40139

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Пусть функция у = fx определена на отрезке [а b]. Обозначим через На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму: Обозначим – диаметр разбиения если  конечный не зависящий от способа разбиения отрезка [а b] и выбора точек то его значение называется определенным интегралом от функции fx его обозначение а функция fx называется интегрируемой по Риману на [а b]. Если функция fx интегрируема на [а b] то она ограничена на этом сегменте. ДОКВО Если функция fx не ограничена на [а b] то...

Русский

2013-10-15

165.5 KB

6 чел.

8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками

.

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки  и составим интегральную сумму:

 Обозначим  – диаметр разбиения

если конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то по крайней мере одна точка с [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1]  c  за счет выбора точки  произведение  можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть  – рац.

2) пусть  – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда  si и Si:

– инфимум

– супремум

Инфимум – точная нижняя грань.

inf M = a означает, что  x  M:   a  x – нижняя грань

не  a’:   a’ > a   a’  x  – точность.

a  M или a  M.

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу:

Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Т. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, b], интегрируема на этом отрезке  для   > 0   такое разбиение отрезка [а, b], что nn < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками  и через каждую точку  проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки   и на  как на основании построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.     

Свойства

1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]:

2 будем считать по определению

3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]:

4 если функция f(x) интегрируема на двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке:

5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом:

Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x):

|f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема.

6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то

7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и  m   f(x)  M, то

8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то точка c(а, b):


Приближенные методы вычисления интегралов:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений h = (ba) / n. Пусть xi – точки деления, xi = a + ih,  i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным и на промежутке [x2i; x2i+2] кривая заменяется параболой.

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.


a =
x0   x1      x2                                           xn-1       xn-1 = b

1

0

Верхняя сумма

Нижняя сумма

y = f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82566. PR-ПРОДВИЖЕНИЕ ФЕРМЕРСКИХ ПРОДУКТОВ НА ТЕРРИТОРИИ МОСКВЫ И МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ В ПЕРИОД С 2012 ПО 2013 ГОД 3.36 MB
  Сегодня у компании уже есть четыре точки сбыта в разных районах Москвы отработанная система заказов через сайт компании с доставкой по Москве база постоянных клиентов и самое главное - перспективы для дальнейшего роста. Предмет: PR-инструменты в сфере продвижения фермерских продуктов на опыте компании Пенка.
82567. Система анализа реконструктивных хирургических операций при помощи Microsoft Kinect 3.61 MB
  Одной из ключевых особенностей хирургии как сферы использования ПО - это требование стерильности, которое обычно сложно было выполнять из-за устройств ввода/вывода, которые требуется заново тщательно стерилизовать после каждой операции.
82568. Развитие Интернет-телевидения в образовательной среде 3.98 MB
  И если раньше видео через Internet было доступно единицам то сейчас возможностью пользоваться такими услугами обладает большое количество жителей крупных городов. Телевидение может является средством распространения обучающих видеоматериалов заранее подготовленных учебным заведением.
82569. Неделя российского бизнеса как коммуникативный проект 384 KB
  История возникновения НРБ как коммуникативного проекта. Одной из таких технологий является создание специального мероприятия т. Сегодня все больше и больше компаний будь то сегмент IT FMCG социальные проекты или даже государственные программы обращаются к технике создания специального мероприятия для достижения...
82570. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ АНАЛИЗАТОРОВ ТРАФИКА ЛОКАЛЬНЫХ СЕТЕЙ 419 KB
  В работе реализована идея автоматической генерации анализатора трафика локальной сети на основе ранее собранной статистики трафика в этой сети. Такой анализатор способен выделять из потока пакетов в сети аномальный трафик и извещать о нем администратора (либо сразу блокировать).
82571. Веб-система управления проектами с элементами социальной сети «Freetask» 182.69 KB
  В рамках данной работы разрабатывается программный комплекс сбора и интеллектуального анализа проектов фрилансбирж состоящий из следующих компонентов: Агрегатор проектов с наиболее популярных русскоязычных бирж Нормализатор задачей которого является определение ключевых слов проекта Кластеризатор...
82572. Изучение социальной тревожности у различных групп пользователей сети Интернет 391 KB
  Объект исследования: группы пользователей сети Интернет с различной спецификой использования: люди, работающие с Интернетом в рамках профессиональной и учебной деятельности; пользователи т. н. «социальных сервисов» (социальные сети, службы мгновенных сообщений, онлайн-дневники); игроки в онлайн-игры.
82573. Система визуального проектирования документации семейств программных продуктов 372.1 KB
  Техническая документация продуктов, составляющих семейство, может иметь значительный объём, при этом требования к качеству документации бывают весьма высокими. В таких случаях и разработка, и поддержка этой документации в актуальном состоянии являются чрезвычайно трудоёмкими процессами.
82574. Стратегии эффективного позиционирования корпоративных интересов в сети Интернет 949.5 KB
  Однажды и я вполне осознанно стал одним из них. Несколько лет назад, покупая утром по привычке известное спортивное издание «Спорт-Экспресс», я вдруг осознал, что делаю это абсолютно напрасно - существующая интернет-версия содержит идентичные материалы и даже больше.