40141

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Смысл слова выделение сигнала совпадает с понятием оценки сигнала. Пусть имеется сумма сигнала и шума: 6.1 Требуется чтобы оценка сигнала являющаяся откликом на воздействие t рис.

Русский

2013-10-15

1.62 MB

15 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ СИГНАЛОВ  

НА ФОНЕ ПОМЕХ

Оптимальный линейный фильтр

по минимуму среднеквадратической ошибки

Оптимальным фильтром называется такое устройство, которое обеспечивает наилучшее по заданному критерию выделение сигнала из наблюдаемой смеси сигнала и шума. Смысл слова «выделение» сигнала совпадает с понятием оценки сигнала.

Пусть имеется сумма сигнала и шума:

    (6.1)

где сигнал S(t) и шум n(t) являются стационарными случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями Rs() и Rn(t).

Рис. 6.1

Требуется, чтобы оценка сигнала , являющаяся откликом на воздействие (t) (рис. 6.1), была бы как можно ближе к истинному значению сигнала S(t). Тогда за ошибку фильтрации  (t) можно принять разность

(6.2)

Сделаем дополнительное предположение, что оценка сигнала (t) является стационарным случайным процессом. Тогда процесс (t) как разность двух стационарных процессов также будет стационарным. В этом случае удобно в качестве числовой характеристики ошибки (t) взять дисперсию

      (6.3)

Выберем за критерий оптимальности минимум дисперсии . По этому критерию фильтр будет оптимальным в том случае, если он по сравнению с любыми другими фильтрами обеспечивает получение оценки сигнала (t) с наименьшим средним квадратом ошибки.

Если искать оптимальный фильтр среди линейных цепей с постоянными параметрами, то в качестве оценки (t) выступает выходной процесс

    (6.4)

Подставив (6.4) в (6.3), получим

    (6.5)

Математическая задача нахождения оптимального фильтра сводится к отысканию такого вида импульсной характеристики фильтра h(t), при которой дисперсия (6.5) становится минимальной. Методами вариационного исчисления установлено, что искомая характеристика h(t) должна являться решением следующего интегрального уравнения:

     (6.6)

где  - корреляционная функция процесса (t) если S(t) и n(t) являются независимыми случайными процессами, то  – взаимная корреляционная функция между процессами (t) и S(t), для независимых S(t) и n(t) имеет место равенство

Уравнение (6.6) в научно-технической литературе называется уравнением Винера-Хопфа, а найденная из решения этого уравнения оптимальная импульсная характеристика hopt(t) определяет оптимальный винеровский фильтр. Его комплексная частотная характеристика kopt(j) может быть найдена как преобразование Фурье от hopt(t):

 kopt(j)=    (6.7)

Величина минимального квадрата ошибки винеровского фильтра определяется выражением

  .    (6.8)

Однако следует заметить, что решение интегрального уравнения (6.6) наталкивается на значительные трудности даже в случае стационарности процессов  (t) и S(t), когда для выработки оценки (t) теоретически имеется все бесконечное прошлое процесса  (t), так как считается, что с момента воздействия (t) прошло значительное время и переходные процессы затухли. Сложность процедуры расчета hopt(t) определяется как тем, что приходится решать интегральное уравнение, так и тем, что из всего класса решений h(t) требуется выбрать ту импульсную характеристику, которая удовлетворяет условию физической реализуемости, под которым понимается соотношение

h(t) = 0, если t < 0 .

Его смысл состоит в утверждении, что отклик линейной системы не может быть раньше воздействия. По этой причине рассмотренная процедура нахождения hopt(t) и kopt() винеровского фильтра на практике не нашла широкого распространения.

В качестве примера рассмотрим kopt() винеровского фильтра, полученного для процесса (6.1), в котором низкочастотный сигнал характеризуется корреляционной функцией и спектральной плотностью

     (6.9)

где  - дисперсия сигнала;  - ширина спектра  на уровне 0.5, рад/с;  - эффективная ширина спектра, Гц; n(t) - белый гауссовский шум с корреляционной функцией

Процесс (6.1) с учетом (6.9) удобно характеризовать отношением сигнал/шум по мощности

    (6.10)

где  - дисперсия шума в эффективной полосе спектра сигнала (6.9).

Отношение сигнал/шум (6.10) соответствует отношению мощности сигнала к мощности шума в эффективной полосе спектра сигнала.

