40142

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 Тема №3 Основы теории обнаружения и различения сигналов ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Обнаружение сигналов как статистическая задача Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала st и шума nt представляющая собой случайный непрерывный процесс 7. Дискретизация проводится в соответствии с теоремой Котельникова: для дискретизации аналогового сигнала без потерь информации частота отсчетов должна быть в...

Русский

2013-10-15

231.5 KB

102 чел.

PAGE  1


ОП

ПУ

x(t)

0

A

EMBED Equation.3  

Тема №3 Основы теории обнаружения и различения сигналов

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Обнаружение сигналов как статистическая задача

Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала s(t)  и шума n(t), представляющая собой случайный непрерывный процесс

                                                      (7.1)

где s(t) - полностью известный сигнал; - случайный параметр, равный 1, когда сигнал присутствует, и равный 0, когда сигнал отсутствует; n(t) - шум с известным законом распределения.

Обнаружитель анализирует реализацию x(t) процесса (t)  в течение заранее выбранного (конечного) интервала времени Т и затем на основании анализа принимает решение: существует ли сигнал в наблюдаемой реализации или нет.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей математической статистики является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами. В результате наблюдения над некоторой случайной величиной получается совокупность выборочных (x1, ..., xn) значений этой величины, называемая выборкой; число n выборочных значений, содержащихся в данной выборке, называется объемом выборки.

В случае обнаружения сигналов реализация x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале s(t) в смеси) с ограниченным спектром. Представим x(t)  выборочными значениями (x1, ..., xn), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом t = 1/2F,   где F - эффективная ширина спектра колебания x(t). При этом объем выборки определяется соотношением

n = T/ t = 2TF  .                                                     (7.2)

На основании анализа выборки (x1, ..., xn) обнаружитель должен оценить параметр . Очевидно точность оценки зависит от объема выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограничено, а с увеличением объема выборки при T = const погрешность оценки не устремляется к нулю.

Выборка, у которой n   при T = const, называется непрерывной. Вид выборки (дискретная или непрерывная) определяется удобством математического анализа. Заметим, что если для дискретной выборки какая-либо формула получена в виде суммы, то соответствующий результат для непрерывной выборки может быть получен при замене суммы интегралом, если в этой формуле положить t 0  или n   при T = const. Дискретизация проводится в соответствии с теоремой Котельникова: для дискретизации аналогового сигнала без потерь информации частота отсчетов должна быть в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.

Поскольку в задачах обнаружения оценка параметра является дискретной ( = 0 или = 1), при конечном объеме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза Н1 - сигнал во входной смеси есть ( = 1) и гипотеза Н0 - сигнала нет ( = 0). При этом вероятности Р(Н1) и Р(Н0) являются соответственно априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала.

7.2 Ошибки при обнаружении сигнала

Вообще при обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации:

1) правильное обнаружение (по), когда сигнал на входе обнаружителя существует и принимается решение о его наличии;

2) правильное необнаружение (пн), когда сигнала на входе нет и принимается решение об его отсутствии;

3) пропуск сигнала (проп), когда сигнал на входе существует, однако принимается решение об его отсутствии;

4) ложная тревога (лт), когда сигнала на входе нет, но принимается решение о его присутствии.

Первые две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию безошибочного решения. Последние две ситуации образуют событие , соответствующее принятию неверного или ошибочного решения. С помощью графа исходов (рис.7.1) можно рассчитать вероятность принятия ошибочного решения или вероятность ошибки Рош  .

Рис.7.1. Граф исходов при обнаружении

На рис.7.1 обозначены:

Р(Н1), Р(Н0) - априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала;

Рпо = Р(А/Н1) - условная вероятность правильного обнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнал существует;

Рпн = Р(А/Н0) - условная вероятность правильного необнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнала нет;

Рпроп = Р(/Н1) - условная вероятность пропуска, соответствующая вероятности ошибочного решения  при условии, что в действительности сигнал есть;

Рлт = Р(/Н0) - условная вероятность ложной тревоги, соответствующая вероятности ошибочного решения  при условии, что сигнала в действительности нет.

