40158

ВРЕМЕННОЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

3 справедливы в полной мере если xt есть реализация случайного процесса t. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях заключающейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случайного процесса t если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Требуется найти математическое ожидание t и корреляционную функцию...

Русский

2013-10-15

1.39 MB

29 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

ВРЕМЕННОЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ

СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Особенности  анализа линейных систем при случайных воздействиях

Линейной системой называют систему, для которой применим принцип суперпозиции, состоящий в том, что отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. Различают линейные системы с сосредоточенными и распределенными, постоянными и переменными параметрами. В дальнейшем для определенности будем рассматривать линейные системы с сосредоточенными постоянными параметрами. Примером такой системы является линейная цепь, составленная из элементов, параметры которых (сопротивление R, индуктивность L, ёмкость С) постоянны.

Основная задача анализа линейной электрической цепи состоит в нахождении отклика y(t) цепи на произвольное воздействие x(t). Связь между x = x(t) и y  = y(t) в общем виде устанавливается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

           (4.1)

решение которого при заданных начальных условиях определяет явную функциональную связь между x(t) и y(t). При этом порядок уравнения и величины коэффициентов определяются схемой цепи.

Уравнение (4.1) устанавливает связь между x(t) и y(t) в неявной форме. Чтобы получить явную форму связи, необходимо решить уравнение (4.1) для каждого конкретного воздействия. Эту трудность можно обойти в том смысле, если решить это уравнение один раз для воздействия в виде дельта-функции x(t) = (t). Полученное решение, в данном случае определяет импульсную характеристику цепи y(t) = h(t).

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:

    

Пусть имеется некоторая непрерывная функция  f(t), тогда

.

Импульсная характеристика h(t) – это отклик линейной цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде дельта-функции. Зная h(t), можно записать отклик y(t) в виде интеграла свертки h(t) с x(t):

     (4.2)

или в другой форме        

,           (4.3)

где предполагается, что воздействие x(t) подано на вход цепи в момент t = 0, то есть нижний предел интегрирования соответствует моменту подачи входного воздействия, а верхний предел интегрирования t соответствует моменту, при котором ищется отклик y(t), t  > 0.

Выражения (4.1), (4.2), (4.3) справедливы в полной мере, если x(t) есть реализация случайного процесса  (t). В этом случае эти выражения позволяют найти реализацию y(t) как отклика на конкретную реализацию x(t).

Если же в формулах (4.1), (4.2), (4.3) на место x(t) поставить входной случайный процесс  =(t), то на выходе, то есть на месте y(t), будет выходной случайный процесс   = (t). Тогда указанные формулы:

    (4.4)

     (4.5)

     (4.6)

устанавливают только функциональную связь между  (t) и  (t). Особенность заключается в том, что эти формулы не могут использоваться для нахождения (t), так как (t) не задаётся конкретной функцией, а представляет собой совокупность реализаций, одна из которых проявляется. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях, заключающейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случайного процесса (t), если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Так как все зависимости (t), (t), h(t) в формулах (4.4), (4.5), (4.6) заданы во временной области, то анализ цепи с их использованием определяет вероятностный анализ линейных систем во временной области.

4.2. Вычисление математического ожидания и корреляционной функции на выходе линейной системы

Пусть линейная цепь задана своей импульсной характеристикой h(t). На вход цепи, начиная с момента времени t = 0, подаётся нестационарный процесс с математическим ожиданием (t) и корреляционной функцией . Требуется найти математическое ожидание (t) и корреляционную функцию  выходного процесса  (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть связь между (t) и (t) определяется в соответствии с формулой (4.5) выражением

В этом случае имеем

  

так что

       (4.7)

где символ интегрирования по времени  вынесен за знак оператора математического ожидания <•>, который определяет также интегрирование, но по ансамблю, а интегралы, определяющие интегрирование по различным аргументам, можно менять местами. Кроме того, множитель  вынесен за оператор <•> как детерминированный. Таким образом, внутри оператора <•> остался только множитель , означающий входной случайный процесс, при этом

Из выражения (4.7) следует, что математическое ожидание (t) определяется в виде формулы интеграла свертки (4.7).

