4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82655. Расчет нагрузок и определение параметров элементов в СЭС 643.28 KB
  От силового пункта СП 1 получают питание: n1 вытяжных вентиляторов мощностью Рн1 кВт n2 конвейеров мощностью Рн2 кВт n3 водонагревателей мощностью Рн3 кВт n4 полировальных станков мощностью Рн4 кВт n5 шлифовальных станков мощностью Рн5 кВт n6 шлифовальных станков мощностью Рн6 кВт.
82656. РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДАЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЯ ГИДРОЛОКАТОРА 167.88 KB
  Расчет энергетической дальности действия проводится с использованием уравнения гидролокации в логарифмической форме, обеспечивающего наиболее удобные и экономичные расчеты, которые позволяют избежать вычислительных ошибок.
82657. Застосування теорії ігор для вирішення задач щодо прийняття рішень на митниці 504.85 KB
  Митно-прикордонна служба США – це орган правозастосування федерального законодавства Міністерства національної безпеки США, на який покладена відповідальність за питання, що пов’язані з регулюванням та спрощенням міжнародної торгівлі, збором митних платежів та врегулюванням сотень положень США...
82658. Исследование контактных явлений в структуре металл-полупроводник 515.01 KB
  Определение эффективной массы носителей заряда, их концентрации и степень вырождения электронно-дырочного газа в полупроводнике в данном диапазоне температур. Расчёт зависимости времени релаксации, средней длины свободного пробега и электропроводности от температуры...
82660. Аналіз використання трудових ресурсів підприємства ПСП «Агрофірми «Шульц» 560 KB
  Аналіз чисельності та складу працівників. Для характеристики усієї сукупності працівників підприємства застосовуються терміни персонал кадри. Персонал підприємства являє собою сукупність постійних працівників що отримали необхідну професійну підготовку та або мають досвід практичної діяльності.
82662. Организация труда и технико-экономическая оценка деятельности котельной №16 МУП «Гортепло» с тремя котлами 750.5 KB
  В настоящее время ситуация существенно изменилась. Уменьшение объема финансовых средств и материальных ресурсов, выделяемых из бюджета государства на развитие, ремонт и реконструкцию ТЭЦ и тепловых сетей, повлекло за собой: увеличение сроков сооружения тепловых электростанций и ввода новых...
82663. Редуктор конический с прямолинейными зубьями 183.6 KB
  Цель - спроектировать привод ленточного транспортера с одноступенчатым коническим прямозубым редуктором. Развить ощущение пропорции и получить конструкторские навыки, и опыт в решении комплексных инженерных заданий. Изучить влияние технологии изготовлении деталей на их конструкцию и метод расчета...