40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75542. Літні канікули. Знов у школу. Повторення. Простий минулий час (Past indefinite Tense) 23.77 KB
  So you hve not only to study well but lso to choose wht to do when you leve school. I hope you will choose wht to do in the future so tht you will be useful to our country nd be hppy in your life. Т: Wht things do you ssocite with the words Summer Holidys Write them on the blckbord nd in your vocbulries plese. re you gld to be t school Why Wht did you pln to do during your summer holidys Did your plns come true Where did you go Do you like to spend your holidys in town in the country 4.
75543. Літні канікули. Повторення розділових запитань (Disjunctive Questions) 22.06 KB
  Повторення розділових запитань Disjunctive Questions. Обладнання: підручник тематична картина Літні канікули граматична таблиця Disjunctive Questions 37 Reference Grmmr; українськоанглійські словники речення і розділові питання для гри Find your prtner НО1. We hve to review the grmmr the building of the disjunctive questions to use them in our speech mking it more nturl. By the end of the lesson you should be ble: to use the tgquestions in your dilogues; to use your imgintion describing pictures.
75544. Україна. Географічне положення. Загальна характеристика. Нові ЛО 24.58 KB
  Ввести нові ЛО та відпрацювати їх вживання в мові. Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та з метою максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що в ньому міститься (scanning)
75545. Географічне положення та державний устрій України 24.82 KB
  Т: We re going to tlk bout the politicl structure of Ukrine nd its geogrphicl position. By the end of the lesson you should be ble: to recognize nd understnd new words nd word combintions from the topic: The politicl structure of Ukrine in the text; to listen for the min ide nd specific informtion; to tlk bout the politicl structure of Ukrine in brief. One student from the clss is selected who thinks of geogrphicl plce in Ukrine tht must be guessed by the rest of the clss. Exmple: Is it river Is it mountin Is it one of the lrgest cities...
75546. Україна. Життя молоді, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 23.9 KB
  People Підтема: Україна. re ll young people like Of course not. Thts why teengers esily come under the influence of other people. Young people re crzy bout music.
75547. Культура та наука в Україні, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 22.03 KB
  Обладнання: підручник текст Culture nd Science in Ukrine HO1 Who is who H02. Т: We continue our work on the topic Ukrine. We re going to tlk bout culture nd science in Ukrine. By the end of the lesson you should be ble: to prticipte in common converstionl exchnges nd tell bout this topic using tl text nd wordcombintions s pln; to operte fcts bout Ukrine in new situtions.
75548. Київ - столиця України. Повторення ЛО теми Town Features 25.32 KB
  Обладнання: підручник слайди фотографії комплект учбових картин з видами міста Києва роздавальний матеріал round Kyiv НО1 картки з коротким описанням визначних місць Києва Н02 Mtch the English words nd word combintions with their Ukrinin equivlents H03 Which sentences do not fit to the text bout Kyiv HO4. Т: The topic of our...
75549. Київ - столиця України, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 24.87 KB
  Активізація лексичного матеріалу теми Town Fetures. Активізація лексичного матеріалу теми Town Fetures. Т: There re mny ncient towns in Ukrine. Wht other ncient towns do you know Is your town villge old or new re there ny interesting fcts in the history of your town villge Why re people interested in the histories of cities towns nd villges Cn you explin the choice of nmes for some cities towns or villges Is the plce for town or villge chosen by chnce or for purpose Cn you give n exmple of it 2 WhileReding ctivities.