40141

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Смысл слова выделение сигнала совпадает с понятием оценки сигнала. Пусть имеется сумма сигнала и шума: 6.1 Требуется чтобы оценка сигнала являющаяся откликом на воздействие t рис.

Русский

2013-10-15

1.62 MB

16 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ  

НА ФОНЕ ПОМЕХ

Оптимальный линейный фильтр

по минимуму среднеквадратической ошибки

Оптимальным фильтром называется такое устройство, которое обеспечивает наилучшее по заданному критерию выделение сигнала из наблюдаемой смеси сигнала и шума. Смысл слова «выделение» сигнала совпадает с понятием оценки сигнала.

Пусть имеется сумма сигнала и шума:

    (6.1)

где сигнал S(t) и шум n(t) являются стационарными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями Rs() и Rn(t).

Рис. 6.1

Требуется, чтобы оценка сигнала , являющаяся откликом на воздействие (t) (рис. 6.1), была бы как можно ближе к истинному значению сигнала S(t). Тогда за ошибку фильтрации  (t) можно принять разность

(6.2)

Сделаем дополнительное предположение, что оценка сигнала (t) является стационарным случайным процессом. Тогда процесс (t) как разность двух стационарных процессов также будет стационарным. В этом случае удобно в качестве числовой характеристики ошибки (t) взять дисперсию

      (6.3)

Выберем за критерий оптимальности минимум дисперсии . По этому критерию фильтр будет оптимальным в том случае, если он по сравнению с любыми другими фильтрами обеспечивает получение оценки сигнала (t) с наименьшим средним квадратом ошибки.

Если искать оптимальный фильтр среди линейных цепей с постоянными параметрами, то в качестве оценки (t) выступает выходной процесс

    (6.4)

Подставив (6.4) в (6.3), получим

    (6.5)

Математическая задача нахождения оптимального фильтра сводится к отысканию такого вида импульсной характеристики фильтра h(t), при которой дисперсия (6.5) становится минимальной. Методами вариационного исчисления установлено, что искомая характеристика h(t) должна являться решением следующего интегрального уравнения:

     (6.6)

где  - корреляционная функция процесса (t) если S(t) и n(t) являются независимыми случайными процессами, то  – взаимная корреляционная функция между процессами (t) и S(t), для независимых S(t) и n(t) имеет место равенство

Уравнение (6.6) в научно-технической литературе называется уравнением Винера-Хопфа, а найденная из решения этого уравнения оптимальная импульсная характеристика hopt(t) определяет оптимальный винеровский фильтр. Его комплексная частотная характеристика kopt(j) может быть найдена как преобразование Фурье от hopt(t):

 kopt(j)=    (6.7)

Величина минимального квадрата ошибки винеровского фильтра определяется выражением

  .    (6.8)

Однако следует заметить, что решение интегрального уравнения (6.6) наталкивается на значительные трудности даже в случае стационарности процессов  (t) и S(t), когда для выработки оценки (t) теоретически имеется все бесконечное прошлое процесса  (t), так как считается, что с момента воздействия (t) прошло значительное время и переходные процессы затухли. Сложность процедуры расчета hopt(t) определяется как тем, что приходится решать интегральное уравнение, так и тем, что из всего класса решений h(t) требуется выбрать ту импульсную характеристику, которая удовлетворяет условию физической реализуемости, под которым понимается соотношение

h(t) = 0, если t < 0 .

Его смысл состоит в утверждении, что отклик линейной системы не может быть раньше воздействия. По этой причине рассмотренная процедура нахождения hopt(t) и kopt() винеровского фильтра на практике не нашла широкого распространения.

В качестве примера рассмотрим kopt() винеровского фильтра, полученного для процесса (6.1), в котором низкочастотный сигнал характеризуется корреляционной функцией и спектральной плотностью

     (6.9)

где  - дисперсия сигнала;  - ширина спектра  на уровне 0.5, рад/с;  - эффективная ширина спектра, Гц; n(t) - белый гауссовский шум с корреляционной функцией

Процесс (6.1) с учетом (6.9) удобно характеризовать отношением сигнал/шум по мощности

    (6.10)

где  - дисперсия шума в эффективной полосе спектра сигнала (6.9).

Отношение сигнал/шум (6.10) соответствует отношению мощности сигнала к мощности шума в эффективной полосе спектра сигнала.

