40144

ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

5 Рош а б ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Различение двух детерминированных сигналов. Постановка задачи и правило принятия решения Задача различения сигналов находит широкое распространение в дискретной радиосвязи когда передача символа 1 связана с излучением сигнала s1t а передача символа 0 связана с излучением другого сигнала s2t отличающегося от s1t хотя бы одним какимнибудь своим параметром. Поэтому решение о том какой из сигналов принимается может осуществляться с ошибкой. Отсюда возникает задача...

Русский

2013-10-15

360 KB

45 чел.

PAGE  1


t

t

АМн

ЧМн

ФМн

t

EMBED Mathcad

EMBED Mathcad

EMBED Mathcad

0    1     0    1     1    1    0

в)

б)

а)

s(t,)

1

10-2

q

20

10

0

10-1

0.5

АМ

ЧМ

ФМ

q

0

0.5

Рош

а)

б)

ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Различение двух детерминированных сигналов.

Постановка задачи и правило принятия решения

Задача различения сигналов находит широкое распространение в дискретной радиосвязи, когда передача символа «1» связана с излучением сигнала s1(t), а передача  символа «0» связана с излучением другого сигнала s2(t), отличающегося от s1(t) хотя бы одним каким-нибудь своим параметром. На приемной стороне один из указанных символов присутствует вместе с шумом. Поэтому решение о том, какой из сигналов принимается, может осуществляться с ошибкой. Отсюда возникает задача оптимального, в смысле выбранного критерия, различения сигналов. Устройство, решающее задачу различения, будем называть различителем.

Математическая постановка задачи различения: пусть на входе различителя действует случайный процесс (t), который удобно представить в виде суммы:     

                                              (9.1)

где s1(t), s2(t) - детерминированные, то есть полностью известные сигналы, неизвестно только, какой из этих сигналов существует на входе в течение интервала наблюдения 0,Т ; - случайный параметр, равный 1, если действует сигнал s1(t), равный 0, если действует сигнал s2(t); n(t) - шум с известным распределением.

Выдвигается гипотеза Н1, состоящая в том, что на входе действует s1(t), и гипотеза Н2, утверждающая, что на входе действует s2(t). Вероятности гипотез Р(Н1) и Р(Н2) известны. На интервале времени 0,Т наблюдается реализация x(t) процесса (9.1). Требуется ответить на вопрос, какому сигналу, который действует вместе с шумом, наилучшим  образом соответствует наблюдаемая реализация.

Так как вероятности гипотез известны, то ответ на этот вопрос можно дать на основании критерия идеального наблюдателя, как и в задаче обнаружения. По аналогии с (7.13) можно записать следующее правило принятия решения

                                                        (9.2)

где

                                              (9.3)

                                                       (9.4)

где Psn1x(t), Psn2x(t) - функционалы плотности вероятности при непрерывном наблюдении.

Для того, чтобы принять решение о наличии того или иного сигнала на входе различителя по критерию идеального наблюдателя (7.7), необходимо сформировать отношение правдоподобия (9.3) и сравнить его с порогом 0, определяемым согласно (9.4), априорными вероятностями Р(Н1), Р(Н2). В ряде случаев, например при гауссовском шуме, удобнее формировать логарифм отношения правдоподобия

                                                   (9.5)

Таким образом, решение задачи различения совпадает с решением задачи обнаружения, с той только разницей, что отношение правдоподобия определяется дробью (9.3), в которой и в числителе, и в знаменателе функции правдоподобия определяются через функционалы плотностей вероятностей при условии наличия сигнала и шума, но только при условии наличия разных сигналов.

9.2 Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого шума. Структурные схемы оптимальных различителей

Правило принятия решения (9.5) можно конкретизировать, если положить, что n(t) в (9.1) является гауссовским белым шумом. Для белого шума функционалы плотности вероятности будут равны:

                                      (9.6)

                                     (9.7)                                                                                                                                                                                                

где К - коэффициент нормировки.

