40140

Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений. Таким образом с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения высчитать в них значение ЦФ выбрать наибольшее наименьшее. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи. В этом заключается основная идея СМ которая предполагает: 1 уметь находить первоначальное базисное...

Русский

2013-10-15

66 KB

19 чел.

16. Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса.

Задача ЛП имеет вид:

    (1)

Если в ограничениях с bi стоят только неравенства, то говорят, что задача задана в стандартной форме.

Если стоят только равенства, то в канонической форме.

Множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям (1), называется множеством допустимых решений. Это множество с геометрической точки зрения представляет собой некоторый выпуклый многоугольник или выпуклую многоугольную область решений.

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с 2-мя точками содержит их произвольную линейную выпуклую комбинацию.

Точка называется внутренней, если окрестность этой точки, которая принадлежит целиком данному множеству.

Точка называется граничной, если в окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие множеству

Точка называется угловой, если она не является внутренней не для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству

Если ЦФ достигает ext в более чем в одной точке, то она достигает того же значения в точке, являющейся их линейной выпуклой комбинацией.

Таким образом, с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения, высчитать в них значение ЦФ, выбрать наибольшее / наименьшее.

Однако, с практической точки зрения такой способ затруднителен, т.к. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи.

Поэтому способ целенаправленного перебора угловых точек. Суть: в начале находят одну из угловых точек, при этом надо иметь критерий остановки перебора. Если начальная точка не удовлетворяет этому критерию, то надо иметь критерий перехода к нехудшей точке, в которой значение функции не меньше при нахождении max, не больше при min, чем в предыдущей точке.

В этом заключается основная идея СМ, которая предполагает:

1) уметь находить первоначальное базисное решение

2) критерий оптимальности базисного решения

3) критерий переходить к «нехудшему» базисному решению

Пусть имеем канонический вид:

    (2)

Канонический вид всегда можно получить из стандартной определенными способами (добавление / вычитание дополнительных переменных).

Система уравнений в (2) в случае ее совместности и ранга = m имеет некоторый базис, содержащий m векторов, через которые можно выразить другой вектор Ai, составленный из коэффициентов aij.

Переменные xi, соответствующие базисным векторам, называются базисными, остальные (nm) переменных – свободными.

Базисным решением m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все свободные = 0, если при этом все xi  0, то базисное решение называется допустимым

Допустимое базисное решение – решение, в котором все свободные = 0, а базисные равны свободным элементам.

Каждому допустимому базисному решению соответствует одно угловая точка. Поэтому для того чтобы найти первую угловую точку надо уметь находить некоторое допустимое базисное решение.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если левая часть ограничения содержит переменную с коэффициентом 1, которая в остальные ограничения вводится коэффициентом 0.

Если каждые ограничения имеют предпочтительный вид, то система ограничений называется предпочтительной.

В этом случае базисные решения находит так: приравниваем к 0 непредпочтительные переменные, тогда предпочтительные переменные будут равны соответствующим значениям правой части, которой по определению 0. Таким образом, получаем допустимое базисное решение. Предпочтительные переменные будут базисными, а непредпочтительные – свободными.

а) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   (3)

Введем дополнительные неотрицательные переменные так, чтобы неравенства превратились в равенства. (3) имеет предпочтительный вид. В качестве базисных переменных возьмем дополнительные, в качестве свободных – исходные переменные. Допустимое базисное решение в этом случае имеет вид:

б) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   

Если введем дополнительные неотрицательные переменные, то получим систему:

    (4)

Пусть система не является непредпочтительной, тогда первоначальное базисное решение является недопустимым:

В этом случае использует один из 2 методов искусственного базиса.

I метод искусственного базиса

К левым частям ограничения (4) добавляют неотрицательные искусственные переменные wi.

В ЦФ искусственные переменные вводятся с коэффициентом +М в случае нахождения min и с коэффициентом -М в случае нахождения  max.

Полученная задача всегда имеет предпочтительный вид. Такая задача называется М-задачей.

Предположим,  в системе ограничений (2) все ограничения имеют непредпочтительный вид. Составим М-задачу при указанном положении:

 

M – большое положительное число.

ЗАМ: если имеются предпочтительные ограничения, то добавлять в него wi не надо.

Теорема: если в оптимальном решении X* = (x1, …, xn, w1, …, wm) М-задачи все искусственные переменные wi = 0, то решение X = (x1, …, xn) является оптимальным решением для исходной задачи (2).

