4053

Отношения и их свойства

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отношения и их свойства Бинарное отношение R на конечном множестве Требования на множество – те же, что и раньше (в нем не должно встречаться повторяющихся элементов, кроме того, оно должно быть упорядочено по возрастанию)....

Русский

2012-11-12

185 KB

110 чел.

Отношения и их свойства

Бинарное отношение R на конечном множестве A: RÍ A2 – задано списком упорядоченных пар вида (a,b), где a,bÎ A. Требования на множество – те же, что и раньше (в нем не должно встречаться повторяющихся элементов, кроме того, оно должно быть упорядочено по возрастанию). Программа должна определять свойства заданного отношения: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность (по материалам главы 1, п.1.3). Проверку свойств выполнять по матрице бинарного отношения, сопровождая необходимыми пояснениями.

Работа программы должна происходить следующим образом:

1. На вход подается множество A из n элементов и список упорядоченных пар, задающий отношение R (мощность множества, элементы и парывводятся с клавиатуры).

2. Результаты выводятся на экран (с необходимыми пояснениями) в следующем виде:

а) матрица бинарного отношения размера n´ n;
б) список свойств данного отношения.

В матрице отношения строки и столбцы должны быть озаглавлены (элементы исходного множества, упорядоченного по возрастанию).

3. После вывода результатов предусмотреть возможность изменения заданного бинарного отношения либо выхода из программы.

Это изменение может быть реализовано различными способами. Например, вывести на экран список пар (с номерами) и по команде пользователя изменить что-либо в этом списке (удалить какую-то пару, добавить новую, изменить имеющуюся), после чего повторить вычисления, выбрав соответствующий пункт меню. Другой способ – выполнять редактирование непосредственно самой матрицы отношения, после чего также повторить вычисления. Возможным вариантом является автоматический пересчет – проверка свойств отношения – после изменения любого элемента матрицы.

Дополнительно: предусмотреть не только изменение отношения, но и ввод нового множества (размер нового множества может тоже быть другим).


Решение.

Проверять свойства бинарного отношения будем оперируя с матрицей этого отношения. Матрицу будем хранить как двумерный массив.

Алгоритм проверки на рефлексивность.

Проверяем элементы главной диагонали. Если они все равны 1, то отношение рефлексивно, иначе – не рефлексивно.

Алгоритм проверки на симметричность.

Если элементы матрицы бинарного отношения симметричны относительно главной диагонали, то и само отношение является симметричным.

Алгоритм проверки на антисимметричность.

Находим матрицу пересечения данного бинарного отношения с обратным ему отношением (обратное задаётся путём транспонирования матрицы). Если в полученной матрице все элементы вне главной диагонали равны нулю, то исходное отношение обладает свойством антисимметричности.

Алгоритм проверки на транзитивность.

Определим операцию произведения матриц следующим образом. Пусть имеются матрицы и . Произведением матрицы на матрицу будем называть матрицу , в которой .

Для проверки на транзитивность:

  1.  находим матрицу , где – матрица нашего бинарного отношения;
  2.  если для каждой строки матрицы и соответствующей строки матрицы выполняется , то исходное отношение транзитивно.

Под записью в пункте b понимается, .


Исходный код на Borland Pascal 7.

program lab2;

uses

 Crt;

const

 Nmax = 15; { Макс. количество элементов множества A }

type

 T = Char; { Тип элементов множества A }

 TPair = Record

   a, b: T;

 end;

 TSet = Array[1..Nmax] of T;

 TMatrix = Array[1..Nmax, 1..Nmax] of Byte;

{ Сортировка выбором по неубыванию }

procedure Sort(var A: TSet; const N: Integer);

var

 i, j, k: Integer;

 tmp: T;

begin

 for i := 1 to N - 1 do begin

   k := i;

   for j := i + 1 to N do

     if A[j] < A[k] then k := j;

   tmp := A[i];

   A[i] := A[k];

