40140

Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений. Таким образом с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения высчитать в них значение ЦФ выбрать наибольшее наименьшее. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи. В этом заключается основная идея СМ которая предполагает: 1 уметь находить первоначальное базисное...

Русский

2013-10-15

66 KB

21 чел.

16. Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса.

Задача ЛП имеет вид:

    (1)

Если в ограничениях с bi стоят только неравенства, то говорят, что задача задана в стандартной форме.

Если стоят только равенства, то в канонической форме.

Множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям (1), называется множеством допустимых решений. Это множество с геометрической точки зрения представляет собой некоторый выпуклый многоугольник или выпуклую многоугольную область решений.

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с 2-мя точками содержит их произвольную линейную выпуклую комбинацию.

Точка называется внутренней, если окрестность этой точки, которая принадлежит целиком данному множеству.

Точка называется граничной, если в окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие множеству

Точка называется угловой, если она не является внутренней не для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству

Если ЦФ достигает ext в более чем в одной точке, то она достигает того же значения в точке, являющейся их линейной выпуклой комбинацией.

Таким образом, с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения, высчитать в них значение ЦФ, выбрать наибольшее / наименьшее.

Однако, с практической точки зрения такой способ затруднителен, т.к. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи.

Поэтому способ целенаправленного перебора угловых точек. Суть: в начале находят одну из угловых точек, при этом надо иметь критерий остановки перебора. Если начальная точка не удовлетворяет этому критерию, то надо иметь критерий перехода к нехудшей точке, в которой значение функции не меньше при нахождении max, не больше при min, чем в предыдущей точке.

В этом заключается основная идея СМ, которая предполагает:

1) уметь находить первоначальное базисное решение

2) критерий оптимальности базисного решения

3) критерий переходить к «нехудшему» базисному решению

Пусть имеем канонический вид:

    (2)

Канонический вид всегда можно получить из стандартной определенными способами (добавление / вычитание дополнительных переменных).

Система уравнений в (2) в случае ее совместности и ранга = m имеет некоторый базис, содержащий m векторов, через которые можно выразить другой вектор Ai, составленный из коэффициентов aij.

Переменные xi, соответствующие базисным векторам, называются базисными, остальные (nm) переменных – свободными.

Базисным решением m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все свободные = 0, если при этом все xi  0, то базисное решение называется допустимым

Допустимое базисное решение – решение, в котором все свободные = 0, а базисные равны свободным элементам.

Каждому допустимому базисному решению соответствует одно угловая точка. Поэтому для того чтобы найти первую угловую точку надо уметь находить некоторое допустимое базисное решение.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если левая часть ограничения содержит переменную с коэффициентом 1, которая в остальные ограничения вводится коэффициентом 0.

Если каждые ограничения имеют предпочтительный вид, то система ограничений называется предпочтительной.

В этом случае базисные решения находит так: приравниваем к 0 непредпочтительные переменные, тогда предпочтительные переменные будут равны соответствующим значениям правой части, которой по определению 0. Таким образом, получаем допустимое базисное решение. Предпочтительные переменные будут базисными, а непредпочтительные – свободными.

а) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   (3)

Введем дополнительные неотрицательные переменные так, чтобы неравенства превратились в равенства. (3) имеет предпочтительный вид. В качестве базисных переменных возьмем дополнительные, в качестве свободных – исходные переменные. Допустимое базисное решение в этом случае имеет вид:

б) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   

Если введем дополнительные неотрицательные переменные, то получим систему:

    (4)

Пусть система не является непредпочтительной, тогда первоначальное базисное решение является недопустимым:

В этом случае использует один из 2 методов искусственного базиса.

I метод искусственного базиса

К левым частям ограничения (4) добавляют неотрицательные искусственные переменные wi.

В ЦФ искусственные переменные вводятся с коэффициентом +М в случае нахождения min и с коэффициентом -М в случае нахождения  max.

Полученная задача всегда имеет предпочтительный вид. Такая задача называется М-задачей.

Предположим,  в системе ограничений (2) все ограничения имеют непредпочтительный вид. Составим М-задачу при указанном положении:

 

M – большое положительное число.

ЗАМ: если имеются предпочтительные ограничения, то добавлять в него wi не надо.

