40158

ВРЕМЕННОЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 справедливы в полной мере если xt есть реализация случайного процесса t. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях заключающейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случайного процесса t если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Требуется найти математическое ожидание t и корреляционную функцию...

Русский

2013-10-15

1.39 MB

31 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

ВРЕМЕННОЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ

СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Особенности  анализа линейных систем при случайных воздействиях

Линейной системой называют систему, для которой применим принцип суперпозиции, состоящий в том, что отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. Различают линейные системы с сосредоточенными и распределенными, постоянными и переменными параметрами. В дальнейшем для определенности будем рассматривать линейные системы с сосредоточенными постоянными параметрами. Примером такой системы является линейная цепь, составленная из элементов, параметры которых (сопротивление R, индуктивность L, ёмкость С) постоянны.

Основная задача анализа линейной электрической цепи состоит в нахождении отклика y(t) цепи на произвольное воздействие x(t). Связь между x = x(t) и y  = y(t) в общем виде устанавливается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

           (4.1)

решение которого при заданных начальных условиях определяет явную функциональную связь между x(t) и y(t). При этом порядок уравнения и величины коэффициентов определяются схемой цепи.

Уравнение (4.1) устанавливает связь между x(t) и y(t) в неявной форме. Чтобы получить явную форму связи, необходимо решить уравнение (4.1) для каждого конкретного воздействия. Эту трудность можно обойти в том смысле, если решить это уравнение один раз для воздействия в виде дельта-функции x(t) = (t). Полученное решение, в данном случае определяет импульсную характеристику цепи y(t) = h(t).

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:

    

Пусть имеется некоторая непрерывная функция  f(t), тогда

.

Импульсная характеристика h(t) – это отклик линейной цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде дельта-функции. Зная h(t), можно записать отклик y(t) в виде интеграла свертки h(t) с x(t):

     (4.2)

или в другой форме        

,           (4.3)

где предполагается, что воздействие x(t) подано на вход цепи в момент t = 0, то есть нижний предел интегрирования соответствует моменту подачи входного воздействия, а верхний предел интегрирования t соответствует моменту, при котором ищется отклик y(t), t  > 0.

Выражения (4.1), (4.2), (4.3) справедливы в полной мере, если x(t) есть реализация случайного процесса  (t). В этом случае эти выражения позволяют найти реализацию y(t) как отклика на конкретную реализацию x(t).

Если же в формулах (4.1), (4.2), (4.3) на место x(t) поставить входной случайный процесс  =(t), то на выходе, то есть на месте y(t), будет выходной случайный процесс   = (t). Тогда указанные формулы:

    (4.4)

     (4.5)

     (4.6)

устанавливают только функциональную связь между  (t) и  (t). Особенность заключается в том, что эти формулы не могут использоваться для нахождения (t), так как (t) не задаётся конкретной функцией, а представляет собой совокупность реализаций, одна из которых проявляется. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях, заключающейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случайного процесса (t), если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Так как все зависимости (t), (t), h(t) в формулах (4.4), (4.5), (4.6) заданы во временной области, то анализ цепи с их использованием определяет вероятностный анализ линейных систем во временной области.

4.2. Вычисление математического ожидания и корреляционной функции на выходе линейной системы

Пусть линейная цепь задана своей импульсной характеристикой h(t). На вход цепи, начиная с момента времени t = 0, подаётся нестационарный процесс с математическим ожиданием (t) и корреляционной функцией . Требуется найти математическое ожидание (t) и корреляционную функцию  выходного процесса  (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть связь между (t) и (t) определяется в соответствии с формулой (4.5) выражением

В этом случае имеем

  

так что

       (4.7)

где символ интегрирования по времени  вынесен за знак оператора математического ожидания <•>, который определяет также интегрирование, но по ансамблю, а интегралы, определяющие интегрирование по различным аргументам, можно менять местами. Кроме того, множитель  вынесен за оператор <•> как детерминированный. Таким образом, внутри оператора <•> остался только множитель , означающий входной случайный процесс, при этом

Из выражения (4.7) следует, что математическое ожидание (t) определяется в виде формулы интеграла свертки (4.7).

