40137

Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной фун

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Производная функции одной переменной. Определение ее геометрический смысл простейшие правила вычисления производной производная от функции умноженной на константу от суммы функций от произведения функций частного и степени. Производная сложной функции. Если предел  и конечен то его значение называют производной функции f в т.

Русский

2013-10-15

140 KB

5 чел.

6. Производная функции одной переменной. Определение, ее геометрический смысл, простейшие правила вычисления производной (производная от функции, умноженной на константу, от суммы функций, от произведения функций, частного и степени). Производная сложной функции. Формула Тейлора.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности т.x0 и x получает приращение x такое, что x0 + x не выходит за пределы этой окрестности. Рассмотрим . Если предел и конечен, то его значение называют производной функции f в т. x0 и говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Дифференцируемость

Функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, если ее приращение в этой точке представимо  в виде:

где (x) – бесконечно малая при x  0

Доказательство:

()  

тогда , т.е. производная  существует!

Главная линейная относительно x часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается:

Геометрический смысл

Придадим x приращение x и через точки M0(x0, f(x0)) и M(x0 + x, f(x0 + x)) проведем секущую. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, обозначим через . При стремлении x0 точка M будет перемещаться по кривой, приближаясь к M0. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки M0. Предельное положение, если оно существует, называется касательной к кривой в точке x0.

Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, обозначим через . Из треугольника M0MA  y / x = tg.

Найдем

С геометрической точки зрения производная равна tg угла наклона касательной к оси Ox.

Из треугольника M0BA  BA / M0A = tg.

Уравнение касательной: y-y0=y’(x0)(x-x0)

Т[cвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в т.х0]

Если функция y = f(x) дифференцируема в т.x0, то она непрерывна в этой точке.

(f(x) непрерывна в т x0, если  

1) определена в этой точке;

2) lim f(x) (при x->x0))=f(x0))

y = f(x) дифференцируема в т.x0  

 

функция непрерывна в т.x0   

Обратное утверждение не верно!

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Например:

 

Простейшие правила вычисления производной

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) [производная сложной функции] пусть функция y = y(х) дифференцируема в т.х0, а функция z = z(y) дифференцируема в т y0 = y(х0)? Тогда сложная функция z = z(y(х)) дифференцируема в т х0:

1)              2)

3)

4)

в силу непрерывности

5)

в силу непрерывности

6)

7) z = z(y) дифференцируема в т.y0  

Формула Тейлора

Пусть функция y = y(х) определена в окрестности точки х0 и имеет в окрестности этой точки производные до порядка (n+1) включительно. Требуется найти многочлен n-степени такой, что

Полином будем искать в виде:

Тогда этот полином имеет вид:

– многочлен Тейлора для функции f(x) в т.х0

Разность f(x) – Pn(x) = Rn(x) – n-ый остаточный член формулы Тейлора.   Тогда значение функции f(x) = Pn(x) + Rn(x)

Для него существуют различные формулы:

Форма Пеано: Rn(x) = o(x-x0)n – бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x x0)n, т.е.

Форма Лагранжа: , где точка с лежит между х и х0

y

x

x0

x0 + x

y = f(x)

A

B

M

M0

f(x0 + x)

f(x0)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36722. РАБОТА С ФОРМАМИ И ОТЧЕТАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 130.5 KB
  Лабораторная работа № 4 Лабораторная работа № 4 РАБОТА С ФОРМАМИ И ОТЧЕТАМИ В РЕЛЯЦИОННОЙ БАЗЕ ДАННЫХ СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ Задание 1 Создайте ленточную форму на основе таблицы Административные районы и добавьте вычисляемые поля в форму в режиме конструктора в которых будут выводиться итоговые суммы для полей число населенных пунктов площадь территории численность населения и среднее значение для поля плотность населения. Технология работы На основе таблицы Административные районы создайте форму ленточного вида используя Мастер по...
36724. Имитационное моделирование «производственных процессов» 46.5 KB
  На сборочный участок цеха предприятия через интервалы времени распределенные экспоненциально со средним значением 10 мин поступают партии каждая из которых состоит из трех деталей. Половина всех поступающих деталей перед сборкой должна пройти предварительную обработку в течение 7 мин. Процесс сборки занимает всего 6 мин. Затем изделие поступает на регулировку продолжающуюся в среднем 8 мин время выполнения ее распределено экспоненциально.
36725. Моделирование технологического процесса ремонта и замены оборудования 230.5 KB
  На предприятии имеется L станков которые работают 24 часа в сутки. Всего в системе M станков M LLсобственныеMLарендуемые для резерва. Любой из станков может выйти из строя в любое время. В мастерской есть три участка ремонта станков.
36726. Ввод и форматирование данных в Excel 115.5 KB
  Затем нажать Enter или осуществить щелчок мыши по любой другой ячейке таблицы.2: Используя полученные знания по вводу текстовой информации в ячейки заполните заголовки столбцов таблицы. Оформите заголовки столбцов таблицы используя вкладки Выравнивание и Шрифт меню Формат Ячейки. Опишем кратко схему ввода данных с помощью формы: Заполните первую строку вашей таблицы данными; Выделите в списке ячейку начиная с которой будут добавляться новые записи; Выполните команду Данные Форма и в открывшемся диалоге щелкните по кнопке...
36727. СОЗДАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ «СЕССИЯ» И ОСНОВЫ РАБОТЫ В НЕЙ 107 KB
  В меню Файл выберите команду Создать Новая база данных. Если значение типа Текстовый не подходит то нажмите кнопку раскрытия списка и выберите нужный тип данных. Сохраните таблицу выполнив следующие действия: выберите пункт меню Файл Сохранить; в окне диалога Сохранение введите имя таблицы СТУДЕНТ; нажмите кнопку ОК. Для этого в окне базы данных СЕССИЯ выберите таблицу СТУДЕНТ и нажмите кнопку Открыть или дважды щелкните мышью по таблице СТУДЕНТ.
36728. Определить входное сопротивление схемы операционного усилителя, собрать схему и получить осциллограмму на входе и выходе 46.12 KB
  По формуле считаем входное сопротивление R=U I = 1 1 = 1 кОм Осциллограмма Вывод: Схема установки собрана и работает. Измерено сопротивление на входе и выходе.
36729. СОЗДАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ И ОСНОВЫ РАБОТЫ В НЕЙ 1.14 MB
  СОЗДАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ И ОСНОВЫ РАБОТЫ В НЕЙ Цель работы: изучить рабочее пространство приложения MS ccess научиться формировать структуру таблиц создавать формы и отчеты познакомиться с возможностями фильтрации данных ОК ПК СК. Создайте новую базу данных СЕССИЯ. Технология работы Откройте программу Microsoft ccess 2010: Пуск Программы Microsoft ccess Microsoft ccess 2010 В меню Файл выберите команду Создать Новая база данных рис.
36730. Работа с формулами в Excel 144.5 KB
  Создайте таблицу содержащую следующие поля: № п п Фамилия Информатика История Психология Математика Иностранный язык Средний балл за сессию Средний балл группы за сессию 2. Заполните таблицу данными. Рассчитайте средний балл за сессию для всей группы В результате проделанной работы вы должны получить примерно такую таблицу как на рис. Для назначения стипендии с помощью Расширенного фильтра выберите в отдельную таблицу студентов сдавших сессию на 4 и 5.