Теорема: если в оптимальном решении X* = (x1, …, xn, w1, …, wm) М-задачи все искусственные переменные wi = 0, то решение X = (x1, …, xn) является оптимальным решением для исходной задачи (2).

II метод искусственного базиса

Рассмотрим задачу (2) с ограничениями типа (4):

    (5)

Предположим,  система (5) не имеет не предпочтительный вид. Введем искусственные переменные wn+1, …, wn+m так, чтобы (5) принял предпочтительный вид. (Если какое-нибудь равенство k в (5) имеет предпочтительный вид, то искусственную переменную wn+k либо не вводим, либо считаем wn+k = 0).

Составим следующую задачу:

     (6)

Теорема: пусть задача (5) имеет допустимое решение. Решение X* = (x1, …, xn, wn+1, …, wn+m) задачи (6) является оптимальным  wn+i = 0,  i = 1..m.

Теорема гарантирует равенство 0 всех искусственных переменных в оптимальном решении X*  X = (x1, …, xn) является допустимым решением задачи (5), но, вообще  говоря, оно не является оптимальным решением задачи, как это было в случае I метода искусственного базиса.

Однако на практике II метод имеет следующее применение. Предположим, оптимальное решение X* задачи (6)  найдено СМ. Тогда ненулевым компонентам X* соответствуют линейно независимое векторы Aj. Так как ненулевыми компонентами по теореме могут быть только исходные переменные xj, а не искусственные wn+i, то решению X* соответствуют линейно независимые векторы из системы Aj. Если оказалось, что оптимальное решение X* не вырождено, то число линейно независимых векторов составляет базис. Этот базис и соответствующие ему переменные xj могут быть приняты в качестве первоначального допустимого базисного решения задачи (5).

Таким образом, алгоритм  метода:

  1.  задача (5) преобразуется в (6)
  2.  задача (6) решается СМ.
  3.  если решение X* не вырождено, то в последней таблице СМ вычеркиваются столбцы, соответствующие искусственным переменным и пересчитывается j. Полученная таблица будет являться исходной для решения задачи (5)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44958. Природа и сущность человека и его потребностей 30.5 KB
  Природа и сущность человека и его потребностей. Понятия природа сущность человека часто употребляются как синонимы. В марксистской системе рассуждения понятие природы соотносилось обычно с биологическим естеством человека в то время как сущность человека усматривалась в его социальности в его общественной природе. В принципе под природой человека подразумеваются стойкие неизменные черты общие задатки и свойства выражающие его особенности как живого существа которые присущи хомо сапиенс во все времена независимо от биологической эволюции...
44959. Сущность человека. Сущность бытия. Основные потребности 35.5 KB
  Основные потребности. Человек удовлетворяет свои потребности посредством труда материального производства. В настоящее время стало ясно что потребности человека постепенно эволюционируют и заметно различаются в разные исторические эпохи. Психологи обычно делят потребности на первичные или насущные без удовлетворения которых человек вообще не может существовать и вторичные ненасущные удовлетворение которых не является обязательным условием физического существования человеческого организма.
44964. Качество установившихся процессов в линейных САУ. Корневые критерии качества 469 KB
  Корневые критерии качества. Совокупность требований определяющих поведение САУ в установившихся и переходных процессах объединяется понятием качества процесса управления. позволяют оценивать показатели качества переходных процессов по косвенным признакам не решая диф. критериями качества переходных процессов.
44965. Качество установившихся процессов в линейных САУ. Интегральные критерии качества 159.5 KB
  Совокупность требований определяющих поведение САУ в установившихся и переходных процессах объединяется понятием качества процесса управления. Качество процесса управления можно рассматривать раздельно для установившихся процессов и для переходных процессов. такие которые одним числом оценивают и величины отклонений и время затухания переходного процесса. В дальнейшем буде отсчитываться отклонение переходного процесса от нового установившегося состояния.
44966. Коррекция САУ. Способы коррекции 373.5 KB
  Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности и качества переходных процессов. Различают 3 основных вида корректирующих устройств: Последовательные корректирующие устройства. Действия корректирующих звеньев сводиться к следующему: Введение в контур САУ воздействия по производным и интегралам. Введение корректирующих обратных связей вокруг определённой части системы.