Запишем без вывода найденную по рассмотренной выше процедуре комплексную частотную характеристику фильтра и ошибку фильтрации для этого случая

    (6.11)

где  - коэффициент передачи фильтра  на нулевой частоте;  постоянная времени фильтра;

    (6.12)

Из (6.11) и (6.12) следует, что оптимальный винеровский фильтр для низкочастотного случайного сигнала (6.9) может быть реализован в виде простого интегрирующего RC - фильтра, у которого коэффициент передачи Кo и полоса пропускания зависят от отношения сигнал/шум. В частности, если qр = (шум отсутствует), то К0 = 1,  =0, то есть при отсутствии шума никакой фильтрации осуществлять не надо и фильтр вырождается в устройство с коэффициентом передачи, равным единице. Если же а (полоса пропускания фильтра равна ширине спектра сигнала), коэффициент передачи стремится к нулю, К0.  Это означает, что в качестве оценки сигнала берётся (t) = 0. Средний квадрат ошибки при этом равен дисперсии сигнала

Таким образом, структура винеровского фильтра (зависимость hopt(t) или kopt()) определяется характеристиками сигнала и шума, а параметры фильтра и ошибки фильтрации зависят от отношения сигнал/шум.

6.2 Согласованный фильтр и его основные характеристики

6.2.1 Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее, отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра hсф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе qвых  в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

где S(t) - импульсный детерминированный сигнал с энергией  

t0 – момент окончания сигнала; n(t) - белый шум с корреляционной функцией .

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

  ,     (6.13)

где Sвых(t0) – выходное значение сигнала в момент t0, при котором выходной импульс достигает максимума;  – дисперсия выходного шума в момент t0.

В силу принципа суперпозиции величины   и Sвых(t0) могут быть найдены раздельно. В частности

    (6.14)

Для определения  воспользуемся формулой (4.14), в которой положим  и учтём, что

Тогда

     (6.15)

где сначала проинтегрировали по t'2 с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, а затем t0 - t'1 заменили на .

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

       (6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

      (6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

       (6.18)

где k - коэффициент пропорциональности.

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

   (6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульсную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

    (6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или  

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

     (6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики  , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t0 (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t0 и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Рис. 6.2

6.2.2 Согласованный фильтр как коррелятор

Пусть согласованный фильтр согласован с сигналом S(t), то есть импульсная характеристика фильтра определяется выражением (6.20). Подадим на вход фильтра произвольный процесс x(t) и найдем отклик фильтра в момент времени t0, равный длительности сигнала S(t), с которым фильтр согласован (рис. 6.3).

Рис. 6.3

В произвольный момент времени t процесс на выходе равен

Для согласованного фильтра справедливо выражение (6.20), поэтому

   (6.22)

которое при t = t0 имеет вид  В свою очередь, заменяя под интегралом (t0-t ) на t, получим

   (6.23)

Выражение (6.23) пропорционально взаимному корреляционному интегралу (5.19) между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала S(t), с которым фильтр согласован. Если выбрать k = 2/N0 то совпадение (6.23) и (5.19) будет полным. Поэтому согласованный фильтр широко используется в оптимальном приеме для вычисления взаимного корреляционного интеграла (5.19).

6.2.3 Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра может быть найдена как преобразование Фурье от hopt(t), определяемой выражением (6.20)

Сделав замену переменных =t0-t, получим

          (6.24)

Интеграл в формуле (6.24) определяет комплексно-сопряжённый спектр сигнала

  (6.25)

так как в показателе экспоненты стоит знак плюс, а не минус, как это надо для определения спектра сигнала.

Таким образом, комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

   (6.26)

пропорциональна произведению  комплексно-сопряженного  спектра сигнала S*() на множитель задержки  Представим комплексный спектр S() сигнала S(t) в виде

,           (6.27)

где   и   - соответственно амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Комплексно-сопряженный спектр будет отличаться от  (6.27) только знаком показателя экспоненты:

      (6.28)

Подставив (6.28) в (6.26), получим

    (6.29)

где Ксф() = kS() - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра,

- фазочастотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра.

Пропорциональность АЧХ согласованного фильтра амплитудному спектру сигнала приводит к тому (рис.6.4), что коэффициенты передачи фильтра больше на тех частотах, на которых выше амплитуда спектральных составляющих сигнала, и меньше там, где составляющая ниже.

