40143

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Для этого потребуется определить распределение вероятностей достаточной статистики у поступающей на пороговое устройство а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла y при отсутствии  = 0 и наличии  = 1 сигнала st на входе обнаружителя.5 рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме.1 сплошными линиями показаны характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Характеристики обнаружения позволяют определить минимальную энергию...

Русский

2013-10-15

241 KB

53 чел.

PAGE  1

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Показатели качества обнаружения

Для обнаружителя оптимального по критерию Неймана-Пирсона определим вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги. Для этого потребуется определить распределение вероятностей достаточной статистики у, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла y при отсутствии ( = 0) и наличии  ( = 1) сигнала s(t) на входе обнаружителя.

Рассмотрим случай = 0, то есть когда на входе обнаружителя присутствует только шум n(t). Тогда x(t) = n(t) и величина у (см.7.21), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние равны

M[y/=0] = 0, D[y/=0] = 2ES/N0 = q2.

Таким образом, плотность вероятностей рn (у) величины y при = 0 имеет вид

Рассмотрим случай = 1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины у по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины y, очевидно также не меняется,  D[y/=1] = q2. Изменяется лишь математическое ожидание:                       

Следовательно,

                                                                     (8.1)

Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения:

                                                (8.2)

Используя интеграл вероятностей

                                                (8.3)

формулы (8.1) и (8.2) можно переписать в виде

                                                        (8.4)

                                                      (8.5)

С помощью (8.4) и (8.5) рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Для обнаружителя, оптимального по критерию Неймана-Пирсона в качестве характеристики оптимального обнаружения используется зависимость правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при постоянной вероятности ложной тревоги Рпр= f(q) при Рлт = const. Согласно (8.4) и (8.5) имеем

                              (8.6)

где Ф-1(u) - функция, обратная к интегралу вероятностей (8.3). Задаваясь значением Рлт, можно, пользуясь таблицей интеграла вероятностей, определить Ф-1(1-Рлт), а затем, задаваясь различными значениями q, рассчитать Рпо в соответствии с выражением (8.6).

Рис. 8.1

В результате этого получим график Рпо= f(q). На  рис.8.1 сплошными линиями показаны характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме. Характеристики обнаружения позволяют определить минимальную энергию принимаемого сигнала Епр.min (или его минимальную мощность Рпр.min), необходимую для его обнаружения с заданными качественными показателями Рлт и Рпо.

8.2 Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

на фоне белого шума

Начальная фаза радиосигнала, как правило, неизвестна. В этом случае можно использовать модель сигнала

s(t,) = V(t)cos[0t + (t) - ],                                              (8.7)

где законы амплитудной V(t) и фазовой (t) модуляции и частота 0 известны, а начальная фаза неизвестна. Выражение (8.7) удобно представить в виде

 s(t,) = s1(t)cos  + s2(t)sin ,                                               (8.8)

где s1(t) = V(t)cos(0t + (t)),  s2(t) = V(t)sin(0t + (t)) - квадратурные составляющие сигнала.

Полагаем, что начальная фаза является случайной величиной, при этом при отсутствии информации об априорном распределении естественно считать это распределение равномерным

p() = 1/2,   -     .                                                     (8.9)

Такая модель радиосигнала используется в радиолокации при описании отраженных сигналов от неподвижной цели.

Отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой получается путем усреднения условного отношения правдоподобия (x/) по всем  возможным значениям фазы

                                                       (8.10)

Что касается условного отношения правдоподобия (x/), то оно, очевидно, совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала s(t,), где - фиксированная величина. Поэтому согласно (7.17) имеем:

.

Подставив в это выражение (8.8), рассмотрим получающиеся интегралы. Корреляционный интеграл

где 

- его квадратурные составляющие, а

Далее, при Т >> 2/0 энергия сигнала от значения фазы практически не зависит и поэтому

Таким образом,

.

Подставляя это выражение и (8.9) в (8.10), после интегрирования получаем отношение правдоподобия

                                              (8.11)

где I0(y) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Учитывая, что lnI0 (y) является монотонной функцией, приходим к оптимальному алгоритму обнаружения вида

                                                        ,                                                       (8.12)

где   

                                                              (8.13)

        Структурная схема обнаружителя на рис. 8.2 построена в соответствии с формулами (8.12) и (8.13). Такую схему называют квадратурным приемником. Квадратурные каналы организуют путем включения фазовращателя в цепь опорного сигнала одного из перемножителей. Квадраторы (Кв), сумматор (), вычислитель квадратного корня () обеспечивают формирование на входе ПУ в момент времени t = T значения . Наличие двух каналов исключает возможность потери полезного сигнала вследствие незнания его начальной фазы.

