40142

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 Тема №3 Основы теории обнаружения и различения сигналов ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Обнаружение сигналов как статистическая задача Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала st и шума nt представляющая собой случайный непрерывный процесс 7. Дискретизация проводится в соответствии с теоремой Котельникова: для дискретизации аналогового сигнала без потерь информации частота отсчетов должна быть в...

Русский

2013-10-15

231.5 KB

94 чел.

PAGE  1


ОП

ПУ

x(t)

0

A

EMBED Equation.3  

Тема №3 Основы теории обнаружения и различения сигналов

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Обнаружение сигналов как статистическая задача

Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала s(t)  и шума n(t), представляющая собой случайный непрерывный процесс

                                                      (7.1)

где s(t) - полностью известный сигнал; - случайный параметр, равный 1, когда сигнал присутствует, и равный 0, когда сигнал отсутствует; n(t) - шум с известным законом распределения.

Обнаружитель анализирует реализацию x(t) процесса (t)  в течение заранее выбранного (конечного) интервала времени Т и затем на основании анализа принимает решение: существует ли сигнал в наблюдаемой реализации или нет.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей математической статистики является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами. В результате наблюдения над некоторой случайной величиной получается совокупность выборочных (x1, ..., xn) значений этой величины, называемая выборкой; число n выборочных значений, содержащихся в данной выборке, называется объемом выборки.

В случае обнаружения сигналов реализация x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале s(t) в смеси) с ограниченным спектром. Представим x(t)  выборочными значениями (x1, ..., xn), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом t = 1/2F,   где F - эффективная ширина спектра колебания x(t). При этом объем выборки определяется соотношением

n = T/ t = 2TF  .                                                     (7.2)

На основании анализа выборки (x1, ..., xn) обнаружитель должен оценить параметр . Очевидно точность оценки зависит от объема выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограничено, а с увеличением объема выборки при T = const погрешность оценки не устремляется к нулю.

Выборка, у которой n   при T = const, называется непрерывной. Вид выборки (дискретная или непрерывная) определяется удобством математического анализа. Заметим, что если для дискретной выборки какая-либо формула получена в виде суммы, то соответствующий результат для непрерывной выборки может быть получен при замене суммы интегралом, если в этой формуле положить t 0  или n   при T = const. Дискретизация проводится в соответствии с теоремой Котельникова: для дискретизации аналогового сигнала без потерь информации частота отсчетов должна быть в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.

Поскольку в задачах обнаружения оценка параметра является дискретной ( = 0 или = 1), при конечном объеме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза Н1 - сигнал во входной смеси есть ( = 1) и гипотеза Н0 - сигнала нет ( = 0). При этом вероятности Р(Н1) и Р(Н0) являются соответственно априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала.

7.2 Ошибки при обнаружении сигнала

Вообще при обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации:

1) правильное обнаружение (по), когда сигнал на входе обнаружителя существует и принимается решение о его наличии;

2) правильное необнаружение (пн), когда сигнала на входе нет и принимается решение об его отсутствии;

3) пропуск сигнала (проп), когда сигнал на входе существует, однако принимается решение об его отсутствии;

4) ложная тревога (лт), когда сигнала на входе нет, но принимается решение о его присутствии.

Первые две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию безошибочного решения. Последние две ситуации образуют событие , соответствующее принятию неверного или ошибочного решения. С помощью графа исходов (рис.7.1) можно рассчитать вероятность принятия ошибочного решения или вероятность ошибки Рош  .

Рис.7.1. Граф исходов при обнаружении

На рис.7.1 обозначены:

Р(Н1), Р(Н0) - априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала;

Рпо = Р(А/Н1) - условная вероятность правильного обнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнал существует;

Рпн = Р(А/Н0) - условная вероятность правильного необнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнала нет;

Рпроп = Р(/Н1) - условная вероятность пропуска, соответствующая вероятности ошибочного решения  при условии, что в действительности сигнал есть;

Рлт = Р(/Н0) - условная вероятность ложной тревоги, соответствующая вероятности ошибочного решения  при условии, что сигнала в действительности нет.

Из графа исходов непосредственно по формуле полной вероятности следует, что

Рош = Р() = Р(Н1) Р(/Н1) + Р(Н0)Р(/Н0)

или

Рош = Р(Н1) Рпроп + Р(Н0лт .                                               (7.3)

Таким образом, вероятность ошибки Рош зависит как от априорных вероятностей Р(Н1), Р(Н0), так и от условных вероятностей Рпроп , Рлт .

Рассмотренные условные вероятности Рпо , Рпн , Рпроп и Рлт  позволяют характеризовать качество оптимального обнаружения. Обычно в этих целях используют вероятности Рпо и Рлт, с учетом того, что Рпроп = 1 - Рпо и  Рпн  = 1 -  Рлт .

7.3 Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

Наиболее общим критерием оптимального обнаружения является критерий Байеса, или иначе - критерий минимума среднего риска.

С точки зрения критерия Байеса оптимальным считается такой обнаружитель, который имеет минимальную вероятность ошибочных решений с учетом их «веса» или степени нежелательности.