Из графа исходов непосредственно по формуле полной вероятности следует, что

Рош = Р() = Р(Н1) Р(/Н1) + Р(Н0)Р(/Н0)

или

Рош = Р(Н1) Рпроп + Р(Н0лт .                                               (7.3)

Таким образом, вероятность ошибки Рош зависит как от априорных вероятностей Р(Н1), Р(Н0), так и от условных вероятностей Рпроп , Рлт .

Рассмотренные условные вероятности Рпо , Рпн , Рпроп и Рлт  позволяют характеризовать качество оптимального обнаружения. Обычно в этих целях используют вероятности Рпо и Рлт, с учетом того, что Рпроп = 1 - Рпо и  Рпн  = 1 -  Рлт .

7.3 Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

Наиболее общим критерием оптимального обнаружения является критерий Байеса, или иначе - критерий минимума среднего риска.

С точки зрения критерия Байеса оптимальным считается такой обнаружитель, который имеет минимальную вероятность ошибочных решений с учетом их «веса» или степени нежелательности.

Используя условные вероятности Рпо , Рлт  и выражение (7.3), можно записать следующее выражение для среднего риска процесса обнаружения

 ,                                           (7.4)

где Спроп и Слт - веса ошибочных решений.

Вынесем в выражении (7.4) за скобки Р(Н1проп , тогда

 ,                                            (7.5)

где 0 - весовой множитель, равный

 .

Из анализа (7.5) следует, что условие минимизации    заключается в получении максимального значения разности (Рпо - 0Рлт ), которую называют взвешенной разностью.

Таким образом,

.                                               (7.6)

Критерий Байеса является наиболее общим. На его основе, как частные случаи, могут быть получены и другие критерии.

Если принять веса ошибок одинаковыми Спроп = Слт = 1, то из (7.4) получим, что средний риск равен суммарной вероятности ошибки

.                                          (7.7)

Условие минимума суммарной вероятности ошибки (7.7) называется критерием идеального наблюдателя. Он используется при решении задач передачи сообщений, где одинаково нежелательны как пропуски, так и искажения элементов сообщения.

По аналогии с (7.6) для критерия идеального наблюдателя можно записать вместо (7.7) следующее условие оптимизации

.                                    (7.8)

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана-Пирсона, являющийся частным случаем критериев Байеса и идеального наблюдателя. Сущность критерия заключается в том, что фиксируется условная вероятность ложной тревоги Рлт , после чего максимизируется условная вероятность правильного обнаружения Рпо .

Критерий записывается в виде

Рлт = const ,   Рпо = max ,                                                           (7.9)

Широкое применение критерия Неймана-Пирсона в радиолокации объясняется тем, что:

во-первых, как правило, неизвестны априорные вероятности Р(Н0) и Р(Н1), а также Спроп и Слт ;

во-вторых, в обзорных РЛС большую часть интервала наблюдения принятый сигнал обусловлен только шумом, поэтому ложная тревога является крайне нежелательной и ее величина должна быть ограничена заранее, исходя из тактических соображений.  Обычно задают  Рлт = 10-10 …10-6 , используя выражение  Рлт  ш / Тлт ; где  ш - длительность шумового выброса, Тлт - период появления ложной тревоги.

Таким образом, в результате наблюдения выборки (x1 ,..., xn ) по выбранному критерию оптимальности должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А- сигнал есть,  - сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два соприкасающихся пространства X и .Если точка М, соответствующая k-й выборке (x1 ,..., xn), попадает  в пространство X - принимается решение А, в противном случае - решение . В соответствии с критерием (7.6) можно записать

,       (7.10)

где р(x1 , ..., xn / = 1)  и  p(x1 , ..., xn / =0) - условные n-мерные плотности вероятности дискретной выборки (x1 , ..., xn ) при наличии сигнала ( = 1) и при его отсутствии  ( = 0) соответственно.

