40145

ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Очевидно пользователю для извлечения из полученного сигнала сведений следует определить значения параметров сигнала несущих требуемую информацию. Устройство предназначенное для измерения параметров сигнала будем называть измерителем. Кроме того на измерения может существенно влиять наличие у сигнала не только полезных несущих необходимую информацию параметров но и параметров не известных потребителю и не содержащих интересных для него сведений.

Русский

2013-10-15

683 KB

48 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

Тема №4 Оценка и фильтрация неизвестных параметров сигнала

ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Понятие точечной оценки параметров сигнала

Как известно сигнал поступающий на приемную сторону РТС, несет существенную для получателя информацию, содержащуюся в значениях тех или иных параметров: амплитуды, частоты, фазы, времени запаздывания и др.

Очевидно, пользователю для извлечения из полученного сигнала  сведений следует определить значения параметров сигнала, несущих требуемую информацию. Устройство, предназначенное для измерения параметров сигнала, будем называть измерителем. Измеренные значения параметров не обязательно воспроизведут истинные значения параметров, так как в реальных условиях полезный сигнал поступает на приемную сторону только в смеси с помехами. Кроме того, на измерения может существенно влиять наличие у сигнала не только полезных (несущих необходимую информацию) параметров, но и параметров, не известных потребителю и не содержащих интересных для него сведений. Полезные параметры сигнала, содержащие нужную абоненту информацию, будем называть информационными, а остальные неизвестные параметры - мешающими (неинформационными, несущественными, паразитными, нежелательными).

Если в процессе измерения информационных параметров на интервале времени [0,T] их значения не изменяются, то в этом случае задача измерения параметров сводится к задаче оценки параметров сигнала. В случае же, когда зависимость информационных параметров (t) пренебречь нельзя и требуется отслеживание меняющихся информационных параметров, такую процедуру измерения называют фильтрацией параметров сигнала. Задачу фильтрации мы рассмотрим с Вами на следующей лекции.

Пусть случайная величина  имеет определенное распределение, но в нем неизвестен какой-либо параметр . Известна условная плотность вероятности

.                                                            (10.1)

Для оценки неизвестного параметра , проводят наблюдения случайной величины  и получают выборку объёма n, которую можно представить в виде n-мерного вектора

,                                            (10.2)

где результаты наблюдения являются проекциями этого вектора в n-мерном пространстве. Затем подбирают такую функцию от выборки (называемую статистикой), которую можно было бы принять за оценку параметра .

.             (10.3)

При конкретной выборке  эта оценка является конкретной точкой на оси оцениваемого параметра. Поэтому оценка, определяемая формулой (10.3), называется точечной.Если  истинное  значение параметра, то  будет находиться где-то вблизи точки   (рисунок).

Для другой выборки   точечная оценка будет находиться в другой точке оси  .

Если оценка параметра получена как функция случайной выборки  

.                                             (10.4)

В этом случае оценка  является случайной величиной

.                                                     (10.5)

Оценка  имеет практическую ценность, если она обладает свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности.

1.  Несмещенной называется оценка, у которой математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра :

2. Состоятельной называется оценка, которая с увеличением объёма выборки n сходится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра:

,

где  - наперед заданное малое положительное число.

3. Эффективной называется оценка, которая среди любых других оценок, отличающихся видом функционального преобразования, но полученных для одного и того же объёма выборки, имеет наименьшую дисперсию

.

На практике оценки могут иметь свойства, в той или иной степени отличные от рассмотренных. При этом, чем меньше у оценки наблюдается отклонений от свойств несмещённости, состоятельности и эффективности, тем она предпочтительнее.

10.2 Основные методы оценки параметров сигнала.

Оценка энергетических и неэнергетических параметров сигнала

Пусть на входе измерителя действует случайный процесс, представляющий собой сумму детерминированного сигнала s(t,) с неизвестным параметром и гауссовского белого шума n(t) со спектральной плотностью N0:

(t) = s(t,) + n(t) .                                                          (10.6)

Оптимальный измеритель определяет математическую операцию, которую необходимо выполнить над реализацией x(t) случайного процесса на интервале времени [0,T], чтобы найти оптимальную оценку параметра по выбранному критерию оптимальности. При этом считается, что задача обнаружения сигнала решена и на входе измерителя действительно существует сумма (10.6).

На практике для оценки параметров сигналов наиболее часто применяют два метода:

- метод максимума апостериорной плотности вероятности;

p[ / x(t)] = k1 p() L(),                                             (10.7)

здесь k1 - коэффициент пропорциональности; р() - априорная плотность вероятности параметра , L() - функция правдоподобия.

- метод максимума функции правдоподобия.

