40157

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и соответственно корреляционная функция зависят не от t1 и t2 в отдельности а только от их разности = t2 t1. В соответствии с этим корреляционная функция стационарного процесса определяется выражением 3.1 где математическое ожидание стационарного процесса; х1 х2 возможные значения случайного процесса соответственно в моменты времени t1 t2 ; = t2 t1 интервал времени между сечениями; двумерная...

Русский

2013-10-15

2.32 MB

22 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 2

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Корреляционная функция стационарного процесса

Корреляционная функция случайного процесса  определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных сечений процесса, взятых в моменты t1 и t2. При этом математическое ожидание вычисляется с использованием двумерной плотности вероятности . Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и, соответственно, корреляционная функция зависят не от t1 и t2 в отдельности, а только от их разности =  t2 - t1. В соответствии с этим корреляционная функция стационарного процесса определяется выражением

                          (3.1)

где  - математическое ожидание стационарного процесса; х1, х2 - возможные значения случайного процесса соответственно, в моменты времени t1, t2 ; = t2t1 - интервал времени между сечениями; - двумерная плотность вероятности стационарного процесса. Второе выражение для  получено путём раскрытия квадратных скобок первого выражения и учета свойств математического ожидания.

В научно-технической литературе используется также такая характеристика случайного процесса, как  ковариационная функция K(t), под которой понимается математическое ожидание произведения двух значений процесса, взятых соответственно в моменты t1 и  t2:

    (3.2)

так что справедливо соотношение

     (3.3)

Если , то понятия  и  совпадают. Если же дополнительно  обладает эргодическим свойством, то корреляционная функция может быть определена по одной длинной реализации:

    (3.4)

где Т  - интервал наблюдения единственной реализации x(t) процесса ;  - эта же реализация x(t), задержанная на время .

Формула (3.4) может быть положена в основу построения устройства, измеряющего корреляционную функцию, которое называется коррелометром. Для построения коррелометра требуются перемножитель, устройство задержки с переменным временем задержки  и интегратор (рис. 3.1). Это устройство измеряет  или  в зависимости от того, равно  нулю или нет.

Рис. 3.1

Корреляционная функция  стационарного случайного процесса, как и вообще корреляционная функция случайного процесса, является действительной функцией аргумента . При этом  характеризует  с двух сторон. Во-первых, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций. А во-вторых, позволяет судить о степени линейной связи между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими друг от друга на интервал времени . Размерность  совпадает с размерностью квадрата случайного процесса. Рассмотрим свойства корреляционной функции.

  1.  Корреляционная функция при = 0 равна дисперсии процесса

         (3.5)

Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить  = 0.  

2.  Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента :

        (3.6)

Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарного процесса, для которого важны не сами значения моментов и t2, а расстояние во времени одного сечения от другого |t2-t1 |.

3. Корреляционная функция при любом не может превзойти своего значения при   = 0:

       (3.7)

Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если  является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо , соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между  и . Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.

4.  Корреляционная функция может быть представлена в виде

       (3.8)

где r(t)  нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от  и заключенная в пределах

 .     (3.9)

Она характеризует только степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия  процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.

5. Для широкого класса  стационарных случайных процессов удовлетворяется условие

  .      (3.10)

Физический смысл выражения (3.10) состоит в утверждении того факта, что линейная связь между сечениями случайного процесса при значительном удалении одного сечения от другого во времени отсутствует.

6. На практике важным параметром является интервал корреляции , который характеризует эффективную ширину корреляционной функции. С общих позиций интервал корреляции определяется выражением

    (3.11)

Численно  равно основанию прямоугольника с высотой , имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой , при . Интервал корреляции  определяет тот временной интервал между сечениями случайного процесса , при превышении которого эти сечения считаются некоррелированными.

