40140

Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений. Таким образом с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения высчитать в них значение ЦФ выбрать наибольшее наименьшее. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи. В этом заключается основная идея СМ которая предполагает: 1 уметь находить первоначальное базисное...

Русский

2013-10-15

66 KB

20 чел.

16. Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса.

Задача ЛП имеет вид:

    (1)

Если в ограничениях с bi стоят только неравенства, то говорят, что задача задана в стандартной форме.

Если стоят только равенства, то в канонической форме.

Множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям (1), называется множеством допустимых решений. Это множество с геометрической точки зрения представляет собой некоторый выпуклый многоугольник или выпуклую многоугольную область решений.

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с 2-мя точками содержит их произвольную линейную выпуклую комбинацию.

Точка называется внутренней, если окрестность этой точки, которая принадлежит целиком данному множеству.

Точка называется граничной, если в окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие множеству

Точка называется угловой, если она не является внутренней не для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству

Если ЦФ достигает ext в более чем в одной точке, то она достигает того же значения в точке, являющейся их линейной выпуклой комбинацией.

Таким образом, с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения, высчитать в них значение ЦФ, выбрать наибольшее / наименьшее.

Однако, с практической точки зрения такой способ затруднителен, т.к. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи.

Поэтому способ целенаправленного перебора угловых точек. Суть: в начале находят одну из угловых точек, при этом надо иметь критерий остановки перебора. Если начальная точка не удовлетворяет этому критерию, то надо иметь критерий перехода к нехудшей точке, в которой значение функции не меньше при нахождении max, не больше при min, чем в предыдущей точке.

В этом заключается основная идея СМ, которая предполагает:

1) уметь находить первоначальное базисное решение

2) критерий оптимальности базисного решения

3) критерий переходить к «нехудшему» базисному решению

Пусть имеем канонический вид:

    (2)

Канонический вид всегда можно получить из стандартной определенными способами (добавление / вычитание дополнительных переменных).

Система уравнений в (2) в случае ее совместности и ранга = m имеет некоторый базис, содержащий m векторов, через которые можно выразить другой вектор Ai, составленный из коэффициентов aij.

Переменные xi, соответствующие базисным векторам, называются базисными, остальные (nm) переменных – свободными.

Базисным решением m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все свободные = 0, если при этом все xi  0, то базисное решение называется допустимым

Допустимое базисное решение – решение, в котором все свободные = 0, а базисные равны свободным элементам.

Каждому допустимому базисному решению соответствует одно угловая точка. Поэтому для того чтобы найти первую угловую точку надо уметь находить некоторое допустимое базисное решение.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если левая часть ограничения содержит переменную с коэффициентом 1, которая в остальные ограничения вводится коэффициентом 0.

Если каждые ограничения имеют предпочтительный вид, то система ограничений называется предпочтительной.

В этом случае базисные решения находит так: приравниваем к 0 непредпочтительные переменные, тогда предпочтительные переменные будут равны соответствующим значениям правой части, которой по определению 0. Таким образом, получаем допустимое базисное решение. Предпочтительные переменные будут базисными, а непредпочтительные – свободными.

а) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   (3)

Введем дополнительные неотрицательные переменные так, чтобы неравенства превратились в равенства. (3) имеет предпочтительный вид. В качестве базисных переменных возьмем дополнительные, в качестве свободных – исходные переменные. Допустимое базисное решение в этом случае имеет вид:

б) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   

Если введем дополнительные неотрицательные переменные, то получим систему:

    (4)

Пусть система не является непредпочтительной, тогда первоначальное базисное решение является недопустимым:

В этом случае использует один из 2 методов искусственного базиса.

I метод искусственного базиса

К левым частям ограничения (4) добавляют неотрицательные искусственные переменные wi.

В ЦФ искусственные переменные вводятся с коэффициентом +М в случае нахождения min и с коэффициентом -М в случае нахождения  max.

Полученная задача всегда имеет предпочтительный вид. Такая задача называется М-задачей.

Предположим,  в системе ограничений (2) все ограничения имеют непредпочтительный вид. Составим М-задачу при указанном положении:

 

M – большое положительное число.

ЗАМ: если имеются предпочтительные ограничения, то добавлять в него wi не надо.

Теорема: если в оптимальном решении X* = (x1, …, xn, w1, …, wm) М-задачи все искусственные переменные wi = 0, то решение X = (x1, …, xn) является оптимальным решением для исходной задачи (2).