Выполнение условия (7.10) возможно при положительной подынтегральной разности

,

то есть

.                                            (7.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

,                                         (7.12)

определяемую отношением функций правдоподобия  L( = 1) и L( = 0)  и называемую отношением правдоподобия. Если сравнить с некоторым порогом  0  , то получим правило принятия решения

 .                                                               (7.13)

Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия Байеса. В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рис.7.2) должен сформировать отношение правдоподобия (блок ОП) и подать его на пороговое устройство ПУ,  где осуществляется процедура сравнения    с порогом  0  , в результате которой выносится одно из двух возможных решений:  - нет сигнала или А - есть сигнал. Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, идеального наблюдателя, Неймана - Пирсона) сказывается лишь на значении порога  0 , никак не влияя на основную часть обнаружителя - блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации x(t). В радиолокации значение порога 0  устанавливается исходя из критерия Неймана-Пирсона.

Рис. 7.2.

7.4 Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами

на фоне белого шума. Структурные схемы обнаружителей

Рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя сигнала с полностью известными параметрами на фоне белого шума. Наблюдаемый процесс  (t) = s(t) + n(t) ,   = 0,1 , 0 t T является либо аддитивной смесью сигнала и шума (при   =1), либо одним шумом (при   =0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведется в дискретные моменты времени t1 ,..., tn , при этом принимаются выборочные значения x(tk) = xk = sk + nk ,   = 0,1; k =1,2,...,n. Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия

и сравнивать его с порогом 0 . Чтобы определить структуру устройства, формирующего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать плотности вероятности, входящие в (7.12).

Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовской плотностью вероятности, то

.                            (7.14)

Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что xk  nk при = 0, имеем

.                            (7.15)

Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборки (x1, ... , xn ) при   = 1 остается гауссовским, однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при этом

.                    (7.16)

Подставив (7.15) и (7.16) в (7.12), получим

.                                     (7.17)

Для упрощения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия  формировать его логарифм

 .                                             (7.18)

Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим t1 =0, tn = T, кроме того, учтем, что плотность вероятности независимых гауссовских величин (7.15) при непрерывном времени наблюдения переходит в функционал плотности вероятности белого шума. Если спектральная плотности последнего равна N0/2 , а    - дисперсия гауссовских величин nk , то при переходе к непрерывному времени (от nk к n(t))  можно воспользоваться зависимостью

,     t = tktk-1                                                       (7.19)

(при t 0 , ). Подставляя (7.19) в (7.18) и переходя к пределу при t 0, получим

.

При этом правило принятия решения можно записать в следующем виде

,                                                                    (7.20)

где

 ,                                                      (7.21)

 .                                                        (7.22)

Выражение (7.21) определяет достаточную статистику y, являющуюся взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала s(t).

Выражение (7.22) определяет порог h, зависящий от 0  и отношения сигнал /шум, квадрат которого равен

.                                                 (7.23)

Формулы (7.20), (7.21),  (7.22) позволяют построить структурную схему оптимального обнаружителя в виде корреляционного приемника с пороговым устройством (рис. 7.3).

Рис. 7.3

На умножитель подается принимаемый процесс x(t) и опорный сигнал s(t), являющийся точной копией обнаруживаемого (ожидаемого) сигнала. Интегрирование произведения x(t)s(t) в течение Т дает корреляционный интеграл y. В пороговом устройстве (ПУ) производится сравнение значения корреляционного интеграла в момент ожидаемого окончания действия сигнала Т с порогом h и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Начало интегрирования и его окончание совпадают по времени с началом и окончанием ожидаемого сигнала s(t), что обеспечивается устройством синхронизации (УС). Это же устройство синхронизирует работу генератора опорного сигнала (ГОС) для коррелятора.

Техническая реализация оптимального обнаружителя в виде корреляционного приемника не является единственно возможной. Корреляционный интеграл может быть сформирован также при помощи  согласованного фильтра. Его импульсная характеристика согласована с обнаруживаемым сигналом, являясь в соответствии  с выражением

hсф(t) = ks(T - t)                                                             (7.24)

“зеркальным отражением” формы сигнала (рис.7.4).