Если процесс (t) стационарный, то (t) = = const  и  справедливо соотношение

          (4.8)

из которого следует, что (t) пропорционально переходной характеристике линейной цепи, так как g(t) есть переходная характеристика цепи, определяющая отклик цепи на входное воздействие в виде единичной функции. Если входной процесс имеет =0, то выходной процесс имеет нулевое математическое ожидание, m=0.  Если же m = const и отлично от нуля, то при выполнении условия

где a = const,

выходной процесс после затухания переходного процесса, вызванного включением стационарного процесса на входе, становится стационарным с математическим ожиданием, равным

Для  нахождения  воспользуемся формулой (4.6):

.     (4.9)

В этом случае связь между (t) и (t) запишется в виде

       (4.10)

Из левой и правой части равенства (4.9) вычтем соответственно левую и правую части равенства (4.10). После преобразования получим 

       (4.11)

где

  

В свою очередь, по определению имеем

               (4.12)

Подставив формулу (4.11) в выражение (4.12) и применив те же приемы, что и при вычислении математического ожидания (4.7), получим

Таким образом, имеем

    (4.13)

где

Из формулы (4.13) следует, что корреляционная функция выходного процесса определяется как двойная свертка между импульсной характеристикой цепи и корреляционной функцией входного процесса.

Если процесс  (t) стационарный, для которого

то при t1 = t и t2 = t+  из формулы (4.13) имеем

  (4.14)

Заметим, что R (t, t +) зависит от t и t +; даже в случае, если (t2  t1) зависит только от их разности = t2t1 . Из этого следует, что в общем случае при включении на вход стационарного процесса выходной, из-за наличия переходного процесса, является не стационарным.

При   процесс (t) становится стационарным. В этом случае корреляционная функция выходного процесса может быть определена при вычислении предела

     (4.15)

Практически выражения (4.8) и (4.15) становятся справедливыми раньше, чем при , именно после затухания переходных процессов. Например, стационарность выходного процесса по математическому ожиданию в случае цепи первого порядка достигается при  , где   постоянная времени цепи, а по корреляционной функции из-за того, что берется двойная свертка, стационарность процесса достигается в два раза раньше, при

4.3 Вычисление спектральной плотности случайного процесса

на выходе линейной системы

В радиотехнике широкое распространение находит спектральный метод анализа прохождения колебаний через линейные системы. В этом случае основной характеристикой линейной системы является её комплексная частотная характеристика . При известной  и заданном спектре воздействия  спектр отклика находится как произведение

      (4.16)

где , ,  являются соответственно преобразованиями Фурье воздействия х(t), отклика у( t ) и импульсной характеристики системы h(t).

При анализе линейных цепей под детерминированными временными зависимостями x(t), y(t) понимаются напряжения или токи, так что ,  - их соответствующие комплексные спектры. Если же для x(t), y(t) рассматривать энергетические спектры , , определяющие, в зависимости от частоты, среднюю за период мощность спектральных составляющих, отнесенную к единичной полосе частот, то выражение (4.16) для энергетических спектров примет вид

      (4.17)

где  - квадрат модуля комплексной частотной характеристики, определяющий частотную характеристику цепи по мощности.

Заметим, что все частотные функции в формуле (4.17), то есть  являются не комплексными, а действительными неотрицательными функциями.

Если воздействие является случайным процессом  (t), то отклик  (t) также будет случайным. Так как спектральные плотности процессов ,  являются функциями частоты, определяющими среднюю мощность флюктуации, отнесенную к единичной полосе частот, то формула (4.17) будет справедлива и в этом случае. Для стационарных случайных процессов на входе и выходе линейной системы она примет вид

 .                   (4.18)

Строгий математический вывод формулы (4.18) основан на вычислении преобразования Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса, определяемой выражением (4.14) с учетом формулы (4.15).

Если используется частота f, a  спектральные плотности определены для  , то формула (4.18) запишется в виде

 .    (4.19)

Если    входным процессом является белый шум n(t) со спектральной плотностью N0, то

 .    (4.20)

Из выражения (4.20) следует, что спектральная плотность выходного процесса при белом шуме на входе пропорциональна квадрату модуля комплексной частотной характеристики линейной системы.

