40144

ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

5 Рош а б ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Различение двух детерминированных сигналов. Постановка задачи и правило принятия решения Задача различения сигналов находит широкое распространение в дискретной радиосвязи когда передача символа 1 связана с излучением сигнала s1t а передача символа 0 связана с излучением другого сигнала s2t отличающегося от s1t хотя бы одним какимнибудь своим параметром. Поэтому решение о том какой из сигналов принимается может осуществляться с ошибкой. Отсюда возникает задача...

Русский

2013-10-15

360 KB

56 чел.

PAGE  1


t

t

АМн

ЧМн

ФМн

t

EMBED Mathcad

EMBED Mathcad

EMBED Mathcad

0    1     0    1     1    1    0

в)

б)

а)

s(t,)

1

10-2

q

20

10

0

10-1

0.5

АМ

ЧМ

ФМ

q

0

0.5

Рош

а)

б)

ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Различение двух детерминированных сигналов.

Постановка задачи и правило принятия решения

Задача различения сигналов находит широкое распространение в дискретной радиосвязи, когда передача символа «1» связана с излучением сигнала s1(t), а передача  символа «0» связана с излучением другого сигнала s2(t), отличающегося от s1(t) хотя бы одним каким-нибудь своим параметром. На приемной стороне один из указанных символов присутствует вместе с шумом. Поэтому решение о том, какой из сигналов принимается, может осуществляться с ошибкой. Отсюда возникает задача оптимального, в смысле выбранного критерия, различения сигналов. Устройство, решающее задачу различения, будем называть различителем.

Математическая постановка задачи различения: пусть на входе различителя действует случайный процесс (t), который удобно представить в виде суммы:     

                                              (9.1)

где s1(t), s2(t) - детерминированные, то есть полностью известные сигналы, неизвестно только, какой из этих сигналов существует на входе в течение интервала наблюдения 0,Т ; - случайный параметр, равный 1, если действует сигнал s1(t), равный 0, если действует сигнал s2(t); n(t) - шум с известным распределением.

Выдвигается гипотеза Н1, состоящая в том, что на входе действует s1(t), и гипотеза Н2, утверждающая, что на входе действует s2(t). Вероятности гипотез Р(Н1) и Р(Н2) известны. На интервале времени 0,Т наблюдается реализация x(t) процесса (9.1). Требуется ответить на вопрос, какому сигналу, который действует вместе с шумом, наилучшим  образом соответствует наблюдаемая реализация.

Так как вероятности гипотез известны, то ответ на этот вопрос можно дать на основании критерия идеального наблюдателя, как и в задаче обнаружения. По аналогии с (7.13) можно записать следующее правило принятия решения

                                                        (9.2)

где

                                              (9.3)

                                                       (9.4)

где Psn1x(t), Psn2x(t) - функционалы плотности вероятности при непрерывном наблюдении.

Для того, чтобы принять решение о наличии того или иного сигнала на входе различителя по критерию идеального наблюдателя (7.7), необходимо сформировать отношение правдоподобия (9.3) и сравнить его с порогом 0, определяемым согласно (9.4), априорными вероятностями Р(Н1), Р(Н2). В ряде случаев, например при гауссовском шуме, удобнее формировать логарифм отношения правдоподобия

                                                   (9.5)

Таким образом, решение задачи различения совпадает с решением задачи обнаружения, с той только разницей, что отношение правдоподобия определяется дробью (9.3), в которой и в числителе, и в знаменателе функции правдоподобия определяются через функционалы плотностей вероятностей при условии наличия сигнала и шума, но только при условии наличия разных сигналов.

9.2 Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого шума. Структурные схемы оптимальных различителей

Правило принятия решения (9.5) можно конкретизировать, если положить, что n(t) в (9.1) является гауссовским белым шумом. Для белого шума функционалы плотности вероятности будут равны:

                                      (9.6)

                                     (9.7)                                                                                                                                                                                                

где К - коэффициент нормировки.