Если подставить (9.6) и (9.7) в (9.5), то получим

откуда

Учитывая, что

правило решения (9.5) можно записать в следующем виде

                                                            (9.8)

где

                                              (9.9)

- достаточная статистика при различении детерминированных сигналов;

                                             (9.10)

- порог для критерия идеального наблюдателя, зависящий как от априорных вероятностей Р(Н1) и Р(Н2), так и от отношений сигнал/шум по каждому сигналу.

Таким образом, в качестве достаточной статистики y в задаче различения используется разность между двумя корреляционными интегралами.

Если сигналы s1(t) и s2(t) имеют одинаковые энергии, то порог . Если к тому же вероятности гипотез Р(Н1) = Р(Н2) = 0,5, то  h = 0.

Возможны различные варианты реализации оптимального алгоритма различения двух детерминированных сигналов: с использованием корреляционных приемников (рис.9.1) и на основе согласованных фильтров (рис.9.2). При построении схем, приведенных на рисунках, достаточная статистика y (9.9) представлялась в виде разности интегралов

Разность величин y1 и y2 на выходах интеграторов сравнивается с порогом h. Импульсные характеристики согласованных фильтров (СФ1 и СФ2) на рис. 9.2 определяются соотношением

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Возможна реализация различителя на основе одноканальной схемы. В этом случае генератор опорного сигнала (ГОС) формирует разностный сигнал (s1(t) - s2(t)), а СФ имеет импульсную характеристику  Схемы различителей одноканального типа приведены на рис.9.3 и 9.4.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

9.3 Условные плотности вероятности достаточной статистики

при различении детерминированных сигналов

Достаточная статистика y, определяемая при различении детерминированных сигналов, согласно выражению (9.9) зависит от реализации x(t), которая из-за действия шума меняется. В общем случае y следует рассматривать как случайную величину, которая получится, если на место реализации x(t) подставить случайный процесс (t):

                                                (9.11)

При гауссовском белом шуме n(t) процесс (t) является гауссовским случайным процессом и случайная величина , определяемая линейным оператором преобразования, каковым является интегрирование, также имеет гауссовское распределение. И так как величина неизвестна, случайная статистика определяется двумя условными плотностями вероятности: psn1(y) при   = 1 и psn2(y)  при = 0.

Найдем числовые характеристики этих распределений при условии, что энергии сигналов s1(t) и s2(t) равны, и следовательно q12 = q22 = q2.

1. Пусть = 1. Тогда . При этом

                                                (9.12)

                                          (9.13)

где коэффициент взаимной корреляции между сигналами s1(t) и s2(t):

                                                     (9.14)

2. Пусть = 0. Тогда (t) = s2(t) + n(t). При этом

m2=/=0= – q2(1-rs)  ,                                               (9.15)

                                       (9.16)

Таким образом, числовые характеристики зависят не только от отношения сигнал/шум, но и от коэффициента взаимной корреляции между сигналами s1(t) и s2(t).

Графики условных плотностей вероятности достаточной статистики psn1(y) и psn2(y)

Рис.9.5

Располагая psn1(y) и psn2(y), можно найти вероятность полной ошибки Рош. Методика здесь используется та же, что и при определении Рош  при обнаружении сигнала (7.3). Отличие состоит в том, что использование таких терминов как пропуск сигнала и ложная тревога, теряет смысл, так как сигнал s1(t) всегда присутствует на входе различителя.