II метод искусственного базиса

Рассмотрим задачу (2) с ограничениями типа (4):

    (5)

Предположим,  система (5) не имеет не предпочтительный вид. Введем искусственные переменные wn+1, …, wn+m так, чтобы (5) принял предпочтительный вид. (Если какое-нибудь равенство k в (5) имеет предпочтительный вид, то искусственную переменную wn+k либо не вводим, либо считаем wn+k = 0).

Составим следующую задачу:

     (6)

Теорема: пусть задача (5) имеет допустимое решение. Решение X* = (x1, …, xn, wn+1, …, wn+m) задачи (6) является оптимальным  wn+i = 0,  i = 1..m.

Теорема гарантирует равенство 0 всех искусственных переменных в оптимальном решении X*  X = (x1, …, xn) является допустимым решением задачи (5), но, вообще  говоря, оно не является оптимальным решением задачи, как это было в случае I метода искусственного базиса.

Однако на практике II метод имеет следующее применение. Предположим, оптимальное решение X* задачи (6)  найдено СМ. Тогда ненулевым компонентам X* соответствуют линейно независимое векторы Aj. Так как ненулевыми компонентами по теореме могут быть только исходные переменные xj, а не искусственные wn+i, то решению X* соответствуют линейно независимые векторы из системы Aj. Если оказалось, что оптимальное решение X* не вырождено, то число линейно независимых векторов составляет базис. Этот базис и соответствующие ему переменные xj могут быть приняты в качестве первоначального допустимого базисного решения задачи (5).

Таким образом, алгоритм  метода:

  1.  задача (5) преобразуется в (6)
  2.  задача (6) решается СМ.
  3.  если решение X* не вырождено, то в последней таблице СМ вычеркиваются столбцы, соответствующие искусственным переменным и пересчитывается j. Полученная таблица будет являться исходной для решения задачи (5)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53266. Душа – се конвалія ніжна… 89 KB
  Додаток 12 Виступи супроводжуються демонстрацією зображень квітки а також виробів в різних техніках конвалії 2. Обговорення компонентів виробу Дітям пропонується розглянути ілюстрації обговорити в групах та відповісти на питання: Із яких частин складається квітка конвалії Матеріали яких кольорів знадобляться нам для виготовлення квітки 2. Самостійна робота виготовлення панно Конвалія Кожній групі необхідно розподілити обовязки для виконання роботи: Підібрати паперові смужки та фон; Виготовити елементи квітів;...
53269. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ЛОГИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ 165 KB
  План занятия: Разминка Решение задач Физкультминутка Решение практических задач Самостоятельное решение задач Итог занятия Ход занятия: Разминка проводится в виде устных упражнений на отгадывание чисел. Решение задач Задачи с логическим содержанием требуют систематизации данных в условии. с помощью таблицы с помощью графов На этом занятии мы рассмотрим решение задач с помощью таблиц.
53270. Програма гуртка «Домашні улюбленці» 154.5 KB
  Як правило, діти люблять домашніх тваринок, сприймають їх як своїх друзів. Проте не завжди відчувають відповідальність за своїх маленьких улюбленців, не мають необхідних знань і навчичок правильного догляду за ними. Є категорія дітей, які не мають домашніх тваринок, проте цікавляться тваринним світом, мріють про маленького друга.
53271. Пори року 248.5 KB
  Тема: Пори року. Мета: Навчальна: вчити дітей називати пори року англійською мовою ознайомити з лексичнограматичною структурою Wht seson is it Розвивальна: розвивати фонематичний слух формувати вміння використовувати міміку жести емоційне забарвлення голоса. Про що Про пори року. Вірно пори року англійською мовою Sesons.
53272. Понятие, классификация и оценка нематериальных активов 18.18 KB
  В соответствии с п.3 ПБУ 14/2000 к нематериальным активам относят имущество, которое одновременно отвечает следующим условиям: 1) не имеет материально-вещественной (физической) структуры
53273. Учет выбытия основных средств. Учет результатов инвентаризации материалов 107.62 KB
  Для определения целесообразности и непригодности объекта основных средств к дальнейшему использованию, невозможности или неэффективности его восстановления, а также для оформления документации на списание указанных объектов в организации приказом руководителя может быть создана постоянно действующая комиссия
53274. Гузелька и Лена на уроке физкультуры 21 KB
  Физрук: Атьдва атьдва атьдва ух мои девчулечки мои красотулечки. бьет по попе девочку она ему пощечину Ф: Двааа. Эх хорошо быть физруком девчулечки не отстаем атьдва атьдваНЕ отстаем свистит в свисток Выбегают 2 девочки. Ф: Выше ноги атьдва атьдва.