40138

Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Если то функция называется дифференцируемой по x в точке x0 y0. 1 2  для  0  0:  x yDz  Ox0 y0 {x0 y0}: zx y  O Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки x y к точке x0 y0: на плоскости для функции нескольких переменных При разных  получаем разные значения lim  lim не . Непрерывность Функция zx y называется непрерывной в точке x0 y0 если: 1. Если функция z = zx y дифференцируема в точке по совокупности аргументов то она непрерывна в этой точке.

Русский

2013-10-15

141 KB

10 чел.

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х0, у0) и пусть т. (х0+∆х, у0) и (х0, у0+∆у) этой окрестности.

Рассмотрим . Если он и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х0, у0) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке  (x0, y0). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х0,у0), если полное приращение этой функции ∆z = z(х0+∆x, у0+∆y) – z(х0, у0) представимо в виде

z = Ax + By + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где , - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по аргументу в отдельности, т.е. ее частная производная по из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО.

Аналогично .  ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y)  дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х0, у0) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х0, у0), то функция дифференцируема в т.(х0, у0).

Понятие непрерывности зависит от метрики.

1)     

2)  

  для  > 0   > 0:   (x, y)D(z) O(x0, y0) \ {x0, y0}:  z(x, y) O(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x0, y0):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если:

1. (x0, y0)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M0(x0, y0, z(x0, y0)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M0 и точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M0.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x0, y0, z(x0, y0)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции Ax + By называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора:

– аддитивность A(x + y) = Ax + Ay

– однородность A(x) = Ax

Производная  по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и пусть ось  проходит через (x0, y0). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси  в точке (x0, y0).

Можно показать, что

, – углы, образованные осью  с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси  характеризует скорость изменения функции в направлении оси  в точке (x0, y0).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x0, y0) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при  получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае:

Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает.

Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку


Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u0, v0, t0), а z дифференцируема в точке (x0, y0), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u0, v0, t0) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  

uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uzux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где и бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.   ,  ЧТД.

z = z(x, y, t)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(x(t), y(t), t) = z(t)


(x
0, y0)

x0

(x0, y0)

grad z(x0, y0)

(x1, y1)

rad z(x1, y1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2457. Докладний переказ тексту з творчим завданням 85 KB
  Мета організації уроку. Формувати в учнів вміння розпізнавати тексти різних стилів мовлення і визначати їхні основні ознаки, розвивати увагу, логічне мислення, навчити школярів сприйняттю та відтворенню текстів, складати плани різних видів, розрізняти в тексті основну і побіжну інформацію, сприяти збагаченню й уточненню словникового запасу школярів, навчити дитину розподіляти зміст на речення й слова.
2458. Відокремлене узгоджене і неузгоджене означення 95.5 KB
  Мета організації уроку: закріпити в учнів знання про означення та його види, сформувати знання випадків відокремлення узгоджених та неузгодженних означень, навчити учнів відокремлювати узгоджені та неузгодженні означення.
2459. Відокремлені прикладки, урок для 8 класу 76.5 KB
  Мета організації уроку: сформувати в учнів поняття про відокремлену прикладку на основі відтворення і поглиблення знань, умінь і навичок учнів з тем, отриманих на попередніх заняттях, навчити восьмикласників обґрунтовано вживати розділові знаки при відокремлених прикладках, знаходити і виправляти пунктуаційні помилки на вивченні правила.
2460. Особливості побудови наукового і художнього описів. Опис тварини. Усний вибірковий переказ тексту, що містить опис тварини 35.72 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про особливості побудови художнього і наукового описів тварини, навчити правильно будувати текст-опис тваринки, знаходити основне, неповторне в образі тваринки і описувати свої спостереження, навчити школярів сприйняття та відтворення текстів, що містять опис тварини.
2462. Присвійні, вказівні займенники, їх відмінювання 74 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття присвійних та вказівних займенників, уміння їх відмінювати.
2463. Відокремлені додатки 59.5 KB
  Мета організації уроку. Сформувати поняття про відокремлений додаток, навчити оформляти відокремлені додатки на письмі та використовувати набуті уміння на практиці.
2464. Степан Васильченко. Свекор 54 KB
  Ознайомити учнів з фактами життя письменника, які вплинули на формування світогляду, специфікою його майстерності та із змістом оповідання Свекор, розвивати навички виразного читання, переказу прозових творів; виховувати почуття любові, злагоди, взаємодопомоги та турботи у сім’ї.
2465. Письмовий твір-роздум на морально-етичну чи суспільну теми публіцистичного стилю 39 KB
  Мета організації уроку. Удосконалювати вміння учнів продукувати письмовий твір-роздум на морально-етичну тему, розвивати усне і писемне мовлення, сформувати в учнів вміння виділяти в тексті всі компоненти роздуму, розуміти їх призначення в організації висловлювання, а потім свідомо відтворювати їх у власному мовленні.