40140

Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса

Доклад

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений. Таким образом с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения высчитать в них значение ЦФ выбрать наибольшее наименьшее. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи. В этом заключается основная идея СМ которая предполагает: 1 уметь находить первоначальное базисное...

Русский

2013-10-15

66 KB

20 чел.

16. Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса.

Задача ЛП имеет вид:

    (1)

Если в ограничениях с bi стоят только неравенства, то говорят, что задача задана в стандартной форме.

Если стоят только равенства, то в канонической форме.

Множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям (1), называется множеством допустимых решений. Это множество с геометрической точки зрения представляет собой некоторый выпуклый многоугольник или выпуклую многоугольную область решений.

Основная теорема ЛП: если задача ЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из угловых точек многоугольника решений.

Множество называется выпуклым, если оно вместе с 2-мя точками содержит их произвольную линейную выпуклую комбинацию.

Точка называется внутренней, если окрестность этой точки, которая принадлежит целиком данному множеству.

Точка называется граничной, если в окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие множеству

Точка называется угловой, если она не является внутренней не для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству

Если ЦФ достигает ext в более чем в одной точке, то она достигает того же значения в точке, являющейся их линейной выпуклой комбинацией.

Таким образом, с теоретической точки зрения решение задачи ЛП выглядит следующим образом: можно найти все угловые точки многоугольника решения, высчитать в них значение ЦФ, выбрать наибольшее / наименьшее.

Однако, с практической точки зрения такой способ затруднителен, т.к. процесс нахождения угловых точек сравним по трудности с решением исходной задачи.

Поэтому способ целенаправленного перебора угловых точек. Суть: в начале находят одну из угловых точек, при этом надо иметь критерий остановки перебора. Если начальная точка не удовлетворяет этому критерию, то надо иметь критерий перехода к нехудшей точке, в которой значение функции не меньше при нахождении max, не больше при min, чем в предыдущей точке.

В этом заключается основная идея СМ, которая предполагает:

1) уметь находить первоначальное базисное решение

2) критерий оптимальности базисного решения

3) критерий переходить к «нехудшему» базисному решению

Пусть имеем канонический вид:

    (2)

Канонический вид всегда можно получить из стандартной определенными способами (добавление / вычитание дополнительных переменных).

Система уравнений в (2) в случае ее совместности и ранга = m имеет некоторый базис, содержащий m векторов, через которые можно выразить другой вектор Ai, составленный из коэффициентов aij.

Переменные xi, соответствующие базисным векторам, называются базисными, остальные (nm) переменных – свободными.

Базисным решением m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все свободные = 0, если при этом все xi  0, то базисное решение называется допустимым

Допустимое базисное решение – решение, в котором все свободные = 0, а базисные равны свободным элементам.

Каждому допустимому базисному решению соответствует одно угловая точка. Поэтому для того чтобы найти первую угловую точку надо уметь находить некоторое допустимое базисное решение.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если левая часть ограничения содержит переменную с коэффициентом 1, которая в остальные ограничения вводится коэффициентом 0.

Если каждые ограничения имеют предпочтительный вид, то система ограничений называется предпочтительной.

В этом случае базисные решения находит так: приравниваем к 0 непредпочтительные переменные, тогда предпочтительные переменные будут равны соответствующим значениям правой части, которой по определению 0. Таким образом, получаем допустимое базисное решение. Предпочтительные переменные будут базисными, а непредпочтительные – свободными.

а) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   (3)

Введем дополнительные неотрицательные переменные так, чтобы неравенства превратились в равенства. (3) имеет предпочтительный вид. В качестве базисных переменных возьмем дополнительные, в качестве свободных – исходные переменные. Допустимое базисное решение в этом случае имеет вид:

б) Предположим, что система ограничений имеет вид:

   

Если введем дополнительные неотрицательные переменные, то получим систему:

    (4)

Пусть система не является непредпочтительной, тогда первоначальное базисное решение является недопустимым:

В этом случае использует один из 2 методов искусственного базиса.

I метод искусственного базиса

К левым частям ограничения (4) добавляют неотрицательные искусственные переменные wi.

В ЦФ искусственные переменные вводятся с коэффициентом +М в случае нахождения min и с коэффициентом -М в случае нахождения  max.

Полученная задача всегда имеет предпочтительный вид. Такая задача называется М-задачей.

Предположим,  в системе ограничений (2) все ограничения имеют непредпочтительный вид. Составим М-задачу при указанном положении:

 

M – большое положительное число.

ЗАМ: если имеются предпочтительные ограничения, то добавлять в него wi не надо.

Теорема: если в оптимальном решении X* = (x1, …, xn, w1, …, wm) М-задачи все искусственные переменные wi = 0, то решение X = (x1, …, xn) является оптимальным решением для исходной задачи (2).

II метод искусственного базиса

Рассмотрим задачу (2) с ограничениями типа (4):

    (5)

Предположим,  система (5) не имеет не предпочтительный вид. Введем искусственные переменные wn+1, …, wn+m так, чтобы (5) принял предпочтительный вид. (Если какое-нибудь равенство k в (5) имеет предпочтительный вид, то искусственную переменную wn+k либо не вводим, либо считаем wn+k = 0).

Составим следующую задачу:

     (6)

Теорема: пусть задача (5) имеет допустимое решение. Решение X* = (x1, …, xn, wn+1, …, wn+m) задачи (6) является оптимальным  wn+i = 0,  i = 1..m.

Теорема гарантирует равенство 0 всех искусственных переменных в оптимальном решении X*  X = (x1, …, xn) является допустимым решением задачи (5), но, вообще  говоря, оно не является оптимальным решением задачи, как это было в случае I метода искусственного базиса.

