4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13547. Истина. Всякая истина рождается как ересь и умирает как предрассудок 16.86 KB
  Всякая истина рождается как ересь и умирает как предрассудок. Томас Генри Гексли В выбранном мною высказывании автор затрагивает проблему эволюции человеческого познания как процесса бесконечного продвижения от одной относительной истины до другой. Во все времен
13548. Цивилизация шла и шла и зашла в тупик. Дальше некуда. Все обещали, что наука и цивилизация выведут нас. Но теперь уже видно, что никуда не выведут; надо начинать новое 22.02 KB
  Философия: Цивилизация шла и шла и зашла в тупик. Дальше некуда. Все обещали что наука и цивилизация выведут нас. Но теперь уже видно что никуда не выведут; надо начинать новое Л. Н. Толстой. Выбранное мною высказывание посвящено осмыслению сущности направленности обще...
13549. Единственная проблема современности заключается в том, сумеет ли человек пережить свои собственные изобретения 15.12 KB
  Единственная проблема современности заключается в том сумеет ли человек пережить свои собственные изобретения. Л. де Бройль Выбранное мною высказывание связано с проблемой того насколько научный прогресс сочетается с моралью и нравственностью. Развиваясь челове...
13550. Прогресс – стремление к возведению человека в человеческий сан 16.68 KB
  Прогресс стремление к возведению человека в человеческий сан. Н. Г. Чернышевский Выбранное мной высказывание связано с проблемой нравственной стороны общественного прогресса. Я считаю эту проблему актуальной во все времена так как зачастую сосредотачивая вним...
13551. Школа – это мастерская, где формируется мысль подрастающего поколения, надо крепко держать ее в руках, если не хочешь выпустить из рук будущее 14.22 KB
  Школа это мастерская где формируется мысль подрастающего поколения надо крепко держать ее в руках если не хочешь выпустить из рук будущее. А.Барбюс Выбранное мною высказывание связано с проблемой образования его важности для будущего всего общества. Издревле лю...
13552. Если мы хотим идти вперед, то одна нога должна остаться на месте, в то время как другая делает следующий шаг 15.76 KB
  Если мы хотим идти вперед то одна нога должна остаться на месте в то время как другая делает следующий шаг. Это первый закон всякого прогресса одинаково применимый как к целым народам так и к отдельным людям. И. Этвеш В выбранном мною высказывании явно представле
13553. Знание – не инертный, пассивный посетитель, приходящий к нам, хотим мы этого или нет; его нужно искать, прежде, чем оно будет нашим, оно – результат большой работы и потому – большой жертвы 14.88 KB
  Знание не инертный пассивный посетитель приходящий к нам хотим мы этого или нет; его нужно искать прежде чем оно будет нашим оно результат большой работы и потому большой жертвы. Г.Бокль В выбранном мною высказывании автор поднимает проблему познания способ
13554. Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный – упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей Бернард Шоу 28 KB
  Пример эссе. Разумный человек приспосабливается к миру; неразумный упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неразумных людей. Бернард Шоу Выбранное мною высказывание затрагивает проблему движущих сил прогресса. Данная тема крайне актуальная в со
13555. Религия, Искусство и Наука – это ветви одного и того же дерева. (А. Эйнштейн) 30.5 KB
  Примет эссе по обществознанию. Религия Искусство и Наука это ветви одного и того же дерева. А. Эйнштейн Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос об общности трех основных феноменов духовной культуры религии искусства и науки. Данная тема крайне актуальна в современном мире...