40139

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Пусть функция у = fx определена на отрезке [а b]. Обозначим через На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму: Обозначим диаметр разбиения если  конечный не зависящий от способа разбиения отрезка [а b] и выбора точек то его значение называется определенным интегралом от функции fx его обозначение а функция fx называется интегрируемой по Риману на [а b]. Если функция fx интегрируема на [а b] то она ограничена на этом сегменте. ДОКВО Если функция fx не ограничена на [а b] то...

Русский

2013-10-15

165.5 KB

6 чел.

8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками

.

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки  и составим интегральную сумму:

 Обозначим  – диаметр разбиения

если конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то по крайней мере одна точка с [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1]  c  за счет выбора точки  произведение  можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть  – рац.

2) пусть  – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда  si и Si:

– инфимум

– супремум

Инфимум – точная нижняя грань.

inf M = a означает, что  x  M:   a  x – нижняя грань

не  a’:   a’ > a   a’  x  – точность.

a  M или a  M.

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу:

Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Т. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, b], интегрируема на этом отрезке  для   > 0   такое разбиение отрезка [а, b], что nn < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками  и через каждую точку  проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки   и на  как на основании построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.     

Свойства

1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]:

2 будем считать по определению

3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]:

4 если функция f(x) интегрируема на двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке:

5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом:

Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x):

|f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема.

6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то

7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и  m   f(x)  M, то

8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то точка c(а, b):


Приближенные методы вычисления интегралов:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений h = (ba) / n. Пусть xi – точки деления, xi = a + ih,  i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным и на промежутке [x2i; x2i+2] кривая заменяется параболой.

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.


a =
x0   x1      x2                                           xn-1       xn-1 = b

1

0

Верхняя сумма

Нижняя сумма

y = f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22534. Плоское напряженное состояние 98.5 KB
  Тензор напряжений в этом случае имеет вид Геометрическая иллюстрация представлена на рис. Инварианты тензора напряжений равны а характеристическое уравнение принимает вид Корни этого уравнения равны 1 Нумерация корней произведена для случая Рис. Позиция главных напряжений Произвольная площадка характеризуется углом на рис. Если продифференцировать соотношение 2 по и приравнять производную нулю то придем к уравнению 4 что доказывает экстремальность главных напряжений.
22535. Упругость и пластичность. Закон Гука 156 KB
  При высоких уровнях нагружения когда в теле возникают значительные деформации материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими. Твердые тела выполненные из различных материалов разрушаются при разной величине деформации. Соответствующие деформации обозначим через и причем эти деформации...
22536. Механические характеристики конструкционных материалов 110 KB
  ДИАГРАММЫ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Основным опытом для определения механических характеристик конструкционных материалов является опыт на растяжение призматического образца центрально приложенной силой направленной по продольной оси; при этом в средней части образца реализуется однородное напряженное состояние. Форма размеры образца и методика проведения испытаний определяются соответствующими стандартами например ГОСТ 34643 81 ГОСТ 149773. Физический смысл коэффициента Е определяется как...
22537. Влияние различных факторов на механические характеристики материалов 54.5 KB
  Влияние процентного содержания углерода Влияние температуры окружающей среды. Повышенные температуры оказывают существенное влияние на такие механические характеристики конструкционных материалов как ползучесть и длительная прочность. Скорость релаксации напряжений возрастает при повышении температуры. Прочность углеродистых сталей с повышением температуры до 650 700oС снижается почти в десять раз.
22538. Основные понятия теории надежности конструкций 79.5 KB
  Условие прочности по существу есть условие обеспечения прочностной надежности. Например предельное напряжение входящее в условие прочности по своей природе является случайным. Если стечение обстоятельств приводящее к нарушению условия прочности редкое событие то приходим к вероятностной трактовке условия прочности с позиций теории надежности. Вместо условия прочности 1 записывается условие Р=Р 2 где Р заданное достаточно высокое значение вероятности которое называется нормативной вероятностью безотказной работы.
22539. Прочность и перемещения при центральном растяжении или сжатии 136 KB
  Напомним что под растяжением сжатием понимают такой вид деформации стержня при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор продольная сила Nz. Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz то растяжение сжатие имеет место если все внешние силы действующие по одну сторону от данного поперечного сечения сводятся к равнодействующей направленной вдоль...
22540. Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам 116.5 KB
  Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам. Применение к статически определимым системам. Расчетная схема статически определимой стержневой системы Рассчитывая эту систему обычным путем найдем усилия N1 = N2 no формуле: из равновесия узла А. Это всегда имеет место для статически определимых конструкций при равномерном распределении напряжений когда материал по всему сечению используется полностью.
22541. Учет собственного веса при растяжении и сжатии 102 KB
  Длина стержня l площадь поперечного сечения F удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ расположенному на расстоянии от свободного конца стержня. Эти напряжения будут нормальными равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня т. Наиболее напряженным опасным будет верхнее сечение для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно: Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения: Отсюда необходимая площадь стержня...
22542. Расчет гибких нитей 148.5 KB
  Это так называемые гибкие нити. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом и длина кривой АОВ мало отличается не более чем на 10 от длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать что вес нити равно мерно распределен не по ее длине а по длине ее проекции на горизонтальную ось т. Расчетная схема гибкой нити.