Согласно (7.3) выражение для Рош  запишем в следующей форме:

Рош = Р(Н1)Р(s2/s1) + Р(Н2)Р(s1/s2) ,                                          (9.17)

где Р(Н1), Р(Н2) - априорные вероятности наличия соответственно сигналов s1(t) и s2(t) на входе различителя; P(s2/s1) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s2(t), когда в действительности существует s1(t); P(s1/s2) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s1(t), когда в действительности существует s2(t). Если Р(Н1) = Р(Н2) = 0,5, то выражение (9.17) примет вид

Рош= 0,5[Р(s2/s1) + P(s1/s2)].                                                (9.18)

Если к тому же равны и энергии сигналов s1(t), s2(t), то порог h = 0  и, в силу симметричности кривых psn1(y), psn2(y) относительно начала координат (рис.9.5), условные вероятности P(s2/s1), P(s1/s2), определяемые формулами

                                   (9.19)

                                     (9.20)

равны между собой

                                                 (9.21)

Тогда

                                                     (9.22)

Вероятность полной ошибки Рош, таким образом, определяется условной вероятностью принятия решения при различении одного из сигналов, если их энергии равны.

9.4 Потенциальная помехоустойчивость оптимальных различителей

при различных видах манипуляции

В теории дискретной радиосвязи для характеристики потенциальной помехоустойчивости различителя, оптимального по критерию идеального наблюдателя, используется зависимость вероятности полной ошибки Рош от отношения сигнал/шум q:

                                         Рош = f(q).                                                     (9.23)

При различении детерминированные сигналы s1(t) и s2(t) могут отличаться амплитудой, частотой или начальной фазой, представляя собой амплитудно-манипулированные (АМн), частотно-манипулированные (ЧМн) или фазо-манипулированные (ФМн) колебания. Представляет интерес найти зависимости (9.23) различителей АМн, ЧМн и ФМн сигналов и сравнить эти зависимости между собой.

В различителе АМн сигналов будем полагать, что s2(t) = 0. В этом случае символ “1” связан с передачей сигнала s1(t), а символ “0” - с паузой (рис.9.6,а). Работа такого различителя фактически сводится к оптимальному обнаружению сигнала s1(t) по критерию идеального наблюдателя

Рош  = Р(Н1проп + Р(Н0лт    ,                                             (9.24)

в котором для вычисления (9.23) можно считать, что присутствие и отсутствие сигнала априорно равновероятно. Принимая Р(Н1) =  Р(Н0) = 0,5. В этом случае величина порога h, необходимого для работы обнаружителя, будет определяться только отношением сигнал/шум:

                                               (9.25)

В свою очередь, вероятности Рпроп и Рлт  при использовании порога (9.25) будут равны между собой (рис.9.7,а). Действительно, согласно (8.4) и (8.5) имеем

                                              (9.26)

                                           (9.27)

так как Ф(-z) = 1 – Ф(z).

Подставив (9.26) и (9.27) в формулу (9.24), получаем зависимость вероятности полной ошибки от отношения сигнал/шум при различении Амн сигналов

Рош Амн  = 1 – Ф(q/2).                                                      (9.28)

Вероятности ошибок ЧМн и ФМн различителей могут быть найдены на основании материала параграфа 3 данной лекции. Требуется только найти коэффициенты  взаимной корреляции rs , которые будут различны для ЧМн и ФМн сигналов.

В различителе ЧМн сигналов символ “1” связан с сигналом s1(t) = a0cos 1t , а символ “0” – с сигналом s2(t) = a0cos 2t , которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой частотами 1 и 2 (рис.9.6,б). Если длительность символов Т достаточно велика, то  

Тогда согласно  (9.22)

                                                    (9.29)

При этом m1 = q2,  m2 = - q2,  D1 = D2 = 2q2 (рис.9.7,б).

В различителе ФМн сигналов будем связывать символ “1” с сигналом s1(t) = a0cos0t, а символ “0” - с сигналом s2(t) = a0cos(0t + ) = - a0cos0t, которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой начальной фазой на величину (рис.9.6,в). Это приводит к тому, что  сигнал s1(t) противоположен по знаку к сигналу s2(t)  и, значит

Тогда согласно (9.22)

Рош фмн  = 1 - Ф(q) .                                                         (9.30)

При этом m1 = 2q2,  m2 = -2q2,  D1 = D2 = 4q2 .