ФЧХ согласованного фильтра определяется взятой с обратным знаком суммой фазового спектра сигнала  и пропорционального частоте  угла задержки . Возьмём одну гармоническую составляющую спектра сигнала на произвольной частоте , имеющую (для простоты изложения) конечную амплитуду S():

  

Эта составляющая, пройдя через фильтр, увеличит свою амплитуду в -  раз и получит фазовую задержку, равную  

В момент t = t0 гармоническая составляющая будет равна своей амплитуде

.           (6.30)

Рис. 6.4

Так как частота составляющей (t) была выбрана произвольно, то можно сделать следующий вывод: на выходе согласованного фильтра в момент t = t0 все гармонические составляющие равны своим амплитудным составляющим. Благодаря этому выходной сигнал Sвых(t) в момент времени t=t0 формируется в результате арифметического сложения всех амплитуд гармонических составляющих выходного спектра.

Таким образом Ксф() и сф() подобраны так, чтобы обеспечить максимум пика выходного сигнала при t= t0. и в соответствии с этим получить наибольшее отношение сигнал/шум. При этом форма выходного сигнала не будет совпадать с формой входного сигнала. Более того, искажение формы здесь принципиально необходимо, чтобы получить наибольшее пиковое отношение сигнал/шум на выходе. Кроме того, заметим, что все характеристики согласованного фильтра, например hсф(t) и Ксф(), при белом шуме на входе полностью определяются характеристиками сигнала S(t), Момент t0 совпадает с длительностью импульсного сигнала, если импульс одиночный, или с длительностью пачки импульсов, если сигнал представляется в виде нескольких импульсов, образующих пачку.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16980. Выбираем способ подключения к сети Интернет 51.5 KB
  Выбираем способ подключения к сети Интернет Рано или поздно каждый обладатель домашнего компьютера задумывается о его подключении к сети Интернет. Ради общения с другими людьми скачивания необходимой информации и так далее. В этот момент перед пользователем встаёт в
16981. Елементарні обчислення в Maple 272.5 KB
  артошик Практична робота №27. Тема: Елементарні обчислення в Maple. Мета: Навчитися виконувати в пакеті Maple такі елементарні дії як спрощення виразів розкриття дужок розкладання на множники знаходження коефіцієнтів полінома. Обладнання: ПК зі встановл
16982. Рішення рівнянь, нерівностей і систем в Maple 140 KB
  Практична робота №28. Тема: Рішення рівнянь нерівностей і систем в Maple. Мета: Навчитися вирішувати рівняння нерівності і системи простих рівнянь в пакеті Maple а також представляти виведення рішень в різній математичній інтерпретації. Обладнання: ПК зі встановленим ...
16983. Побудова графіків функцій засобами Maple 184 KB
  Тема: Побудова поверхонь графіків функцій в Maple. Мета: Навчитися будувати графіки в різних системах координат а також будувати поверхні в середовищі Maple. Обладнання: ПК зі встановленим математичним пакетом Maple. Індивідуальне завдання
16984. Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE 7.02 MB
  Практична робота №5 Тема: Загальне використовування даних додатками Windows. Буфер обміну. Технологія OLE. Мета: Ознайомитися з технологією OLE і загальним використовуванням даних додатками Windows. Устаткування: ПК. Операційна система Windows. Індивідуальне завдання ...
16985. Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word 222.5 KB
  Практична робота № 11 Тема: Створення таблиць та обробка табличних даних засобами Word Мета: засвоїти засоби створення редагування та форматування двовимірних таблиць а також організацію обробки та сортування табличних даних у програмі Word. Обладнання: персональний ...
16986. Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних 676.5 KB
  Практична робота №14 Тема: Введення таблиць. Автозаповнення формулами. Сортування даних. Мета: Навчитися використовувати функцію авто заповнення формулами та сортувати дані у таблицях. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Правила ТБ Індивідуальне з
16987. Побудова діаграм 308 KB
  Практична робота №15 Тема: Побудова діаграм. Мета: Навчитися будувати діаграми змішаного типу та кругові діаграми. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Індивідуальне завдання 1. За даними табл. 3 побудувати діаграму зміша...
16988. Фільтрація даних. Критерії фільтрації 1.03 MB
  Практична робота №16 Тема: Фільтрація даних. Критерії фільтрації. Мета: Навчитися використовувати фільтрацію даних та навчитися використовувати Автофильтр та Расширенный фильтр. Обладнання: ПЕОМ. Табличний процесор MS Excel. Хід виконання Правила ТБ Інд