Используя условные вероятности Рпо , Рлт  и выражение (7.3), можно записать следующее выражение для среднего риска процесса обнаружения

 ,                                           (7.4)

где Спроп и Слт - веса ошибочных решений.

Вынесем в выражении (7.4) за скобки Р(Н1проп , тогда

 ,                                            (7.5)

где 0 - весовой множитель, равный

 .

Из анализа (7.5) следует, что условие минимизации    заключается в получении максимального значения разности (Рпо - 0Рлт ), которую называют взвешенной разностью.

Таким образом,

.                                               (7.6)

Критерий Байеса является наиболее общим. На его основе, как частные случаи, могут быть получены и другие критерии.

Если принять веса ошибок одинаковыми Спроп = Слт = 1, то из (7.4) получим, что средний риск равен суммарной вероятности ошибки

.                                          (7.7)

Условие минимума суммарной вероятности ошибки (7.7) называется критерием идеального наблюдателя. Он используется при решении задач передачи сообщений, где одинаково нежелательны как пропуски, так и искажения элементов сообщения.

По аналогии с (7.6) для критерия идеального наблюдателя можно записать вместо (7.7) следующее условие оптимизации

.                                    (7.8)

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана-Пирсона, являющийся частным случаем критериев Байеса и идеального наблюдателя. Сущность критерия заключается в том, что фиксируется условная вероятность ложной тревоги Рлт , после чего максимизируется условная вероятность правильного обнаружения Рпо .

Критерий записывается в виде

Рлт = const ,   Рпо = max ,                                                           (7.9)

Широкое применение критерия Неймана-Пирсона в радиолокации объясняется тем, что:

во-первых, как правило, неизвестны априорные вероятности Р(Н0) и Р(Н1), а также Спроп и Слт ;

во-вторых, в обзорных РЛС большую часть интервала наблюдения принятый сигнал обусловлен только шумом, поэтому ложная тревога является крайне нежелательной и ее величина должна быть ограничена заранее, исходя из тактических соображений.  Обычно задают  Рлт = 10-10 …10-6 , используя выражение  Рлт  ш / Тлт ; где  ш - длительность шумового выброса, Тлт - период появления ложной тревоги.

Таким образом, в результате наблюдения выборки (x1 ,..., xn ) по выбранному критерию оптимальности должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А- сигнал есть,  - сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два соприкасающихся пространства X и .Если точка М, соответствующая k-й выборке (x1 ,..., xn), попадает  в пространство X - принимается решение А, в противном случае - решение . В соответствии с критерием (7.6) можно записать

,       (7.10)

где р(x1 , ..., xn / = 1)  и  p(x1 , ..., xn / =0) - условные n-мерные плотности вероятности дискретной выборки (x1 , ..., xn ) при наличии сигнала ( = 1) и при его отсутствии  ( = 0) соответственно.

Выполнение условия (7.10) возможно при положительной подынтегральной разности

,

то есть

.                                            (7.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

,                                         (7.12)

определяемую отношением функций правдоподобия  L( = 1) и L( = 0)  и называемую отношением правдоподобия. Если сравнить с некоторым порогом  0  , то получим правило принятия решения

 .                                                               (7.13)

Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия Байеса. В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рис.7.2) должен сформировать отношение правдоподобия (блок ОП) и подать его на пороговое устройство ПУ,  где осуществляется процедура сравнения    с порогом  0  , в результате которой выносится одно из двух возможных решений:  - нет сигнала или А - есть сигнал. Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, идеального наблюдателя, Неймана - Пирсона) сказывается лишь на значении порога  0 , никак не влияя на основную часть обнаружителя - блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации x(t). В радиолокации значение порога 0  устанавливается исходя из критерия Неймана-Пирсона.

Рис. 7.2.

7.4 Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами

на фоне белого шума. Структурные схемы обнаружителей

Рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами на фоне белого шума. Наблюдаемый процесс  (t) = s(t) + n(t) ,   = 0,1 , 0 t T является либо аддитивной смесью сигнала и шума (при   =1), либо одним шумом (при   =0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведется в дискретные моменты времени t1 ,..., tn , при этом принимаются выборочные значения x(tk) = xk = sk + nk ,   = 0,1; k =1,2,...,n. Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия

и сравнивать его с порогом 0 . Чтобы определить структуру устройства, формирующего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать плотности вероятности, входящие в (7.12).

Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовской плотностью вероятности, то

.                            (7.14)

Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что xk  nk при = 0, имеем

.                            (7.15)

Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборки (x1, ... , xn ) при   = 1 остается гауссовским, однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при этом

.                    (7.16)

Подставив (7.15) и (7.16) в (7.12), получим

.                                     (7.17)

Для упрощения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия  формировать его логарифм

 .                                             (7.18)

Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим t1 =0, tn = T, кроме того, учтем, что плотность вероятности независимых гауссовских величин (7.15) при непрерывном времени наблюдения переходит в функционал плотности вероятности белого шума. Если спектральная плотности последнего равна N0/2 , а    - дисперсия гауссовских величин nk , то при переходе к непрерывному времени (от nk к n(t))  можно воспользоваться зависимостью

,     t = tktk-1                                                       (7.19)

(при t 0 , ). Подставляя (7.19) в (7.18) и переходя к пределу при t 0, получим

.

