4017

Контрольная работа. Линейная алгебра

Контрольная

Математика и математический анализ

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса. Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1. длину ребра А1А2 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4 3. площадь грани А1А...

Русский

2012-11-12

131.5 KB

82 чел.

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

Решение:

Методом Крамера.

Проверка:

Ответ: , , .

Методом Гаусса.

  

Пояснение к произведённым преобразованиям:

Умножим первую строку на –8 и добавим её ко второй строке.

Умножим первую строку на –4 и добавим её к третьей строке.

Умножим третью строку на –5.

Умножим вторую строку на 3 и добавим её к третьей строке.

В результате преобразований получаем систему:

Ответ: , , .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1. длину ребра А1А2

2. угол между ребрами А1А2 и А1А4

3. площадь грани А1А2А3

4. уравнение плоскости А1А2А3

5. объём пирамиды А1А2А3А4

А1 ( 3; 5; 4), А2 ( 8; 7; 4), А3 ( 5; 10; 4), А4 ( 4; 7; 8).

Решение: 

  1.   Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Координаты точек  и  известны, следовательно, можно определить координаты вектора .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

(ед.)

  1.  Угол между ребрами  и определим по формуле

- скалярное произведение векторов  и .

- произведение длин векторов  и .

- длина вектора .

- длина вектора .

В нашем случае , .

Для определения координат вектора необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

(рад.)

Переведём полученное значение величины угла из радиан в градусы.

3. Грань пирамиды  представляет собой треугольник. Площадь данного треугольника найдём, используя свойство скалярного произведения векторов. Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , численно равна модулю их векторного произведения.

(кв. ед.)

Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.).

  1.  Уравнение грани  параллелепипеда определим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки  А1, А2 и А3 с координатами: , , .

  1.  

Упростим полученное выражение, разделив обе его части  на 21.

Получим:

Каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющими, по крайней мере, один ненулевой коэффициент при переменных.

5. Объём пирамиды  найдём, используя свойство смешанного произведения трёх векторов. Модуль смешанного произведения этих векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

(куб. ед.)

Ответы:

  1.  Длина ребра  равна  (ед.);
  2.  Угол между ребрами  и  равен 1,197 (рад.) или 68,6 (град.);
  3.  Площадь грани  равна 11,5 (кв. ед.);
  4.  Уравнение плоскости : ;
  5.  Объём пирамиды  равен 14 (куб. ед.).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7694. Урок как основная форма организации обучения. Подготовка учителя к уроку 253.18 KB
  Тема:Урок как основная форма организации обучения. Подготовка учителя к уроку. ПЛАН Общая характеристика классно-урочной системы. Характеристика урока как основной формы организацииобучения. Современные требования...
7695. Экскурсия как форма организации обучения и воспитания. Методика проведения экскурсий 84.5 KB
  Тема: Экскурсия как форма организации обучения и воспитания. Методика проведения экскурсий. План Сущность экскурсий. Функции экскурсий. Виды экскурсий. Методика проведения экскурсий. Виды экскурсий (примеры). Сущность экскурсий Наряд...
7696. Домашняя работа учащихся и её роль в овладении знаниями 65.5 KB
  Тема: Домашняя работа учащихся и её роль в овладении знаниями. План Сущность домашней работы учащихся и её роль в овладении знаниями. Основные недостатки домашней работы школьников. Правила домашней работы школьников.Сущность домаш...
7697. Разнообразие форм организации обучения и особенности их использования в начальной школе 58.5 KB
  Разнообразие форм организации обучения и особенности их использования в начальной школе. Форма обучения - это способ организации учебного процесса, который осуществляется в определенном порядке и режиме это способ внешней организации дея...
7698. Обучение как составная часть педагогического процесса. Сущность процесса обучения 55.5 KB
  Обучение как составная часть педагогического процесса. Сущность процесса обучения. План Понятие о процессе обучения. Функции процесса обучения структура процесса обучения. Основы деятельности учителя и учащихся в процессе обучения...
7699. Закономерности физического и духовного развития 30.5 KB
  Закономерности физического и духовного развития. Развитие - 1. процесс и результат количественных и качественных изменений человека 2. процесс физического, психического, социального с...
7700. Исторический обзор организационных форм обучения 65.5 KB
  Тема: Исторический обзор организационных форм обучения Под организационной формой обучения понимают способ внешней организации деятельности учителя и учащихся в процессе обучения (например: урок, факультатив, экскурсия, консультация, дополнительные ...
7701. Контроль результатов обучения 35.82 KB
  Тема: Контроль результатов обучения. План Функции контроля знаний Виды контроля Методы контроля Формы контроля знаний 1. Функции контроля знаний Контроль - обязательная часть процесса обучения, это инструмент, измеряющий резу...
7702. Методы педагогического исследования и опыт их применения студентами 45.3 KB
  ТЕМА: Методы педагогического исследования и опыт их применения студентами. Под педагогическим исследованием понимается процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний о закономерностях образования, его структуре, ме...