Запишем без вывода найденную по рассмотренной выше процедуре комплексную частотную характеристику фильтра и ошибку фильтрации для этого случая

    (6.11)

где  - коэффициент передачи фильтра  на нулевой частоте;  постоянная времени фильтра;

    (6.12)

Из (6.11) и (6.12) следует, что оптимальный винеровский фильтр для низкочастотного случайного сигнала (6.9) может быть реализован в виде простого интегрирующего RC - фильтра, у которого коэффициент передачи Кo и полоса пропускания зависят от отношения сигнал/шум. В частности, если qр = (шум отсутствует), то К0 = 1,  =0, то есть при отсутствии шума никакой фильтрации осуществлять не надо и фильтр вырождается в устройство с коэффициентом передачи, равным единице. Если же а (полоса пропускания фильтра равна ширине спектра сигнала), коэффициент передачи стремится к нулю, К0.  Это означает, что в качестве оценки сигнала берётся (t) = 0. Средний квадрат ошибки при этом равен дисперсии сигнала

Таким образом, структура винеровского фильтра (зависимость hopt(t) или kopt()) определяется характеристиками сигнала и шума, а параметры фильтра и ошибки фильтрации зависят от отношения сигнал/шум.

6.2 Согласованный фильтр и его основные характеристики

6.2.1 Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее, отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра hсф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе qвых  в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

где S(t) - импульсный детерминированный сигнал с энергией  

t0 – момент окончания сигнала; n(t) - белый шум с корреляционной функцией .

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

  ,     (6.13)

где Sвых(t0) – выходное значение сигнала в момент t0, при котором выходной импульс достигает максимума;  – дисперсия выходного шума в момент t0.

В силу принципа суперпозиции величины   и Sвых(t0) могут быть найдены раздельно. В частности

    (6.14)

Для определения  воспользуемся формулой (4.14), в которой положим  и учтём, что

Тогда

     (6.15)

где сначала проинтегрировали по t'2 с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, а затем t0 - t'1 заменили на .

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

       (6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

      (6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

       (6.18)

где k - коэффициент пропорциональности.

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

   (6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульсную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

    (6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или  

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

     (6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики  , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t0 (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t0 и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Рис. 6.2

6.2.2 Согласованный фильтр как коррелятор

Пусть согласованный фильтр согласован с сигналом S(t), то есть импульсная характеристика фильтра определяется выражением (6.20). Подадим на вход фильтра произвольный процесс x(t) и найдем отклик фильтра в момент времени t0, равный длительности сигнала S(t), с которым фильтр согласован (рис. 6.3).

Рис. 6.3

В произвольный момент времени t процесс на выходе равен

Для согласованного фильтра справедливо выражение (6.20), поэтому

   (6.22)

которое при t = t0 имеет вид  В свою очередь, заменяя под интегралом (t0-t ) на t, получим

   (6.23)

Выражение (6.23) пропорционально взаимному корреляционному интегралу (5.19) между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала S(t), с которым фильтр согласован. Если выбрать k = 2/N0 то совпадение (6.23) и (5.19) будет полным. Поэтому согласованный фильтр широко используется в оптимальном приеме для вычисления взаимного корреляционного интеграла (5.19).

6.2.3 Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра может быть найдена как преобразование Фурье от hopt(t), определяемой выражением (6.20)

Сделав замену переменных =t0-t, получим

          (6.24)

Интеграл в формуле (6.24) определяет комплексно-сопряжённый спектр сигнала

  (6.25)

так как в показателе экспоненты стоит знак плюс, а не минус, как это надо для определения спектра сигнала.

Таким образом, комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

   (6.26)

пропорциональна произведению  комплексно-сопряженного  спектра сигнала S*() на множитель задержки  Представим комплексный спектр S() сигнала S(t) в виде

,           (6.27)

где   и   - соответственно амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Комплексно-сопряженный спектр будет отличаться от  (6.27) только знаком показателя экспоненты:

      (6.28)

Подставив (6.28) в (6.26), получим

    (6.29)

где Ксф() = kS() - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра,

- фазочастотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра.

Пропорциональность АЧХ согласованного фильтра амплитудному спектру сигнала приводит к тому (рис.6.4), что коэффициенты передачи фильтра больше на тех частотах, на которых выше амплитуда спектральных составляющих сигнала, и меньше там, где составляющая ниже.

ФЧХ согласованного фильтра определяется взятой с обратным знаком суммой фазового спектра сигнала  и пропорционального частоте  угла задержки . Возьмём одну гармоническую составляющую спектра сигнала на произвольной частоте , имеющую (для простоты изложения) конечную амплитуду S():

  

Эта составляющая, пройдя через фильтр, увеличит свою амплитуду в -  раз и получит фазовую задержку, равную  

В момент t = t0 гармоническая составляющая будет равна своей амплитуде

.           (6.30)

Рис. 6.4

Так как частота составляющей (t) была выбрана произвольно, то можно сделать следующий вывод: на выходе согласованного фильтра в момент t = t0 все гармонические составляющие равны своим амплитудным составляющим. Благодаря этому выходной сигнал Sвых(t) в момент времени t=t0 формируется в результате арифметического сложения всех амплитуд гармонических составляющих выходного спектра.

