4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5656. Растяжение кольцевых образцов 61 KB
  Растяжение кольцевых образцов Цель работы: Определить модуль Юнгав окружном направлении и предел прочности. Провести статистическую обработку предела прочности по результатам испытаний всех групп. Приборы и оборудование: Испытательная ма...
5657. Расчет пределов прочности и упругости 37.5 KB
  Приборы материалы: машина испытаний, штангенциркуль. Геометрия образца. Образец в виде кольца. Dвн=191,45 мм, ширина b=8,5мм, толщина h=6,35мм. Растяжения образца. Диаграмма растяжения образца. Характеристики образца. Максималь...
5658. Стрічкові самохідні крани. Методичні вказівки 1.24 MB
  Методичні вказівки до виконання курсового і дипломного проектів Стрічкові самохідні крани з дисципліни Вантажопідйомна, транспортуюча ітранспортна техніка для студентів спеціальностей Обладнання ...
5659. Проектирование водопроводной сети. Расчет внутреннего водопровода и канализационной сети 155.5 KB
  Содержание Особенности проектирования водопроводной сети Гидравлический расчет внутреннего водопровод Особенности проектирования внутренних канализационной сети Список литературы Особенности проектирования водопроводной сети Нор...
5660. Методы оперативно-технического обслуживания тяговой подстванции 709 KB
  Реферат Эксплуатация тяговых подстанций, техническое обслуживание, текущий осмотр, текущий ремонт, профилактические испытания, капитальный ремонт, ремонтно-ревизионный участок, механические мастерские, бесперебойное снабжение потребителей, планово-п...
5661. Проектирование тяговой подстанции, транзитная, постоянного тока 440.5 KB
  Проектирование тяговой подстанции, транзитная, постоянного тока Введение Энергию на тягу поездов получают от энергосистем через их высоковольтные линии и районные подстанции, непременно, через специальные тяговые подстанции, являющиеся элементами си...
5662. Математические модели вибрации 181.54 KB
  Математические модели вибрации. Цель: провести исследование нескольких возможных моделей вибрации. Постановка задачи: на основе теоретических знаний создать нескольких возможных моделей вибрации. 1. Параметры вибрации и единицы измерений Вибрация, к...
5663. Японская кухня. Изучение традиций и особенностей японской кухни 217.5 KB
  Объектом исследования курсовой работы является японская кухня. Целью работы является: изучение традиций и особенностей японской кухни, Технологический процесс приготовления блюд, специфику кухонной утвари, способы подготовки продуктов...
5664. Проектирование автовокзала в городе Санкт-Петербург 133 KB
  Объемно планировочное решение здания Проектируемое здание – автовокзал в городе Санкт-Петербурге. Размеры здания в плане: Здание двухэтажное, из кирпича, бескаркасное. Высота этажа - 3,3 метра. На первом этаже расположен...