40798

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция

Физика

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или и наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами. Характеристики несинусоидальных величин Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты приведены на примере...

Русский

2013-10-22

64.74 KB

11 чел.

Лекция 18. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  1.  в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  2.  в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1.  Максимальное значение - .
  2.  Действующее значение - .
  3.  Среднее по модулю значение - .
  4.  Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
  5.  Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
  6.  Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
  7.  Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
  8.  Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

 

  .

(1)

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;  - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты  и  определяются по формулам

;

.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

  1.  Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство  (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

  1.  Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству  (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о  действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть . Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть  и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь .

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры  и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1.  ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2.  Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3.  Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51110. Исследование переходных характеристик типовых динамических звеньев 96.48 KB
  Для апериодического звена первого порядка графически определить постоянную времени и коэффициент передачи. Теоретические сведения Пусть имеем дифференциальное уравнение динамики звена второго порядка Его можно записать в общем виде 1 Где оператор Лапласа; постоянные времени; коэффициент усиления передаточное число. При сравнении красного и зеленного графиков можно сделать вывод о том что постоянная времени T1 прямо пропорциональна длительности переходного процесса т. чем больше постоянная времени T1 тем дольше идет...
51112. Изучение переходных характеристик типовых динамических звеньев 64.46 KB
  Цель: Изучение переходных характеристик типовых динамических звеньев. Задача: Ознакомиться с программой снятия переходных характеристик. Произвести снятие переходных характеристик для различных значений параметров.
51113. Разработка калькулятора с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox 64.94 KB
  Разработать калькулятор с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox. Сделать проверку вводимых значений, реализовать 4 действия: сложение, умножение, деление, вычитание. Код программы...
51114. Изучение переходных частотных типовых динамических звеньев 63.73 KB
  Сравнить полученные графики с табличными и сделать выводы. Теоретические сведения Частотными характеристиками называются формулы и графики характеризующие реакции звена или системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме вынужденные синусоидальные колебания звена. В данном случае имеет место опережение по фазе так как график лежит в первой четверти. Форсирующее звено 2го порядка 1 3000 V К=15 Т1=7 Т2=5 150000 V
51116. Метрологическая надежность средств измерений 427.81 KB
  Метрологической надежностью называют способность СИ сохранять установленное значение метрологических характеристик в течение заданного времени при определенных режимах и условиях эксплуатации.
51117. Исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев 24.84 KB
  Цель работы: исследование амплитудных и фазовых частотных характеристик типовых динамических звеньев. Задачи: Ознакомиться с программой для исследования амплитудной частотной АЧХ и фазовой частотной ФЧХ характеристик типовых динамических звеньев. Произвести снятие частотных характеристик для различных значений параметров.