40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33132. Элементы русского танца 23.5 KB
  Русские танцы бывают быстрые и медленные хороводные смысловую нагрузку передают перестроениями поэтому все элементы простые. В быстрых русских танцах используются следующие элементы: веревочки исполняются на демиплие колени в стороны: простая синкопированная сложная двойная моталочка простая и сложная. Элементы мужского танца: присядки хлопушки.
33133. Украинский танец 27.5 KB
  В медленных танцах движения рук мягкие плавные широкие спокойные. В быстрых танцах движения рук самые разнообразные быстро сменяют положение и направление. В танцах мальчиков движения рук тоже широкие спокойные но более сильные чем у девочек. Движения корпуса и головы.
33134. Значение ритмики в работе с детским танцевальным коллективом 22.5 KB
  Упражнения из ритмики дают учащимся умение свободно но сознательно расширить движения во времени и пространстве в полном соответствии с поставленной танцевальной задачей правильно согласовывать движения с музыкой. Выработку навыков ориентации в пространстве можно начинать с простых упражнений ритмики построенных на фигурных перестроениях где каждый должен учитывать движения другого равнения в линиях колонках. Упражнения из ритмики целесообразно проводить в первой части тренажа.
33135. Значение тренажа 23.5 KB
  Больших успехов достигают те кто регулярно тренирует свое тело следующими упражнениями. Важно достигнуть правильности исполнения того или иного упражнения давая определенную нагрузку на мышцы суставы связки. Каждый урок может включать 89 упражнений построенных по принципу чередования: упражнения плавные мягкие чередуются с упражнениями быстрыми резкими; упражнения на вытянутых ногах с упражнениями на присогнутых ногах ит. Основу урока составляют приседания упражнения на развитие подвижности стопы маленькие броски круговые движения...
33136. Методика проведения занятий классического танца 21 KB
  Приступая к занятиям необходимо объяснить: как держаться за станок как поворачиваться для опоры на другую руку объяснить позиции рук и ног особое внимание уделить постановке всех частей тела и корпуса. Необходимо стремиться к тому чтобы выворотность развивалась от тазобедренного сустава до ступни что дает: большой размах движения высокий подъем ноги и свободное вращение. Основные навыки выворотности развиваются при разучивании позиций ног их точного выполнения.
33137. Календарно-тематический план по дисциплине МЕТОДИКА РАБОТЫ С ДЕТСКИМ ХОРЕОГРАФИЧЕСКИМ КОЛЛЕКТИВОМ 106.5 KB
  1 Методика проведения занятий в детском танцевальном коллективе 1 Совершенствования ЗУН Видео занятия в ДТК Составить развернутый конспект на заданную тему 5 Методика разучивания элементов классического танца. Методика разучивания plie. 1 Совершенствования ЗУН Алгоритм разучивания элемента Составить комбинацию и разучить с 2 учащимися Классический танец 6 Методика разучивания bttement tendu. 1 Совершенствования ЗУН Алгоритм разучивания элемента Составить комбинацию и разучить с 2 учащимися Классический танец 7 Методика разучивания...
33139. Постановка танца 24 KB
  Перед тем как приступить к постановке того или иного танца нужно хорошо усвоить его содержание и характер а также в совершенстве изучить все его движения. Приступая к разучиванию народного танца руководитель кратко рассказывает его содержание предлагает прослушать музыку после этого можно приступать к постановке. Когда все движения танца изучены можно приступать к разучиванию фигур и построению.
33140. Разбор танца по записи 25 KB
  Работа над постановкой танца по записи значительно обогащает руководителя. Он знакомится с опытом ведущих мастеров расширяет знания и возиожности применения выразительных средств хореографии в создании танца. Каждая запись танца состоит из 4х частей: Даются основные сведения о танце: название образное описание содержания особенности танца композиция манера исполнения число и состав исполнителей даются рекомендации о возможных изменениях в составе указывается автор музыки как ее нужно исполнять приведен музыкальный размер.