40146

ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Полезный сигнал st является функцией времени t и многокомпонентного параметра сообщения представляющего собой векторный случайный процесс. Общая задача фильтрации заключается в том чтобы на основании априорных сведений и по наблюдаемой реализации xt процесса t для каждого момента времени t сформировать апостериорную плотность вероятности сообщения . Априорные сведения о вероятностных характеристиках сообщения и помехи nt задаются либо в форме многомерных плотностей вероятности либо в виде дифференциальных уравнений с...

Русский

2013-10-15

318 KB

22 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Постановка задачи оптимальной фильтрации

В общем случае задача фильтрации формулируется следующим образом. Наблюдается процесс (t), являющийся детерминированной функцией от полезного сигнала s(t,) и некоторой помехи n(t).

Полезный сигнал s(t,) является функцией времени t  и многокомпонентного параметра (сообщения) , представляющего собой векторный случайный процесс. Предполагаются известными функциональная зависимость сигнала от аргумента (t) и  , а также все необходимые вероятностные характеристики случайного процесса  и  помехи n(t).

Общая задача фильтрации заключается в том, чтобы на основании априорных сведений и по наблюдаемой реализации x(t)  процесса (t) для каждого момента времени t сформировать апостериорную плотность вероятности сообщения .

В большинстве случаев инженерной практики  обычно требуется получить текущую оценку , наилучшую в соответствии с выбранным критерием оптимальности. Различают несколько модификаций задачи построения оптимальных оценок. При наблюдении процесса (t) на текущем интервале времени [0,T] определяется оценка ; если   = 0, имеет место  задача текущей фильтрации; если   0 - задача фильтрации с предсказанием, или задача экстраполяции; при   0 - задача фильтрации с запаздыванием, или задача интерполяции.

Априорные сведения о вероятностных характеристиках сообщения  и помехи n(t) задаются либо в форме многомерных плотностей вероятности, либо в виде дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

Уравнение наблюдения процесса (t)  имеет вид

,                                    (11.1)

где  n(t) -  гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием   n(t) = 0   и     -функцией корреляции  n (t1) n (t2) = (N0/2) (t2 - t1).

Считаем, что сообщение (t) однокомпонентный случайный процесс и формируется из белого гауссовского шума n (t), имеющего нулевое математическое ожидание и одностороннюю спектральную плотность N0 .

Формирование сообщения (t) определяется дифференциальным уравнением (уравнением сообщения)

,                                (11.2)

где g (t,) - известная функция аргументов t и .

В зависимости от вида уравнений наблюдения и сообщения различают два класса задач фильтрации:

  1.  Линейная фильтрация – уравнения являются линейными относительно сообщения (t).
  2.  Нелинейная фильтрация – уравнения содержит нелинейные функции сообщения (t).

Очевидно, что линейная фильтрация является частным случаем нелинейной фильтрации. Основополагающие результаты по теории нелинейной фильтрации получены Р.Л. Стратоновичем.

Наблюдение и обработка принятого колебания (t) могут осуществляться двумя методами: в непрерывном времени (аналоговая фильтрация) и в дискретном времени (дискретная фильтрация). При дискретной обработке берутся временные отсчеты (t) с соблюдением теоремы Котельникова, например, через равноотстоящие промежутки времени  t+1 - t  = = = const (рис. 11.1).

В дискретном времени уравнения наблюдения и сообщения имеют следующий вид:

Рис. 11.1

11.2 Критерии оптимальности фильтрации

Пусть на входе фильтра наблюдается реализация процесса

                                                    (11.5)

где (t),  n(t)  - являются реализациями соответственно сообщения и шума.

Рис. 11.2

Фильтр будет оптимальным, если на его выходе формируется процесс y(t), являющийся оптимальной, т.е. наилучшей в определенном смысле, оценкой сообщения .

То, что вкладывается в понятие оптимальной оценки , определяется выбранным критерием оптимальности. Критерий оптимальности сформулируем, исходя из апостериорной плотности вероятности p(,t|x(t)), определяемой на интервале наблюдения [0,t]. Интервал наблюдения за счет роста t непрерывно увеличивается. Это приводит к увеличению объема выборки и к сужению апостериорной плотности вероятности p(,t|x(t)), характеризующей плотность вероятности сообщения (t) в конечной точке интервала наблюдения. Сужение p(,t|x(t)) соответствует уменьшению дисперсии оценки сообщения R(t) =, что является самым важным результатом фильтрации. На рис. 11.3 показано изменение апостериорной плотности вероятности p(,t|x(t)) во времени.

