40138

Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Если то функция называется дифференцируемой по x в точке x0 y0. 1 2  для  0  0:  x yDz  Ox0 y0 {x0 y0}: zx y  O Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки x y к точке x0 y0: на плоскости для функции нескольких переменных При разных  получаем разные значения lim  lim не . Непрерывность Функция zx y называется непрерывной в точке x0 y0 если: 1. Если функция z = zx y дифференцируема в точке по совокупности аргументов то она непрерывна в этой точке.

Русский

2013-10-15

141 KB

10 чел.

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х0, у0) и пусть т. (х0+∆х, у0) и (х0, у0+∆у) этой окрестности.

Рассмотрим . Если он и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х0, у0) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке  (x0, y0). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х0,у0), если полное приращение этой функции ∆z = z(х0+∆x, у0+∆y) – z(х0, у0) представимо в виде

z = Ax + By + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где , - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по аргументу в отдельности, т.е. ее частная производная по из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО.

Аналогично .  ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y)  дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х0, у0) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х0, у0), то функция дифференцируема в т.(х0, у0).

Понятие непрерывности зависит от метрики.

1)     

2)  

  для  > 0   > 0:   (x, y)D(z) O(x0, y0) \ {x0, y0}:  z(x, y) O(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x0, y0):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если:

1. (x0, y0)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M0(x0, y0, z(x0, y0)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M0 и точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M0.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x0, y0, z(x0, y0)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции Ax + By называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора:

– аддитивность A(x + y) = Ax + Ay

– однородность A(x) = Ax

Производная  по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и пусть ось  проходит через (x0, y0). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси  в точке (x0, y0).

Можно показать, что

, – углы, образованные осью  с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси  характеризует скорость изменения функции в направлении оси  в точке (x0, y0).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x0, y0) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при  получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае:

Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает.

Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку


Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u0, v0, t0), а z дифференцируема в точке (x0, y0), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u0, v0, t0) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  

uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uzux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где и бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.   ,  ЧТД.

z = z(x, y, t)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(x(t), y(t), t) = z(t)


(x
0, y0)

x0

(x0, y0)

grad z(x0, y0)

(x1, y1)

rad z(x1, y1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29191. Способы обнаружения следов рук 39.5 KB
  Предполагает использование не только зрительного аппарата человека но и специальных приборов осветительных увеличительных. 2 физические порошковый метод способ это использование дактилоскопических порошков использование паров йода 3 химические способы В основном используются следующие реактивы: 5процентный водный раствор азотнокислого серебра 15процентный раствор нингидрина в ацетоне.
29192. Способы изготовления гипсовых слепков 42 KB
  Используется когда следы оставлены на влажной земле снеге и т. 2 насыпной 3 комбинированный Наливной способ изготовления гипсовых слепков Правила: 1 необходимо удалить из следа все посторонние включения частицы 2 если след неглубокий нужно сделать вокруг следа валик из грунта или дощечек 3 необходимо изготовить каркас из веток или проволоки чтобы удержать форму следа. 5 гипсовый раствор заливают в след так чтобы было залито дно следа.
29193. «Дорожка» следов ног: её криминалистическое значение и элементы 46.5 KB
  Дорожку следов следует отличать от совокупности разрозненных следов. признаки дорожки следов: 1 это совокупность следов одного человека 2 следы должны быть оставлены в результате какоголибо поступательного движения ходьбы или бега 3 следы должны быть образованы и правой и левой ногами 4 количественная характеристика следов должно быть не менее 3х. Рекомендуется все исследования проводить на 3х самых чётких следах если следов больше то выбираются самые чёткие.
29194. Криминалистическое значение следов орудий взлома и инструментов 49.5 KB
  Классификация следов орудий взлома 1 по механизму образования: поверхностные следы это например различные повреждения на внутренней части замков царапины соскобы краски объёмные следы несут больше криминалистически значимой информации 2 по механизму образования: следы удара или отжима Остаются когда воздействие орудия взлома на поверхность происходит под прямым углом. Обычно это объёмные следы. следы скольжения Образуются при скользящем движении орудия взлома под углом или параллельно следовоспринимающей поверхности следы...
29195. Следы зубов человека 52.5 KB
  Для правильной оценки следов зубов необходимо рассмотреть строение зубного аппарата. Каждый из зубов имеет различную форму коронки. Они различны относятся к количеству размерам форме зубов и т.
29196. Криминалистическое значение следов транспортного средства 57.5 KB
  Количество осей можно установить: в процессе стояния транспортного средства по следам стояния при повороте автомобиля т. Ширина колеи это важный признак габаритов транспортного средства. 4 база автомобиля это расстояние между осями транспортного средства.
29197. Классификация следов транспортных средств 55.5 KB
  Следы может оставлять любая часть транспортного средства: как ходовая часть колёса так и выступающие части автомобиля. Следы транспортных средств в широком смысле этого слова это 1 отделившиеся части транспортного средства деталь целиком либо её осколки обломки 2 пролившиеся жидкости тормозная жидкость масло топливо 3 части перевозимых грузов. Некоторые криминалисты к следам транспортных средств относят также следы водителя оставленные вблизи транспортного средства.
29198. Освидетельствование 27 KB
  Для обнаружения на теле человека особых примет следов преступления телесных повреждений выявления состояния опьянения или иных свойств и признаков имеющих значение для уголовного дела если для этого не требуется производство судебной экспертизы может быть произведено освидетельствование подозреваемого обвиняемого потерпевшего а также свидетеля с его согласия за исключением случаев когда освидетельствование необходимо для оценки достоверности его показаний. В случаях не терпящих отлагательства освидетельствование может быть...
29199. Очная ставка 32 KB
  Приступая к допросу на очной ставке следователь спрашивает ее участников знают ли они друг друга и каковы их взаимоотношения это играет существенную роль для оценки показаний полученных на очной ставке. Участники очной ставки с разрешения следователя могут задавать вопросы друг другу. Тактика очной ставки зависит от характера расследуемого дела процессуального положения и нравственнопсихологических свойств допрашиваемых их взаимоотношений и других факторов. Они могут быть результатом добросовестного заблуждения либо заведомой лжи...