принципы руководящие основополагающие начал которыми должны находится в канве более конкретных положении. Особенности: Принципы связанны с интерпретацией толкования Принципы нужно выводить из действующих норм права Принцип действует на стадии правоприменения Виды принципов: свободу договора субъекты гражданского оборота свободны в решении вступления в договорные отношения или воздержания от заключения гражданскоправовых договоров; неприкосновенность собственности никто не может быть лишен...
29092. Источники гражданского права. Гражданское законодательство. Действие гражданских законов 37 KB
  Источники гражданского права. Источники гражданского права внешнее выражение гражданскоправовых норм. Являются источниками гражданского права: Конституция РФ ГК РФ ФЗ и законы субъектов Подзаконные акты Указы президента Постановления правительства Ведомственные акты Общепризнанные принципы и нормы международного права Обычаи делового оборота Не являются источниками гражданского права постановления Пленумов Верховного Суда РФ постановления Высшего Арбитражного Суда РФ. При этом нормы гражданского права содержащиеся в других...
29093. Гражданское правоотношение (понятие, структура, виды) 31 KB
  Гражданское правоотношение это урегулированное нормами гражданского права правоотношение возникающее между юридически равными субъектами по поводу имущества а также нематериальных благ выражающаяся в наличие у них субъективных прав и обязанностей. Структура гражданских правоотношений: Субъект: Физические лица граждане иностранцы лица без гражданства Юридические лица российские иностранные Публичноправовые образования органы МСУ Объект: Имущественные вещи деньги ценные бумаги Интеллектуальные права Личные...
29094. Юридические факты в гражданском праве. Законодательные основания возникновения гражданских прав и обязанностей 31 KB
  Юридические факты делятся на: события обстоятельства не зависящие от воли человека стихийные бедствия действия обстоятельства зависящие от воли человека.
29095. Физические лица как субъекты гражданского права (правоспособность, дееспособность, ограничение и лишение дееспособности, эмансипация) 33.5 KB
  Физические лица как субъекты гражданского права правоспособность дееспособность ограничение и лишение дееспособности эмансипация. Физические лица как субъекты гражданского права: граждане РФ иностранцы лица без гражданства Правосубъектность способность лица иметь и осуществлять непосредственно или через представителя юридические права и обязанности т. быть субъектом права. Правосубъектность включает в себя: Правоспособность потенциальная способность физического лица иметь гражданские права и нести обязанности возможность иметь...
29096. Понятие и признаки юридического лица 13.33 KB
  лица: организационное единство внутренняя структура организации факт государственной регистрации наличие органов управления наличие учредительных документов имущественная обособленность обязательный учёт имущества на самостоятельном балансе либо по смете наличие имущества правовой режим имущественного допуска право собственности у большинства право оперативного управления Рап РФ право хозяйственного ведения Муниципальных унитарных предприятий самостоятельная имущественная ответственность возможность обращения кредиторами...
29097. Теории создания и юридических лиц 24.5 KB
  Теория фикции юридическое лицо это искусственное образование фактически не существующее так как за ним стоит лицо его создавшее. Фридрих фон Савинье Реалистическая теория особый организм с собственной волей. Теория социалистической реальности юридическое лицо служит решению государственных задач Генкин Теория коллектива работники воспринимаются как единое целое имеющие много прав. Теория директора руководитель представляет юридическое лицо.