40159

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАДИОПРИЕМ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Введение в теорию оптимального радиоприема ОПТИМАЛЬНЫЙ РАДИОПРИЕМ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Помехоустойчивость и ее основные задачи Особенность радиоприёма состоит в том что наряду с сигналами через антенную систему в приёмное устройство поступают разнообразные помехи. Количественно помехоустойчивость оценивается с помощью различных показателей использующих вероятностное описание помех и сигнала. Например применяются такие показатели как отношение сигнал шум на входе и выходе приёмного устройства вероятность правильного обнаружения...

Русский

2013-10-15

548 KB

4 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1

Тема 2. Введение в теорию оптимального радиоприема

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАДИОПРИЕМ

КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Помехоустойчивость и ее основные задачи

Особенность радиоприёма состоит в том, что наряду с сигналами через антенную систему в приёмное устройство поступают разнообразные помехи. Помехи искажают сигнал и тем самым препятствуют получению достоверной информации.

Способность радиотехнической системы сохранять свои функции неизменными или изменяющимися в допустимых пределах при действии помех называется помехоустойчивостью. Количественно помехоустойчивость оценивается с помощью различных показателей, использующих вероятностное описание помех и сигнала. Например, применяются такие показатели, как отношение сигнал/шум на входе и выходе приёмного устройства, вероятность правильного обнаружения сигнала, среднее квадратическое отклонение ошибки определяемого параметра сигнала. Конкретный показатель помехоустойчивости выбирается из удобства решения задачи.

В теории помехоустойчивости различают две основные задачи: задачу анализа и задачу синтеза.

Задача анализа посвящена расчёту показателей помехоустойчивости существующих (разработанных) радиотехнических систем. В этом случае, полагая известными вероятностное описание сигнала и помехи на входе, определяют вероятностные характеристики выходного процесса, а по нему - показатели помехоустойчивости. Эта задача, по своей сути, сводится к анализу прохождения случайного процесса через линейные и нелинейные цепи, из которых состоит радиотехническая система. Способы такого анализа рассматривались в лекции  4.

Задача синтеза посвящена определению структурной схемы радиотехнической системы или, в более простом варианте, структурной схемы радиоприёмного устройства, которое обладало бы наилучшими, или оптимальными (от латинского optimus – «наилучший»), показателями помехоустойчивости при заданном предназначении устройства и при известном вероятностном описании сигнала и помехи на входе. В этом случае конкретный вид сигнала и помехи, который наблюдается в определённое время на входе приемника и который, в принципе, может быть зафиксирован записывающей аппаратурой, рассматривается как выборка из того случайного процесса, условное вероятностное описание которого предполагается известным. Поэтому задачи синтеза, называемые также задачами оптимального радиоприёма, следует рассматривать как дальнейшее развитие таких задач математической статистики, как задача проверки гипотез и задача оценки параметров распределения.

Решение задачи синтеза интересно как с точки зрения нахождения способа обработки наблюдаемой выборки, чтобы обосновать структурную схему того или иного устройства, так и по полученным результатам помехоустойчивости оптимального устройства, ибо эти результаты следует рассматривать как потенциальные характеристики помехоустойчивости. Дело в том, что любое оптимальное устройство на практике реализуется лишь с той или иной степенью приближения. Знание потенциальных характеристик указывает в этом случае на предельно достижимый уровень помехоустойчивости. И если реальная помехоустойчивость близка к потенциальной, то в этом случае нет смысла добиваться еще большего приближения реального устройства к оптимальному.

В научно-технической литературе задача оптимального приема делится на четыре частные задачи:

1. Задача обнаружения сигнала, в которой требуется наилучшим образом по заданному критерию оптимальности на основании наблюдения процесса ответить на вопрос, содержит ли наблюдаемый процесс сигнал вместе с помехой или является только помехой.

2. Задача различения сигналов, в которой наблюдаемый процесс может вместе с помехой содержать один из двух взаимно исключающих сигналов, но какой именно, неизвестно. Требуется по заданному критерию оптимальности наилучшим образом ответить на вопрос, какой именно сигнал вместе с помехой присутствует в наблюдаемом процессе.

3. Задача оценки параметров сигнала, в которой считается, что в наблюдаемом процессе вместе с помехой существует сигнал с одним или несколькими неизвестными параметрами и требуется наилучшим образом по заданному критерию оценить эти неизвестные параметры. К этой задаче тесно примыкает задача разрешения сигнала, когда считается, что вместе с помехой в наблюдаемом процессе могут существовать один или два сигнала, неизвестные параметры которых незначительно отличаются между собой. Однако сколько этих сигналов - один или два - заранее неизвестно. Требуется, увеличивая различие между параметрами сигнала, определить то наименьшее различие, при котором наступает уверенное разрешение сигналов.

