4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28976. Выход из революционного кризиса. Столыпинская модернизация России 48 KB
  Столыпинская модернизация России 3 июня 1907 правительство осуществило государственный переворот и 2 Дума февральиюнь 1907 была распущена. Столыпин то она получила названия Столыпинской. Столыпиным предельно четко: Нам нужна Великая Россия . Значительная часть столыпинских законопроектов была направлена на улучшение труда и быта различных категорий служащих торговых железнодорожных почтовых телеграфных ремесленников учителей начальной и средней школы преподавателей высшей школы членовкорреспондентов академиков...
28977. Россия в условиях 1-й мировой войны и общенационального кризиса 38.5 KB
  Россия в условиях 1й мировой войны и общенационального кризиса. Боевые дествия Поводом к началу Первой мировой войны послужило убийство сербскими националистами в боснийском городе Сараево 15 июня 1914 г. вручил правительству ноту с объявлением войны. Принятые Россией накануне войны программы развития армии и флота предполагалось выполнить примерно к 1917 г.
28978. Демократическая революция 1917г в России и ее итоги 31.5 KB
  В городах появились очереди стояние в которых было психологическим надломом для сотен тысяч рабочих и работниц. Начало первым беспорядкам положила забастовка рабочих Путиловского завода 17 февраля. Рабочие завода требовали увеличения расценок на 50 и приёма на работу уволенных рабочих. К толпам рабочих присоединялись тысячи случайных людей: подростков студентов мелких служащих интеллигентов.
28979. Мировая цивилизация в начале XXI века. Глобальные проблемы человечества и пути их разрешения 39.5 KB
  Теперь приведём главные глобальные проблемы человечества: Проблема мира и разоружения предотвращение новой мировой войны; Экологическая проблема; Демографическая проблема; Энергетическая и сырьевая проблема; Проблема использования Мирового океана; Глобальные проблемы человечества стали важным объектом междисциплинарных исследований в которых участвуют и общественные и естественные и технические науки. 1 Проблема мира: На протяжении нескольких послевоенных десятилетий проблема войны и мира предотвращения новой мировой войны была...
28980. История университета 29.5 KB
  Открыто 15 филиалов ИНЖЭКОНА в России в таких городах как Апатиты Анадырь Альметьевск Выборг Кизляр Мурманск Певек Псков Тверь Тихвин Чебоксары Череповец. Ежегодно в университете проходят профессиональную подготовку по 32 специальностям более 25000 студентов из России а также из стран ближнего зарубежья Европы Азии Африки Латинской Америки. Наши выпускники работают на крупнейших предприятиях в компаниях коммерческих фирмах и банках СевероЗападного региона по всей России за рубежом.
28981. Проблемы и противоречия современного периода развития российского общества 25 KB
  Основное противоречие современного этапа развития российского общества заключается в необходимости реформирования всех сфер деятельности переоценке традиционных ориентиров и ценностей открытости для контактов с другими государствами и одновременно сохранении национальной идентичности и этнической самобытности при соблюдении национальных интересов. Люди признают что роль государства в решении проблем региональной и национальной безопасности приоритетна. Для оптимизации государственного и общественного понимания проблем национальной...
28982. ИТ экспертных систем: назначение, структура, функционирование 28.5 KB
  Базы знаний содержат факты описывающие предметную область а так же качественную взаимосвязь между ними как правило в форме правил. Интерпретатор осуществляет обработку знаний в БЗ путем перебора правил правило за правилом. модуль создания системы служит для пополнения базы знаний а также для модернизации экспертной системы.
28983. Модели данных 28.5 KB
  Модель данных совокупность структур данных и операций их обработки отражает записи и взаимосвязи между ними. Модели данных: 1 иерархическая в виде иерархии в которой данные размещены по уровню подчиненности древовидная структура. Основные понятия: 1 таблица совокупность записей одной структуры представляет один объект БД; 2 запись совокупность логически связанных полей строка таблицы; 3 поле элементарная единица данных которая соответствует определённому реквизиту столбец.
28984. Понятие и структура СУБД 40.5 KB
  СУБД совокупность языковых и программных средств предназначенных для создания и ведение использование БД. Структура СУБД. При помощи отладчиков происходит объединение отдельных блоков СУБД.