   A[k] := tmp;

 end;

end;

{ Возвращает индекс элемента x в A. Если такого элемента нет, то возвращает -1 }

function Search(const x: T; const A: TSet; const N: Integer): Integer;

var

 i: Integer;

begin

 for i := 1 to N do

   if x = A[i] then begin

     Search := i;

     Exit;

   end;

 Search := -1;

end;

{ Проверка на рефлексивность }

function Reflex(const M: TMatrix; const N: Integer): Boolean;

var

 i: Integer;

begin

 Reflex := False;

 for i := 1 to N do

   if M[i, i] = 0 then Exit;

 Reflex := True;

end;

{ Проверка на симметричность }

function Symmetry(const M: TMatrix; const N: Integer): Boolean;

var

 i, j: Integer;

begin

 Symmetry := False;

 for i := 1 to N - 1 do

   for j := i + 1 to N do

     if M[i, j] <> M[j, i] then Exit;

 Symmetry := True;

end;

{ Проверка на антисимметричность }

function Antisymmetry(const M: TMatrix; const N: Integer): Boolean;

var

 i, j: Integer;

begin

 Antisymmetry := False;

 for i := 1 to N do

   for j := 1 to N do

     if (i <> j) and (M[i, j] * M[j, i] <> 0) then Exit;

 Antisymmetry := True;

end;

{ Проверка на транзитивность }

function Transit(const M: TMatrix; const N: Integer): Boolean;

var

 i, j, k: Integer;

 S: TMatrix;

begin

 Transit := False;

 for i := 1 to N do

   for j := 1 to N do begin

     S[i, j] := 0;

     for k := 1 to N do

       S[i, j] := S[i, j] or M[i, k] and M[k, j];

   end;

 for i := 1 to N do

   for j := 1 to N do

      if M[i, j] < S[i, j] then Exit;

 Transit := True;

end;

{ Вывод списка клавиш управления }

procedure Keys;

begin

 ClrScr;

 WriteLn('Выберите действие.');

 WriteLn;

 WriteLn('1 - показать список элементов множества A');

 WriteLn('2 - показать список пар бинарного отношения');

 WriteLn('3 - показать матрицу бинарного отношения');

 WriteLn('4 - показать свойства бинарного отношения');

 WriteLn('5 - измененть одну пару бинарного отношения');

 WriteLn('6 - удалить одну пару бинарного отношения');

 WriteLn('7 - добавить новую пару бинарного отношения');

 WriteLn('0 - очистить экран');

 WriteLn('Esc - завершить работу');

 WriteLn

end;

var

 i, j, N, k, z: Integer;

 x, y: T;  

 A: TSet;  

 M: TMatrix;

 P: Array[1..Nmax] of TPair;

 F: Boolean;

 v: Char;

begin

 ClrScr;

 WriteLn('Введите множество A (набор элементов через пробел)');

 N := 0;

 while not SeekEoLn do begin

   Inc(N);

   Read(A[N]);

 end;

 Sort(A, N);

 F := False;

 i := 1;

 while i < N do begin

   if A[i] = A[i + 1] then begin

     F := True;

     Dec(N);

     for j := i to N do

       A[j] := A[j + 1];

   end

   else

     Inc(i);

 end;

 if F then WriteLn('Повторяющиеся элементы были удалены.');

 for i := 1 to Nmax do

   for j := 1 to Nmax do

      M[i, j] := 0;

 WriteLn;

 WriteLn('Введите список пар. Каждую пару в новой строке, элементы пары - через пробел.');

 WriteLn('Для завершения ввода, вместо ввода пары нажмите Enter.');

 Reset(Input);

 k := 0;

 while not SeekEoLn do begin

   Read(x);

   if SeekEoLn then Reset(Input);

   ReadLn(y);

   if (Search(x, A, N) = -1) or (Search(y, A, N) = -1) then begin

      WriteLn('Элементы должны быть из множества A. Эта пара будет пропущена.');