4. Задача оптимальной фильтрации, в которой считается, что в наблюдаемом процессе существует вместе с помехой сигнал, у которого какой-либо параметр в соответствии со случайным законом модуляции изменяется во времени. Требуется в каждый момент времени дать наилучшую оценку меняющемуся параметру по заданному критерию оптимальности. Отличие от задачи оценки параметра здесь состоит в том, что этот параметр является случайной функцией времени, в то время как в предыдущей задаче параметр есть случайная величина, но постоянная на интервале наблюдения.

5.2 Основные понятия теории статистических решений

5.2.1 Условные плотности вероятности суммы сигнала и шума

В задаче обнаружения подлежащий наблюдению случайный процесс удобно записывать в виде суммы:

       (5.1)

где S(t) - детерминированный сигнал; n(t) - стационарный гауссовский шум с <n(t)> = 0, <n2(t)> = ;  – случайная величина, равная 0, если сигнал отсутствует, и равная 1, если присутствует.

Заметим, что процесс (t), определяемый выражением (5.1), является случайным как из-за случайности шума n(t), так и из-за случайности величины . Последнее обстоятельство приводит к тому, что процесс (t) характеризуется условными плотностями вероятностей: одной при условии, что = 0, а другой - при условии, что = 1.

Если = 0, то равенство (5.1) примет вид   

    (5.2)

В этом случае  условная одномерная плотность вероятности определится в соответствии с формулой для гауссовского распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией   выражением

    (5.3)

где индекс n в (х) означает, что  рассматривается плотность вероятности при условии, что = 0, когда действует только шум.

Если = 1, то равенство (5.1) примет вид

         (5.4)

При детерминированном сигнале процесс (5.4) будет иметь математическое ожидание, равное сигналу:

  (5.5)

В соответствии с этим условная плотность вероятности процесса (5.4) будет определяться выражением, отличающимся от (5.3) только математическим ожиданием

    (5.6)

Найдем условные n-мерные плотности вероятности в предположении, что процесс (t) может наблюдаться на интервале времени [0,Т], а интервал времени корреляции шума равен . Если проводить сечение процесса через интервал , то все сечения

    (5.7)

будут некоррелированными, а та как процесс (t) гауссовский, – независимыми. При этом число независимых сечений ограничивается величиной

    (5.8)

Тогда условные n-мерные плотности вероятности определяются как произведения одномерных (5.3) или (5.6). Соответственно, для =0 и = 1 эти плотности будут равны:

  (5.9)

 (5.10)

где S(ti)  - значение сигнала S(t) в момент определения сечения t = ti ,  i =1 ,2, . . ., n. .

Перейдём к непрерывному времени наблюдения, положив t1 =0, tn = Т. Если n(t) является гауссовским белым шумом, то согласно лекции №3 n-мерная плотность вероятности (5.9) превратится в условный функционал, в котором  суммирование заменяется интегрированием, а последовательный ряд возможных значений (х1, х2, . . . ,хn) вырождается в возможную реализацию x(t) :

      (5.11)

Так как выражение (5.10) отличается от (5.9) только математическим ожиданием, то при белом шуме плотность вероятности (5.10) переходит в условный функционал

    (5.12)

Функционалы (5.11), (5.12) являются полными аналогами условных плотностей вероятности (5.9), (5.10), с той только разницей, что при решении практических задач ответы необходимо получать в виде отношения функционалов, чтобы коэффициент k, который при белом шуме стремится к нулю, сократился.

5.2.2 Функция правдоподобия при дискретном и непрерывном наблюдениях. Корреляционный прием

Выражения (5.9), (5.10) и (5.11), (5.12) можно рассматривать как условные плотности вероятности либо дискретной выборки (x1,x2,...xn) объёма n, либо непрерывной выборки x(t), у которой мерой объёма является время наблюдения Т.

Задачу обнаружения можно свести к задаче оценки параметра . Если определить, что параметр =0, то в соответствии с (5.1) это то же самое, что принять решение о том, что в наблюдаемой реализации процесса  (t) сигнал отсутствует. И наоборот, если определить, что = 1, то это значит принять решение о наличии сигнала S(t) в наблюдаемой реализации процесса (t).

Поэтому если в условные плотности вероятности (5.9), (5.10) поставить на место дискретных аргументов (х12,...,хn) конкретные результаты наблюдений (), то   получим функцию правдоподобия L() при дискретном наблюдении. При этом, так как параметр  может принимать только два значения, то и функция правдоподобия  L() будет состоять из двух значений:

           (5.13)

    (5.14)

Если же в условных функционалах (5.11), (5.12) на место возможной непрерывной реализации x(t) поставить конкретную зафиксированную реализацию x*(t), получим функцию правдоподобия L() для непрерывного времени наблюдения, состоящую из двух значений L(= 0), L(= 1): 

  (5.15)

   (5.16)

В дальнейшем звездочки у  и х*(t) в формулах для простоты написания будем опускать, но всегда будем иметь в виду, что в выражениях для функции правдоподобия L() величины хi и x(t) есть конкретные результаты наблюдений.

