40796

Характеристическое сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника

Лекция

Физика

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением см. Учитывая что в соответствии с принципом взаимности видно что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением Уравнения 3 и 4 представляют собой основные уравнения четырехполюсника;...

Русский

2013-10-22

96.65 KB

3 чел.

Лекции 15-16. Четырехполюсники.

При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.

В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.

Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников.

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением  (см. рис. 1,а).

В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление  источником с напряжением  (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать

;    

(1)

 

.           

(2)

Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим

;

или

;

(3)

(4)

где ; ; ;  - коэффициенты четырехполюсника.

Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности , видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением

(5)

Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями  и  и двумя токами   и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.

 

Таблица 1.    Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника

Форма

Уравнения

Связь с коэффициентами основных уравнений

А-форма

;

;

 

Y-форма

;

;

; ; ; ;

Z-форма

;

;

; ;

; ;

Н-форма

;

;

; ;

; ;

G-форма

;

;

; ;

; ;

B-форма

;

.

; ;

; .

Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при .

Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными.

При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый.

Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этом случае при   на основании уравнений (3) и (4)

(6)

При

         

(7)

и при

.        

(8)

Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает:

При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения.

Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим  и  через  и :

 

             

(9)

.    

(10)

Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает:

Данная задача может быть решена и другим путем. При  (холостой ход со стороны вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4)

     и     ;

но из схемы на рис. 3,а

,  а     ;

откуда вытекает:  и .

При  (короткое замыкание на вторичных зажимах)

    и    .

Из схемы на рис. 3,а

;

.

Следовательно,   .

Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае.

Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее формул преобразования “ звезда-треугольник”.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения.

На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании (4) имеем

.  

(11)

Подстановка соотношения (11) в (3) дает

(12)

Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл. 1), получим

.

При анализе работы четырехполюсника на нагрузку  удобно использовать понятие входного сопротивления с первичной стороны  и коэффициента передачи .Учитывая, что  и , для этих параметров можно записать:

Зная ,  и , можно определить остальные переменные на входе и выходе четырехполюсника: ; ; .

Характеристическое сопротивление и коэффициент
распространения симметричного четырехполюсника

В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.

.

Это сопротивление обозначают как  и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо

,

называется режимом согласованной нагрузки.

В указанном режиме для симметричного четырехполюсника  на основании (3) и (4) можно записать

;  

(13)

.                      

(14)

Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение

,

решением которого является

.     

(15)

С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид

;

.

Таким образом, ,

где  - коэффициент распространения;  - коэффициент затухания (измеряется в неперах);  - коэффициент фазы (измеряется в радианах).

Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая  в е2  раз.

Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения.

По определению

.

(16)

 Тогда

.

(17)

Решая (17) и (18) относительно  и , получим

      и      .

Учитывая, что

   

и          ,

получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31039. История постсоветской России 51.5 KB
  Распад СССР означал для России резкое сокращение экономического потенциала и обороноспособности страна оказалась отодвинутой на северовосток в глубь Евразии потеряв половину морских портов и торговый флот на западе Прибалтика и юге Украина Закавказье. Он давал соседям России возможности использовать в своих интересах ее неожиданную и временную слабость и на переговорах шел на значительные уступки особенно Соединенным Штатам. В конце 1991 начале 1992 Ельцин сделал специальное заявление что ядерные ракеты отныне не направлены на США...
31040. Проблемы славянского этногенеза. Восточные славяне: територия, хозязствово, быт, культура, религия 33 KB
  Восточные славяне: територия хозво быт культура религия. Славяне относятся к одной из самых многочисленных групп индоевропейских народов. Как самостоятельные народы начали свое существование греки латины славяне и др. Тогда же оформились три славянские ветви: западные славяне поляки чехи словаки южные болгары сербы хорваты и др восточные русские украинцы белорусы.
31041. Центры зарождения славянской государственности. Полемика историков вокруг проблемы образования Древнерусского гос-ва. Политика первых правитиелей Руси: Олега, Игоря, Ольги, Святослава 31.5 KB
  Главными проблемами являются вопросы о причинах возникновения госва Русь кто такие русыи откуда взялось название страны Русь кто были варяги. Немецкие ученые Байер и Миллер считали что слово русь означало название варяжского племени пришедшее с Рюриком что Древнерусское госва было создано норманнамиварягами. Название русь он связал с древним народом сарматамироксаланами и с названием реки Рось. В современной отечественной и зарубежной науке большинство ученых склоняется к мнению о скандинавском происхождении термина русь.
31042. Русь при Владимире 1 и Ярославе Мудром. Внешняя и внутренняя политика. Крещение и распространение христианства на Руси 31 KB
  Русь при Владимире 1 и Ярославе Мудром. шла междоусобица сыновей Святослава которую выиграл Владимир9801015. При Владимире завершилось объединение восточнославянских земель. При Владимире в Древнерусское госво вошли червенские земли земли радимичей северных угрофинов и др.
31043. Древнерусское общество и государство в 9-12 веках 31 KB
  Завещание разделило русскую землю на уделы. Это означало окончательный распад Руси на уделы. Постепенно малые бедные окраины стали превращаться в цветущие и сильные уделы. Многие уделы он сконцентрировал в руках своих сыновей.
31044. Тенденции развития различных древнерусских земель в 12 – начале 13 веков. Крупнейшие княжества и земли 33 KB
  Условной датой начала раздробленности на Руси считают 1132г когда умер Мстислав сын Мономаха и раздрася вся русская земля. Время раздробленности на Руси тянулось с начала 12века по147080г. На юге и юговостоке Руси неособо любили метсное боярство поэтому занятие киевского престола всякий раз обуславливалось сочетанием борьбы. В Западной Руси сильны были федеративные тенденции.
31045. Русь в международных отношениях 11-13веков: отношения с Великой Степью, Византией и Западной Европой 30.5 KB
  Первая встреча русских с монголотатарами произошла 31 мая 1223г. Впоследствии установилась зависимость русских земель от державы Батыя продлившаяся для СевВост Руси до 1480г а для Южной до 1362г. Эти 2 победы были очень важны: они прервали череду поражений русских для церкви же особенно было важно недопущение католического влияния на русских землях.
31046. Альтернативы объединительных процессов на Руси. Центры объединения русских земель в 14-15веках. Московская и Литовская Русь 31 KB
  Альтернативы объединительных процессов на Руси. Главными центрами объединения Руси выступили в 14в. Но реализовать свой шанс на объединение всей Руси этому княжеству не удалось во многом решающую роль здесь сыграли религиозные противоречия и сближение Литвы с Польшей что впоследствии преобразится в Речь Посполитую1569г. В Москву же была перенесена резиденция митрополита всея Руси.
31047. Природа социально-политического строя Московской Руси в 15-16веках. Российское гос-во при Иване 3 и Василии: органы централизованого и местного управления, доктрина Москва – Третий Рим, нарпавленность внешней политики 30 KB
  Российское госво при Иване 3 и Василии: органы централизованого и местного управления доктрина Москва Третий Рим нарпавленность внешней политики. москвичи осадили Тверь и с этого момента ученые обычно отсчитывают историю единого Московского госва. При Иване 3 уделов не стало он оказался государем всея Руси. Для централизованных стран харрно: сильный гос аппарат в центре чиновничество единое войско законодательство суд единообразное налогооблажение.