Введем нормированную комплексную частотную характеристику

    (4.21)

где K0 - максимальное значение характеристики на какой-то определённой частоте, например на f = 0.

Найдем дисперсию выходного процесса  (t), когда на входе линейной цепи действует белый шум.

             (4.22)

В формуле (4.22) интеграл по всем положительным частотам от квадрата нормированной комплексной частотной характеристики цепи определяет шумовую полосу   этой цепи

        (4.23)

Физический смысл  поясняется рис. 4.2. Шумовая полоса  определяет при белом шуме на входе эффективную ширину спектральной плотности выходного процесса. Это означает, что если реальную спектральную плотность  заменить прямоугольной с высотой и основанием прямоугольника, соответственно равными N0K02  и , то дисперсия на выходе процесса будет в обоих случаях одинакова (рис. 4.2, а). При использовании нормированной  это соответствует тому, что площадь прямоугольника с высотой и основанием, равными соответственно 1 и , равна площади под кривой  для .

Рис. 4.2

4.4 Нормализация случайных процессов в узкополосных системах

Поставим задачу определить одномерную плотность вероятности (t) на выходе линейной системы, если известна одномерная плотность вероятности (х) случайного процесса на входе и определена импульсная характеристика системы h(t), длительность огибающей которой характеризуется постоянной времени  (рис.4.3). Отличие  от нуля соответствует инерционной линейной системе. Для цепи первого порядка  совпадает с постоянной времени цепи.

Рис 4.3

Связь между (t) и  (t) определяется выражением (4.8), которое для удобства получения выводов запишем в дискретной форме, заменив интеграл суммой:

    (4.24)

где  t - малый по сравнению с  интервал времени, определяющий шаг дискретизации;  число всех дискретных отчетов в течение времени , когда огибающая h(t) отлична от нуля.

Рассмотрим три случая.

1. Пусть процесс (t) является гауссовским. В этом случае согласно (4.24) случайный процесс (t) представляется в виде суммы гауссовских величин (), каждая из которых умножается на детерминированный множитель . Из теории вероятностей известно, что сумма гауссовских величин есть гауссовская величина. Это означает, что при гауссовском входном процессе (t) процесс на выходе (t) тоже является гауссовским, но с характеристиками, отличными от характеристик (t). Например, (t) и   определяются формулами (4.7) и (4.13).

Таким образом, линейная система инвариантна по отношению к гауссовскому распределению, то есть она сохраняет закон распределения процесса на выходе, если на входе действует гауссовский процесс. Линейная система в результате преобразования входного процесса только изменяет его числовые характеристики.

2. Случайный процесс (t) распределен по произвольному закону, но его интервал корреляции  весьма мал по сравнению с длительностью переходной характеристики системы:

  .            (4.25)

В этом случае согласно (4.24), если выбрать  , выходной процесс (t) можно рассматривать как сумму некоррелированных случайных величин , имеющих одно и то же распределение, причем каждое слагаемое суммы дополнительно умножается на детерминированный множитель

Здесь важно то, что из-за выполнения условия (4.25) число слагаемых в сумме (4.24) весьма велико, так как

       (4.26)

Из теории вероятностей согласно центральной предельной теореме известно, что сумма большого числа независимых слагаемых с одним и тем же законом распределения имеет гауссовское распределение. Это означает, что если независимость слагаемых приближенно заменить их некоррелированностью, то процесс (t) будет стремиться иметь гауссовское (нормальное) распределение тем точнее, чем сильнее будет выполняться условие (4.25). В этом проявляется суть нормализации случайных процессов инерционными системами.

Этот же вывод можно сформулировать на частотном языке. Учитывая, что длительность переходной характеристики  обратно пропорциональна полосе пропускания цепи , а интервал корреляции входного процесса   обратно пропорционален эффективной ширине спектра этого процесса ,  условие (4.25) можно записать в виде

  .    (4.27)

Таким образом, если линейная система или электрическая цепь является узкополосной по отношению к входному процессу, то закон распределения случайного процесса на выходе системы приближается к гауссовскому закону тем точнее, чем сильнее выполняется условие узкополосности (4.27).

