40161

ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Основные способы записи функций алгебры логики ФАЛ Функции алгебры логики ФАЛ – зависимость выходных переменных Zi выраженная через совокупность входных переменных х1х2хn. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ. 1 Описание ФАЛ в виде таблице истинности табл. Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения: а логическое сложение ИЛИ – дизъюнкция б логическое умножение И – конъюнкция в отрицание инверсия НЕ если х = 1 то ;если х = 0 то Дизъюнктивная нормальная форма ДНФ –...

Русский

2013-10-15

295 KB

6 чел.

7 ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

    

7.1 Позиционная система счисления

 Пример непозиционной системы счисления – Римская система, в которой значение цифры не зависит от местоположение: ХХVIX  везде равно 10. В позиционной системе значимость цифры определяется ее местоположением. Представляется в виде полинома число х

,

где хi – разрядный коэффициент (хi = 0…q-1); qi – весовой коэффициент; q – основание системы счисления (может быть целым и дробным). Наиболее распространена в цифровой технике двоичная система счисления(q = 2) (табл. 7.1).

Существуют также позиционные системы с q =2,8,10 и 16. Переход от системы счисления с меньшим основанием  к системе с большим основанием осуществляется по вышеприведенному выражению.

Пример: Преобразовать двоичное число х2 = 10112 в десятичное х10.

Для q =2   х10=123+ 122 +021 +120 =11

Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим  основанием: а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления ; б)дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления .

Булева алгебра. Буль – ирландский математик, середина 19 в. Служит для описания алгоритмов цифровых устройств. Оперируют логической 1 (около 5 В) и логическим 0 (около 0,2 В).

7.2 Основные способы записи функций алгебры логики (ФАЛ)

         Функции алгебры логики (ФАЛ) – зависимость выходных переменных Zi , выраженная через совокупность входных переменных х12,…хn. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ.

1) Описание ФАЛ в виде таблице истинности  (табл. 7.2).

  1.  Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения:

а) логическое сложение (ИЛИ) – дизъюнкция

б) логическое умножение (И) – конъюнкция

в) отрицание, инверсия (НЕ) если х = 1, то ;если х = 0, то

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – логическая сумма логических произведений, в каждое из которых аргумент входит один раз. ДНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают произведение входных переменных , для которых ФАЛ равна единице, причем переменные , равные нулю , записывают с инверсией. Эти произведения называют конституентами единицы; 2) Логически суммируют все конституенты единицы ДНФ. Полученная суммированием конституент единиц сумма, называется СДНФ – совершенная ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – логическое произведение логических сумм, в каждую из которых аргумент или его инверсия входят один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают суммы входных переменных , для которых ФАЛ равна нулю. При этом переменные, значения которых равны единице, записывают с инверсией. Полученные суммы называют конституентами нуля.

Примеры:

с ДНФ:      

с КНФ:    

  1.  Кубическое представление ФАЛ. При этом набор выходных переменных представляется n – мерным вектором. Вершины этих векторов геометрически могут быть представлены как вершины n – мерного куба (рис. 7.1). Отмечая точками вершины этих векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление в виде куба.

Например, задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7); Дать геометрическое представление в виде куба. Графическое решение задачи представлено на рисунке.

2) Соседние наборы переменных, расположенные на концах ребер куба, отличаются только одной переменной. Каждую вершину куба, в которой функция принимает единичное значение, называют нулевым кубом. Множество нулевых кубов составляет кубический комплекс К0 ФАЛ. Если два нулевых куба комплекса К0 отличаются по одной переменной, для которых ФАЛ равна единице, являются соседними, то они образуют единичный куб. Геометрически это соответствует ребру исходного n – мерного куба (рисунок 7.2 а).

1 – куб записывается последовательностью общих элементов образовавших его 0 – кубов с прочерком совпадающих элементов. Множество единичных кубов образует единичный кубический комплекс К1 .

Если два единичных куба комплекса К1 отличаются только по одной координате  (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб. Геометрически это соответствует грани исходного n – мерного куба (рис. 7.2). 2 – куб записывается последовательностью общих элементов, образовавших его 1 – кубов с прочерком несовпадающих элементов.

