4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71644. Рим превращается в мировую державу 217 KB
  Римская армия имела хорошо обученных командиров. Центурию возглавлял центурион, когортой командовал военный трибун. Начальником легиона был легат. Каждая центурия, когорта и легион имели свои эмблемы. Их несли впереди воинского подразделения. Знаком легиона был серебряный орел.
71645. Валютні рахунки та міжнародні банківські кореспондентські відносини 185.5 KB
  В Україні валютні операції регулюються Декретом Кабінету Міністрів Про систему валютного регулювання і валютного контролю та низкою інших документів уряду і Національного банку які визначають: основні принципи здійснення валютних операцій; види валют і валютних цінностей...
71646. Методы эргономики 113 KB
  По способу получения данных о деятельности оператора определяют следующие эргономические методы: психологические наблюдение эксперимент анкетирование физиологические психофизиологические электрофизиологические биотелеметрия математические имитационные статистические методы.
71647. Специфика защитных мероприятий на РОО 54 KB
  Особенности радиационных загрязнение при авариях на АЭС При разрушении ядерного реактора процесс выделения ядерного топлива не прекращается и он превращается в постоянный источник ядероактивных продуктов.
71648. Защита населения и территории при авариях на химически опасных объектах 56.5 KB
  Аварии на химически опасных объектах химическое загрязнение окружающей среды контроль химической обстановки. Химическиопасные объекты: Производящие использующие хранящие химически отравляющие вещества при аварии на которых возможно поражение людей животных растительности.
71649. ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ ГІМНАСТИКИ 174.5 KB
  Під гімнастикою стародавні греки розуміли всі вправи, які застосовувались для фізичного розвитку. Безумовно, зміст древньогрецької гімнастики відрізняється від змісту гімнастики сучасної.
71650. Социально-экономическая и политическая обстановка в стране в 1920-30-е гг. Укрепление тоталитарного режима 90 KB
  Под ними понимались политические и экономические рычаги воздействия: полновластие РКПб государственный сектор в промышленности централизованная финансовая система монополия внешней торговли Главная политическая цель -– снять социальную напряженность укрепить социальную базу...
71651. Статистика себестоимости продукции. Затраты на производство 172.5 KB
  В процессе производства продукции коммерческая организация использует конкретные материальные энергетические трудовые ресурсы формирующие затраты производства в натуральном выражении Объемы затрат на производство определяются видами продукции принятыми технологиями используемыми...
71652. Статистика научно-технического прогресса 40 KB
  Этапы и направления научно-технического прогресса Основные этапы научно-технического прогресса характеризуют такие направления как: Разработка новой техники выпуск первой промышленной серии. Освоение производства и выпуска новой техники характеризующееся показателем обновления...