      Continue;

   end;

   F := False;

   for i := 1 to k do

     if (P[i].a = x) and (P[i].b = y) then begin

        WriteLn('Эта пара уже была. Пропущено.');

        F := True;

        Break;

     end;

   if F then Continue;

   M[Search(x, A, N), Search(y, A, N)] := 1;

   Inc(k);

   P[k].a := x;

   P[k].b := y;

 end;

 Keys;

 repeat

   v := ReadKey;

   case v of

   '1':

     begin

       WriteLn('Элементы множества A:');

       for i := 1 to N do

         Write(A[i], ' ');

       WriteLn;

     end;

   '2':

     begin

       WriteLn('Список пар бинарного отношения:');

       for i := 1 to k do

         WriteLn(i, '. (', P[i].a, ', ', P[i].b, ')');

     end;

   '3':

     begin

       WriteLn('Матрица бинарного отношения:');

       Write('    ');

       for i := 1 to N do

         Write(A[i]:3, ' ');

       WriteLn;

       for i := 1 to N do

       begin

         Write(A[i]:3, ' ');

         for j := 1 to N do

           Write(M[i, j]:3, ' ');

         WriteLn;

       end;

     end;

   '4':

     begin

       WriteLn('Введённое отношение');

       if Symmetry(M, N)     then  WriteLn('- симметрично')     else WriteLn('- не симметрично ');

       if Antisymmetry(M, N) then  WriteLn('- антисимметрично') else WriteLn('- не антисимметрично');

       if Reflex(M, N)       then  WriteLn('- рефлексивно')     else WriteLn('- не рефлексивно');

       if Transit(M, N)      then  WriteLn('- транзитивно')     else WriteLn('- не транзитивно');

     end;

   '5':

     begin

       WriteLn('Введите номер пары, которую хотите изменить.');

       {$I-}

       ReadLn(z);

       {$I+}

       while IOResult <> 0 do begin

         WriteLn('Введено неверно. Введите заново.');

         {$I-}

         ReadLn(z);

         {$I+}

       end;

       if (z > k) or (z < 1) then

         WriteLn('Нет такой пары.')

       else begin

         WriteLn('Введите новое значение пары (два элемента через пробел).');

         Reset(Input);

         Read(x);

         if SeekEoLn then Reset(Input);

         ReadLn(y);

         if (Search(x, A, N) = -1) or (Search(y, A, N) = -1) then

           WriteLn('Значения должны быть из множества A. Изменение не произведено.')

         else begin

           F := False;

           for i := 1 to k do

             if (P[i].a = x) and (P[i].b = y) then begin

               WriteLn('Эта пара уже была. Пропущено.');

               F := True;

               Break;

             end;

           if not F then begin

             M[Search(P[z].a, A, N), Search(P[z].b, A, N)] := 0;

             P[z].a := x;

             P[z].b := y;

             M[Search(x, A, N), Search(y, A, N)] := 1;

             WriteLn('Изменено.');

           end;

         end;

       end;

     end;

   '6':

     begin

       WriteLn('Введите номер пары для удаления');

       {$I-}

       ReadLn(z);

       {$I+}

       while IOResult <> 0 do begin

         WriteLn('Введено неверно. Введите заново.');

         {$I-}

         ReadLn(z);

         {$I+}

       end;

       if (z > k) or (z < 1) then

         WriteLn('Нет такой пары')

       else begin

         M[Search(P[z].a, A, N), Search(P[z].b, A, N)] := 0; { Удаляем пару из матрицы }

         Dec(k);

         for i := z to k do  { Удаляем пару из списка P }

           P[i] := P[i + 1];

         WriteLn('Удалено.');

       end;

     end;

   '7':

     begin

       WriteLn('Введите пару (два элемента через пробел)');

       Reset(Input);

       Read(x);

       if SeekEoLn then Reset(Input);