Если подставить (9.6) и (9.7) в (9.5), то получим

откуда

Учитывая, что

правило решения (9.5) можно записать в следующем виде

                                                            (9.8)

где

                                              (9.9)

- достаточная статистика при различении детерминированных сигналов;

                                             (9.10)

- порог для критерия идеального наблюдателя, зависящий как от априорных вероятностей Р(Н1) и Р(Н2), так и от отношений сигнал/шум по каждому сигналу.

Таким образом, в качестве достаточной статистики y в задаче различения используется разность между двумя корреляционными интегралами.

Если сигналы s1(t) и s2(t) имеют одинаковые энергии, то порог . Если к тому же вероятности гипотез Р(Н1) = Р(Н2) = 0,5, то  h = 0.

Возможны различные варианты реализации оптимального алгоритма различения двух детерминированных сигналов: с использованием корреляционных приемников (рис.9.1) и на основе согласованных фильтров (рис.9.2). При построении схем, приведенных на рисунках, достаточная статистика y (9.9) представлялась в виде разности интегралов

Разность величин y1 и y2 на выходах интеграторов сравнивается с порогом h. Импульсные характеристики согласованных фильтров (СФ1 и СФ2) на рис. 9.2 определяются соотношением

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Возможна реализация различителя на основе одноканальной схемы. В этом случае генератор опорного сигнала (ГОС) формирует разностный сигнал (s1(t) - s2(t)), а СФ имеет импульсную характеристику  Схемы различителей одноканального типа приведены на рис.9.3 и 9.4.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

9.3 Условные плотности вероятности достаточной статистики

при различении детерминированных сигналов

Достаточная статистика y, определяемая при различении детерминированных сигналов, согласно выражению (9.9) зависит от реализации x(t), которая из-за действия шума меняется. В общем случае y следует рассматривать как случайную величину, которая получится, если на место реализации x(t) подставить случайный процесс (t):

                                                (9.11)

При гауссовском белом шуме n(t) процесс (t) является гауссовским случайным процессом и случайная величина , определяемая линейным оператором преобразования, каковым является интегрирование, также имеет гауссовское распределение. И так как величина неизвестна, случайная статистика определяется двумя условными плотностями вероятности: psn1(y) при   = 1 и psn2(y)  при = 0.

Найдем числовые характеристики этих распределений при условии, что энергии сигналов s1(t) и s2(t) равны, и следовательно q12 = q22 = q2.

1. Пусть = 1. Тогда . При этом

                                                (9.12)

                                          (9.13)

где коэффициент взаимной корреляции между сигналами s1(t) и s2(t):

                                                     (9.14)

2. Пусть = 0. Тогда (t) = s2(t) + n(t). При этом

m2=/=0= – q2(1-rs)  ,                                               (9.15)

                                       (9.16)

Таким образом, числовые характеристики зависят не только от отношения сигнал/шум, но и от коэффициента взаимной корреляции между сигналами s1(t) и s2(t).

Графики условных плотностей вероятности достаточной статистики psn1(y) и psn2(y)

Рис.9.5

Располагая psn1(y) и psn2(y), можно найти вероятность полной ошибки Рош. Методика здесь используется та же, что и при определении Рош  при обнаружении сигнала (7.3). Отличие состоит в том, что использование таких терминов как пропуск сигнала и ложная тревога, теряет смысл, так как сигнал s1(t) всегда присутствует на входе различителя.

