40138

Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Если то функция называется дифференцируемой по x в точке x0 y0. 1 2  для  0  0:  x yDz  Ox0 y0 {x0 y0}: zx y  O Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки x y к точке x0 y0: на плоскости для функции нескольких переменных При разных  получаем разные значения lim  lim не . Непрерывность Функция zx y называется непрерывной в точке x0 y0 если: 1. Если функция z = zx y дифференцируема в точке по совокупности аргументов то она непрерывна в этой точке.

Русский

2013-10-15

141 KB

10 чел.

7. Дифференцирование функций многих переменных: производная по направлению, частные производные, дифференциал, Производная от сложных функций, градиент, направления убывания, геометрический смысл градиента.

Пусть каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие единственное число z, (x, y, z R) => задана функция z = z(x, y). Пусть функция z(x, y) определена в некоторой окрестности т.(х0, у0) и пусть т. (х0+∆х, у0) и (х0, у0+∆у) этой окрестности.

Рассмотрим . Если он и конечен, то его значение называется частной производной функции z по переменной х в т.(х0, у0) и обозначается . Т.е. при вычислении частной производной по x аргумент y считается константой. Если , то функция называется дифференцируемой по x в точке  (x0, y0). Аналогично определяется частная производная по у.

Функция z = z(x, y) называется дифференцируемой (дифференцируемой по совокупности аргументов) в т. (х0,у0), если полное приращение этой функции ∆z = z(х0+∆x, у0+∆y) – z(х0, у0) представимо в виде

z = Ax + By + (∆x, ∆y)∆x + (∆x, ∆y)∆y,

где , - бесконечно малые при ∆x0 и ∆y0, т.е. .

Если функция дифференцируема по совокупности аргументов, то она дифференцируема и по аргументу в отдельности, т.е. ее частная производная по из аргументов. Обратное утверждение неверно.

ДОК-ВО.

Аналогично .  ЧТД.

Т. Если функция z = z(x, y)  дифференцируема и по каждому из аргументов в отдельности в некоторой окрестности т.(х0, у0) и все частные производные I порядка непрерывны в т.(х0, у0), то функция дифференцируема в т.(х0, у0).

Понятие непрерывности зависит от метрики.

1)     

2)  

  для  > 0   > 0:   (x, y)D(z) O(x0, y0) \ {x0, y0}:  z(x, y) O(A)

Значение lim не должно зависеть от способа стремления точки (x, y) к точке (x0, y0):

на плоскости

для функции нескольких переменных

При разных получаем разные значения lim  lim не .

Непрерывность

Функция z(x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если:

1. (x0, y0)  D(z)

2. .

Если функция z = z(x, y) дифференцируема в точке по совокупности аргументов, то она непрерывна в этой точке.

Плоскость, проходящая через точку M0(x0, y0, z(x0, y0)) называется касательной плоскостью к поверхности z = z(x, y), если угол между этой плоскостью и секущей, проведенной через точку M0 и точку M поверхности, стремится к 0, когда M  M0.

Дифференцируемость функции z(x, y) равносильна -ию касательной плоскости к поверхности z = z(x, y) в точке (x0, y0, z(x0, y0)).

Главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции Ax + By называется ее полным дифференциалом и обозначается:

Линейность оператора:

– аддитивность A(x + y) = Ax + Ay

– однородность A(x) = Ax

Производная  по направлению

Пусть z = z(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) и пусть ось  проходит через (x0, y0). Рассмотрим точку M(x, y), лежащую на оси

+ если сонаправлен с

– если противоположно направлен с

Рассмотрим , если он и конечен, то его значение называется производной функции z в направлении оси  в точке (x0, y0).

Можно показать, что

, – углы, образованные осью  с положительным направлениями осей Ox и Oy.

Значение производной в направлении оси  характеризует скорость изменения функции в направлении оси  в точке (x0, y0).

Если (z/)>0, то функция возрастает, <0 – убывает.

Градиентом функции z = z(x, y) в точке (x0, y0) называется вектор с координатами:

– орт-вектор, длина = 1.

при  получаем

Производная по направлению имеет наибольшее значение, когда угол , т.е. градиент всегда направлен в сторону наибольшего роста функции и в этом случае:

Противоположное направление – антиградиент – указывает направление, в котором функция максимально быстро убывает.

Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, т.е. с геометрической точки зрения градиент в точке (x0, y0) ортогонален линии уровня, проходящей через эту точку


Производная сложной функции

Пусть z = z(x, y)

x = x(u, v, t)

y = y(u, v, t)

если функции x и y дифференцируемы по совокупности аргументов в точке (u0, v0, t0), а z дифференцируема в точке (x0, y0), то сложная функция z = z(x(u, v, t), y(u, v, t)) дифференцируема в точке (u0, v0, t0) и справедливы формулы

ДОК-ВО: Придадим u приращение u => х и у получат соответствующие приращения: ux = x(u+u, v, t) – x(u, v, t)  

uz = z(x+x, y+y) – z(x, y). Т.к. z дифференцируема, то ее приращение uz представимо в виде uzux+Buy+(xu,yu)xu +(xu,yu)yu, где и бесконечно малые при x0, y0. Разделим на u и перейдем к пределу.   ,  ЧТД.

z = z(x, y, t)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(x(t), y(t), t) = z(t)


(x
0, y0)

x0

(x0, y0)

grad z(x0, y0)

(x1, y1)

rad z(x1, y1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9430. Аускультация сердца. Сердечные шумы 28.02 KB
  Аускультация сердца. Сердечные шумы. Сердечные шумы - это более продолжительные высокочастотные звуки, с частотой 400-1000 Гц, которые возникают при деятельности сердца. Шум возникает в результате турбулентного тока при прохождении крови через ...
9431. Электрокардиография ЭКГ 29.49 KB
  Электрокардиография ЭКГ представляет собой графическое изображение колебаний электрических потенциалов, снятых с поверхности тела Самый распространенный и массовый инструментальный вид исследования. ЭКГ - колебание электрических потенци...
9432. Нарушение сердечного ритма 26.55 KB
  Нарушение сердечного ритма Аритмии являются наиболее распространенными нарушениями сердечного ритма. Их частота не поддается точной оценке. Приходящие нарушения ритма встречаются у большинства здоровых людей. При возникновении заболеваний внутренних...
9433. Симптомология заболеваний пищевода. Дисфагия Нарушение акта глотания 29.38 KB
  Симптомология заболеваний пищевода Дисфагия Боль Пищеводная рвота Срыгивание, отрыжка Изжога Пищеводное кровотечение Дисфагия Нарушение акта глотания Больной ощущает задержку прохождения пищевого комка по пищевода...
9434. Функциональная диагностика при заболеваниях ЖКТ Исследование желудочной секреции 26.72 KB
  Функциональная диагностика при заболеваниях ЖКТ Исследование желудочной секреции Методы исследования: Метод кокционного зондирования Метод окрашивания стенки желудка при помощи орошения специальным красителем через канал эндоскопа при га...
9435. Исследования больных с заболеванием печени и желчевыводящих путей 27.65 KB
  Исследования больных с заболеванием печени и желчевыводящих путей Субъективное исследование жалобы: Симптом печеночной диспепсии (жировая диспепсия) Симптомокомплекс печеночной лени Желтуха Кожный зуд Чувство тяже...
9436. Основные симптомы и синдромы при заболевании почек 29.47 KB
  Основные симптомы и синдромы при заболевании почек Основная морфологическаяи функциональная единица почки нефрон, состоящий из сосудистого клубочка, капсулы и почечных канальцев. В каждой почке содержится около 1.2-1.5 млн. нефронов. Основные ...
9437. Семиотика заболеваний эндокринной системы 29.73 KB
  Семиотика заболеваний эндокринной системы Вилочковая железа, поджелудочная, надпочечники, половые. Гипоталамо-гипофизарная система. Гипоталамус занимает часть промежуточного мозга, и представляет собой скопление нервных клеток. Он принимает участие ...
9438. Симптомы и синдромы при заболеваниях системы крови 25.78 KB
  Симптомы и синдромы при заболеваниях системы крови Введение: 1829г - описание пурпуры Шенлейном 1855г - описание злокачественной анемии Аддисона Жалобы: Слабость, головокружение, одышка, анемия Язвы, афты, стоматит ...