40161

ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Основные способы записи функций алгебры логики ФАЛ Функции алгебры логики ФАЛ – зависимость выходных переменных Zi выраженная через совокупность входных переменных х1х2хn. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ. 1 Описание ФАЛ в виде таблице истинности табл. Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения: а логическое сложение ИЛИ – дизъюнкция б логическое умножение И – конъюнкция в отрицание инверсия НЕ если х = 1 то ;если х = 0 то Дизъюнктивная нормальная форма ДНФ –...

Русский

2013-10-15

295 KB

5 чел.

7 ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

    

7.1 Позиционная система счисления

 Пример непозиционной системы счисления – Римская система, в которой значение цифры не зависит от местоположение: ХХVIX  везде равно 10. В позиционной системе значимость цифры определяется ее местоположением. Представляется в виде полинома число х

,

где хi – разрядный коэффициент (хi = 0…q-1); qi – весовой коэффициент; q – основание системы счисления (может быть целым и дробным). Наиболее распространена в цифровой технике двоичная система счисления(q = 2) (табл. 7.1).

Существуют также позиционные системы с q =2,8,10 и 16. Переход от системы счисления с меньшим основанием  к системе с большим основанием осуществляется по вышеприведенному выражению.

Пример: Преобразовать двоичное число х2 = 10112 в десятичное х10.

Для q =2   х10=123+ 122 +021 +120 =11

Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим  основанием: а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления ; б)дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления .

Булева алгебра. Буль – ирландский математик, середина 19 в. Служит для описания алгоритмов цифровых устройств. Оперируют логической 1 (около 5 В) и логическим 0 (около 0,2 В).

7.2 Основные способы записи функций алгебры логики (ФАЛ)

         Функции алгебры логики (ФАЛ) – зависимость выходных переменных Zi , выраженная через совокупность входных переменных х12,…хn. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ.

1) Описание ФАЛ в виде таблице истинности  (табл. 7.2).

  1.  Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения:

а) логическое сложение (ИЛИ) – дизъюнкция

б) логическое умножение (И) – конъюнкция

в) отрицание, инверсия (НЕ) если х = 1, то ;если х = 0, то

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – логическая сумма логических произведений, в каждое из которых аргумент входит один раз. ДНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают произведение входных переменных , для которых ФАЛ равна единице, причем переменные , равные нулю , записывают с инверсией. Эти произведения называют конституентами единицы; 2) Логически суммируют все конституенты единицы ДНФ. Полученная суммированием конституент единиц сумма, называется СДНФ – совершенная ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – логическое произведение логических сумм, в каждую из которых аргумент или его инверсия входят один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают суммы входных переменных , для которых ФАЛ равна нулю. При этом переменные, значения которых равны единице, записывают с инверсией. Полученные суммы называют конституентами нуля.

Примеры:

с ДНФ:      

с КНФ:    

  1.  Кубическое представление ФАЛ. При этом набор выходных переменных представляется n – мерным вектором. Вершины этих векторов геометрически могут быть представлены как вершины n – мерного куба (рис. 7.1). Отмечая точками вершины этих векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление в виде куба.

Например, задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7); Дать геометрическое представление в виде куба. Графическое решение задачи представлено на рисунке.

2) Соседние наборы переменных, расположенные на концах ребер куба, отличаются только одной переменной. Каждую вершину куба, в которой функция принимает единичное значение, называют нулевым кубом. Множество нулевых кубов составляет кубический комплекс К0 ФАЛ. Если два нулевых куба комплекса К0 отличаются по одной переменной, для которых ФАЛ равна единице, являются соседними, то они образуют единичный куб. Геометрически это соответствует ребру исходного n – мерного куба (рисунок 7.2 а).

1 – куб записывается последовательностью общих элементов образовавших его 0 – кубов с прочерком совпадающих элементов. Множество единичных кубов образует единичный кубический комплекс К1 .

Если два единичных куба комплекса К1 отличаются только по одной координате  (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб. Геометрически это соответствует грани исходного n – мерного куба (рис. 7.2). 2 – куб записывается последовательностью общих элементов, образовавших его 1 – кубов с прочерком несовпадающих элементов.

Пример: Задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7). Записать кубические комплексы.

Решение: Нулевой кубический комплекс К0=(011,100,101,110,111). 1-ый и 5-ый кубы отличаются только первым членом. Поэтому они образуют 1-куб вида – 11. Аналогично второй и третий 0-кубы образуют 1- куб 10 – и т.д. Единичный кубический комплекс заданной ФАЛ будет иметь вид : К=(-11,10-,1-0,11-,1-1) . Аналогично получается двоичный кубический комплекс, состоящий из одного 2-куба: К2=(1--).

