40161

ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

2 Основные способы записи функций алгебры логики ФАЛ Функции алгебры логики ФАЛ зависимость выходных переменных Zi выраженная через совокупность входных переменных х1х2хn. Логические устройства работа которых описывается с помощью ФАЛ. 1 Описание ФАЛ в виде таблице истинности табл. Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения: а логическое сложение ИЛИ дизъюнкция б логическое умножение И конъюнкция в отрицание инверсия НЕ если х = 1 то ;если х = 0 то Дизъюнктивная нормальная форма ДНФ ...

Русский

2013-10-15

295 KB

6 чел.

7 ЦИФРОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

    

7.1 Позиционная система счисления

 Пример непозиционной системы счисления – Римская система, в которой значение цифры не зависит от местоположение: ХХVIX  везде равно 10. В позиционной системе значимость цифры определяется ее местоположением. Представляется в виде полинома число х

,

где хi – разрядный коэффициент (хi = 0…q-1); qi – весовой коэффициент; q – основание системы счисления (может быть целым и дробным). Наиболее распространена в цифровой технике двоичная система счисления(q = 2) (табл. 7.1).

Существуют также позиционные системы с q =2,8,10 и 16. Переход от системы счисления с меньшим основанием  к системе с большим основанием осуществляется по вышеприведенному выражению.

Пример: Преобразовать двоичное число х2 = 10112 в десятичное х10.

Для q =2   х10=123+ 122 +021 +120 =11

Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим  основанием: а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления ; б)дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления .

Булева алгебра. Буль – ирландский математик, середина 19 в. Служит для описания алгоритмов цифровых устройств. Оперируют логической 1 (около 5 В) и логическим 0 (около 0,2 В).

7.2 Основные способы записи функций алгебры логики (ФАЛ)

         Функции алгебры логики (ФАЛ) – зависимость выходных переменных Zi , выраженная через совокупность входных переменных х12,…хn. Логические устройства – работа которых описывается с помощью ФАЛ.

1) Описание ФАЛ в виде таблице истинности  (табл. 7.2).

  1.  Описание ФАЛ в виде алгебраического выражения:

а) логическое сложение (ИЛИ) – дизъюнкция

б) логическое умножение (И) – конъюнкция

в) отрицание, инверсия (НЕ) если х = 1, то ;если х = 0, то

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – логическая сумма логических произведений, в каждое из которых аргумент входит один раз. ДНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают произведение входных переменных , для которых ФАЛ равна единице, причем переменные , равные нулю , записывают с инверсией. Эти произведения называют конституентами единицы; 2) Логически суммируют все конституенты единицы ДНФ. Полученная суммированием конституент единиц сумма, называется СДНФ – совершенная ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – логическое произведение логических сумм, в каждую из которых аргумент или его инверсия входят один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующим правилам: 1) Записывают суммы входных переменных , для которых ФАЛ равна нулю. При этом переменные, значения которых равны единице, записывают с инверсией. Полученные суммы называют конституентами нуля.

Примеры:

с ДНФ:      

с КНФ:    

  1.  Кубическое представление ФАЛ. При этом набор выходных переменных представляется n – мерным вектором. Вершины этих векторов геометрически могут быть представлены как вершины n – мерного куба (рис. 7.1). Отмечая точками вершины этих векторов, для которых ФАЛ равна единице, получаем геометрическое представление в виде куба.

Например, задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7); Дать геометрическое представление в виде куба. Графическое решение задачи представлено на рисунке.

2) Соседние наборы переменных, расположенные на концах ребер куба, отличаются только одной переменной. Каждую вершину куба, в которой функция принимает единичное значение, называют нулевым кубом. Множество нулевых кубов составляет кубический комплекс К0 ФАЛ. Если два нулевых куба комплекса К0 отличаются по одной переменной, для которых ФАЛ равна единице, являются соседними, то они образуют единичный куб. Геометрически это соответствует ребру исходного n – мерного куба (рисунок 7.2 а).

1 – куб записывается последовательностью общих элементов образовавших его 0 – кубов с прочерком совпадающих элементов. Множество единичных кубов образует единичный кубический комплекс К1 .

Если два единичных куба комплекса К1 отличаются только по одной координате  (переменной), то эти единичные кубы образуют двоичный куб. Геометрически это соответствует грани исходного n – мерного куба (рис. 7.2). 2 – куб записывается последовательностью общих элементов, образовавших его 1 – кубов с прочерком несовпадающих элементов.