.                         (10.8)

Второй метод используется в тех случаях, когда априорная плотность вероятности р() неизвестна для оцениваемого параметра . Оценки, найденные по этому методу, называются правдоподобными оценками. Правдоподобная оценка и оценка, найденная по методу максимума апостериорной плотности вероятности, совпадают между собой, если параметр имеет равномерное распределение.

Если функция правдоподобия имеет один максимум, то правдоподобная оценка находится из решения уравнения

,                                                        (10.9)

или

,                                                          (10.10)

где y() является достаточной статистикой, определяемой по формуле (10.11)

,                                        (10.11)

.                                          (10.12)

Достаточная статистика вычисляется как разность между корреляционным интегралом и половиной квадрата отношения сигнал/шум. При этом, как корреляционный интеграл, так и отношения сигнал/шум в общем случае зависят от параметра .

Все оцениваемые параметры можно разделить на энергетические и неэнергетические. Энергетическим называется такой параметр, от которого зависит энергия сигнала и, соответственно, отношение сигнал/шум. К энергетическим параметрам относятся амплитуда и длительность сигнала. Неэнергетическим называется такой параметр, от которого энергия сигнала и отношение сигнал/шум не зависят. К неэнергетическим параметрам относятся начальная фаза, частота и т.д.

Для неэнергетического параметра в качестве достаточной статистики у() вместо выражения (10.11) удобнее использовать соотношение

.                                              (10.13)

Таким образом, измеритель, оптимальный по критерию максимума функции правдоподобия, должен сформировать достаточную статистику (10.11) или (10.13), а затем для нахождения оценки параметра решить уравнение (10.8).

10.3 Оптимальные схемы измерения параметров сигнала

Структурная схема оптимального измерителя может быть получена из рассмотрения решения уравнения правдоподобия (10.8). Если решение уравнения является точным, то оптимальная схема  находится однозначно. Если же уравнение является трансцендентным, то его решение находится с той или иной степенью  приближения, что соответственно, приводит к различным схемам измерителя. Рассмотрим эти два случая построения структурных схем.

В качестве первого случая рассмотрим получение оптимальной оценки амплитуды сигнала. Запишем копию сигнала в виде

s(t,) = a s1(t),                                                    (10.14)

где = а - оцениваемым параметром является амплитуда а; s1(t) - сигнал с единичной амплитудой, s1(t) = cos(0t), t [0,T].

Так как параметр  а  является энергетическим, то достаточная статистика

.                                 (10.15)

Продифференцировав (10.15) по а  и приравняв нулю производную, можно получить выражение для оценки параметра а (формула 10.16).

,                                (10.16)

где                                                .                                                     

Из (10.16) следует, что правдоподобная оценка амплитуды определяется в виде корреляционного интеграла между входным процессом и копией сигнала с единичной амплитудой. Однако при этом коэффициент пропорциональности у корреляционного интеграла должен быть в точности равен величине, обратной к энергии копии единичного сигнала. В соответствии с полученным решением структурная схема оптимального измерителя амплитуды может быть реализована с помощью корреляционного приемника или с помощью согласованного фильтра.

В качестве второго случая рассмотрим получение оптимальной оценки любого неэнергетического параметра. Учитывая, что в этом случае уравнение правдоподобия носит трансцендентный характер, будем искать оценку параметра , при котором статистика достигает максимума, напрямую

                                                                (10.17)

Путем перебора параметров i , расчета для каждого i корреляционного интеграла y(i), сравнение полученных у(i) между собой. Тогда в качестве оценки параметра   следует брать то значение , при котором достигается максимум (10.17). Такая процедура нахождения оценки может быть реализована с помощью следующеей структурной схемы.

Измеритель должен располагать набором эталонных сигналов, отличающихся параметром : s(t,1), s(t,2), ..., s(t,n). Для каждого эталонного сигнала по схеме корреляционного приемника строится измерительный канал, в котором вычисляется статистика.

В устройстве сравнения происходит сравнение различных статистик. В результате этого сравнения определяют  j-й канал, в котором статистика наибольшая, и за оценку берется параметр j  j-го канала.

Измерительные каналы в схеме могут быть построены с использованием согласованных фильтров, где каждый i-й фильтр согласован с i параметром сигнала.

Работа схемы аналогична работе предыдущей схемы, в которой измерительные каналы реализуют корреляционный прием.

 

10.3 Сигнальная и шумовая функции. Дисперсия правдоподобной оценки параметра сигнала

Из-за действия шума статистика у() , будет случайной величиной. Случайная статистика может быть получена, например, в случае оценивания неэнергетического параметра. Для этого необходимо подставить в формулу (10.8) вместо реализации x(t) случайный процесс (t) :

(t) = s(t, 0) + n(t) ,                                                 (10.18)

где 0 - истинное значение параметра.