Если процесс (t) стационарный, то (t) = = const  и  справедливо соотношение

          (4.8)

из которого следует, что (t) пропорционально переходной характеристике линейной цепи, так как g(t) есть переходная характеристика цепи, определяющая отклик цепи на входное воздействие в виде единичной функции. Если входной процесс имеет =0, то выходной процесс имеет нулевое математическое ожидание, m=0.  Если же m = const и отлично от нуля, то при выполнении условия

где a = const,

выходной процесс после затухания переходного процесса, вызванного включением стационарного процесса на входе, становится стационарным с математическим ожиданием, равным

Для  нахождения  воспользуемся формулой (4.6):

.     (4.9)

В этом случае связь между (t) и (t) запишется в виде

       (4.10)

Из левой и правой части равенства (4.9) вычтем соответственно левую и правую части равенства (4.10). После преобразования получим 

       (4.11)

где

  

В свою очередь, по определению имеем

               (4.12)

Подставив формулу (4.11) в выражение (4.12) и применив те же приемы, что и при вычислении математического ожидания (4.7), получим

Таким образом, имеем

    (4.13)

где

Из формулы (4.13) следует, что корреляционная функция выходного процесса определяется как двойная свертка между импульсной характеристикой цепи и корреляционной функцией входного процесса.

Если процесс  (t) стационарный, для которого

то при t1 = t и t2 = t+  из формулы (4.13) имеем

  (4.14)

Заметим, что R (t, t +) зависит от t и t +; даже в случае, если (t2  t1) зависит только от их разности = t2t1 . Из этого следует, что в общем случае при включении на вход стационарного процесса выходной, из-за наличия переходного процесса, является не стационарным.

При   процесс (t) становится стационарным. В этом случае корреляционная функция выходного процесса может быть определена при вычислении предела

     (4.15)

Практически выражения (4.8) и (4.15) становятся справедливыми раньше, чем при , именно после затухания переходных процессов. Например, стационарность выходного процесса по математическому ожиданию в случае цепи первого порядка достигается при  , где   постоянная времени цепи, а по корреляционной функции из-за того, что берется двойная свертка, стационарность процесса достигается в два раза раньше, при

4.3 Вычисление спектральной плотности случайного процесса

на выходе линейной системы

В радиотехнике широкое распространение находит спектральный метод анализа прохождения колебаний через линейные системы. В этом случае основной характеристикой линейной системы является её комплексная частотная характеристика . При известной  и заданном спектре воздействия  спектр отклика находится как произведение

      (4.16)

где , ,  являются соответственно преобразованиями Фурье воздействия х(t), отклика у( t ) и импульсной характеристики системы h(t).

При анализе линейных цепей под детерминированными временными зависимостями x(t), y(t) понимаются напряжения или токи, так что ,  - их соответствующие комплексные спектры. Если же для x(t), y(t) рассматривать энергетические спектры , , определяющие, в зависимости от частоты, среднюю за период мощность спектральных составляющих, отнесенную к единичной полосе частот, то выражение (4.16) для энергетических спектров примет вид

      (4.17)

где  - квадрат модуля комплексной частотной характеристики, определяющий частотную характеристику цепи по мощности.

Заметим, что все частотные функции в формуле (4.17), то есть  являются не комплексными, а действительными неотрицательными функциями.

Если воздействие является случайным процессом  (t), то отклик  (t) также будет случайным. Так как спектральные плотности процессов ,  являются функциями частоты, определяющими среднюю мощность флюктуации, отнесенную к единичной полосе частот, то формула (4.17) будет справедлива и в этом случае. Для стационарных случайных процессов на входе и выходе линейной системы она примет вид

 .                   (4.18)

Строгий математический вывод формулы (4.18) основан на вычислении преобразования Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса, определяемой выражением (4.14) с учетом формулы (4.15).

Если используется частота f, a  спектральные плотности определены для  , то формула (4.18) запишется в виде

 .    (4.19)

Если    входным процессом является белый шум n(t) со спектральной плотностью N0, то

 .    (4.20)

Из выражения (4.20) следует, что спектральная плотность выходного процесса при белом шуме на входе пропорциональна квадрату модуля комплексной частотной характеристики линейной системы.

Введем нормированную комплексную частотную характеристику

    (4.21)

где K0 - максимальное значение характеристики на какой-то определённой частоте, например на f = 0.