II метод искусственного базиса

Рассмотрим задачу (2) с ограничениями типа (4):

    (5)

Предположим,  система (5) не имеет не предпочтительный вид. Введем искусственные переменные wn+1, …, wn+m так, чтобы (5) принял предпочтительный вид. (Если какое-нибудь равенство k в (5) имеет предпочтительный вид, то искусственную переменную wn+k либо не вводим, либо считаем wn+k = 0).

Составим следующую задачу:

     (6)

Теорема: пусть задача (5) имеет допустимое решение. Решение X* = (x1, …, xn, wn+1, …, wn+m) задачи (6) является оптимальным  wn+i = 0,  i = 1..m.

Теорема гарантирует равенство 0 всех искусственных переменных в оптимальном решении X*  X = (x1, …, xn) является допустимым решением задачи (5), но, вообще  говоря, оно не является оптимальным решением задачи, как это было в случае I метода искусственного базиса.

Однако на практике II метод имеет следующее применение. Предположим, оптимальное решение X* задачи (6)  найдено СМ. Тогда ненулевым компонентам X* соответствуют линейно независимое векторы Aj. Так как ненулевыми компонентами по теореме могут быть только исходные переменные xj, а не искусственные wn+i, то решению X* соответствуют линейно независимые векторы из системы Aj. Если оказалось, что оптимальное решение X* не вырождено, то число линейно независимых векторов составляет базис. Этот базис и соответствующие ему переменные xj могут быть приняты в качестве первоначального допустимого базисного решения задачи (5).

Таким образом, алгоритм  метода:

  1.  задача (5) преобразуется в (6)
  2.  задача (6) решается СМ.
  3.  если решение X* не вырождено, то в последней таблице СМ вычеркиваются столбцы, соответствующие искусственным переменным и пересчитывается j. Полученная таблица будет являться исходной для решения задачи (5)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73727. Динамика тела с одной неподвижной точкой 1.29 MB
  Будем рассматривать движение тела под действием системы n заданных сил показанных на рис. Для составления дифференциальных уравнений движения тела с одной неподвижной точкой применим теорему об изменении кинетического момента системы теорему моментов относительно неподвижной точки...
73728. Методика преподавания руского языка во вспомогательной школе 222.97 KB
  Языковыми средствами для их отображения являются слова словосочетания простые предложения нераспространенные и распространенные осложненные однородными членами. Ключевые слова: грамота аналитикосинтетический метод речедвигательный анализатор синтагма. Пишущий должен оформить свою мысль в виде предложения точно подобрав для этой цели слова и спрогнозировав место каждого предложения среди других единиц текста осуществить звуковой анализ отобранных слов соотнести звук и букву учитывая при этом правила графики и орфографии выполнить...
73730. Основні поняття алгоритмізації та програмування 543.5 KB
  Основы программирования: Учебник для вузов. В связи с эти знание языков программирования и умение составлять на их основе эффективные программы является насущной потребностью современного специалиста. Цели данной лекции заключаются в ознакомлении студентов с предметом целями и задачами учебной дисциплины Технологии программирования основными понятиями программирования историей возникновения и развития языков программирования изучение свойств алгоритмов знакомство с основными приемами составления алгоритмов вычислительных задач. Языки...
73731. Тепловое излучение и люминесценция 346 KB
  Окисляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии выделяемой при химическом превращении. Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны состояние системы тело излучение будет равновесным. Нарушено и тело излучает энергии больше чем поглощает. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии.
73732. Взаимодействие с виртуальными объектами 48 KB
  Средства визуализации на базе расширенной и виртуальной реальности активно используются для анализа и интерпретации данных, полученных при компьютерном моделировании. Возникает задача создания соответствующих средств взаимодействия с виртуальными объектами и навигации в виртуальном пространстве.
73733. Причины, этапы и последствия разводов 58.74 KB
  Развод – формальное прекращение (расторжение) действительного брака между живыми супругами. От развода следует отличать признание брака недействительным в судебном порядке и прекращение брака впоследствии кончины одного из супругов.
73735. Спектральный анализ и синтез детерминированных сигналов 431.5 KB
  функций времени и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие это преобразования Фурье . Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление 1 называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд 1 должен сходиться; функции кt должны иметь...