40139

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Пусть функция у = fx определена на отрезке [а b]. Обозначим через На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму: Обозначим диаметр разбиения если  конечный не зависящий от способа разбиения отрезка [а b] и выбора точек то его значение называется определенным интегралом от функции fx его обозначение а функция fx называется интегрируемой по Риману на [а b]. Если функция fx интегрируема на [а b] то она ограничена на этом сегменте. ДОКВО Если функция fx не ограничена на [а b] то...

Русский

2013-10-15

165.5 KB

6 чел.

8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками

.

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки  и составим интегральную сумму:

 Обозначим  – диаметр разбиения

если конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то по крайней мере одна точка с [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1]  c  за счет выбора точки  произведение  можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть  – рац.

2) пусть  – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда  si и Si:

– инфимум

– супремум

Инфимум – точная нижняя грань.

inf M = a означает, что  x  M:   a  x – нижняя грань

не  a’:   a’ > a   a’  x  – точность.

a  M или a  M.

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу:

Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Т. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, b], интегрируема на этом отрезке  для   > 0   такое разбиение отрезка [а, b], что nn < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками  и через каждую точку  проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки   и на  как на основании построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.     

Свойства

1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]:

2 будем считать по определению

3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]:

4 если функция f(x) интегрируема на двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке:

5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом:

Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x):

|f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема.

6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то

7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и  m   f(x)  M, то

8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то точка c(а, b):


Приближенные методы вычисления интегралов:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений h = (ba) / n. Пусть xi – точки деления, xi = a + ih,  i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным и на промежутке [x2i; x2i+2] кривая заменяется параболой.

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.


a =
x0   x1      x2                                           xn-1       xn-1 = b

1

0

Верхняя сумма

Нижняя сумма

y = f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19939. Произведения, не охраняемые авторским правом. Виды авторского права 21.05 KB
  Лекция №2 Тема: Произведения не охраняемые авторским правом. Виды авторского права. Не охраняется авторским правом: сообщения о новостях дня или текущих событиях имеющие характер обычной прессинформации; произведения народного творчества фольклор; изд
19940. Таможенная граница. Регистрация объектов ИС 18.34 KB
  Лекция №3 Тема: таможенная граница. Товары которые содержат объекты интеллектуальной собственности ИС импортируются или экспортируются. Украинскими или иностранными субъектами предпринимательской внешнеэкономической деятельности независимо от форм собственнос...
19942. Право на вознаграждение за создание и использование произведений 18.79 KB
  Тема: Право на вознаграждение за создание и использование произведений Вознаграждение выплачивается автору произведения как при его создании по договору заказа так и созданию произведения по трудовому договору. По договору заказа кроме вознаграждения за создани
19943. Произведения, созданные в связи с выполнением трудового договора. Возникновение авторских прав и их регистрация 19.4 KB
  Лекция №4 Тема: произведения созданные в связи с выполнением трудового договора. Возникновение авторских прав и их регистрация. Трудовой договор это соглашение между работником предприятием и работодателем в соответствии с которым работник обязуется выполнить ра
19944. Изобретательство и патентные работы 19.6 KB
  Лекция №5 Тема: изобретательство и патентные работы. Гражданский хозяйственный кодекс подзаконный акт МИН об утверждении правил составление подачи заявки на изобретение и заявки на полезные модели. Изобретение полезная модель это результат интеллектуальной де
19945. Охрана полезных моделей (ОПМ) 22.96 KB
  Лекция №6 Тема: охрана полезных моделей ОПМ. 1891 год первый закон об охране полезных моделей в Германии. В качестве полезной модели может быть зарегистрирована любая форма конфигурация или расположение элементов созданного объекта инструмента прибора которые п
19946. Комплекс испытательных средств для исследования ползучести и состава газообразных продуктов деления 329.83 KB
  Рассмотреть комплекс испытательных средств для исследования ползучести и состава газообразных продуктов деления, взаимосвязи его систем с облучательными устройствами и испытуемыми образцами. Обратить внимание на унификацию узлов установок, их объединение в облучательное устройство в зависимости от поставленных задач. Представить схему измерений комплекса и его элементы, параметры при испытании топливных композиций. Познакомить слушателей с газовым стендом, спектрометрическим комплексом и электроосадителем.
19947. Технология производства образцов диоксида урана двух партий 141.84 KB
  Изучались образцы диоксида урана двух технологий. Один тип образцов (тип с) по традиционной для реакторов ВВЭР технологии. Другой (тип f) изготовлен во Франции по технологии DCI и исследовался в соответствии с межгосударственной программой. Такие образцы, обладая повышенной пластичностью, предназначены для твэлов реакторов, способных работать в режимах покрытия пиковых нагрузок в электросетях.