40798

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере...

Русский

2013-10-22

64.74 KB

11 чел.

Лекция 18. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  1.  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  2.  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12323. Никола Макиавелли 25.77 KB
  СӨЖ Тақырыбы: Никола Макиавелли Никола Макиавелли Қайта өрлеу дәуірінің көрнекті өкілі буржуазиялық саяси ілімінің негізін қалаушы Никола Макиавелли саяси қайраткер дипломат және тарихшы ретінде де кеңінен танылады. Мемлекет және құқық концепциясы тарихын
12324. Әлемдік әлеуметтанудың қалыптасуы мен даму тарихы 132.16 KB
  ІІ дәріс. Әлемдік әлеуметтанудың қалыптасуы мен даму тарихы. 1. Антикалық және Ортағасыр дәуіріндегі әлеуметтік ойлар. 2. Жаңа заман мен Ағартушылар дәуіріндегі әлеуметтік тұжырымдамалар. 3. Әлеуметтану ғылымының классика...
12325. Саясаттану пәнінен 1-аралық бақылау сұрақтары 43.18 KB
  Саясаттану пәнінен 1аралық бақылау сұрақтары Саясаттану ғылым ретінде Саясаттану ғылымының атқаратын қызметтері Саяси ойшылдардың саясатқа берген анықтамалары Саясаттанудың деңгейлері Саясаттанудың парадигмалары Ежелгі дәуірдегі саяси ойшылд
12326. Эмпирикалық әлеуметтану бойынша глоссарий 15.16 KB
  Эмпирикалық әлеуметтану бойынша глоссарий Эмпирикалық әлеуметтану нақты зерттеулер жүргізуді осылардың негізінде арнаулы әдістер қолдану сұрау бақылау тәжірибе арқылы жаңа фактілерді жинап талдауды қорытындылауды айтады Интервью көсемсөз жанры журналист
12327. Тақырыбы: Томас Джефферсонның саяси-құқықтық көзқарасы 43.85 KB
  СӨЖ Тақырыбы: Томас Джефферсонның саясиқұқықтық көзқарасы АҚШ тарихы ХVІІІ ғасырдың соңғы ширегі мен ХІХ ғасырлардың басында әлемге көрнекті саңлақтар тобын берді. Олар әр қилы көзқарасты ұстанып әр түрлі партиялардың құрамында болғанымен барлығы да америка
12328. Саяси процесс туралы ұғым 54 KB
  Саяси процесс туралы ұғым Саяси процесс ұғымы кең және тар мағынасында қолданылады. Кең мағынасында ол коғамның саяси жүйесінің уакыт пен кеңістікте дамып жұмыс істеуін білдіреді. Тар мағынасында түпкілікті нақты нәтижеге жеткен белгілі бір көлемдегі процесті көрсет
12329. Аралық бақылау сұрақтары 472.21 KB
  I IIаралық бақылау сұрақтары 1.Социология дегеніміз қандай ғылым. 2.Социологиялық ұғымдарлың ерекшеліктері. 3.Социологиялық парадигмалардың сипаттамалары. 4.Социологияның өмірге келуінің саяси әлеуметтік экономикалық рухани алғышарттары. 5.Социологияның атқара...
12330. ӘЛЕУМЕТТАНУ ҒЫЛЫМ РЕТІНДЕ 838.5 KB
  І. ӘЛЕУМЕТТАНУ ҒЫЛЫМ РЕТІНДЕ Әлеуметтанудың объектісі пәні мен әдістері. Әлеуметтанудың құрылымы мен білім деңгейлері. Әлеуметтанудың атқаратын қызметі функциясы. Әлеуметтанудың басқа қоғамдық және гуманитарлық ғылымдармен байланысы. 1. ӘЛЕУМЕТТАНУ
12331. ӘЛЕУМЕТТІК ИНСТИТУТТАР МЕН ӘЛЕУМЕТТІК ҰЙЫМДАР 272.5 KB
  Екіншіден, ұйым деп құрылымның элементтерінің тәртіптелу деңгейі, объектінің ішкі құрылымын айтамыз. Бұл мағынада объектінің жоғары немесе төмен ұйымдасқандығы туралы айтады. Барлық әлеуметтік объектілердің өзінің ұйымы бар, яғни өзін құрайтын элементтердің байланыстары бар.