При гауссовском белом шуме n(t) и достаточно высоком отношении сигнал/шум , где Es -энергия сигнала, апостериорная плотность вероятности p(,t|x(t)), приближается к гауссовскому закону, для которого мода, медиана и математическое ожидание совпадают.

Рис. 11.3

Если в качестве критерия оптимальности  рассматривать получение оценки  по максимуму апостериорной плотности вероятности

p(,t|x(t)) = max ,                                                        (11.6)

то найденная таким образом оценка  является  оптимальной также по минимуму среднего значения квадрата ошибки между оценкой и передаваемым сообщением:

.                                               (11.7)

Таким образом, если в качестве оценки выбрать траекторию координаты максимума плотности вероятности p(,t|x(t)),  то оценка  будет наилучшим образом совпадать с передаваемым сообщением (t), т.е. критерии оптимальности (11.6) и (11.7) приводят к одной и той же оценке.

Оптимальной оценкой является апостериорное математическое ожидание

.                                        (11.8)

Погрешность получаемой оценки можно характеризовать апостериорной дисперсией

.                                  (11.9)

11.3 Получение сообщения из белого шума

с помощью формирующего фильтра

Для синтеза алгоритмов фильтрации необходимо, прежде всего, располагать априорными сведениями о возможном поведении (t), т.е. моделью сообщения (t). Очень удобной и адекватной многим реальным ситуациям оказывается модель (t) в виде марковского случайного процесса, частным случаем которого является гауссовский случайный процесс с нормированной корреляционной функцией

r () = exp {-||}

где   - некоторый постоянный коэффициент.

Строго говоря, для нахождения вероятностных характеристик (t) необходимо произвести статистическую обработку реализаций процесса (t), получаемого на выходе какого-нибудь датчика, например, микрофона, измерителя скорости полета, высоты. В теории фильтрации поступают иначе. Реальный датчик заменяют моделью, являющейся формирователем сообщения. Формирователь сообщения представляет собой известный фильтр, на вход которого поступает белый шум n(t) с заданной односторонней спектральной плотностью N. Этот шум n(t), называемый информационным (либо формирующим), пройдя через формирующий фильтр, создает на его выходе случайный процесс с заданными вероятностными характеристиками. Самым простым является формирующий фильтр, представляющий собой интегрирующую RC -цепь (рис.11.4,а) и предназначенный для формирования модели сообщения, используемого в телевизионных и телеметрических системах связи.

Рис. 11.4

При белом гауссовском шуме n(t) сообщение (t), являющееся выходным процессом фильтра (рис.11.4,а), также будет гауссовским процессом с корреляционной функцией и спектральной плотностью, соответственно равными

,           ,                           (11.10)

где   = 0.5 =1/RC- параметр, соответствующий полосе пропускания фильтра на уровне 0.5.

Однако, использование в дальнейшем характеристик (11.10) для нахождения структурной схемы оптимального фильтра оказалось неудобным, т.к. при этом приходится сталкиваться со значительными математическими трудностями, связанными с решением интегро-дифференциальных уравнений. Оказалось, что для преодоления этих трудностей удобнее задавать вероятностное описание сообщения (t) в виде дифференциального уравнения, связывающего (t) с n(t).

Согласно уравнению Кирхгофа, имеем

n(t) = i(t)R + (t) ,                                                       (11.11)

где  i(t)  -ток через R и С (рис. 11.4,а).

В свою очередь, ток через емкость

.                                                           (11.12)

Подставив (11.12) в (11.11) и разрешив равенство относительно производной, получим дифференциальное уравнение

.                                                 (11.13)

Дифференциальное уравнение (11.13) может быть смоделировано с помощью аналогового вычислителя (рис. 11.4,б). Действительно, образуем разность (n(t) - (t)). Эта разность, умноженная на  , согласно (11.13), равна производной  , интеграл от которой воссоздает (t).

Таким образом, уравнение (11.13) позволяет не только определить процесс (t) из информационного шума n(t), но и содержит в неявной форме вероятностные характеристики получаемого случайного процесса (t), являющегося моделью сообщения.

