40138

Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Если то функция называется дифференцируемой по x в точке x0 y0. 1 2  для  0  0:  x yDz  Ox0 y0 {x0 y0}: zx y  O Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки x y к точке x0 y0: на плоскости для функции нескольких переменных При разных  получаем разные значения lim  lim не . Непрерывность Функция zx y называется непрерывной в точке x0 y0 если: 1. Если функция z = zx y дифференцируема в точке по совокупности аргументов то она непрерывна в этой точке.

Русский

2013-10-15

141 KB

9 чел.

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х0, у0) и пусть т. (х0+∆х, у0) и (х0, у0+∆у) этой окрестности.

Рассмотрим . Если он и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х0, у0) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке  (x0, y0). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х0,у0), если полное приращение этой функции ∆z = z(х0+∆x, у0+∆y) – z(х0, у0) представимо в виде

z = Ax + By + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где , - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по аргументу в отдельности, т.е. ее частная производная по из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО.

Аналогично .  ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y)  дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х0, у0) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х0, у0), то функция дифференцируема в т.(х0, у0).

Понятие непрерывности зависит от метрики.

1)     

2)  

  для  > 0   > 0:   (x, y)D(z) O(x0, y0) \ {x0, y0}:  z(x, y) O(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x0, y0):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если:

1. (x0, y0)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M0(x0, y0, z(x0, y0)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M0 и точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M0.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x0, y0, z(x0, y0)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции Ax + By называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора:

– аддитивность A(x + y) = Ax + Ay

– однородность A(x) = Ax

Производная  по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и пусть ось  проходит через (x0, y0). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси  в точке (x0, y0).

Можно показать, что

, – углы, образованные осью  с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси  характеризует скорость изменения функции в направлении оси  в точке (x0, y0).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x0, y0) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при  получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае:

Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает.

Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку


Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u0, v0, t0), а z дифференцируема в точке (x0, y0), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u0, v0, t0) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  

uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uzux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где и бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.   ,  ЧТД.

z = z(x, y, t)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(x(t), y(t), t) = z(t)


(x
0, y0)

x0

(x0, y0)

grad z(x0, y0)

(x1, y1)

rad z(x1, y1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66714. Ипотечное жилищное кредитование в НСО: особенности и проблемы 123.5 KB
  Система ипотечного кредитования занимает уникальное положение в национальной экономике. Во-первых, в настоящее время ипотечное кредитование в большинстве экономически развитых стран не только является основной формой улучшения жилищных условий...
66715. ФИЛОСОФИЯ ДРЕВНЕГО ВОСТОКА 96 KB
  Веды – совокупность религиозно-философских текстов с представлениями о мире и человеке; Упанишады – произведения, разъясняющие тайный смысл Вед. Религиозно-философские учения в древней Индии назывались «даршаны». По отношению к Ведам они подразделялись на астику и настику.
66716. ЗАПАДНАЯ ФИЛОСОФИЯ XIX ВЕКА 254.5 KB
  В XIX веке в связи с развитием индустриального общества быстро развивались наука и техника. Возникла идея, что природу должны изучать не натурфилософы, стремящиеся проникнуть в «тайны бытия», а практически мыслящие ученые, желающие получить полезный результат.
66717. Леонид Иванович Прасолов 37.03 KB
  Имя этого енисейца, 120 лет со дня рождения которого приходится на 2000-й год, тесно связано с землей. Все его помыслы, жизнь и деятельность были посвящены тому, чтобы земля стала еще плодородней, больше давала хлеба и овощей. Правда, плодородие - неотъемлемое свойство почвы.
66719. Классификация отраслей промышленности 50.33 KB
  Производственную сферу образуют отрасли: непосредственно создающие материальный продукт промышленность и строительство сельское и лесное хозяйство; доставляющие материальный продукт потребителю транспорт и связь; связанные с продолжением процесса производства...
66720. Классификация грузовых автотранспортных средств 1.4 MB
  Именно поэтому грузовые автомобили относятся к числу наиболее востребованных типов спецтехники. Универсальность функциональная гибкость и рыночная ликвидность все эти факторы способствуют повышенному спросу на технику для грузоперевозок к числу которой относятся грузовые автомобили...
66721. Ковда Виктор Абрамович 276.5 KB
  В этом отношении почвоведение получило приоритетность в отношении изучения почвенных ресурсов для жизнеобеспечения населения. Из всех объединений почвоведов к началу 1922 года сохранился только почвенный отдел ВЭО в Петрограде.
66722. Колегія Павла Галагана 119 KB
  Українська інтелектуальна еліта має формуватися на національній ідеї, що є джерелом культурно-історичної динаміки нації, отже, й система освіти має ґрунтуватися на глибокій і цілісній національній основі. Одним з осередків формування інтелектуальної еліти українського народу є середні загальноосвітні...