Таким образом Ксф() и сф() подобраны так, чтобы обеспечить максимум пика выходного сигнала при t= t0. и в соответствии с этим получить наибольшее отношение сигнал/шум. При этом форма выходного сигнала не будет совпадать с формой входного сигнала. Более того, искажение формы здесь принципиально необходимо, чтобы получить наибольшее пиковое отношение сигнал/шум на выходе. Кроме того, заметим, что все характеристики согласованного фильтра, например hсф(t) и Ксф(), при белом шуме на входе полностью определяются характеристиками сигнала S(t), Момент t0 совпадает с длительностью импульсного сигнала, если импульс одиночный, или с длительностью пачки импульсов, если сигнал представляется в виде нескольких импульсов, образующих пачку.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53035. Узагальнення та систематизація знань та умінь за темою «Формули скороченого множення» 43 KB
  Остроградськоговиставка книг із бібліотечного фонду школи із серії Цікава математикапереносна дошка Хід уроку Вчитель математики: Увага Увага Дорогі друзі Вітаймо день осінній цей Карбуймо в памяті цей час Бо в мить оцю в оцю хвилину Форт Буайяр чекає нас. Вчитель фізичної культури: Клас для проведення уроку фізичної культури та уроку математикишикуйсь проводить розминку в кінці якої учні сідають на лавки Вчитель математики формулює мету уроку і вказує на необхідність його проведення.Актуалізація опорних знань:...
53036. Інтелектуально – пізнавальна гра: «Колесо фортуни» 63.5 KB
  На запитання на яке учасник не дає правильної відповіді пропонується відповісти будькому бажаючому бажано тому хто має найменшу кількість балів. Хтось дівчинку цю по дорозі зустрів. Як казка ця зветься Хто б відповів Червоний Капелюшок 3. Хто такі мариністи художники які малюють море 2.
53038. Опрацювання зображень засобами програми Photo Express 1.03 MB
  Мотивація навчальної діяльності Зараз використовується багато графічних редакторів за допомогою яких можна самостійно створювати графічні зображення та вносити зміни до відсканованих картинок малюнків фотографій перенесених із цифрової камери тощо. За допомогою Photo Express можна відкривати та редагувати фотографії а також малювати додавати текст створювати різноманітні ефекти зберігати і друкувати зображення. Програма має багато готових шаблонів які містять текст зображення рамки фон з якими можна почати працювати. Вибрати...
53039. Фотография урока русского языка 47.5 KB
  Мотивации и стимулирования; информационнорецептивные; эвристические волевые методы Фронтальная индивидуальная Указаны планируемые результаты чётко поставлены образовательные и развивающие цели сформулированные вместе с учащимися в их действиях но нет чёткости в постановке воспитательных целей. Лекция диалог символические методы сочетание словесных и наглядных методов опора на личностный опыт побуждение к поиску альтернативных решений практические методы логические методы Фронтальная индивидуальная Активные действия учащихся при...
53041. Фотосинтез 556.5 KB
  За казкою Фарида Алекперова Про що ця казка Ви вже здогадалися Так про процес фотосинтезу. Вивчення нового матеріалу Історія вивчення фотосинтезу Міні доповіді учнів У 1630 році голландський лікар Ян Гельмонт хотів довести що рослини харчуються за допомогою землі і тому проводив дослід: верба що росте в горщику і поливається водою за 5 років збільшила вагу на 74 кг а вага...
53042. Сочинение по картине И.И. Левитана «Золотая осень» 29 KB
  Левитана Золотая осень Цель. Какое время года сейчас Осень . А какая осень Ранняя Чем ранняя осень отличается от поздней Ранней осенью природа богата разнообразными красками. Пушкина и скажите при помощи чего изображена осень Унылая пора Очей очарованьеПриятна мне твоя прощальная краса Люблю я пышное природы увяданьеВ багрец и золото одетые леса.
53043. Части тела 29.5 KB
  В данном уроке я буду использовать телепередачу «Funny English – части тела». А именно: считалочку на английском языке, которую сочинили Энн и Сэм, мы заучим с ребятами и с помощью данной считалочки мы выберем того человека, который будет проводить физ.минутку.