При этом правило принятия решения можно записать в следующем виде

,                                                                    (7.20)

где

 ,                                                      (7.21)

 .                                                        (7.22)

Выражение (7.21) определяет достаточную статистику y, являющуюся взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала s(t).

Выражение (7.22) определяет порог h, зависящий от 0  и отношения сигнал /шум, квадрат которого равен

.                                                 (7.23)

Формулы (7.20), (7.21),  (7.22) позволяют построить структурную схему оптимального обнаружителя в виде корреляционного приемника с пороговым устройством (рис. 7.3).

Рис. 7.3

На умножитель подается принимаемый процесс x(t) и опорный сигнал s(t), являющийся точной копией обнаруживаемого (ожидаемого) сигнала. Интегрирование произведения x(t)s(t) в течение Т дает корреляционный интеграл y. В пороговом устройстве (ПУ) производится сравнение значения корреляционного интеграла в момент ожидаемого окончания действия сигнала Т с порогом h и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Начало интегрирования и его окончание совпадают по времени с началом и окончанием ожидаемого сигнала s(t), что обеспечивается устройством синхронизации (УС). Это же устройство синхронизирует работу генератора опорного сигнала (ГОС) для коррелятора.

Техническая реализация оптимального обнаружителя в виде корреляционного приемника не является единственно возможной. Корреляционный интеграл может быть сформирован также при помощи  согласованного фильтра. Его импульсная характеристика согласована с обнаруживаемым сигналом, являясь в соответствии  с выражением

hсф(t) = ks(T - t)                                                             (7.24)

“зеркальным отражением” формы сигнала (рис.7.4).

Поскольку согласованный фильтр - составная часть оптимального обнаружителя (см. рис.7.5) и максимизирует отношение сигнал/шум на выходе, его называют также оптимальным. Максимальное отношение сигнал/шум по мощности на выходе СФ достигается в момент времени Т и составляет величину

qсф = 2Еs / N0  .                                                           (7.25)

Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал/шум больше, чем согласованный фильтр (либо коррелятор). Как следует из рис.7.5, для согласованного фильтра отпадает необходимость в обеспечении синхронизации между опорным и принимаемым сигналами с точностью до фазы их высокочастотного заполнения. Это является достоинством СФ по сравнению с коррелятором.

  

Рис.7.4                                                                           Рис.7.5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9781. Індивідуально-виховна робота, її роль та місце 109 KB
  Індивідуально-виховна робота, її роль та місце. ЗМІСТ Вступна частина Система індивідуально-виховної роботи. Планування та організація індивідуально-виховної роботи. 3.Методи вивчення особистості воїнів. Заключна частина...
9782. Морально-психологічна підготовка особового складу підрозділу в умовах переводу їх у підвищенні ступені готовності і проведення бойового злагодження 102 KB
  Морально-психологічна підготовка особового складу підрозділу в умовах переводу їх у підвищенні ступені готовності і проведення бойового злагодження Навчальна та виховна мета. Поглибити знання студентів з морально-психологічного забезпечення особо...
9783. Морально-психологічна підготовка особового складу підрозділів в бойових умовах 191 KB
  Морально-психологічна підготовка особового складу підрозділів в бойових умовах ЗМІСТ Вступна частина Сутність і зміст морально-психологічного забезпечення бойових дій. Робота командира підрозділу щодо вирішення завдань морально-психологі...
9784. Понятие договора, общие положения о договорах 28.5 KB
  Понятие договора, общие положения о договорах. В соответствии с положениями ГК РФ договором признается соглашение двух или нескольких лиц об установлении, изменении или прекращении гражданских прав и обязанностей. Договор, наряду с законо...
9785. Порядок изменения и расторжения договора 42.5 KB
  Порядок изменения и расторжения договора. Заключенные договоры должны исполняться на тех условиях, на которых было достигнуто соглашение сторон, и не должны изменяться. Такое общее правило придает устойчивость гражданскому обороту. Это правило приме...
9786. Предварительный договор 23.5 KB
  Предварительный договор. По предварительному договору стороны обязуются заключить в будущем договор о передаче имущества, выполнении работ или оказании услуг (основной договор) на условиях, предусмотренных предварительным договором. Предварительный ...
9787. Публичный договор 27.5 KB
  Публичный договор. Публичным договором признается договор, заключенный коммерческой организацией и устанавливающий ее обязанности по продаже товаров, выполнению работ или оказанию услуг, которые такая организация по характеру своей деятельности долж...
9789. Комбинированные типы (записи) 79.5 KB
  Комбинированные типы (записи) Записи и селекторы Комбинированные типы, как и регулярные типы, представляют собой правило формирования составных типов. В отличие от массивов, записи позволяют объединять значения РАЗЛИЧНЫХ типов и поэтому являются, ви...