7.3 Теоремы Булевой алгебры

1 х+0=х ; х+1=1;х+х=х;

2 х1=х; х0=0; хх=х;

3 ;

4 х1001; х1х00х1 Переместительный закон;

5 (х21)+х02+(х10); (х1х2)х0= х12х0) Сочетательный закон

6 Теорема Де – Моргана  ; ; ;

7 Теорема поглощения х1х00= х0 ; (х1+ х0) х0= х0

8 х2х1+ х0=(х1+ х0)(х2+ х0); (х21) х0= х0; (х10) х0= х0;

9 ; ;

10 ;  - теорема склеивания.

PAGE  78

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

Рис. 7.1 Кубическое

представление ФАЛ

Таблица 7.2 Описание ФАЛ

в виде таблицы истинности

Таблица 7.1 Двоичная

система счисления

Рис. 7.2 Единичный куб (а); Двоичный куб (б)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34603. Долгий парламент. Гражданская война (XVII в.) 40.5 KB
  Долгого парламента 16401653 гг. В состав Долгого парламента входило 516 членов Палаты общин и 150 – Палаты лордов. Немало было депутатов бывших членами памятного парламента 1628 г. Положение англиканской церкви стало первым объектом политической атаки парламента и вынужденных уступок короны.
34604. Британия в эпоху Просвещения 19.89 KB
  Поскольку мир по Беркли не есть нечто объективное существующее реально вне нас и независимо от нас не материя поскольку все вещи теперь предстают как комплексы ощущений причем наших ощущений постольку философские идеи Д. Беркли объявлялось ими противоестественным на согласующимся с истинами здравого смысла.
34605. Революционные настроения в Британии в 1830 – 1840-е 16.85 KB
  Разделение чартистов: правое крыло Аттвут депутат Ловет секретарь лондонской ассоциации рабочих; союз буржуазии с рабочим классом; борьба исключительно духовными средствами митинги процессии петиции агитация за отмену хлебных законов снижение цены хлеба разрушение рабочих домов восстановление бумажной валюты левое крыло: О’Коннор Стефенс; борьба путем насилия полагались на решения парламента по вопросам армии и церкви так как именно на них народ приносит непосильные и бесполезные жертвы май 1838 – митинг в...
34606. Британия во второй мировой войне 31.5 KB
  Германия вела ожесточенные бомбардировки британских городов, был полностью разбомблен город Ковентри; Великобритании срочно пришлось налаживать эффективную противовоздушную оборону
34607. Великобритания после Второй мировой войны 33 KB
  Великобритания после Второй мировой войны Триумф и трагедия так охарактеризовал положение Великобритании У. Сразу после Второй Мировой Войны 26 июля 1945 года в Великобритании прошли парламентские выборы на которых одержала победу лейбористская партия Великобритании. Но в то время стране было нужно не это и народ выбрал более подходящую задачу задачу создания в Великобритании государства благоденствия выдвинутую лейбористами. Внешняя политика в послевоенное время: В области внешней политики у Великобритании было два основных...
34608. Ранние артефакты американской культуры. Теории миграции 13.28 KB
  не имели ясного представления о том когда люди впервые вступили на землю американского континента хотя и предполагали что это произошло сравнительно недавно. Получалось что первые американцы в действительности прибыли на эту землю тысячи лет назад. По одной из теорий первые люди появились в Америке 1015 тыс. Первые посещения Америки европейцами не оказали влияния на жизнь коренного населения.
34609. Культуры американских индейцев 14.62 KB
  1826 – вождь племени чероки Секвойя создал слоговую азбуку чероки. 1828 – начало издания газеты Чероки Феникс на языке чероки. Америки плетение ткачество вышивка изготовление украшений из перьев росписи: фантастические элементы геометрический орнамент военные и охотничьи сцены мифология: центральное место занимали мифы о происхождении огня людей и животных о каймане покровителе пищи и влаги добрых и злых духах растений богине с косами верховное женское божество нет имени она олицетворяет и землю и небо и жизнь и...
34610. Европейские морские экспедиции XV века. Христофор Колумб 15.04 KB
  Христофор Колумб Успехи португальцев вызвали интерес к морским экспедициям в соседней Испании. Исходя из представления о шарообразности Земли мореплаватель Христофор Колумб предлагал попытаться достичь Индии плывя на запад по Атлантическому океану. Испанское правительство выделило ему три каравеллы самая большая водоизмещением 280 т и в 1492 экспедиция под руководством Колумба достигла одного из Багамских островов открыв тем самым Америку. Колумб умер в 1506 будучи в полной уверенности что открыл новый путь в Индию.
34611. История Нью Йорка 34.5 KB
  История Нью Йорка Считается что первые люди появились на территории современного НьюЙорка более 11 тысяч лет назад. Тихий и размеренный этап истории НьюЙорка продолжался до 1524 года когда в гавань НьюЙорка прибыл Джованни Верразана.Таким образом город НьюЙорк получил свое современное название. После начала войны за независимость к НьюЙорку подошли 500 английских кораблей с 32тысячной армией под командованием генерала Уильяма Хоу.