В задаче обнаружения при гауссовском шуме обычно используются не сами значения функции правдоподобия L(=0) и L(=1), a логарифм их отношения . Найдем этот логарифм при непрерывном времени наблюдения:

         (5.17)

где  - удельная энергия сигнала.

Полагаем, что отношение сигнал/шум по энергии при белом шуме определяется выражением .

Тогда формулу (5.17) можно записать в виде

ln=ln   (5.18)

Интеграл вида

    (5.19)

называется взаимным корреляционным интегралом между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала.

Математическая операция (5.19) является наиболее существенной для нахождения логарифма отношения правдоподобия, так как отношение сигнал/шум q для полностью известного сигнала и заданного уровня шума N0 определено. В то же время (5.19) является функцией результата наблюдения x(t) и поэтому представляет собой статистику у. Учитывая, что статистика у полностью определяет логарифм отношения правдоподобия, её называют достаточной статистикой.

Радиоприёмник (рис. 5.1), реализующий вычисление взаимного корреляционного интеграла между наблюдаемым процессом x(t) и копией сигнала S(t), называется корреляционным приёмником. Этот приёмник включает в себя гетеродин Г, воссоздающий копию сигнала S(t), перемножитель сигнала S(t) с входным процессом x(t) и интегратор. Результат вычислений получается на выходе интегратора в момент окончания наблюдения. Корреляционный приёмник лежит в основе построения многих оптимальных устройств, синтезируемых на основе решения оптимальных задач радиоприёма.

Рис. 5.1

5.2.3 Апостериорная плотность вероятности

В задаче оценки параметра самой простой моделью сигнала является представление сигнала в виде квазидетерминированного колебания S(t,), у которого известна функциональная зависимость от времени, но неизвестен какой-то параметр  (например, амплитуда, частота или фаза). Этот параметр рассматривается как случайная величина с заданной априорной вероятностью р(), характеризуемой большой дисперсией.

При решении задачи оценки параметра будем считать, что подлежащий наблюдению процесс (t) представляет собой сумму сигнала S(t, ) и шума n(t) с теми же характеристиками, что и в (5.1):

Отличие от (5.1) состоит в том, что здесь уже установлено наличие сигнала. Требуется только за счет наблюдения реализации x(t) процесса (t) уточнить значение параметра . Условная плотность вероятности при непрерывном наблюдении реализации x(t), когда n(t) является гауссовским белым шумом, согласно (5.12) будет

    (5.20)

Отличие (5.20) и (5.12) состоит только в том, что в силу неизвестности параметра , плотность вероятности (5.20) рассматривается как условная относительно . При этом задача оценки параметра сигнала, по существу, сводится к задаче оценки параметра распределения.

Если рассматривать x(t) в формуле (5.20) как результат наблюдения, то функция правдоподобия оцениваемого параметра полностью будет совпадать с выражением (5.20);

      (5.21)

и  можно записать апостериорную плотность вероятности параметра  в виде

(5.22)

где   находится из условия нормировки апостериорной плотности.

Основное свойство апостериорной плотности вероятности (5.22) состоит в том, что она содержит все сведения об оцениваемом параметре , как имеющиеся до наблюдения x(t) в априорной плотности вероятности р(), так и сведения, полученные в результате наблюдения x(t) и содержащиеся в функции правдоподобия L().


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46860. Рыночная система и рыночный механизм. Статистика занятости и безработицы 34.56 KB
  Страховой рынок :экономическая природа. Страховой рынок это форма организации денежных отношений по формированию и распределению страхового фонда для обеспечения страховой защиты общества как совокупность страховых организаций которые принимают участие в оказании соответствующих услуг. Страховой рынок формируется в ходе становления товарного хозяйства и является его неотъемлемым и важным элементом. Страховой рынок предполагает самостоятельность субъектов рыночных отношений их равноправное партнерство по поводу куплипродажи страховой...
46863. Менеджмент в книжном деле 34 KB
  Функциональные области внутренней среды издательства: кадровая обеспечение человеческими ресурсами подготовка оплата условия найма. Важную роль в успешном функционировании внутренней среды издательства играет информация объективно отражающая развитие производственного процесса. Функциональные области внешней среды: социальная рост населения развитие культуры образования и т. Компоненты внешней среды прямого воздействий макросреды: акционеры конкуренты поставщики потребители местные органы правительственные органы.
46866. Учебная деятельность как ведущая деятельность в младшем школьном возрасте 34 KB
  Учебная деятельность как ведущая деятельность в младшем школьном возрасте. Учебная деятельность это деятельность непосредственно направленная на усвоение знаний и умений выработанных человечеством. Учебная деятельность является ведущей деятельностью в младшем школьном возрасте она опосредует всю систему отношений ребенка с обществом в ней формируются не только отдельные психические качества но и личность младшего школьника в целом. Предметом изменений в учебной деятельности становится сам ребенок сам субъект осуществляющий эту...