40138

Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Если то функция называется дифференцируемой по x в точке x0 y0. 1 2  для  0  0:  x yDz  Ox0 y0 {x0 y0}: zx y  O Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки x y к точке x0 y0: на плоскости для функции нескольких переменных При разных  получаем разные значения lim  lim не . Непрерывность Функция zx y называется непрерывной в точке x0 y0 если: 1. Если функция z = zx y дифференцируема в точке по совокупности аргументов то она непрерывна в этой точке.

Русский

2013-10-15

141 KB

11 чел.

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х0, у0) и пусть т. (х0+∆х, у0) и (х0, у0+∆у) этой окрестности.

Рассмотрим . Если он и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х0, у0) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке  (x0, y0). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х0,у0), если полное приращение этой функции ∆z = z(х0+∆x, у0+∆y) – z(х0, у0) представимо в виде

z = Ax + By + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где , - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по аргументу в отдельности, т.е. ее частная производная по из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО.

Аналогично .  ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y)  дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х0, у0) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х0, у0), то функция дифференцируема в т.(х0, у0).

Понятие непрерывности зависит от метрики.

1)     

2)  

  для  > 0   > 0:   (x, y)D(z) O(x0, y0) \ {x0, y0}:  z(x, y) O(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x0, y0):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если:

1. (x0, y0)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M0(x0, y0, z(x0, y0)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M0 и точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M0.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x0, y0, z(x0, y0)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции Ax + By называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора:

– аддитивность A(x + y) = Ax + Ay

– однородность A(x) = Ax

Производная  по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и пусть ось  проходит через (x0, y0). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси  в точке (x0, y0).

Можно показать, что

, – углы, образованные осью  с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси  характеризует скорость изменения функции в направлении оси  в точке (x0, y0).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x0, y0) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при  получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае:

Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает.

Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку


Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u0, v0, t0), а z дифференцируема в точке (x0, y0), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u0, v0, t0) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  

uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uzux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где и бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.   ,  ЧТД.

z = z(x, y, t)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(x(t), y(t), t) = z(t)


(x
0, y0)

x0

(x0, y0)

grad z(x0, y0)

(x1, y1)