Найдем дисперсию выходного процесса  (t), когда на входе линейной цепи действует белый шум.

             (4.22)

В формуле (4.22) интеграл по всем положительным частотам от квадрата нормированной комплексной частотной характеристики цепи определяет шумовую полосу   этой цепи

        (4.23)

Физический смысл  поясняется рис. 4.2. Шумовая полоса  определяет при белом шуме на входе эффективную ширину спектральной плотности выходного процесса. Это означает, что если реальную спектральную плотность  заменить прямоугольной с высотой и основанием прямоугольника, соответственно равными N0K02  и , то дисперсия на выходе процесса будет в обоих случаях одинакова (рис. 4.2, а). При использовании нормированной  это соответствует тому, что площадь прямоугольника с высотой и основанием, равными соответственно 1 и , равна площади под кривой  для .

Рис. 4.2

4.4 Нормализация случайных процессов в узкополосных системах

Поставим задачу определить одномерную плотность вероятности (t) на выходе линейной системы, если известна одномерная плотность вероятности (х) случайного процесса на входе и определена импульсная характеристика системы h(t), длительность огибающей которой характеризуется постоянной времени  (рис.4.3). Отличие  от нуля соответствует инерционной линейной системе. Для цепи первого порядка  совпадает с постоянной времени цепи.

Рис 4.3

Связь между (t) и  (t) определяется выражением (4.8), которое для удобства получения выводов запишем в дискретной форме, заменив интеграл суммой:

    (4.24)

где  t - малый по сравнению с  интервал времени, определяющий шаг дискретизации;  число всех дискретных отчетов в течение времени , когда огибающая h(t) отлична от нуля.

Рассмотрим три случая.

1. Пусть процесс (t) является гауссовским. В этом случае согласно (4.24) случайный процесс (t) представляется в виде суммы гауссовских величин (), каждая из которых умножается на детерминированный множитель . Из теории вероятностей известно, что сумма гауссовских величин есть гауссовская величина. Это означает, что при гауссовском входном процессе (t) процесс на выходе (t) тоже является гауссовским, но с характеристиками, отличными от характеристик (t). Например, (t) и   определяются формулами (4.7) и (4.13).

Таким образом, линейная система инвариантна по отношению к гауссовскому распределению, то есть она сохраняет закон распределения процесса на выходе, если на входе действует гауссовский процесс. Линейная система в результате преобразования входного процесса только изменяет его числовые характеристики.

2. Случайный процесс (t) распределен по произвольному закону, но его интервал корреляции  весьма мал по сравнению с длительностью переходной характеристики системы:

  .            (4.25)

В этом случае согласно (4.24), если выбрать  , выходной процесс (t) можно рассматривать как сумму некоррелированных случайных величин , имеющих одно и то же распределение, причем каждое слагаемое суммы дополнительно умножается на детерминированный множитель

Здесь важно то, что из-за выполнения условия (4.25) число слагаемых в сумме (4.24) весьма велико, так как

       (4.26)

Из теории вероятностей согласно центральной предельной теореме известно, что сумма большого числа независимых слагаемых с одним и тем же законом распределения имеет гауссовское распределение. Это означает, что если независимость слагаемых приближенно заменить их некоррелированностью, то процесс (t) будет стремиться иметь гауссовское (нормальное) распределение тем точнее, чем сильнее будет выполняться условие (4.25). В этом проявляется суть нормализации случайных процессов инерционными системами.

Этот же вывод можно сформулировать на частотном языке. Учитывая, что длительность переходной характеристики  обратно пропорциональна полосе пропускания цепи , а интервал корреляции входного процесса   обратно пропорционален эффективной ширине спектра этого процесса ,  условие (4.25) можно записать в виде

  .    (4.27)

Таким образом, если линейная система или электрическая цепь является узкополосной по отношению к входному процессу, то закон распределения случайного процесса на выходе системы приближается к гауссовскому закону тем точнее, чем сильнее выполняется условие узкополосности (4.27).