       ReadLn(y);

       if (Search(x, A, N) = -1) or (Search(y, A, N) = -1) then

         WriteLn('Значения должны быть из множества A. Добавление не произведено.')

       else begin

         F := False;

         for i := 1 to k do

           if (P[i].a = x) and (P[i].b = y) then begin

             WriteLn('Эта пара уже есть. Пропущено.');

             F := True;

             Break;

           end;

         if not F then begin

           Inc(k);

           P[k].a := x;

           P[k].b := y;;

           M[Search(P[k].a, A, N), Search(P[k].b, A, N)] := 1;

         end;

       end;

       if not F then WriteLn('Добавлено.');

     end;

     '0': Keys;

   end;

 until v = #27;

end.


Результат работы программы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22367. Функции комплексной переменной 202.5 KB
  Областью на комплексной плоскости называют множество D точек обладающее следующими свойствами: Вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке свойство открытости. Простыми примерами областей могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Говорят что на множестве M точек плоскости z задана функция w=fz 1 если указан закон по которому каждой точке zM...
22368. Схемы включения и характеристики биполярных транзисторов 465.5 KB
  Схемы включения БТ. Эквивалентные схемы БТ. Эквивалентные схемы БТ. Схемы включения БТ и их показатели.
22369. УСИЛИТЕЛИ НА БИПОЛЯРНЫХ ТРАНЗИСТОРАХ (БТ) 442 KB
  Характеристики схемы: статические и динамические. Простейшая модель работы транзистора рис. Надо помнить что для всех БТ Рис. Поэтому при проектировании схем надо стремиться к тому чтобы ее характеристики не зависели от величины β.
22370. Основные параметры каскада с ОЭ с последовательной ООС по току 663.5 KB
  Схема усилителя с общим эмиттером. Схема усилителя с общим коллектором. Схема усилителя с общей базой. Осциллограммы напряжений схемы с общим эмиттером с последовательной ООС по току Это схема каскада с последовательной ООС по току.
22371. Режимы работы усилительных устройств 626.5 KB
  Рабочую точку выбирают в середине проходной динамической характеристики каскада рис. Рис. Характеристики и сигналы в усилителе работающем в режиме А Режим используют в предварительных каскадах усиления. Рабочую точку задаем в начале проходной характеристики рис.
22372. Усилители постоянного тока (УПТ) 209.5 KB
  Благодаря этому при входных сигналах равных нулю достигается баланс моста напряжения на коллекторах обоих транзисторов равны и выходное напряжение снимаемое с диагонали Uвых = Uвых 1 – Uвых 2 = 0. Uвх1 = Uвх2 = 0 Uвых = Uк1 – Uк2 = 0. Ек1 Iк1 Iк2 Rк2 Rк1 Uвых 1 Uвых Uвых 2 ...
22373. Неинвертирующее и инвертирующее включение ОУ 368 KB
  На практике UСМ лежит в пределах от нескольких микровольт до десятков милливольт; максимальное выходное напряжение UВЫХ.МАКС Различают максимальное положительное напряжение UВЫХ.МАКС и максимальное отрицательное напряжение –UВЫХ. Напряжения UВЫХ.
22374. Операционные усилители (ОУ) 510 KB
  Схема усилителя со следящей связью С делителя R4 R5 снимаем напряжение  Ua т. Напряжение на сопротивлению R стремится к нулю. От источника положительного напряжения через на диоде VD1 создается опорное напряжение которое вместе с напряжением обратной связи подается на неинвертирующий вход операционного усилителя. Если входное напряжение равно нулю то напряжение на входе усилителя равное разности напряжений на его зажимах равно напряжению в точке А: Даже без положительной обратной связи при таком напряжении напряжение на выходе...
22375. Усилитель переменного тока на ОУ с одним источником питания 1.29 MB
  Усилитель переменного тока на ОУ с одним источником питания рис.1 Рис. Рис. ОУ в выходном каскаде бустерная схема рис.