Схема обнаружителя, представленная на рис.8.2, как и схема, изображенная на рис.8.3, требует знания временного положения ожидаемого сигнала. Если время запаздывания сигнала неизвестно, схема оптимального обнаружителя усложняется. При разбиении интервала неопределенности времени запаздывания на элементарные участки, длительность каждого из которых, определяется требуемой разрешающей способностью по дальности, можно построить многоканальный корреляционный обнаружитель. Каждый канал его настраивается на сигнал с соответствующим запаздыванием. Решение об обнаружении сигнала принимается одновременно с оценкой времени запаздывания.

Рис.8.2

 

В радиолокации особо распространенным является прием сигналов с произвольным временем запаздывания. Поэтому в целях упрощения конструкции обнаружителя удобнее использовать фильтровой вариант его построения (рис.8.3), позволяющего обеспечить оптимальное обнаружение сигналов с произвольным временем запаздывания при наличии всего лишь одного приемного канала. Возможность использования согласованных фильтров в обнаружителях сигналов со случайной фазой основывается на следующих рассуждениях. Величина достаточной статистики y, которую должен формировать обнаружитель, есть огибающая колебания ycos(  ), иначе говоря, огибающая корреляционного интеграла у(). Это колебание, можно сформировать пропустив наблюдаемый процесс x(t) через фильтр, согласованный с сигналом s(t, ), то есть имеющий импульсную характеристику вида h(t) = 2/N0 s(T - t, ) (здесь - фиксированная величина). Отметим, что поскольку результат обработки у  не зависит от значения начальной фазы , то ее при реализации фильтра можно брать любой, в частности можно положить = 0. Огибающая y(t) на выходе согласованного фильтра, на вход которого поступает процесс s(t) + n(t), выделяется амплитудным детектором (АД), при этом результат детектирования в момент времени t = T должен подаваться на пороговое устройство (см. рис.8.3).

Перейдем к расчету показателей качества обнаружения. Так как огибающая y(t) шума и смеси сигнала с шумом на выходе СФ распределена по закону Релея и обобщенному закону Релея (закону Райса) соответственно, то вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для обнаружителя, работающего по алгоритму (8.12), равны:

,                                       (8.14)

                                        (8.15)

где .

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (штрихованные линии на рис.8.1) построены в соответствии с (8.14) и (8.15). По сравнению с характеристиками обнаружения детерминированного сигнала они сдвинуты вправо, то есть для обнаружения сигнала со случайной начальной фазой требуется несколько большее пороговое отношение сигнал/ шум.

Рис.8.3

8.3. Обнаружение сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой

На практике обычно неизвестна не только начальная фаза радиосигнала, но и его амплитуда. В этом случае используется модель сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой

s(t, a, ) = aU(t)cos(0t + (t) -),                                           (8.16)

 где безразмерный параметр а, определяющий амплитуду сигнала, полагается случайной величиной, распределенной по закону  Релея (при условии, что радиолокационный объект можно представить в виде большого числа статистически независимых случайных отражателей)

                                                    (8.17)

а фаза - по равномерному закону (8.9).

Учитывая, что случайные величины a и статистически независимы, отношение правдоподобия для рассматриваемого случая по аналогии с (8.10) можно представить в виде

Подставляя сюда (8.9) и выражение для условного отношения правдоподобия (х/a,) (которое получается из (8.17) путем замены s(t) на s(t, a, )) и интегрируя затем по , находим

где q2 = 2Es /N0,  Es - энергия сигнала, соответствующая значению а = 1. Далее, используя (8.17) и интеграл

,

получаем

либо

,                                         (8.18)

где

                                    (8.19)

- усредненная энергия сигнала.

Поскольку у 0, отношение правдоподобия является монотонной функцией у. Поэтому, как и в предыдущем случае алгоритм оптимального обнаружения определяется формулами (8.12) и (8.13). Таким образом, структурные схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой совпадают со схемами оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой (см.рис.8.2 и  8.3). Заметим, что операция извлечения квадратного корня в схеме на рис.8.2 не обязательна, так как алгоритм (8.12) эквивалентен сравнению у2 c h2. Применительно к схеме на рис.8.3 это означает, что безразлично, какова характеристика амплитудного детектора - линейная или квадратичная.

Так как алгоритм обнаружения по сравнению с предыдущим случаем не изменился, то и вероятность ложной тревоги определяется прежней формулой (8.14). Для расчета вероятности правильного обнаружения потребуется найти плотность вероятности достаточной статистики у при = 1:

где р(а) определяется формулой (8.17), а

- плотность вероятности огибающей смеси сигнала и шума при фиксированном значении а. Вычисляя этот интеграл, получаем

и затем находим вероятность правильного обнаружения

.                                    (8.20)

Эта формула вместе с (8.14) и определяет характеристики оптимального обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Сравнивать их с характеристиками обнаружения сигнала при известной амплитуде нужно при условии равенства энергий различных сигналов. Поэтому согласно (8.19) следует положить 2 = 0,5. Учитывая это и исключая из (8.14) и (8.20) порог h, получаем