3. Если плотность вероятности входного процесса (x) отлична от гауссовского и условие узкополосности линейной системы не выполняется, то в общем случае сделать вывод о распределении выходного процесса нельзя. Необходимо исследовать выражение (4.24) для конкретного выходного процесса и конкретной линейной системы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75318. Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии 46.5 KB
  Проблема генезиса феодализма в отечественной и зарубежной историографии. Проблема генезиса феодализма и связанный с нею вопрос о путях складывания феодально зависимого крестьянства представляет трудность и с источниковедческой и с теоретической точек зрения. В советской историографии становление феодализма рассматривалось в первую очередь в аспекте вскрытия сдвигов в производительных силах в отношениях собственности...
75319. Образование государства и возникновение писаного права у франков 38.5 KB
  Образование государства и возникновение писаного права у франков. В исторических памятниках имя франков появилось начиная с III в. Франки распадались на две большие ветви приморских или салических франков от латинского слова slum что значит море живших у устья Рейна и прибрежных или рипуарских франков от латинского слова rip что значит берег живших южнее по берегам Рейна и Мааса. Из вождей франков известен Меровей при котором франки сражались против Аттилы на Каталаунских полях 451 г.
75320. Рост крупного землевладения и ослабление центральной власти у франков при преемниках Хлодвига. Объединение страны майордомами Австразии 33.5 KB
  После смерти Хлодвига началось дробление королевства. намечается обособление самостоятельных политических единиц в составе Франкского королевства: Нейстрии СевероЗападной Галлии с центром в Париже; Австразии северовосточной части Франкского королевства включавшей исконные франкские области по обоим берегам Рейна и Мааса; Бургундии территории бывшего королевства бургундов. В Нейстрии которая к моменту франкского завоевания была сильно романизована галлоримляне составлявшие и после завоевания большинство населения раньше чем в...
75321. Франция в IX-XI веках 39.5 KB
  В начале этого периода в стране имелось еще много крестьян не находившихся в какойлибо зависимости от частных лиц и подчинявшихся непосредственно короне. Вместе с тем возрастало число крестьян находившихся в личнонаследственной зависимости сервов и колонов а также жителей иммунитетных территорий. В результате все жители округи будь они в личной либо поземельной зависимости от данного или какогонибудь другого феодала или нет становились его людьми в судебноадминистративном отношении. Для по земельно и лично зависимых крестьян...
75322. Англия в XI-XII вв. Завершение феодализации английского общества 47 KB
  в Англии в основном уже господствовали феодальные порядки но процесс феодализации еще не завершился. Вильгельм со своим войском на больших ладьях переплыл ЛаМанш и высадился на юге Англии в бухте Павенси. Во главе последнего выступил избранный советом мудрых новый король Англии Гарольд. Герцог Нормандский же двинулся к Лондону захватил его и стал королем Англии под именем Вильгельма I Завоевателя.
75323. Особенности социально-экономического развития Италии в конце V- сер. XI веков 51 KB
  Особенности социальноэкономического развития Италии в конце V сер. Подвластное лангобардам коренное население Италии оставалось в сфере действия римского права. империи но не принесло Италии политического единства. Карл Великий изменил территориальноадминистративное деление своих владений в Италии: вместо герцогств были образованы 20 графств отданных в управление представителям франкской знати.
75324. Основные черты феодального строя в Западной Европе к концу XI века 32 KB
  Господствует феодальная земельная собственность в вид вотчины в сочетании с мелким индивидуальным крестьянским хозяйством. Основная масса крестьян находится уже в той или иной форме зависимости. На раннем этапе развития феодализма господствовало натуральное хозяйство; обмен был незначителен торговые связи не развиты; У лично зависимых крестьян особенно в крупных поместьях преобладала отработочная рента. Широко распространяется также натуральный оброк с крестьян находившихся в более легкой зависимости.
75325. Население и внешний вид средневековых городов. Борьба городов с сеньорами 36 KB
  В Западной Европе средневековые города раньше всего появились в Италии Венеция Генуя Пиза Неаполь Амальфи и др. Крестьяне бежавшие от своих господ или уходившие в города на условиях выплаты господину оброка становясь горожанами постепенно освобождались отличной зависимости феодалу. Лишь в дальнейшем в городах появились купцы новый общественный слой сферой деятельности которого являлось уже не производство а только обмен товаров. В отличие от странствующих купцов существовавших в феодальном обществе в предшествующий период и...