40800

Способы составления характеристического уравнения

Лекция

Физика

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. путем исключения из системы уравнений описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа всех неизвестных величин кроме одной относительно которой и записывается уравнение 2; путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе; на основе выражения главного определителя. Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на...

Русский

2013-10-22

81.02 KB

6 чел.

Лекция 20. Способы составления характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

  1.  непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);
  2.  путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;
  3.  на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения  на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

jw заменяется на оператор р;

полученное выражение  приравнивается к нулю.

Уравнение

совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

.

Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

или

.

(1)

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

 

.

Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом

В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

  1.  Запись выражения для искомой переменной в виде

.      

(2)

  1.  Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.
  2.  Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t - см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.
  3.  Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).
  4.  Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом


1.
Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении
к источнику напряжения

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

а)   

б) .

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

.   

(3)

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

.      

  (4)

Характеристическое уравнение

,

откуда  и постоянная времени .

Таким образом,

.          

(5)

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

.

В соответствии с первым законом коммутации . Тогда

,

откуда .

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

,

а напряжение на катушке индуктивности – выражением

.

Качественный вид кривых  и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

,

где .

Отсюда

.

Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,

.

Поскольку , то

.

Таким образом, окончательно получаем

.     

  (6)

Анализ полученного выражения (6) показывает:

  1.  При начальной фазе напряжения  постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.
  2.  При  свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если  значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса  может существенно превышать амплитуду     тока     установившегося     режима.   Как видно   из  рис. 4,     где

, максимум тока имеет место примерно через . В пределе при   .

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: .

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени  цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: .

 

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности
от источника питания

При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности .

Характеристическое уравнение

,

откуда  и .

В соответствии с первым законом коммутации

.

Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

и напряжение на катушке индуктивности

.   

(7)

Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при  модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

3. Заряд и разряд конденсатора

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

.

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе .

Из характеристического уравнения

определяется корень . Отсюда постоянная времени .

Таким образом,

.

При t=0 напряжение на конденсаторе равно  (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда  и

.

Соответственно для зарядного тока можно записать

.

В зависимости от величины : 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 -  - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор  (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени .

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения  (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

.

Соответственно разрядный ток

.           

(8)

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина  должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59440. Сценарій свята: Наша мова солов’їна 96 KB
  Поетична грань живе у слові, і слово немислиме без неї, як немислима річка без води. “Рідна мова дорога людині як саме життя” – говорить народна мудрість. Адже без мови не може існувати народ та його культура. Рідне слово порівнюють з хлібом, мову називають солов’їною, дивом калиновим.
59441. Сценарій свята: Україно! Це твої символи 30 KB
  Ознайомити учнів з історією України її символами виховувати в них національну свідомість розуміння своєї причетності до долі України. Карта України Акт проголошення незалежності на плакатах зображення герба України прапора на столі хліб на вишитому рушнику...
59442. Сценарій: Урок математики з інсценуванням та елементами гри 58.5 KB
  І знову дзвоник запрошує в клас, У царство логіки, краси і сили. Багато тут цікавого для нас У зоряні хвилин ми відкрили.
59443. Сценарій вечора на тему: “А нумо, хлопці”, присвячений Дню Вітчизни 32 KB
  В змаганнях приймає участь вся команда Кожний учасник дістає по чотири дощечки. Перемагає та команда яка швидше прийшла до фінішу. В його відсутності команда противника договорюється що будуть робити показувати. Повернувшись він відгадує що протилежна команда показує городні роботи.
59444. Сценарій вечора на тему: Нумо, дівчата 37 KB
  Стрибок через козла ноги нарізно біг по колоді біг по коридору з 6 обручів на віддалі 23 м два кувирки вперед біг стрибки з скакалкою. €œВеселі старти Стрибки з скакалкою: 1. Стрибки і біг з перешкодами: Стрибок через козла кувирок вперед...
59445. Cценарій: Інтелектуальна гра — КВК 45.5 KB
  Котра команда назбирає в своїй; карбничці більше фішок та і буде переможцем. Та от дружбу ціним більше Сперечатися не будем. Завдання: з поданих літер за 1 хв скласти якомога більше слів АБИ брат краб бант танк кат раб кабан.
59446. Сценарій: Інтелектуально-розважальна гра “Калейдоскоп” 49 KB
  Все починається зі слова. Шевченко: Ну що здавалося б слова Слова та голос більш нічого. На цій станції наші гравці покажуть який словарний запас української мови вони мають. Команди зачитують слова чиє слово буде останнє той і переміг.
59447. Cценарій святкової лінійки: Спорт, туризм, здоровя 26.5 KB
  Що тільки людина посіє - те й пожне. Порушиш правила здоровя - пожнеш хворобу. Тому сьогодні особливо важливо сформувати потребу в здоровому способі життя, а також в задоволенні від повноцінного життя.
59448. Сценарій концерту, присвячений Дню Вчителя: Учителю, ти є і будеш вічно! 50 KB
  Всім у цей день веселитись Сміятись співати на жарт не скупитись. Хай кращою буде учительська Доля Щоб добре вам всім працювалось у школі Рятує хай ангел-спаситель всіх вас Щасливі й здорові були щоб весь час.