3.2 Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса  называется функция частоты , являющаяся прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции этого процесса

               (3.12)

Если существует прямое (3.12) преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной  определяет :

                  (3.13)

Формулы (3.12) и (3.13) принимают симметричный характер, если вместо круговой частоты использовать частоту f. При этом , а . Тогда имеем:

    (3.14)

    (3.15)

Воспользовавшись выражением (3.15), дадим физический смысл . Положив =0, получим

    (3.16)

Как известно,  определяет среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса. Поэтому функция частоты , от которой берется интеграл по всем частотам, в результате чего находится , характеризует среднюю мощность процесса, приходящуюся на единицу полосы частот. Размерностью  является размерность квадрата процесса, поделенная на размерность частоты. Если  напряжение, то размерностью  является [В2/Гц]. Заметим, что размерность  совпадает с размерностью энергии [В2/Гц] = [В2 С]. Поэтому в литературе  иногда называют энергетическим спектром.

Рассмотрим основные свойства спектральной плотности  случайного процесса.

1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса является действительной неотрицательной функцией частоты:

      (3.17)

Это свойство вытекает из физического смысла , определяющей средний квадрат флюктуаций в единичной полосе частот. Для действительного процесса - средний квадрат флюктуаций есть всегда положительное число.

2..  Спектральная плотность стационарного процесса является четной функцией частоты:

      (3.18)

Это свойство обусловлено тем, что преобразование Фурье от четной функции, каковой является , есть, в свою очередь, четная функция.

3. Пару преобразований Фурье, связывающую между собой спектральную плотность и корреляционную функцию, можно записать в виде косинус-преобразования. Используя  это свойство, запишем выражения (3.12), (3.13) и (3.14), (3.15) в виде:

    (3.19)

   (3.20)

и

    (3.21)

    (3.22)

Формулы (3.19), (3.20) и (3.21), (3.22) называются формулами Винера - Хинчина по фамилиям ученых, которые впервые их получили.

4. Реальные радиотехнические устройства не различают знак частоты. Два колебания с одинаковой амплитудой и частотами, отличающимися только знаком, всегда воспринимаются устройством, как одно колебание с положительной частотой, но с удвоенной амплитудой.

Поэтому если  - спектральная плотность, определенная на , а  по-прежнему определена на всей оси частот от  до  , то имеет место формула

    (3.23)

Спектральную плотность , определенную на ,   будем называть  физическим спектром, а спектральную плотность , определенную на , - математическим спектром случайного процесса.

Формулы Винера-Хинчина для  запишутся в виде:

    (3.24)

    (3.25)

На рис. 3.2 показана связь между  и  для случая низкочастотного широкополосного (рис. 3.2,а) и высокочастотных узкополосных процессов (рис. 3.2,б).

Рис. 3.2

5. Ширина  оценивается эффективной шириной спектра :

    (3.26)

которая определяет основание прямоугольника с высотой 1, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой

3.3. Узкополосные случайные процессы

Случайный процесс (t) является узкополосным, если его плотность   отлична от нуля только вблизи частоты f0. Для этих процессов выполняется условие

        (3.27)

где  f ширина спектральной плотности, определённая, например, на уровне 0.5 или каким-либо другим удобным способом, в том числе определённая как эффективная ширина.

Реализации узкополосного процесса имеют вид промодулированных по амплитуде и фазе гармонических колебаний. Поэтому узкополосный случайный процесс может быть записан в виде

,                           (3.28)

где A(t) и Ф(t) - медленно меняющиеся по сравнению с  случайные функции времени. В дальнейшем будем называть A(t) огибающей, a Ф(t) - фазой узкополосного случайного процесса.

Рассматривая A(t), Ф(t) как стационарные случайные процессы, поставим задачу найти их плотности вероятности р(а), р(), если узкополосный случайный процесс (t) является гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием = 0 и дисперсией  = 2.

Для решения поставленной задачи удобно, используя формулу , где , , представить  в виде суммы квадратурных составляющих:

      (3.29)

где  - косинусная, a  - синусная квадратурные составляющие случайного процесса. В свою очередь, огибающая и фаза будут равны:

        (3.30)

    (3.31)

Представление узкополосного случайного процесса через огибающую и фазу используется в полярной системе координат, а представление его через ортогональные составляющие  и  - в прямоугольной системе координат.

