4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74413. Перидерма и корка корней 26 KB
  Клетки экзодермы паренхимы первичной коры и эндодермы не могут обеспечить такого интенсивного разрастания и первичная кора при этом разрывается и разрушается. Перед сбрасыванием первичной коры в более глубоких слоях образуется перидерма. Из двулетних растений с мясистыми корнями многие в том числе морковь образуют перидерму; в корнях других растений например свеклы феллоген не закладывается: происходит лишь подкрепление кольца толстостенной эндодермы путем отложения утолщений на стенках клеток первичной коры примыкающих к эндодерме а...
74414. Перидерма 48 KB
  В силу плотного смыкания клеток пробки заполнения их полостей воздухом обладающим как известно очень слабой теплопроводностью и наличия в оболочках клеток суберинового слоя очень слабо проницаемого для воды и воздуха пробка предохраняет стволы и ветви от излишней потери воды за счет испарения и от резких температурных колебаний. Кольцо феллогена в большей своей части состоит из плотно сомкнутых живых паренхимных клеток имеющих на поперечном разрезе форму прямоугольника относительно малого радиального размера а на продольном...
74415. Покровные ткани 52 KB
  Кожица состоит из плотно сомкнутых клеток имеющих в плане у большинства растений более или менее извилистые очертания рис. У некоторых растений например у многих злаков кожица состоит из клеток нескольких типов рис. Оболочка эпидермальных клеток утолщается обычно неравномерно: в каждой клетке наиболее толста наружная стенка боковые стенки несколько тоньше внутренняя сравнительно тонка. Боковые и внутренние стенки клеток обычно имеют поры рис.
74416. ПРОВОДЯЩИЕ ПУЧКИ 36 KB
  Проводящие пучки нередко включают и иные ткани живую паренхиму млечники склеренхиму. Проводящие пучки сопровождаемые примыкающими к ним тяжами механической ткани обычно склеренхимы называются сосудисто-волокнистыми или армированными проводящими пучками. Проводящие пучки тянутся на значительном протяжении вдоль органа; ответвлениями и перемычками анастомозами они связываются в трехмерную сетку.
74417. МЕХАНИЧЕСКИЕ ТКАНИ - АРМАТУРА, ИЛИ СТЕРЕОМ 43 KB
  Эта ткань состоит из толстостенных клеток прозенхимной формы с заостренными концами с немногочисленными узкими простыми щелевидными порами в оболочке расположенными длинной осью под острым углом к продольной оси клетки рис. Сформировавшись клетки склеренхимы обычно теряют живое содержимое и их полости заполняются воздухом. Клетки склеренхимы называют еще толстостенными волокнами или просто волокнами.
74418. Бесполое и половое размножение мхов 33.5 KB
  Оплодотворение возможно лишь в воде часто покрывающей невысокие дерновинки мхов. Оплодотворенная яйцеклетка покрывается оболочкой начинает тотчас же делиться и дает спорофит сидящую на ножке коробочку который у мхов имеет специальное название спорогоний; в клетках его находится диплоидное число хромосом рис. Вначале из спор у лиственных мхов вырастают ветвистые нити похожие на водоросли и называемые протонемой; на них образуются почки каждая из которых может дать листостебельный мох развивающий впоследствии снова половые органы ...
74419. Образовательные ткани 37 KB
  В отличие от животных высшие растения растут и образуют новые клетки в течение всей своей жизни, хотя обычно с некоторыми перерывами. У многих растений средних широт, например, перерывы (периоды покоя) обусловливаются наступлением зимнего периода покоя.
74420. Определение цветка. Части цветка 38 KB
  Главный или боковые часто очень укороченные стебли и никогда не образуется на листьях. Ось цветка укороченная стеблевая часть его называется цветоложемили тором...
74421. ОСОБЫЕ ТИПЫ ПРИРОСТА СТЕБЛЕЙ В ТОЛЩИНУ 30.5 KB
  Общей чертой строения стебля лиан является раздробленность древесинного тела на участки с мягкими податливыми паренхимными участками в промежутках. На рисунке 156 слева изображена схема поперечного сечения молодого четырехлетнего стебля лианы из семейства бигнониевых. Хорошо видно что в четырех участках стебля древесины откладывается значительно меньше чем луба и паренхимы. Это создает необходимую для этих экологических форм растений гибкость стебля.