Согласно (7.3) выражение для Рош  запишем в следующей форме:

Рош = Р(Н1)Р(s2/s1) + Р(Н2)Р(s1/s2) ,                                          (9.17)

где Р(Н1), Р(Н2) - априорные вероятности наличия соответственно сигналов s1(t) и s2(t) на входе различителя; P(s2/s1) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s2(t), когда в действительности существует s1(t); P(s1/s2) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s1(t), когда в действительности существует s2(t). Если Р(Н1) = Р(Н2) = 0,5, то выражение (9.17) примет вид

Рош= 0,5[Р(s2/s1) + P(s1/s2)].                                                (9.18)

Если к тому же равны и энергии сигналов s1(t), s2(t), то порог h = 0  и, в силу симметричности кривых psn1(y), psn2(y) относительно начала координат (рис.9.5), условные вероятности P(s2/s1), P(s1/s2), определяемые формулами

                                   (9.19)

                                     (9.20)

равны между собой

                                                 (9.21)

Тогда

                                                     (9.22)

Вероятность полной ошибки Рош, таким образом, определяется условной вероятностью принятия решения при различении одного из сигналов, если их энергии равны.

9.4 Потенциальная помехоустойчивость оптимальных различителей

при различных видах манипуляции

В теории дискретной радиосвязи для характеристики потенциальной помехоустойчивости различителя, оптимального по критерию идеального наблюдателя, используется зависимость вероятности полной ошибки Рош от отношения сигнал/шум q:

                                         Рош = f(q).                                                     (9.23)

При различении детерминированные сигналы s1(t) и s2(t) могут отличаться амплитудой, частотой или начальной фазой, представляя собой амплитудно-манипулированные (АМн), частотно-манипулированные (ЧМн) или фазо-манипулированные (ФМн) колебания. Представляет интерес найти зависимости (9.23) различителей АМн, ЧМн и ФМн сигналов и сравнить эти зависимости между собой.

В различителе АМн сигналов будем полагать, что s2(t) = 0. В этом случае символ “1” связан с передачей сигнала s1(t), а символ “0” - с паузой (рис.9.6,а). Работа такого различителя фактически сводится к оптимальному обнаружению сигнала s1(t) по критерию идеального наблюдателя

Рош  = Р(Н1проп + Р(Н0лт    ,                                             (9.24)

в котором для вычисления (9.23) можно считать, что присутствие и отсутствие сигнала априорно равновероятно. Принимая Р(Н1) =  Р(Н0) = 0,5. В этом случае величина порога h, необходимого для работы обнаружителя, будет определяться только отношением сигнал/шум:

                                               (9.25)

В свою очередь, вероятности Рпроп и Рлт  при использовании порога (9.25) будут равны между собой (рис.9.7,а). Действительно, согласно (8.4) и (8.5) имеем

                                              (9.26)

                                           (9.27)

так как Ф(-z) = 1 – Ф(z).

Подставив (9.26) и (9.27) в формулу (9.24), получаем зависимость вероятности полной ошибки от отношения сигнал/шум при различении Амн сигналов

Рош Амн  = 1 – Ф(q/2).                                                      (9.28)

Вероятности ошибок ЧМн и ФМн различителей могут быть найдены на основании материала параграфа 3 данной лекции. Требуется только найти коэффициенты  взаимной корреляции rs , которые будут различны для ЧМн и ФМн сигналов.

В различителе ЧМн сигналов символ “1” связан с сигналом s1(t) = a0cos 1t , а символ “0” – с сигналом s2(t) = a0cos 2t , которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой частотами 1 и 2 (рис.9.6,б). Если длительность символов Т достаточно велика, то  

Тогда согласно  (9.22)

                                                    (9.29)

При этом m1 = q2,  m2 = - q2,  D1 = D2 = 2q2 (рис.9.7,б).

В различителе ФМн сигналов будем связывать символ “1” с сигналом s1(t) = a0cos0t, а символ “0” - с сигналом s2(t) = a0cos(0t + ) = - a0cos0t, которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой начальной фазой на величину (рис.9.6,в). Это приводит к тому, что  сигнал s1(t) противоположен по знаку к сигналу s2(t)  и, значит

Тогда согласно (9.22)

Рош фмн  = 1 - Ф(q) .                                                         (9.30)

При этом m1 = 2q2,  m2 = -2q2,  D1 = D2 = 4q2 .

