40139

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Пусть функция у = fx определена на отрезке [а b]. Обозначим через На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму: Обозначим – диаметр разбиения если  конечный не зависящий от способа разбиения отрезка [а b] и выбора точек то его значение называется определенным интегралом от функции fx его обозначение а функция fx называется интегрируемой по Риману на [а b]. Если функция fx интегрируема на [а b] то она ограничена на этом сегменте. ДОКВО Если функция fx не ограничена на [а b] то...

Русский

2013-10-15

165.5 KB

6 чел.

8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками

.

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки  и составим интегральную сумму:

 Обозначим  – диаметр разбиения

если конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то по крайней мере одна точка с [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения. Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1]  c  за счет выбора точки  произведение  можно сделать как угодно большими по модулю  может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы неограниченная функция не является интегрируемой по Риману. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть  – рац.

2) пусть  – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Верхняя и нижняя сумма Дарбу.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда  si и Si:

– инфимум

– супремум

Инфимум – точная нижняя грань.

inf M = a означает, что  x  M:   a  x – нижняя грань

не  a’:   a’ > a   a’  x  – точность.

a  M или a  M.

Составим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу:

Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Т. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, b], интегрируема на этом отрезке  для   > 0   такое разбиение отрезка [а, b], что nn < .

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками  и через каждую точку  проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов  выберем произвольные точки   и на  как на основании построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.     

Свойства

1 если функции f(x) и (x) интегрируемы на [а, b], то функция f(x) + (x) также интегрируема на [а, b]:

2 будем считать по определению

3 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]:

4 если функция f(x) интегрируема на двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке:

5 если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом:

Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x):

|f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема.

6 если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то

7 [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и  m   f(x)  M, то

8 [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то точка c(а, b):


Приближенные методы вычисления интегралов:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений h = (ba) / n. Пусть xi – точки деления, xi = a + ih,  i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая). При применении формулы Симпсона n должно быть четным и на промежутке [x2i; x2i+2] кривая заменяется параболой.

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.


a =
x0   x1      x2                                           xn-1       xn-1 = b

1

0

Верхняя сумма

Нижняя сумма

y = f(x)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19493. Требования к надёжности системы управления 45.5 KB
  Требования к надёжности Уровень надежности АС в существенной степени зависит от следующих основных факторов: Состав и уровень надежности используемых технических средств их взаимодействие и взаимосвязь в структуре Комплекса Технических Средств АС. Состав ...
19494. Интегрированная система автоматизации предприятия 45 KB
  Интегрированная система автоматизации предприятия В современном промышленном производстве все большее значение приобретает возможность оперативного доступа к достоверной и точной информации из любой точки управления производством поскольку это определяющим обр...
19495. Классы микропроцессорных комплексов 49 KB
  Классы микропроцессорных комплексов 1. Контроллер на базе персонального компьютера PC based control. Это направление существенно развилось в последнее время ввиду повышения надежности работы персональных компьютеров; наличия их модификаций в обычном и промышлен...
19496. АРХІТЕКТУРА СУЧАСНИХ ПЕРСОНАЛЬНИХ КОМП’ЮТЕРІВ 80.5 KB
  Персональний комп’ютер – це складна обчислювальна система, яка являє собою сукупність апаратних (основні технічні пристрої) та програмних (сукупність програмних засобів для обробки інформації) засобів, що дають змогу накопичувати і автоматизувати обробку будь-якої інформації.
19497. Требования к структуре и функционированию Системы 34 KB
  Требования к структуре и функционированию Системы По функциональным признакам структура АС подразделяется на следующие категории Представлена на примере АСУТП как системы с наиболее жесткими требованиями. Для АС других типов расписываются собственные требования: ...
19499. Тендер 27 KB
  Тендер АСУТП должна в обязательном порядке предусматривать полную замену устаревших средств КИП на современные. В обязательном порядке должна предусматриваться связь с заводской локальной и с корпоративной вычислительной сетью. Выбор конкретного поставщика...
19500. Типы взаимодействия с контроллерами 41 KB
  Типы взаимодействия с контроллерами. Центральное звено систем автоматизации микропроцессорный контроллер объединяет под этим названием ряд классов и типов универсальных микропроцессорных средств которые удовлетворяют запросам разных категорий заказчиков. По...
19501. Аппаратная реализация связи с устройствами ввода/вывода 167.5 KB
  Аппаратная реализация связи с устройствами ввода/вывода. Для организации взаимодействия с контроллерами могут быть использованы следующие аппаратные средства: COM порты. В этом случае контроллер или объединенные сетью контроллеры подключаются по протоколам RS...