В качестве модели речевого сообщения часто применяется процесс (t), определяемый с помощью системы дифференциальных уравнений:

                                                (11.14)

где и 1 - постоянные коэффициенты.

Сообщение (t),  согласно уравнениям (11.14), можно рассматривать как случайное напряжение на выходе последовательно соединенных (без учета взаимной реакции) RC-фильтра нижних частот и CR - фильтра верхних частот (рис. 11.5,а), когда на вход действует белый шум n(t). Постоянные времени RC и CR - фильтров соответственно равны: 1/1 = R1C1 и 1/ = R2C2.

Рис. 11.5

Спектральная плотность и корреляционная функция процесса (t), соответственно имеют вид

;                                             (11.15)

.                                   (11.16)

Дисперсия такого  процесса (t) равна   .

На рис. 11.5,б, приведен график нормированного одностороннего спектра речевого сообщения (14.15), где – ширина этого спектра на уровне 0.5 максимального значения.

11.4 Алгоритм оптимальной аналоговой фильтрации

При рассмотрении алгоритма фильтрации  остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов. Для этого частного случая уравнение наблюдения задается в виде (11.1), а уравнение сообщения - в виде (11.2).

Изменения во времени априорной плотности  вероятности р(,t) процесса (t) определяются уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова:

.               (11.17)

L() – оператор  преобразования Фоккера-Планка-Колмогорова. Заметим, что в рассматриваемом случае имеет место однозначное соответствие между описаниями процесса (t) в виде уравнения (11.2) либо (11.17).

Располагая этими априорными данными, нужно синтезировать устройство, которое бы с наименьшей погрешностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное сообщение (t).

Как было показано в параграфе 3 данной лекции, для вычисления оптимальной оценки (t) и ее погрешности, необходимо знать апостериорную плотность вероятности p(,t|x(t)), которая согласно формулы Байеса, определяется двумя сомножителями p(,t)  и  p(x(t)|). Плотность вероятности p(,t) фильтруемого процесса (t), удовлетворяющего уравнению сообщения (11.2), определяется из (11.17). Условная плотность вероятности  p(x(t)|) (функция правдоподобия) легко  находится из уравнения наблюдения (11.1). Так как сигнал  s(t,(t)) является известной функцией аргументов t и , а шум n(t) имеет гауссовское распределение, то и p(x(t)|) также будет гауссовской.

В работах Р.Л.Стратоновича  показано, что апостериорная плотность вероятности p(,t|x(t)) параметра (t) в конечный момент времени наблюдения определяется следующим дифференциальным уравнением

,           (11.18)

где F(t,) -   производная по времени от логарифма функции правдоподобия:

,                                                 (11.19)

 F (t, )  - усреднение F (t, ) по информационному параметру :

.                                       (11.20)

Начальные условия для уравнения Стратоновича (11.18) определяются априорной плотностью вероятности p(,0) начальной координаты сообщения (0) = 0.

Апостериорная плотность вероятности p(,t|x(t))  содержит всю доступную информацию о параметре (t),  которую можно извлечь из наблюдения реализации x(t) процесса (t) на интервале  [0,t]  и из априорных сведений о (t). Определив апостериорную плотность p(,t|x(t)), можно получить другие требуемые характеристики, например, математическое ожидание (t), представляющее оптимальную оценку сообщения по критерию минимума среднего квадрата ошибки или оценку, оптимальную по критерию максимума апостериорной плотности вероятности.