3. Если плотность вероятности входного процесса (x) отлична от гауссовского и условие узкополосности линейной системы не выполняется, то в общем случае сделать вывод о распределении выходного процесса нельзя. Необходимо исследовать выражение (4.24) для конкретного выходного процесса и конкретной линейной системы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38640. Микропроцессорная система GPS трекинга 11.64 MB
  Благодаря наличию тревожной кнопки «SOS» вы всегда сможете оставаться на связи и прийти на помощь человеку в трудный момент. Современные возможности геопозиционирования позволяют определять местоположение прибора с высокой точностью до трех метров независимо от того, насколько далеко он находится. Приобретая такой маячок, вы приобретаете спокойствие за своих родных, близких, сотрудников и имущество.
38641. Варианты планировки и обустройства комнаты проживания в условиях детского дома на примере детского дома №6 г. ТОльятти 23.41 MB
  На сегодняшний день общепринятыми являются два понятия: сирота (сиротство) и социальный сирота (социальное сиротство). Дети-сироты - это дети в возрасте до 18 лет, у которых умерли оба или единственный родитель. Категория «социального сиротства» включает детей, которые имеют биологических родителей, но они по каким-то причинам не занимаются воспитанием ребенка и не заботятся о нем. Во всех этих случаях заботу о ребенке берет на себя государство.
38643. Анализ выявления преимуществ и недостатков в деятельности менеджера по управлению персоналом в Ростовском филиале ОАО «Ростелеком» 368 KB
  1 Сущность цели и принципы системы управления персоналом 1.2 Основные задачи и этапы управления персоналом. В условиях рыночной экономики необходимо постоянно совершенствовать систему организации труда и управления персоналом что бы достигнуть социальноэкономической стабильности в стране. Поэтому актуальность совершенствования методов управления персоналом в организации все более возрастает.
38644. ПОДГОТОВКА СПОРТСМЕНОВ 15-17 ЛЕТ ПО СИЛОВОМУ ТРОЕБОРЬЮ 315 KB
  Упражнения со штангой и тяжестями как эффективное средство развития силовых возможностей привлекают многих молодых людей как мужского и женского пола а также людей среднего и старшего возраста. В силовом троеборье пауэрлифтинге соревнования проходят в трех упражнениях приседании со штангой на спине жиме штанги лежа и становой тяге. Предполагается что повышение силовых способностей юношей 1517 лет занимающихся силовым троеборьем будет проходить более эффективно если применять упражнения в становой тяге основанные на...
38645. Элементы электронного учебно-методического комплекса курса «Популяционная экология» 1.03 MB
  Методики обучения с использованием персонального компьютера позволяют изучать учебный текст в необходимом студенту темпе, т.е. обеспечивают индивидуальное восприятие материала. При этом используется возможность «пошаговой» проработки материала, что особенно важно при различной степени средней базовой подготовленности студентов. Студент, работая на персональном компьютере, может сам наблюдать за процессом усвоения знаний, видеть свои ошибки и оценку своей работы
38646. Анализ финансовых услуг инвестиционных компаний на рынке ценных бумаг 1.17 MB
  Профессиональная и непрофессиональная деятельность инвестиционных компаний на рынке ценных бумаг Универсальный сервис как фактор конкурентоспособности инвестиционных компаний на фондовом рынке Анализ финансовых услуг инвестиционных компаний на рынке...
38647. Совершенствование системы управления персоналом на ООО «Вирма» 3.84 MB
  Понятие и структура персонала предприятия 7 1. Поэтому на каждом предприятии должна разрабатываться и осуществляться кадровая политика которая должна быть направлена на достижение следующих целей: создание здорового и работоспособного коллектива; повышение уровня квалификации работников предприятия; создание трудового коллектива оптимального по половой и возрастной структуре а также по уровню квалификации; создание высокопрофессионального руководящего звена способного гибко реагировать на изменяющиеся обстоятельства...