Пример: Задана ФАЛ z2, x1, x0) = (3,4,5,6,7). Записать кубические комплексы.

Решение: Нулевой кубический комплекс К0=(011,100,101,110,111). 1-ый и 5-ый кубы отличаются только первым членом. Поэтому они образуют 1-куб вида – 11. Аналогично второй и третий 0-кубы образуют 1- куб 10 – и т.д. Единичный кубический комплекс заданной ФАЛ будет иметь вид : К=(-11,10-,1-0,11-,1-1) . Аналогично получается двоичный кубический комплекс, состоящий из одного 2-куба: К2=(1--).

7.3 Теоремы Булевой алгебры

1 х+0=х ; х+1=1;х+х=х;

2 х1=х; х0=0; хх=х;

3 ;

4 х1001; х1х00х1 Переместительный закон;

5 (х21)+х02+(х10); (х1х2)х0= х12х0) Сочетательный закон

6 Теорема Де – Моргана  ; ; ;

7 Теорема поглощения х1х00= х0 ; (х1+ х0) х0= х0

8 х2х1+ х0=(х1+ х0)(х2+ х0); (х21) х0= х0; (х10) х0= х0;

9 ; ;

10 ;  - теорема склеивания.

PAGE  78

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  

Рис. 7.1 Кубическое

представление ФАЛ

Таблица 7.2 Описание ФАЛ

в виде таблицы истинности

Таблица 7.1 Двоичная

система счисления

Рис. 7.2 Единичный куб (а); Двоичный куб (б)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49178. Я и физика 21.86 KB
  Слово энергия произносят все кому не лень но редко кто хотя бы немного разбирается в энергетике науке об энергии. Энергетика на самом деле не является наукой об энергии она скорее отрасль производства но все равно именно она увлекла меня настолько что я уверена в том что мое будущее будет связано именно с этой отраслью физики. Конечно традиционные энергетические ресурсы это хорошо и было бы кощунственно их не использовать но меня также привлекают и альтернативные источники энергии. В недалеком будущем когда в мире постепенно...
49179. Підприємство, яке спеціалізується на виробництві двох видів виробів 97.6 KB
  Суму витрат на виготовлення продукції кошторис та собівартість одиниці виробу калькуляцію. Оптимальна кількість факторів виробництва кількість обладнання та чисельність робітників визначається із системи рівнянь: де запланований обєм виробництва двох виробів; Звідки середня місячна заробітна плата 1 го робітника; витрати на утримання та експлуатацію обладнання грн міс; Ціна одиниці обладнання взята без ПДВ гранична норма технологічного заміщення виробництва Використавши цю рівність...
49181. Принципиальная схема управляемого блока питания для двигателя в механизме подъёма хирургического стола 633.32 KB
  Механический стол показанный на рисунок 1 уже устаревший но до сих пор успешно применяется в области медицинского приборостроения. Рисунок 1. Механический стол Гидроприводные столы рисунок 2 являются следующим этапом развития конструкции операционного стола. Рисунок 2.
49182. Разработка игры «Морской бой» с ИИ 4.29 MB
  Разработанный программный продукт реализует классическую версию игры «морской бой» с возможностью выбора уровня сложностей и визуализацией. Кроме того, в проекте реализована система ведения статистики игры. Среди рассмотренных аналогов ни один не обладал всеми этими возможностями сразу.
49183. Жизнедеятельность М. Вебера. Теория познания и методология 246.2 KB
  Вебере и его трудах несмотря на то что современная социология уже ушла далеко вперед актуальность этой теме не вызывает сомнений. Вопервых потому что как и всякий крупный ученый М. Вебера не только классическую социологическую теорию но и чтото новое современное и апеллирующее к непреложным и неизменным законам по которым живет социум.: Аграрная история древнего мира 1923 сразу поставившие его в ряд наиболее крупных ученых свидетельствуют о том что он усвоил требования исторической школы и умело пользовался...
49184. Понятие марксистской социологии. Диалектический материализм и социология 161.07 KB
  Устами своих основоположников Карла Маркса и Фридриха Энгельса она заявила о себе как о научном истолковании исторического процесса базирующемся на объективных данных исторической экономической социологической и других науках. Марксом и Ф.
49185. Расчет системы автоматического регулирования ГТД для поддержания частоты вращения ГТД 592.8 KB
  Расчет клапана для регулирования подачи топлива. Расчет расходов топлива. Расчет расхода топлива на номинальном режиме работы ГТД. Расчет расхода топлива на максимальном режиме работы ГТД.