Пример: Задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7). Записать кубические комплексы.

Решение: Нулевой кубический комплекс К0=(011,100,101,110,111). 1-ый и 5-ый кубы отличаются только первым членом. Поэтому они образуют 1-куб вида – 11. Аналогично второй и третий 0-кубы образуют 1- куб 10 – и т.д. Единичный кубический комплекс заданной ФАЛ будет иметь вид : К=(-11,10-,1-0,11-,1-1) . Аналогично получается двоичный кубический комплекс, состоящий из одного 2-куба: К2=(1--).

7.3 Теоремы Булевой алгебры

1 х+0=х ; х+1=1;х+х=х;

2 х1=х; х0=0; хх=х;

3 ;

4 х1001; х1х00х1 Переместительный закон;

5 (х21)+х02+(х10); (х1х2)х0= х12х0) Сочетательный закон

6 Теорема Де – Моргана  ; ; ;

7 Теорема поглощения х1х00= х0 ; (х1+ х0) х0= х0

8 х2х1+ х0=(х1+ х0)(х2+ х0); (х21) х0= х0; (х10) х0= х0;

9 ; ;

10 ;  - теорема склеивания.

PAGE  78

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

Рис. 7.1 Кубическое

представление ФАЛ

Таблица 7.2 Описание ФАЛ

в виде таблицы истинности

Таблица 7.1 Двоичная

система счисления

Рис. 7.2 Единичный куб (а); Двоичный куб (б)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57726. Квантовая физика с помощью компьютера. Обработка табличных величин 1.42 MB
  Названия химических элементов текстовая информация: барий вольфрам рубидий. Программы должна дать ответы на вопросы: Какой из химических элементов имеет большую работу выхода электронов...
57727. Landschaften (Ландшафти) 52.5 KB
  Мета: вчити нові слова, тренувати їх вживання у мовленні та в тексті. Виконувати тренувальні вправи на закріплення нової лексики. Повторити Positiv, Komparativ, Superlativ – ступені порівняння, виконувати тренувальні вправи на їх використання.
57728. Листок – бічний орган пагона 55 KB
  Мета: розширити і поглибити знання учнів про будову листка; з’ясувати особливості будови листка в зв’язку з його функціями; формувати вміння встановлювати взаємозв’язок між будовою листка і його функціями...
57729. Літосфера. Внутрішня будова Землі 68.5 KB
  Мета: сформувати в учнів первинні знання про внутрішню будову Землі способи вивчення земних глибин; розвивати вміння учнів працювати зі схемами атласу підручника; виявляти на основі схем відмінності між океанічною і материковою земною корою...
57730. Решение логарифмических уравнений различными способами 445 KB
  Цель: Формировать умения и навыки решать логарифмические уравнения различными способами. Развивать социальную компетентность: учить детей высказывать собственную точку зрения, выслушивать точку зрения товарища...
57731. Урок – гра. Різноманітність молюсків 273 KB
  Мета: Освітня: систематизувати і узагальнити знання про будову та особливості процесів життєдіяльності молюсків; закріпити поняття: мантіямантійна порожнина; повторитияк утворюється черепашка та перлини...
57732. Формули скороченого множення. Метали 709 KB
  Мета уроку: Використовуючи нестандартну форму проведення уроку, перевірити якість знань і вмінь учнів з вивчених тем; зацікавити математикою, хімією, встановлюючи зв’язки між предметами і українським фольклором...
57733. Додавання і віднімання у межах 20 53.5 KB
  МЕТА. Закріпити вміння додавати і віднімати числа у межах 20; розвивати логічне мислення, обчислювальні вміння, самостійність; створити ситуацію пошуку істини, співпереживання; виховувати цікавість та інтерес до математики, бережливе ставлення до природи.
57734. Площадь. Квадратный сантиметр. Палетка 57 KB
  Уметь: решать задачи на движение; распознавать геометрические фигуры; определять площадь с помощью палетки; Нормировать: виды задач; способы записи краткого условия задачи; единицы измерения длины и площади....