40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9650. Основы теории риск-менеджмента 672 KB
  Основы теории риск-менеджмента Теория риск-менеджмента предполагает целостную систему знаний, характеризующую логическую зависимость и взаимосвязи между доходом и финансовой устойчивостью с учетом допустимых пределов последствий риска, которые в сов...
9651. Факторы, определяющие степень риска 30.5 KB
  Факторы, определяющие степень риска В первую группу - объективные факторы - включены такие важные обстоятельства, как качество активных ресурсов и качество ситуации. При этом к категории качество активных ресурсов мы относим все то, что...
9652. Основы неоклассической теории 32 KB
  Основы неоклассической теории Обратимся еще раз к той интерпретации слова риск, которую мы назвали широкой, системной (в предпринимательском смысле). Главная мысль, которая относится к толкованию слова риск и прослеживается в сообщениях на этом с...
9653. Основные виды предпринимательской деятельности и их характеристика 1.6 MB
  Основные виды предпринимательской деятельности и их характеристика Для разных отраслей предпринимательства риск, в общем случае, разный. Причины тут очевидны: разными оказываются факторы риска (объективные и субъективные), величины убытков, размеры...
9654. Факторы, формирующие профиль рисков организации 415.5 KB
  Факторы, формирующие профиль рисков организации Акционеры и инвесторы. Увеличение инвестиционных долей как собственного акционерного капитала фирмы, так и частных лиц на фоне возрастающей глобальной изменчивости экономики и финансов требует все боль...
9655. Общая характеристика экономической деятельности организации 42 KB
  Общая характеристика экономической деятельности организации Бизнес есть бизнес, в какой бы области он ни развивался, и, по определению, делать бизнес означает не что иное, как выполнять услуги, имеющие определенную коммерческую ценность...
9656. Риски производственной деятельности организации 201 KB
  Риски производственной деятельности организации Что может вызвать производственный риск. Из анализа сущности производственной деятельности можно заключить, что такой риск вызывается рядом причин, приводящих либо к снижению объемов производства, либо...
9657. Финансовые риски организации и их влияние на предпринимательство 181.5 KB
  Финансовые риски организации и их влияние на предпринимательство Основанием для оценки финансового риска по-прежнему является системный анализ сути (содержания, взаимосвязей) финансово-кредитной деятельности. Напомним, что по своему содержанию подо...
9658. Коммерческие и посреднические риски и их роль в предпринимательской деятельности 240 KB
  Коммерческие и посреднические риски и их роль в предпринимательской деятельности При осуществлении коммерческой деятельности риск возникает на различных стадиях продвижения товаров и услуг как собственно внутри страны, где работает предприниматель,...