Поскольку согласованный фильтр - составная часть оптимального обнаружителя (см. рис.7.5) и максимизирует отношение сигнал/шум на выходе, его называют также оптимальным. Максимальное отношение сигнал/шум по мощности на выходе СФ достигается в момент времени Т и составляет величину

qсф = 2Еs / N0  .                                                           (7.25)

Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал/шум больше, чем согласованный фильтр (либо коррелятор). Как следует из рис.7.5, для согласованного фильтра отпадает необходимость в обеспечении синхронизации между опорным и принимаемым сигналами с точностью до фазы их высокочастотного заполнения. Это является достоинством СФ по сравнению с коррелятором.

  

Рис.7.4                                                                           Рис.7.5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54685. Монополизм: сущность, формы, последствия. Естественная монополия 22.63 KB
  Рынок, где доминирует монополия, находится в резком контрасте со свободным рынком, на котором конкурирующие продавцы предлагают для продажи стандартизированный товар. Доступ других фирм на монополизированный рынок затруднен или невозможен, так как существуют барьеры, не позволяющие конкурентам войти в отрасль.
54686. Oберегu моєї оселі 123 KB
  Мета: Пропаганда літератури із народознавства, історії нашого народу, його мови, звичаїв, пробудити цікавість до народної символіки, прикмет, до невмирущих скарбів народу.
54687. Мереживо осінніх барв 252 KB
  Багату палітру кольорів дарує нам осінь коли природа одягається у розкішне вбрання. Яке розмаїття фарб Осінь міняє зелене вбрання на червоне золоте. Після спекотного літа після серпневих теплих днів настала золота осінь. Листя жовкне денеде: Панна осінь в гості йде.
54688. До нас у гості завітала Осінь 85 KB
  У святковій радісній атмосфері розширити збагатити та узагальнити знання дітей про пору року осінь викликати у дітей позитивні емоції від виконання пісень віршів осінньої тематики; розвивати увагу спостережливість музикальність артистизм; виховувати естетичні смаки дружні стосунки між дітьми любов до рідної природи бажання оберігати її. Дійові особи: Ведучі Осінь осінні Місяці Овочі Білочки Зайчики Лисичка Їжачок Жабка Ведмедик діти. Діти: Осінь.
54689. Свято Осені 45.5 KB
  Осінь – це пора, яку часто звуть чудовою, замріяною, золотою. Вона особливо м’яка, ніжна, як гарна мелодія. Слухаєш, спостерігаєш природу в перші осінні дні й відчуваєш всю її урочисту красу. У ній поєдналися чарівність барв теплого літечка з першими подихами наступних холодів зими.
54690. ОСІНЬ ЩЕДРА, ОСІНЬ ЗОЛОТАВА 142 KB
  ОСІНЬ ЩЕДРА ОСІНЬ ЗОЛОТАВА МЕТА: узагальнити знання учнів про осінь її особливості прикмети; використовуючи художнє слово навчати складати невеличкі описи казки вірші про явища природи на основі безпосередніх вражень від спостережень в природі та набутих знань; вчити вдивлятися в навколишній світ більше спілкуватися з приро доюбережно ставитися до неї; вчити аналізувати картину музичний твір зістав ляти різні способи зображення одного й того ж природного явища; вчити знаходи ти цікаві особливості явищ природи поєднання...
54691. Осенние посиделки 69.5 KB
  Познакомить учащихся с явлениями, происходящими в природе осенью, с народными традициями, связанными с этим временем года. Развивать чувства прекрасного, любви к окружающей природе, необходимости её охраны. Воспитывать у учащихся чувство товарищества, взаимопомощи.
54692. Вот и осень к нам пришла 54 KB
  Оборудование: иллюстрации Осень овощи и фрукты букеты из осенних листьев таблица Кроссворд музыка к танцам песням рисунки Грибы. Чайковский Осень звучит музыка а дети входят в зал. Весной вырастает осенью опадает лист.
54693. Прощай осень 61 KB
  Учитель: Дорогие ребята Уважаемые гости Очень рады видеть Вас на нашем празднике посвященному прощанию с золотой осенью. Если на деревьях листья пожелтели Если в край далекий птицы улетели Если небо хмурое если дождик Это время года осенью зовется 1 ученица Тихо осінь ходить гаєм Ліс довкола аж горить Ясень листя осипає Дуб нахмуренний стоїть І березка над потоком Стаа наче молода Вітер...