40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82926. Технологическое проектирование ГАТП на 130 автомобилей ЗИЛ-130 с агрегатным участком 75.66 KB
  В связи с этим современный специалист занимающийся эксплуатацией ремонтом экономикой и организацией автомобильного транспорта должен знать основы технологического проектирования и планировочных решений автотранспортных предприятий уметь грамотно решать различные вопросы...
82927. Постройка магазина «Спектр» по индивидуальному проекту за 5 месяцев, не превышая затрат $180 000 10.89 MB
  Стоит отметить также, что человек на протяжении своей истории практически непрерывно создает что - либо. Но результаты всегда разные, а именно по тому - можно сказать, что универсальному признаку, который позволяет выделить среди них более или менее повседневные и уникальные плоды человеческой деятельности.
82928. Реагування на НС та ліквідація її наслідків - вибух на складі боєприпасів навчального центру «Оршанець» Державної прикордонної служби, розташованому біля с. Геронимівка 133.74 KB
  Надзвичайний стан ‒ це особливий правовий режим, який може тимчасово вводитися в Україні чи в окремих її місцевостях при виникненні надзвичайних ситуацій техногенного або природного характеру не нижче загальнодержавного рівня, що призвели чи можуть призвести до людських і матеріальних втрат...
82929. Проектирование системы вентиляции в общественном здании магазина «Универсам» торговой площадью 650 метров квадратных 859.5 KB
  Вентиляцией называется совокупность мероприятий и устройств, используемых при организации воздухообмена для обеспечения заданного состояния воздушной среды в помещении и на рабочих местах в соответствии со строительными нормами. Речь идет о свежем воздухе, который должен поступать в помещение.
82930. Корегування пасажиропотоків з урахуванням пропусконої здатності ділянок вулично-дорожної мережі 993.5 KB
  Модель мережі будується у вигляді плоского графа. Для створення топологічної схеми територія міста розділяється на окремі транспортні райони. Умовні центри транспортних районів показані як вершини графа, ділянки вулично-дорожньої мережі, на яких можна організувати рух маршрутного транспорту, показані як дуги цього граф
82933. Организация работ по возведению земляной плотины в составе Ильинского гидроузла на реке Сереж 67.02 KB
  В районе водохранилища имеются водозаборные сооружения, что позволяет осуществлять водоснабжение близ лежащих населенных пунктов. Также строительство гидроузла оказало существенное влияние на социальную сферу.
82934. ГАЛЬШАНСКІ ЗАМАК - 2014 78.48 KB
  Абагульненне вопыту арганізацыі і правядзенне сучаснага старажытнага фестывалю дазволіць знайсці новыя арыгінальныя метады і прыёмы, элементы новых канцэпцый правядзення фестываляў і асобных яго мерапрыемстваў. Такім чынам, вывучэнне гісторыі, разпрацоўка рэжысёрскага праэкта і правядзенне фестывалю...