40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38400. Теория капитала 92.62 KB
  Методологическое значение учения о двойственном характере труда для построения и развития научной теории капитала Ира 6. Формальное и реальное подчинение труда капиталу как выражение двойственного характера труда Вика 9. Капиталистическое обобществление производства в эпоху свободной конкуренции и тенденция к упрощению труда Настя 10. Эволюция капитала и процесс усложнения труда Даша 12.
38402. Основы маркетинга 162 KB
  Существует пять основных подходов на основе которых коммерческие организации ведут свою маркетинговую деятельность: Общая тенденция развития перенос акцента с производства и товара на коммерческие усилия на потребителя и все большая ориентация на проблемы потребителя и социальной этичности. Концепция совершенствования производства Эта концепция утверждает что потребители будут благожелательны к товарам которые широко распространены и доступны по цене а следовательно руководство должно сосредоточить свои усилия на совершенствовании...
38403. Рынок и его структура 255.5 KB
  движения посредством куплипродажи товаров капиталов рабсилы технологий информации. Достоинства товарного рынка: обеспечение интересов производителей и потребителей заинтересование производителей в удовлетворение потребностей препятствует монополии в производстве и обращении товаров освобождает экономику от товарного дефицита расширяет возможности субъектов предпринимательской деятельности эффективнее других хоз. систем решает проблемы экономики Товарный рынок это обобщённое понятие подразумевает по существ систему рынков...
38405. МЕЖДУНАРОДНОЕ ФИНАНСОВОЕ ПРАВО 6.98 MB
  Внутригосударственные правовые режимы в МФС 33 1.0 статусе многонациональных предприятий транснациональных корпораций Свободные экономические зоны СЭЗ в международной инвестиционной системе 288 О портфельных инвестициях и их правовом режиме 294 Заключение 304 Приложения: Схема платежного баланса 315 Краткая библиография 317 Перечень сокращений АВФ Арабский валютный фонд АзБР Азиатский банк развития АСЕАН Ассоциация государств ЮгоВосточной Азии АТЭС Организация АзиатскоТихоокеанского сотрудничества...
38407. Економіка підприємств 217.5 KB
  Розкрийте сутність поняття економіка підприємства. Дайте загальну характеристику підприємства 3. Охарактеризуйте структуру підприємства 4 Назвіть І охарактеризуйте види підприємств згідно з кваліфікаційними ознаками. Система планів підприємства 12.