Если Aс(t), As(t) являются случайными процессами с гауссовским распределением, то, рассматривая  и  как детерминированные множители, приходим к выводу, что в любой момент времени (t) как сумма гауссовских случайных величин имеет гауссовское распределение. Верно и наоборот, если (t) имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием, то Ac(t) и As(t) являются также гауссовскими процессами с нулевым математическим ожиданием. Более того, если спектральная плотность  случайного процесса (t) симметрична относительно f0 и её корреляционная функция равна

то корреляционные функции процессов Аc(), Аs() совпадают между собой и определяются выражением

                        (3.32)

а их взаимная корреляционная функция равна нулю:

                   (3.33)

при любом  .

Формулы (3.30), (3.31) позволяют интерпретировать A(t) как длину случайного вектора, случайные проекции которого на оси прямоугольных координат равны Ac(t) и As(t), а фаза Ф(t) является углом между A(t) и осью абсцисс (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Длина вектора A(t) и величина угла Ф(t) изменяются во времени случайным образом, так что конец вектора совершает случайные блуждания по плоскости. Однако в фиксированный момент времени t вектор неподвижен, так что    можно рассматривать как случайные величины. В этом случае при известной двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих р(ас,аs), где ас, аs - возможные значения Ac(f), As(t) в конкретный момент времени, зная функциональную связь (3.30), (3.31), можно определить двумерную плотность вероятности р(а,),где а, - возможные значения A(t), Ф(t) в этот же момент времени. Затем, интегрируя р(а,) по возможным значениям , можно определить р(а), а путем интегрирования по а - р(). При этом плотность вероятности длины вектора (в нашем случае огибающей) р(а) имеет рэлеевское распределение, а аргумент (в нашем случае фаза) имеет равномерное распределение с плотностью вероятности р() = 1/2. Графики р(а), р() приведены на рис. 3.4, а формулы для р(а) и р() соответственно равны:

Рис. 3.4

 

     (3.34)

      (3.35)

3.4. Основные статистические модели сигналов и помех

В дальнейшем при решении отдельных задач статистической теории радиотехнических систем будем использовать следующие частные модели сигналов:

1. Детерминированный сигнал, то есть сигнал с полностью известными параметрами

.                                    (3.36)

Его удобно использовать для получения потенциальных (предельных) характеристик оптимальных приемников.

  1.  Сигнал со случайной начальной фазой

.                                  (3.37)

Здесь начальная фаза принимаемого сигнала полагается случайной величиной с равномерным законом распределения (3.35) на интервале [- , ].

  1.  Сигнал со случайными амплитудой и начальной фазой

.                               (3.38)

При этом начальная фаза , по-прежнему, распределена равномерно на интервале [- , ], а амплитуда a распределена по рэлеевскому закону (3.34).

Сигналы, описываемые детерминированными функциями, в которых один или несколько параметров являются случайными величинами, называют квазидетерминированными.

Для помех используют статистическое описание, включающее многомерные законы распределения. Требуемое статистическое описание помехи зависит от конкретной задачи. Часто достаточным является знание корреляционной функции помехи Rп() или спектральной плотности Sп().

Одномерную плотность распределения вероятностей мгновенных значений n(t) помехи очень часто полагают гауссовской

                                       (3.39)

где  - дисперсия помехи, равная средней мощности флуктуаций помехи. При постоянной спектральной плотности шума N0 в пределах полосы от 0 до F дисперсия (рис. 3.5).

 

а)                                                              б)

Рис. 3.5

Шум, представляющий собой квазигармонический процесс с гауссовским законом распределения (3.39) мгновенных значений, имеет равномерный закон распределения (3.35) начальных фаз на интервале [-, ], а огибающая Ап(t) для фиксированного момента t подчиняется рэлеевскому закону (3.34).

Для упрощения решения задач оптимального приема в качестве модели помехи вместо гауссовского шума часто используют белый шум. Спектральная плотность белого шума постоянна в неограниченной полосе частот и равна N0/2.  Физическая спектральная плотность в полосе частот от 0 до равна N0 (рис. 3.6). Белый шум имеет корреляционную функцию

                                               (3.40)

где () - дельта - функция, равная нулю при 0 и обращающаяся в бесконечность при = 0. Корреляционной функции (3.40) соответствует спектральная плотность шума Sп() = N0/2. Математическое ожидание белого шума <n(t)> считается равным нулю.