                                                             (8.21)

Характеристики обнаружения, рассчитанные по формуле (8.21), показаны на рис.8.1 (штрих-пунктирные линии). Видно, что характеристики обнаружения в этом случае особенно сильно смещаются вправо в области больших значений вероятности правильного обнаружения (при Рпо  0,9). Это связано с возможными замираниями при случайной амплитуде сигнала. Чтобы обеспечить достаточно большие вероятности правильного обнаружения при наличии таких замираний, необходимо значительное увеличение средней энергии сигнала. Наоборот, при малых вероятностей правильного обнаружения (Рпо  0,3) флуктуации амплитуды облегчают обнаружение и характеристики сдвигаются влево.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42138. Лаборатоные работы в пакете EViews 463.5 KB
  Появится окно группы в котором можно создавать и работать с рядами рис. Создание просмотр и редактирование ряда данных Ряды данных можно создавать двумя способами. Создание пустого ряда в группе. В этом случае для создания ряда необходимо в открытой группе щелчком мыши активировать в самой верхней строке obs первую пустую ячейку и ввести название ряда затем нажать Enter и OK рис.
42139. Создание HTML-страницы для ввода данных 31.5 KB
  Теория В целом для создания HTMLкода чаще всего используются следующие теги: Теги начала и окончания HTMLстраницы html html Теги начала и окончания заголовка HTMLстраницы hed hed Теги начала и окончания названия HTMLстраницы title title Тег для установки кодировки HTMLстраницы met httpequiv= ContentType content= text html; chrset=windows1251 Теги начала и окончания основного тела HTMLстраницы body body Теги начала и окончания абзаца параграфа в теле HTMLстраницы p p Тег пропуска строки br Теги начала и...
42140. ПОДГОТОВКА И АНАЛИЗ ДАННЫХ 444 KB
  Очень часто происходит ситуация когда анализ данных проводимый между этапом сбора данных и собственно эконометрическим моделированием позволяет сократить количество лишней работы связанной с фактическим выбором модели и анализом технической информации во время моделирования. Предварительный анализ данных можно условно разделить на три этапа: графический анализ данных; фильтрация очистка рядов данных; анализ выборочных характеристик рассматриваемых рядов. Эконометрическое исследование проводится как минимум для двух рядов...
42142. Задачі лінійної оптимізації в системі Maple 213 KB
  Задачі оптимізації в Maple розв’язуються за допомогою вбудованих функцій minimize та maximize, що входять до пакету Simplex.Класична задача лінійного програмування записується у такому форматі:minimize (цільова функція, {обмеження}, NONNEGATIVE).Останній параметр вказує на невід’ємність змінних, що входять до математичної моделі задачі. Для геометричної інтерпретації задачі оптимізації необхідно підключити пакет plots і задати систему лінійних нерівностей задачі, використовуючи процедуру inequal.
42143. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ 338.5 KB
  модель вида yi = 0 1 xi i где yi – значение зависимой переменной для наблюдения i xi – значение независимой переменной для наблюдения i 0 и 1 – коэффициенты регрессии εi – значение случайной ошибки для наблюдения i n – число наблюдений. Оценки коэффициентов парной линейной регрессии и определяются методом наименьших квадратов МНК. Оценки коэффициентов уравнения регрессии полученные МНК могут обладать следующими свойствами: несмещенность состоятельность эффективность. Содержание МНК свойств оценок полученных...
42144. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ МЕТОДОМ КОМПЕНСАЦИИ 51 KB
  Для существования стационарного тока в цепи необходим какой-нибудь источник энергии электродвижущей силы ЭДС который способен поддерживать электрическое поле. В источнике ЭДС перемещение носителей заряда производится с помощью запасенной энергии. Рассмотрим замкнутую цепь состоящую из источника ЭДС и нагрузки внешней цепи. Таким образом ЭДС это физическая величина численно равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой цепи.
42145. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МОСТА УИТСТОНА 81 KB
  Сопротивления R1 R2 R0 Rх называются плечами моста Rх  измеряемое неизвестное R0 – известное R1 R2 – регулировочные сопротивления. Сопротивления плеч моста измеряют и подбирают таким образом чтобы ток гальванометра был равен нулю. Для однородного проводника сопротивления отдельных его участков относятся как их длины.
42146. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА С ПОМОЩЬЮ МОСТА СОТТИ 80.5 KB
  В настоящей работе измерение электрической емкости осуществляется с помощью моста переменного тока  моста Сотти рис. Плечи моста плечо моста – это участок цепи включенный между двумя узлами включают конденсатор неизвестной емкости Сх конденсатор эталонной емкости Сэ и два резистора имеющих сопротивления R1 и R2. В диагональ СD моста включают источник переменного напряжения трансформатор.