4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47355. Аналіз даних в середовищі MS Excel 110.18 KB
  Ознайомити з засобами аналізу даних в середовищі MS Excel, можливостями аналізу за допомогою функцій і таблиць підстановок; набути навичок проведення аналізу за допомогою зведених таблиць...
47356. ІСТОРІЯ ШОРТ, ТА ЇХ ДЕТАЛЬНЕ СТВОРЕННЯ 981.49 KB
  Як тлумачить словник, шортами називаються укорочені брюки зручні для літнього відпочинку. Шорти старше брюк! Вже так повелося, що спочатку всі люди ходили в спідницях. Потім до стародавніх дизайнерів прийшла думка зробити розріз посередині і зшити частини тканини. Так спідниця перестала обмежувати ноги при ходьбі. Але це ще не були шорти. Історія походження шорт тільки починалася.
47358. Общественные отношения, возникающие в связи определением организации адвокатуры России и некоторых зарубежных странах 333.5 KB
  В последние годы в нашей стране активно формируется рынок предоставления квалифицированной правовой помощи. Однако того количества профессиональных юристов, которое действует сегодня на территории Российской Федерации, явно недостаточно для обеспечения граждан и организаций юридической помощью.
47359. ЦИКЛ ТЕПЛОВОГО НАСОСА 650 KB
  Изучение цикла теплового насоса. Определение отопительного коэффициента (коэффициента преобразования) теплового насоса. Определение количества низкопотенциальной теплоты, отбираемой у окружающей среды. Определение количества теплоты, передаваемой в систему отопления помещения.
47361. Социально-психологические методы управления коллективом 243 KB
  Под социально-психологическими методами управления понимают конкретные приемы и способы воздействия на процесс формирования и развития самого коллектива и отдельных работников. Разделяют два метода: социальные (направленные на коллектив в целом), и психологические (направленные на отдельные личности внутри коллектива). Эти методы подразумевают внедрение различных социологических и психологических процедур в практику управления
47362. Модернизация координатной оси динамической подвижной лазерной головки 6.3 MB
  Областью практического применения разработанной координатной системы станка обеспечивает динамическое перемещение оптической оси лазерного излучения, а также положением фокуса луча над поверхностью раскройного стола с разрешением в тысячные доли миллиметра.