Рис. 3.6

Таким образом, при решении задач синтеза будем предполагать, что полезный сигнал s(t,) принимается на фоне аддитивного белого шума n(t) со следующими характеристиками:

                          (3.41)

где угловые скобки означают операцию вычисления математического ожидания.

Для гауссовского белого шума в качестве n-мерной плотности вероятности можно использовать функционал плотности вероятности вида

                                     ,                                     (3.42)

где k – коэффициент нормировки.

Хотя белый шум является абстрактной математической моделью, он широко используется в теоретических расчетах при исследовании узкополосных радиотехнических цепей, когда на них действует широкополосный шум, имеющий в полосе пропускания цепи постоянную спектральную плотность. Именно к такому виду задач сводится воздействие широкополосного шума транзисторов, ламп, сопротивлений на узкополосные радиотехнические цепи. В этом случае использование белого шума позволяет получить достаточно просто необходимые расчетные формулы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71917. Судебная система Российской Федерации, раскрытие понятия и ее основных признаков 100.5 KB
  К гражданским судам относятся верховные суды республик краевые областные городов федерального значения суды автономных округов и областей районные городские суды. Военные суды создаются по территориальному принципу по месту дислокации войск и флотов: окружные флотские и гарнизонные.
71918. Управление трафиком в сетях MPLS 55 KB
  Традиционно главными требованиями предъявляемыми к технологии магистральной сети были высокая пропускная способность малое значение задержки и хорошая масштабируемость. Для решения возникающих задач и разрабатывается архитектура MPLS которая обеспечивает построение магистральных сетей...
71919. Система лицензирования услуг связи 137.02 KB
  Согласно последним провайдерам необходимо обеспечить возможность начинать хозяйственную деятельность после сообщения о намерении работать в сфере телекоммуникаций а получать индивидуальные лицензии следует лишь при распределении ограниченного радиочастного или номерного ресурса.
71920. Освіта в Іспанії та Італії 123 KB
  Чималі мовні і культурні відмінності між регіонами країни, мовою якої став кастільський діалект (літературна іспанська). Кілька регіонів (Каталанія, Валенсія, баскська провінція тощо) мають свої мови за другу офіційну мову. Майже 85% населення — католики, представників інших релігій мало.
71921. СПОСОБЫ ЗАЩИТЫ ОТКОСОВ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА ОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ ДОЖДЕВЫХ И ПАВОДКОВЫХ ВОД 2.55 MB
  Для защиты земляного полотна от воздействия атмосферных в том числе паводковых вод от его размыва ими и инфильтрации воды в грунт в первую очередь осуществляют планировку всех поверхностей земляного полотна полосы отвода берм, резервов кавальеров водосборно-водоотводных устройств и пр.
71922. Методы очистки вод от нитратов и нитритов 115 KB
  Огромное значение вода имеет в промышленном и сельскохозяйственном производстве. Общеизвестна необходимость ее для бытовых потребностей человека, всех растений и животных. Для многих живых существ она служит средой обитания.
71923. Екологічный туризм 26.96 KB
  У більшості країн світу туризм відіграє значну роль в економіці, стимулювання соціального розвитку регіонів, надходження коштів до державної скарбниці. На частку туризму припадає близько 10 відсотків світового валового національного продукту, світових інвестицій...
71924. Зоны генерации отражательного клистрона 314 KB
  Зависимость от частоты называется фазочастотной характеристикой резонатора рис. Вблизи собственной частоты резонатора зависимость от очень сильная и тем сильнее чем выше добротность резонатора.
71925. Артеріальна гіпотензія 21.87 KB
  Артеріальна гіпотонія або гіпотонія зниження систолічного та діастолічного артеріального тиску нижче нормального рівня. Артеріальна гіпотонія за механізмом розвитку тривалістю клінічними проявами симптом вкрай неоднорідний.