Однако на практике II метод имеет следующее применение. Предположим, оптимальное решение X* задачи (6)  найдено СМ. Тогда ненулевым компонентам X* соответствуют линейно независимое векторы Aj. Так как ненулевыми компонентами по теореме могут быть только исходные переменные xj, а не искусственные wn+i, то решению X* соответствуют линейно независимые векторы из системы Aj. Если оказалось, что оптимальное решение X* не вырождено, то число линейно независимых векторов составляет базис. Этот базис и соответствующие ему переменные xj могут быть приняты в качестве первоначального допустимого базисного решения задачи (5).

Таким образом, алгоритм  метода:

  1.  задача (5) преобразуется в (6)
  2.  задача (6) решается СМ.
  3.  если решение X* не вырождено, то в последней таблице СМ вычеркиваются столбцы, соответствующие искусственным переменным и пересчитывается j. Полученная таблица будет являться исходной для решения задачи (5)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38933. Компрессия с потерей информации. Свойства зрения, используемые для сжатия ВС. Основные методы компрессии с потерей информации 46 KB
  Наибольшее распространение для сжатия движущихся изображений получил стандарт MPEG. MPEG англ. MPEG стандартизовала следующие стандарты сжатия: MPEG1: Исходный стандарт видео и аудио компрессии. MPEG2: видео и аудиостандарты для широковещательного телевидения.
38934. Стандарт VHS. Основные принципы функционирования. Параметры и характеристики 170.5 KB
  Формат видеозаписи VHS Наиболее распространенным сегодня в бытовой видеозаписи особенно в СНГ остается формат VHS Video Home System разработанный японскими фирмами Mtsushit и JVC еще в 1975 году. Первоначально для записи и воспроизведения изображения применялись две видеоголовки размещенные на вращающемся барабане расположенном наклонно относительно ленты. В дальнейшем для возможности экономной записи и воспроизведения при меньшей скорости ленты режим LP long ply а так же для улучшения качества воспроизводимой картинки в...
38935. Основные преобразования видеосигнала при записи и воспроизведении в стандарте VHS. АЧХ канала записи ВМ 58.5 KB
  Основные преобразования видеосигнала при записи и воспроизведении в стандарте VHS. Характерными особенностями видеосигнала являются его широкополосность максимальная ширина спектра видеосигнала яркости составляющая примерно 6 МГц намного больше максимальной ширины спектра аудиосигнала составляющей примерно 20 кГц и компонентный характер в спектральном представлении разделение информации об изображении на сигнал яркости EY красный цветоразностный ERY в SECM корректированный D’R и синий цветоразностный EBY или D’B сигналы...
38936. Структурная схема канала записи сигналов яркости. Структурная схема записи канала сигнала цветности 279 KB
  Структурная схема записи канала сигнала цветности. Канал яркости Частотномагнитная ЧМ запись полного цветового телевизионного сигнала на магнитную ленту осуществляется посредством ЧМ модуляции несущей непосредственно этим сигналом. Несмотря на то что частота несущей выбирается так чтобы она лишь незначительно превышала верхнюю частоту передаваемого сигнала ширина полосы записываемых частот все же почти в два раза превышает полосу частот видеосигнала.
38937. Преобразование данных при цифровой обработке видеосигнала. Необходимость сжатия информации 77 KB
  Для преобразования любого аналогового сигнала звука изображения в цифровую форму необходимо выполнить три основные операции: дискретизацию квантование и кодирование. Дискретизация представление непрерывного аналогового сигнала последовательностью его значений отсчетов. Ступенчатая структура дискретизированного сигнала может быть сглажена с помощью фильтра нижних частот.
38938. Компрессия без потери информации. Групповое кодирование и метод Хаффмана 24.5 KB
  Компрессия сжатие без потерь метод сжатия информации при использовании которого закодированная информация может быть восстановлена с точностью до бита. Компрессия без потерь: Обнаружение и кодирование повторяющейся информации Часто повторяющаяся информация кодируется словом меньшей длины чем редко повторяющаяся информация Методы сжатия без потерь разделяют на 2 категории: методы сжатия источников данных без памяти т. не учитывающих последовательность символов методы сжатия источников с памятью Групповое кодирование. Метод...
38939. Лидар для контроля частоты атмосферы 770.5 KB
  СКЗ этих ошибок связаны: δк= δу Физическая ошибка δу прежде всего обусловлена шумами на выходе предварительного усилителя со СКЗ Uш. В частности при δу≈ δш относительное СКЗ погрешности измерений обусловленной шумами имеет значение: δкш= δк = δу Uу≈ δш Uу=1 ρу= δуш – относительное СКЗ погрешности фиксации Uу обусловленное шумами. ρу= Uу δш – отношение сигнал шум на выходе предварительного усилителя δкш= δуш = 1 ρу ρу= Uу δш= Помимо шумов на фиксации Uу влияет погрешность регистрирующего устройства со СКЗ δр В частности при δу≈ δр...
38941. Применение лидаров для исследования загрязнения вод 226.5 KB
  Пробы любой воды за исключением воды наивысшей чистоты флуоресцируют. Так называемая синяя флуоресценция воды является источником значительных трудностей при флуоресцентных исследованиях но такая флуоресценция полезна для изучения качества воды с использованием лазерного дистанционного зондирования ЛДЗ. Очищенные сточные воды предприятий целлюлозно–бумажной промышленности можно контролировать с помощью флуоресцентного метода т. эти воды содержат сульфонат лигнина высокой концентрации.