4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28662. Предмет и метод истории и права России 12.37 KB
  История государства и права России изучает политические и правовые институты существовавшие в процессе исторического развития Российского государства. История государства и права России рассматривает конкретные политические и правовые явления прежде всего фактический материал для установления закономерностей общих поступательных тенденций развития российского государства и права. В этом история государства и права неразрывно связана и с общей историей России и с теорией государства и права. Отличия состоят в том что история изучает более...
28663. Возникновение государственности у восточных славян в VII-IX вв. Причины образования Древнерусского государства. Процесс складывания государственных органов и правовых институтов. Сущность «норманнской теории» происхождения Древнерусского государства 14.58 KB
  Стали образовывать союзы племенных союзов которые по отношению к внеш. племенам выглядели единым целым но в некот. Появляются первые датируемые славянские летописи из котх следовало что поляне платят дань хазарам коте создали Хазарский Каганат а словены зависели от полян. группа лиц – аппарат котые занимались только управлением.
28664. Киевское государство – раннефеодальное государство 13.46 KB
  признаки: 1 юридическая безответственности носителя власти; 2 нет постоянных институтов власти получающих плату за свою деятельность; 3 первоначально не был установлен механизм передачи власти по старшинству т. от отца к старшему сыну; 4 существовала наследственность власти; 5 существовал совет при князе но без юридического статуса; 6 в особых случаях могло собираться вече являвшееся чрезвычайным органом и т. Однако полного единства в ней не было органов власти кроме местного князя или его наместника находившегося в родственной...
28665. Происхождение «Русской Правды». Ее редакция и состав. Содержание Краткой и Пространной Правды 12.92 KB
  Ее редакция и состав.Условно делятся на 3 основные редакции: 1 Краткая редакция – первая по времени создания; 2 Пространная ред.; 3 Сокращенная ред. Краткая редакция состоит из 2 частей в объеме 43 ст.
28666. Привилегии феодалов по «Русской Правде». Положение смердов, закупов, холопов по «Русской Правде» 12.83 KB
  Если он отказывался работать или плохо работал хозяин имел право бить. Если хозяин пытался выдать закупа за холопа то закуп освобождался а сам хозяин мог быть наказан.
28667. Право собственности и наследования по « Русской Правде». Понятие преступления по «Русской Правде». Группы и виды преступлений. Виды наказаний 13.72 KB
  Право собственности и наследования по Русской Правде. Содержание права собственности по РП различалось в зависимости от субъектасобственника и объекта собственности. Объектом собственности первоначально были вещи принадлежащие человеку конь боевое снаряжение одежда позднее объектом собственности становится земля и другие виды угодий. Жена сохраняла право собственности на свое приданое и могла передавать его по наследству.
28668. Суд и судебный процесс в Древнерусском государстве 12.11 KB
  В случае отказа или невозможности это сделать – вина последнего считается доказанной; 2 свод очная ставка; 3 гонение следа поиск доказательств и преступника следование по следам. Предусматривалась определенная система доказательств которая состояла из свидетельских показаний вещественных доказательств ордалий. В некоторых случаях имели доказательственное значение внешние признаки и вещественные доказательства. Имелась и система формальных доказательств ордалии.
28669. Причины феодальной раздробленности Руси. Крупнейшие княжества (Владимиро-Суздальское и Галицко-Волынское) 12.99 KB
  Причины феодальной раздробленности Руси. Предпосылки раздробленности: 1. Одной из причин феодальной раздробленности в Древнерусском государстве явилось изменение порядка наследования.
28670. Общественный строй Новгородской республики. Положение масс и социальных групп населения 14.81 KB
  Новгородское общество делилось на три класса: высший класс – бояре средний – житьи люди своеземцы и купцы низший – черные люди. Житьи люди – это население среднего достатка. Получая со своих земель доходы житьи люди вкладывали их в купеческие предприятия с чего и получали прибыль. Разумеется черные люди составляли большинство населения.