Графики (9.28) - (9.30) для сравнения между собой представлены на рис. 9.8 в линейном (а) и логарифмическом масштабе (б). Вторая форма представления графика обычно используется  в расчетах. Из рис.9.8 следует, что у различителя ФМн сигналов кривая Рош фмн = f(q) идет левее и ниже остальных. Это означает, что помехоустойчивость ФМн различителя наибольшая.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74223. ПЛАНЕТА ЗЕМЛЯ: НЕТРАДИЦИОННАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ КООПЕРАЦИЯ И ЗАХОРОНЕНИЕ ЯДЕРНЫХ ОТХОДОВ Е.В. Комлева 278 KB
  Рассмотрены некоторые антропосоциальные аспекты феномена ядерной энергии, идея долговременной подземной изоляции ядерных материалов международными усилиями. Представлены российские версии. Отмечена необходимость разработки адекватных юридических, финансовых и экономических механизмов, социокультурных оснований и критериев реализации идеи
74224. Электронная эмиссия. Катоды 172.5 KB
  Катоды Электронная эмиссия – процесс испускания электронов каким либо телом. Распределение электронов по энергиям в металле подчиняется статистике Ферми Дирака. Согласно последней число электронов имеющих энергию в интервале от W до WdW будет...
74225. ЭЛЕКТРОННО-ИОННАЯ ПЛАЗМА 84.5 KB
  Развитие физики плазмы диктуется чисто практическими целями: новые источники энергии управляемый термоядерный синтез преобразователи непосредственно тепловой энергии в электрическую МГД – генераторы и т. Если возникает неравенство зарядов возникает поляризация плазмы следовательно возникает электрическое поле. Аналогично в течении малых промежутков времени возможно разделение зарядов – поляризация плазмы но масштаб этой поляризации обратно пропорционален времени существования.
74226. Приборы тлеющего разряда 397 KB
  Приборы дугового разряда с накаленным и холодным катодом. Использование газового разряда в приборах квантовой электроники. Особенности приборов тлеющего разряда Простейшие приборы – двухэлектродные.
74227. Светодиоды. Структуры. Материалы 571 KB
  Для генерации полезного излучения такой носитель практически потерян. С увеличением температуры наблюдается уменьшение ширины запрещенной зоны и как следствие увеличение длины волны излучения. При любом механизме рекомбинации длина волны излучения определяется соотношением...
74228. Свойства полупроводников 583 KB
  Дискретные моноэнергетические уровни атомов составляющие твердое тело расщепляются в энергетические зоны. Наибольшее значение для электронных свойств твердых тел имеют верхняя и следующая за ней разрешенные зоны энергий. И наконец если ширина запрещенной зоны Eg лежит в диапазоне...
74229. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике 753.5 KB
  Напомним что значком ni принято обозначать концентрацию собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника...
74230. Р-п переход. Образование и зонная диаграмма р-n перехода 1.57 MB
  Образование и зонная диаграмма рn перехода Электронно-дырочным или pn переходом называют контакт двух полупроводников одного вида с различными типами проводимости электронным и дырочным. Классическим примером pn перехода являются: nSi – pSi nGe – pGe.8 приведены зонные диаграммы иллюстрирующие этапы формирования электронно-дырочного перехода...
74231. Контакт металл – полупроводник. Барьер Шоттки 1.2 MB
  В зависимости от этих соотношений в области контакта могут реализоваться три состояния. Второе состояние соответствует условию обогащения приповерхностной области полупроводника дырками в pтипе и электронами в nтипе в этом случае реализуется омический контакт. И наконец в третьем состоянии приповерхностная область полупроводника обеднена основными носителями в этом случае в области контакта со стороны полупроводника формируется область пространственного заряда ионизованных доноров или акцепторов и реализуется блокирующий контакт или...