40139

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Пусть функция у = fx определена на отрезке [а b]. Обозначим через На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму: Обозначим диаметр разбиения если  конечный не зависящий от способа разбиения отрезка [а b] и выбора точек то его значение называется определенным интегралом от функции fx его обозначение а функция fx называется интегрируемой по Риману на [а b]. Если функция fx интегрируема на [а b] то она ограничена на этом сегменте. ДОКВО Если функция fx не ограничена на [а b] то...

Русский

2013-10-15

165.5 KB

6 чел.

8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками

.

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки  и составим интегральную сумму:

 Обозначим  – диаметр разбиения

если конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то по крайней мере одна точка с [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1]  c  за счет выбора точки  произведение  можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть  – рац.

2) пусть  – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда  si и Si:

– инфимум

– супремум

Инфимум – точная нижняя грань.

inf M = a означает, что  x  M:   a  x – нижняя грань

не  a’:   a’ > a   a’  x  – точность.

a  M или a  M.

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу:

Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Т. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, b], интегрируема на этом отрезке  для   > 0   такое разбиение отрезка [а, b], что nn < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками  и через каждую точку  проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки   и на  как на основании построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.     

Свойства

1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]:

2 будем считать по определению

3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]:

4 если функция f(x) интегрируема на двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке:

5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом:

Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x):

|f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема.

6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то

7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и  m   f(x)  M, то

8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то точка c(а, b):


Приближенные методы вычисления интегралов:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений h = (ba) / n. Пусть xi – точки деления, xi = a + ih,  i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным и на промежутке [x2i; x2i+2] кривая заменяется параболой.

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.


a =
x0   x1      x2                                           xn-1       xn-1 = b

1

0

Верхняя сумма

Нижняя сумма

y = f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39661. Социальные группы и их классификация 210 KB
  Социальные группы и их классификация Лекция Череповец 2005 Тема 2. Социальные группы и их классификация Содержание лекции Социальные группы и их виды. Понятие социальной группы и ее сущностные черты. Псевдогруппы и типология их.
39662. Социальные организации 243.5 KB
  Социальные организации Лекция Череповец 2005 Содержание лекции Понятие организации. Подходы к определению организации: К. Элементы организации: социальная структура участники цели технология. Социальные свойства организации.
39663. Социальные институты 151 KB
  Явные функции социальных институтов: закрепления и воспроизводства общественных отношений регулятивная интегративная транслирующая коммуникативная. Типология социальных институтов. Виды и функции социальных институтов. Разрабатывая понятие института представители этого направления трактовали его в содержательном плане как группу людей объединенных какимилибо идеями для выполнения какихлибо функций а в формализованном категориальном виде как систему социальных ролей организующую систему поведения и социальных отношений.
39664. СОЦИОЛОГИЯ СЕМЬИ 220 KB
  СОЦИОЛОГИЯ СЕМЬИ Лекция Череповец 2007 Тема 2. Социология семьи1 Содержание лекции Понятие семьи и брака. Особенности связей и структура семьи. Историческое развитие семьи: промискуитет.
39665. СОЦИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ИЗМЕНЕНИЯ И ДВИЖЕНИЯ 176 KB
  Виды социальных процессов. Берджес о классификации основных социальных процессов: кооперация конкуренция приспособление конфликт ассимиляция амальгамизация. Всеобщий характер социальных изменений. Понятие и виды социальных изменений.
39666. СОЦИАЛЬНАЯ МОБИЛЬНОСТЬ 176.5 KB
  Природа социальной мобильности. Сорокин о социальной мобильности и ее механизмах. Источники социальной мобильности. Типология социальной мобильности.
39667. УПРАВЛЕНИЕ В ОРГАНИЗАЦИИ 140.5 KB
  Понятие и функции управления. Объекты и методы управления. Структуры управления в организациях. Типы структур управления организациями: бюрократический и органический: достоинства и недостатки.
39668. СОЦИОЛОГИЯ КОНФЛИКТА 160 KB
  СОЦИОЛОГИЯ КОНФЛИКТА Лекция Череповец 2003Тема 3. Социология конфликта Содержание лекции Природа конфликта в организации. Понятие конфликта. Типы конфликта.
39669. СОЦИАЛЬНЫЙ КОНТРОЛЬ И ДЕВИАНТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ 231.5 KB
  Социальный контроль как механизм социальной регуляции поведения людей. Они не только обучают детей но и контролируют правильность усвоенных образцов поведения и следовательно выступают агентами социального контроля. Он выступает средством социальной регуляции поведения людей. Объяснить сущность и причины отклоняющего поведения.