Графики (9.28) - (9.30) для сравнения между собой представлены на рис. 9.8 в линейном (а) и логарифмическом масштабе (б). Вторая форма представления графика обычно используется  в расчетах. Из рис.9.8 следует, что у различителя ФМн сигналов кривая Рош фмн = f(q) идет левее и ниже остальных. Это означает, что помехоустойчивость ФМн различителя наибольшая.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35014. Инфляция: сущность, виды, причины и источники 32.5 KB
  Зародившись на денежном рынке вирусы инфляции затем проникают дальше поражая другие части хозяйственного организма. Различают следующие виды инфляции: открытая и подавленная сбалансированная и несбалансированная ожидаемая и неожидаемая инфляция. Этот тип инфляции характерен для стран с рыночной экономикой. В условиях подавленной инфляции цены весьма далеки от реальных изменений потребностей и спроса что способствует хроническому недопроизводству товаров пользующихся спросом.
35015. Причины инфляции 34.5 KB
  Именно они лежат в основе инфляции спроса и инфляции предложения или издержек. При инфляции спроса спрос опережает предложение возникает избыток денег по отношению к количеству товаров растут цены. Это весьма знакомый для нашей страны вариант инфляции.
35016. Взаимосвязь инфляции и безработицы. Кривая Филлипса 25.5 KB
  Пытаясь искусственно добиться высокого уровня занятости соответственно сокращения безработицы государство выходит за максимально допустимые рамки вмешательства в рыночные процессы. В современных рыночных системах занятость становится подлинно полной и эффективной только тогда когда уровень безработицы близок к естественной норме а она как известно никак не может быть равна нулю. Все эти действия носят сугубо инфляционный характер ведут к сохранению по существу лишних рабочих мест поддержанию противоестественного уровня занятости...
35017. Деньги: сущность, функции, виды 38 KB
  Возникновение денег есть исторический процесс в основе которого лежит развитие товарного обмена. Функции денег. Сущность денег полнее проявляется в их функциях: меры стоимости средства обращения.
35018. Кредитно-денежные системы. Банки 26.5 KB
  Депозиты представляют собой все виды денежных средств переданных в банк их владельцами на временное хранение с предоставлением права использовать эти деньги для кредитования. Депозит до востребования это текущий лицевой счет с которого вкладчик может снять деньги в любое время. Срочные Депозиты это счета с которых вкладчик обязуется не брать деньги до истечения определенного срока. В связи с этим и банк может вкладывать полученные им в распоряжение деньги тоже лишь на определенный срок поэтому кредиты всегда выдаются лишь на...
35020. Операции банка 25 KB
  Операции банка делятся на пассивные по привлечению свободных денежных средств в банк и активные по размещению ссуд и кредитованию клиентов. Процент за предоставленные кредиты бывает выше чем за привлеченные вклады что представляет одну из составляющих прибыли банка. Кроме того банк организует операции по учету векселей. Банк покупает вексель удерживая из обозначенной на нем суммы учетный процент что также составляет прибыль банка на этой операции.
35021. Мультипликатор Депозитный 18.33 KB
  Денежные агрегаты Показателями структуры денежной массы являются денежные агрегаты. Денежными агрегатами называются виды денег и денежных средств отличающиеся друг от друга степенью ликвидности возможностью быстрого превращения в наличные деньги. В разных странах выделяются денежные агрегаты разного состава. Денежные агрегаты представляют собой иерархическую систему каждый последующий агрегат включает в свой состав предыдущий.
35022. Денежно-кредитная (или монетарная) политика 16.22 KB
  Воздействие на макроэкономические процессы инфляцию экономический рост безработицу осуществляется посредством денежнокредитного регулирования. Обычно денежнокредитная политика ЦБ направлена на достижение и сохранение финансовой стабилизации в первую очередь укрепление курса национальной валюты и обеспечение устойчивости платежного баланса страны. Денежнокредитное регулирование это совокупность конкретных мероприятий центрального банка направленных на изменение денежной массы в обращении объема кредитов уровня процентных ставок и...