rad z(x1, y1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74204. Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар 147.63 KB
  Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы Жоспар: Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар. Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы.
74205. Жер қазу-тасымалдау машиналары. Қызметі, қолданылу облысы. Негізгі техника-экономикалық көрсеткіштері 659.49 KB
  Жер қазутасымалдау машиналары ЖҚТМ деп топырақты массивтен тарту күші арқылы ажыратып оны түсіру орнына өз жүрісімен жеткізетін құрылыс машиналарын атайды. Негізгі атқаратын жұмысшы операциялары: топырақты қабаттап өңдеу оны тасымалдау құрылыс объектісі негізіне төсеу немесе төгу топырақ беттерін жоспарлау. Негізгі қызметі: топырақты жер бетімен сүргіш органы арқылы азғана арақашықтыққа 150м жылжыту арқылы қабаттап өңдеу. Мына жағдайларда қолданылады: құрылыс алаңын дайындау барысында топырақтың беткі құнарлы қабатын алу;...
74206. Экскаваторлар. Жіктелуі, қолданылу облысы. Жұмысшы органының негізгі түрлері, параметрлері және құрылыс экскаваторларының индексациясы 885.5 KB
  Біршөмішті экскаватордың жұмыс циклі рет-ретімен орындалатын топырақ қазу, оны шөмішпен төсеу орнына тасымалдау, топырақты үйме мен көлік құралына аудару арқылы шөмішті босату және келесі циклді бастау үшін шөміштің алғашқы позициясына қайтып оралу операцияларынан тұрады
74207. Бұрғылау машиналары және жабдықтары. Бұрғылау құралы. Шпурлар бұрғылауға арналған машиналар. Бұрғылау-кранды машиналар 1.45 MB
  Бұрғылау – бұл топырақ массивінде қирау заттарын сыртқа шығара отырып, цилиндрлік жазықтықтар түзу арқылы топырақты қирату процесі. Егер диаметрі 75 мм дейін және тереңдігі 9 м болса жазықтықтар шпурлар деп, ал өлшемдері үлкен болса бұрғы деп аталынады.
74208. Тиеп-түсіру машиналары. Тиегіштер түрлері. Жұмыс процесі 455.42 KB
  Жұмысшы жабдық нұсқаларының көптігі және жұмыс органдарының ауыспалылығы құрылыс тиегіштерінің жұмыс жасау облысын кеңейтіп оларды құрылыс тасымалының барлық этаптарында қолданылатын универсалды машинаға айналдырады. БФПТтердің жұмысшы жабдығы жебе коромысло тартқыш гидроцилиндрлер құратын рычагты механизмнен тұрады. Сонымен қатар түсіру биіктігін ондаған сантиметрге жоғарылатытын машинаның универсалдылығын арттыратын жақты шөміштер де қолданылады бірақ олар жұмысшы жабдықтың күрделенуіне қосымша гидравликалық контурлар орнату...
74209. Машиналардың ұсақтау типтері жәнеұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңд. 1.43 MB
  Грохоттардың қолданылуы принциптік схемалары жұмыс процестері негізгі параметрлері мен жұмыс өнімділігі Жоспар: Машиналардың ұсақтау типтері және ұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңдап алу. Тас жыныстарды бұзу мен уатудың механикалық процесі ұсақтау деп аталады және тас ұсақтағыш машиналар тас ұсақтағыштарды қолдана отырып ұсақтау жаншу сындыру және үйкеу көмегімен жүзеге асырылады. Ұсақтау машиналарында ұсақталатын жыныстың қасиеттеріне және ірілігіне қарай әртүрлі әдістер бірге қолданылады.
74210. Бетон қоспалары мен сылақтарын дайындауға арналған машиналар мен жабдықтар. Араластырғыш машиналардың қызметі мен құрамы. Араластырғыш машиналардың жіктелуі 1.46 MB
  Бетон араластырғыштар мен циклді және үздіксіз жұмыс жасайтын сылақ араластырғыштардың типтері негізгі параметрлері мен конструктивтік схемалары. Бетон қоспаларын тығыздау қажеттіліктері мен тәсілдері Жоспар: Араластырғыш машиналардың қызметі мен құрамы. Бетон араластырғыштар мен циклді және үздіксіз жұмыс жасайтын сылақ араластырғыштардың типтері негізгі параметрлері мен конструктивтік схемалары.
74211. Топырақ тығыздағыш машналар. Топырақты домалату, таптау және вибротаптау арқылы тығыздау 930.22 KB
  Топырақты домалату таптау және вибротаптау арқылы тығыздау. Жұмыс процесі негізгі параметрлері техникалық және эксплуатациялық көрсеткіштері Жоспар: Топырақ тығыздағыш машиналар. Топырақты домалату таптау және вибротаптау арқылы тығыздау.
74212. Қол машиналары. Жалпы мәліметтер, қол машиналарын атқаратын қызметіне, жұмыс жасау принципіне, жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына, жұмыс режиміне, жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу 1.34 MB
  Жалпы мәліметтер қол машиналарын атқаратын қызметіне жұмыс жасау принципіне жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына жұмыс режиміне жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу. Қол машиналарын атқаратын қызметіне жұмыс жасау принципіне жұмыс органының қозғалыс сипаттамасына жұмыс режиміне жетек түрі мен қорғаныс класына қарай жіктеу. Қол машиналары дегеніміз жұмыс органы қозғалысқа қозғалтқыш арқылы ал қосымша қозғалыстары жеткізу оператордың көмегімен қолдан қозғалысқа келтірілетін машиналар аталынады. Жеңіл түріне тескіш...