В результате имеем

,                                     (10.19)

где

,                                          (10.20)

.                                            (10.21)

Зависимость S() называется сигнальной функцией , а зависимость N() - шумовой функцией .

Сигнальная функция S() представляет собой корреляционный интеграл между сигналом с истинным значением параметра 0 и этим же сигналом, но с оцениваемым параметром , играющим роль аргумента. Интеграл берется за время существования сигнала. Пример графика S() показан на след. рисунке

Максимум S() достигается при = 0, соответствуя квадрату отношения сигнал/шум:

.                                  (10.22)

Так как максимум S() достигается при = 0, то

. .                                   (10.23)

Функция S() симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через точку = 0, так что

S( - 0) = S(0 - )  .                                                   (10.24)

Шумовая функция N() представляет собой корреляционный интеграл между шумом n(t) и сигналом s(t,)  с оцениваемым параметром, играющим роль аргумента. Для гауссовского стационарного шума n(t)  шумовая функция является стационарным гауссовским случайным процессом параметра с нулевым математическим ожиданием

N() = 0 ,                                                         (10.25)

и корреляционной функцией, определяемой сигнальной функцией:

RN(2  - 1) = N(1)N(2) = S(2-1).                                  (10.26)

С помощью сигнальной функции можно оценить разрешающую способность измерителя. Действительно, если на входе действуют два сигнала s(t,01),s(t,02), отличающиеся между собой истинными значениями параметров 01,02 , то на выходе измерителя появятся два сигнала  s1(), s2() в области .

Два сигнала s(t,01), s(t,02) могут быть надежно выделены и их параметры раздельно измерены; если разность  |02 - 01|   превышает разрешающую способность измерителя  :

|02 - 01|     .                                                  (10.27)

Разрешающая способность  согласно критерию Релея определяется как разность (02 - 01) , которая соответствует ширине сигнальной функции (рис.). Уровень, на котором определяется S(), может быть различным. На рис. уровень для определения  выбран нулевым.

Сигнальная функция S() используется также для нахождения степени разброса оценки вокруг 0 , если    является несмещенной оценкой .

При выполнении этого условия степень разброса оценки вокруг 0 будет определяться дисперсией оценки:

= < (-0)2 >  .                                                   (10.28)

На практике, вместо дисперсии, для характеристики степени разброса   вокруг  0  используется среднее квадратическое отклонение (СКО), равное  корню из дисперсии, так как размерности оценки и СКО совпадают. Можно показать, что дисперсия правдоподобной оценки параметра сигнала обратно пропорциональна взятой с обратным знаком кривизне сигнальной функции в точке истинного значения параметра

,                                                   (10.29)

где    - кривизна S().

Формула (10.29) имеет важное значение. С ее помощью можно определять потенциальную точность оптимального измерителя, располагая только отношением сигнал/шум q, формой сигнала s(t,) и выбором оцениваемого параметра , не прибегая к анализу работы конкретного измерителя. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10654. Уточнение корней уравнений методом итераций 147.5 KB
  Лабораторная работа 5 Уточнение корней уравнений методом итераций. Цель работы. Уточнить корень алгебраического уравнения с заданной степенью точности используя метод итераций построить график сходимости и сравнить его с методом Ньютона. Теоретиче
10655. Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов 280 KB
  Лабораторная работа 6 Построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Цель работы. Для опытных данных представленных в виде таблицы подобрать такую аналитическую зависимость которая бы приближенно выражала исследуемый процесс.
10656. Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция 291 KB
  Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости построить интерполяционную функцию методом Лагранжа...
10657. Численное дифференцирование 157 KB
  Лабораторная работа 8 Численное дифференцирование. Цель работы. Научиться выполнять дифференцирование функций заданных в виде таблиц опытных данных а также уметь оценивать погрешность численного метода. Теоретические положения. Источником форм
10658. Интегрирование функций, заданных таблично 240 KB
  Лабораторная работа 9. Интегрирование функций заданных таблично. Цель работы. Методом трапеций вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теорет
10659. Численное интегрирование методом Симпсона 193.5 KB
  Лабораторная работа 10 Численное интегрирование методом Симпсона. Цель работы. Методом Симсона вычислить определенный интеграл от сложной функции или от функции заданной в виде таблицы опытных данных; выполнить оценку полученного результата. Теоретичес
10661. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера 322 KB
  Лабораторная работа 11. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера. Цель работы. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка используя алгоритм Эйлера; сравнить численный результат с точным аналитическим выр...
10662. Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом Рунге-Кутта 310 KB
  Лабораторная работа 12 Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка методом РунгеКутта. Цель работы. Научиться решать дифференциальное уравнение второго порядка путем преобразования его к системе двух уравнений первого порядка с последующ