Таким образом, уравнение Стратоновича (11.18) определяет полную процедуру фильтрации сообщения (t) на фоне белого шума. В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной задачей, схемы оптимального фильтра при этом весьма сложны. Для получения более простых схем целесообразно использовать различные упрощающие предположения. Некоторые из них будут рассмотрены в лекции №12.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84135. Проблемы сознания в философии. Язык и мышление как формы объективизации сознания. Их соотнесенность 36.48 KB
  Язык и мышление как формы объективизации сознания. Основной проблемой сознания в философии является вопрос его отношения к бытию. Этот вопрос имеет две стороны: – онтологическую в рамках которой решается вопрос первичности материи или сознания по отношению друг к другу и – гносеологическую в рамках которой решается вопрос о принципиальной возможности познания мир.
84136. Сущность познавательного процесса. Субъект и объект познания. Чувственный опыт и рациональное мышление: их основные формы и характер соотнесенности 32.99 KB
  Познание – это процесс получения знания и формирования теоретического объяснения действительности. В познавательном процессе мышление замещает реальные объекты действительности абстрактными образами и оперируя ими получает возможность теоретически воспроизводить в сознании порядок реальной действительности. Субъект познания – это познающее мышление познающий индивид или группа индивидов а объект познания – это то в составе действительности на что направлено познающее мышление познавательная деятельность субъекта. Таким образом...
84137. Проблемы истинного знания в философии. Истина, заблуждение, ложь. Критерии истинного знания. Характеристика практики и ее роль в познании 39.57 KB
  Цель любого философского познания – достижение истины. Истина – это соответствие знания тому, что есть. Следовательно, проблемы истинного знания в философии состоят в том, каким образом то или иное философское течение отвечает на вопрос – что же, в самом деле, есть? Или – что есть истинное бытие?
84138. Эмпирический и теоретический уровень научного познания. Их основные формы и методы 38.65 KB
  ЭМПИРИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ это непосредственное чувственное исследование реально существующих и доступных опыту объектов. Классификация и теоретическое обобщение сведений о полученных научных фактах: – введение понятий и обозначений; – выявление закономерностей в связях и отношениях объектов познания; – выявление общих признаков у объектов познания и сведение их в общие классы по этим признакам; – первичное формулирование исходных теоретических положений. Таким образом эмпирический уровень научного познания содержит в своем...
84139. Категории качества, количества, меры и скачка. Закон взаимного перехода количественных и качественных изменений. Эволюция и революция в развитии 32.98 KB
  Изменение качества объекта означает изменение объекта вплоть до превращения его в другой объект а исчезновение качества объекта означает его уничтожение поскольку качество неотделимо от объекта. Но поскольку внешние количественные свойства объекта берутся не откуданибудь а произрастают именно из специфики его качества то изменение внешних свойств объекта всегда говорит о том или ином соответствующем изменении и в его качестве. Следовательно изменение количественных характеристик свидетельствует об определенном изменении качества...
84140. Категории тождества, различия, противоположности и противоречия. Закон единства и борьбы противоположностей 33.64 KB
  Таким образом противоречия – это внутренний источник движения изменения развития объекта поскольку возникающие противоречия для своего разрешения порождают необходимые внутренние предпосылки объекта к соответствующему необходимому изменению. Когда объект меняется он превращается в нечто иное себе снимая обострившиеся противоречия и таким образом совершает некое необходимое развитие. Однако после момента снятия противоречий после их разрешения сразу же возникают новые противоречия поскольку у изменившегося объекта сразу же возникает...
84141. Категории отрицания и отрицания отрицания. Метафизическое и диалектическое понимание отрицания. Закон отрицания отрицания 38.35 KB
  Отрицание в логике – это акт опровержения некоего несоответствующего действительности высказывания который разворачивается в новое высказывание. В философии же отрицание – это возникновение нового отменяющего и замещающего собой старое. Применяться подобным образом в философии термин отрицание стал Гегелем который с его помощью объяснял циклический характер развития действительности: 1. В чем суть этого противоречия которое созревает в Разуме и отменяет отрицает собою нынешнее состояние Разума Рассмотрим это: суть этого внутренне...
84142. Общая характеристика философских категорий. Метафизическое и диалектическое понимание их взаимосвязи 39.51 KB
  Кроме того категории отражают наиболее важные характеристики и явления бытия которые пронизывают бытие насквозь во всём его многообразии и во всей его необъятности время пространство движение причина следствие единичное общее материя дух взаимодействие сила субстанция и т. К основным категориям относятся: бытиенебытие единичноеобщее причинаследствие случайностьнеобходимость сущностьявление возможностьдействительность материядвижение времяпространство качествоколичество сущностьявление содержаниеформа...
84143. Понятие общества. Основные идеи формационного и цивилизационного понимания общественной жизни и истории 38.69 KB
  Народ – это всё население как таковое вовлеченное в совместную жизнь в системе какоголибо общества. Особая специфика и особая сложность общества состоит в том что его главным смысловым элементом является человек в результате чего общество в отличие от природных систем взаимодействия обладает высокой степенью непредсказуемости своего развития. Благодаря этому общественное развитие – это процесс настолько сложный что его исследовательский анализ и теоретическое описание вызывают огромные трудности и сопровождаются безостановочными...