40798

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере...

Русский

2013-10-22

64.74 KB

11 чел.

Лекция 18. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  1.  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  2.  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40600. Формирование документа XML и его DTD 570.5 KB
  Язык XML – это язык разметки, описывающий целый класс объектов данных, называемых документами XML. Документы XML обычно хранятся в виде текстовых файлов с расширением
40601. Подход RАD. Стадии реализации и внедрения 19.83 KB
  На данной фазе разработчики производят итеративное построение реальной системы на основе полученных в предыдущей фазе моделей а также требований нефункционального характера. Тестирование системы осуществляется непосредственно в процессе разработки. После окончания работ каждой отдельной команды разработчиков производится постепенная интеграция данной части системы с остальными формируется полный программный код выполняется тестирование совместной работы данной части приложения с остальными а затем тестирование системы в целом. Завершается...
40602. Стандарты проектирования 26.29 KB
  Важнейшие шаги процесса BSP их последовательность получить поддержку высшего руководства определить процессы предприятия определить классы данных провести интервью обработать и организовать данные интервью можно встретить практически во всех формальных методиках а также в проектах реализуемых на практике. ISO IEC 12207:1995 стандарт на процессы и организацию жизненного цикла. В соответствии с базовым международным стандартом ISO IEC 12207 все процессы ЖЦ ПО делятся на три группы: 1.
40603. Стандарты проектирования. АИС 53 KB
  Вендрова Проектирование ПО Ход урока Организационный момент 24 мин: Приветствие оформление документов к занятию Повторение пройденного материала применяемая методика выводы1520 мин Устные ответы на вопросы: Дайте характеристику стадии реализации по классической схеме Дайте характеристику стадии реализации по методологии RD Дайте характеристику стадии внедрения по классической схеме Дайте характеристику стадии внедрения по методологии RD Как осуществляется оценка размера приложений Перечислите основные...
40604. Создание SADT-диаграмм по произвольным проектам 574.5 KB
  Стандарт IDEF0 базируется на трех основных принципах: Принцип функциональной декомпозиции любая функция может быть разбита на более простые функции; Принцип ограничения сложности количество блоков от 2 до 8 в BPwin условие удобочитаемости; Принцип контекста моделирование делового процесса начинается с построения контекстной диаграммы на которой отображается только один блок главная функция моделирующей системы. Диаграммы главные компоненты модели все функции и интерфейсы на них представлены как блоки и дуги. Место соединения дуги...
40605. Создание ERD диаграмм методом IDEF I 499.5 KB
  Панель Toolbox Вид кнопки Назначение кнопки Создание новой сущности. Для установки категориальной связи нужно щелкнуть по кнопке далее по сущностиродителю и затем по сущностипотомку. Для связывания двух сущностей нужно щелкнуть по кнопке далее по сущностиродителю затем по сущностипотомку. Создание связи многие ко многим Создание неидентифицирующей связи После создания сущности ей нужно задать атрибуты.
40606. Построение диаграмм вариантов использования 70.24 KB
  Краткие сведения о диаграмме вариантов использования. Диаграмма вариантов использования является самым общим представлением функциональных требований к системе. Для последующего проектирования системы требуются более конкретные детали которые описываются в документе называемом сценарием варианта использования или потоком событий flowofevents.
40607. Построение диаграмм классов 196.48 KB
  Повторить общие сведения о диаграммах классов Построить диаграмму классов Сформировать отчет по практической работе №7 После того как мы определились с функциональными требованиями к системе и её границами начнём анализировать предметную область с целью построения диаграммы классов. Основные элементы диаграммы классов Основными элементами являются классы и связи между ними. Ассоциация ssocition представляет собой отношения между экземплярами классов.
40608. Построение диаграмм состояний 263.95 KB
  Повторить общие сведения о диаграммах состояний Построить диаграмму состояний Сформировать отчет по практической работе №8 Диаграмма состояний определяет последовательность состояний объектавызванных последовательностью событий. Порядок построения диаграммы Создайте диаграмму состояний для объектов класса Заказ. Соответствующая диаграмма состояний представлена на рисунке: Сохраните диаграмму.