40802

Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Метод переменных состояния Уравнения элекромагнитного состояния это система уравнений определяющих режим работы состояние электрической цепи. Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка которые разрешены относительно производных т. Количество переменных состояния а следовательно число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии. К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования: независимость уравнений; возможность...

Русский

2013-10-22

64.54 KB

9 чел.

Лекция 22. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости  или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени  к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением  произвольной формы. Для нахождения тока  в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения  и всех ступенек напряжения до момента t,  вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения  , равна .

В момент времени  имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток  в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

.

Заменяя конечный интервал приращения времени  на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.     

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости  будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

  1.  Определение функции  (или ) для исследуемой цепи.
  2.  Запись выражения  (или ) путем формальной замены t на .
  3.  Определение производной .
  4.  Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

  1.  Переходная проводимость

.

  1.  .
  2.  .
  3.                    

Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

-независимость уравнений;

-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные  и  с самими переменными  и  и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

;

(2)

.

(3)

Здесь  и  - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени;  - матрица-столбец источников внешних воздействий;  - столбцовая матрица выходных (искомых) величин;  - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби;  - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m);  - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n);  - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи  и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

;    

(4)

;    

  (5)

.          

(6)

Поскольку  с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

или в матричной форме записи

.

  А

 В

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

.

С 

D

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

 Таблица 1.  Таблица соединений

 

11

22

u

33

-1

0

0

44

1

1

1

J

1

0

 

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство  тривиально)

,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

.

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

        

(7)

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

.

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34451. Борьба Руси против внешних вторжений в XIII в 41 KB
  Затем монголы отправились к границам Руси. После захвата Владимира воины Батыя взяли штурмом еще 14 городов СевероВосточной Руси. После разгрома ВладимироСуздальской Руси войска Батыя вторглись в пределы Новгородской земли.
34452. Объединение русских земель вокруг Москвы в XIV – XV вв. Противостояние Орде 18.18 KB
  Увеличивались площади пахотных земель совершенствовались приемы обработки почвы землю стали удобрять навозом распространялось трехполье. Складываются экономические предпосылки к объединению русских земель. Необходимой предпосылкой объединения русских земель стало сохранение общего языка и православной веры общая культура и церковная организация во главе с митрополитом.
34453. Завершение объединения русских земель вокруг Москвы на рубеже XV–XVI вв. Ликвидация монголо-татарского ига 36.5 KB
  Завершение процесса объединения русских земель вокруг Москвы приходится на годы правления Ивана III 1462 1505 и Василия III 1505 1533. Иван III прекратил платить дань Орде. В борьбе с Ахмадом Иван III заручился поддержкой Крымского хана. Ко времени ликвидации монгольского ига Ивану III уже удалось присоединить многие земли северовосточной Руси.
34454. Московская Русь в эпоху Ивана Грозного 38.5 KB
  Московская Русь в эпоху Ивана Грозного. Вокруг молодого Ивана IV сложился круг близких к нему людей получивший у историков название Избранной рады. войско Ивана IV взяло штурмом Казань. Потрясением для Ивана IV стала смерть любимой жены Анастасии Романовой в 1560 г.
34455. Северное Возрождение в Германии. Живопись, рисунок, гравюра. Альбрехт Дюрер (1471—1528), М. Грюневальд, Л. Кранах, Г. Гольбейн Младший 18.63 KB
  Альбрехт Дюрер 1471 1528 М. С этим временем совпадает творчество самого крупного художника немецкого Возрождения Альбрехта Дюрера 1471 1528. В творчестве Дюрера как бы слились искания многих немецких мастеров: наблюдения над природой человеком проблемы соотношения предметов в пространстве существования человеческой фигуры в пейзаже в пространственной среде. По разносторонности по масштабу дарования по широте восприятия действительности Дюрер типичный художник Высокого.
34456. Искусство Западной Европы ХVII века. Барокко в Италии. Архитектура (Борромини, Бернини). Скульптура. Д.Л. Бернини. Творчество Караваджо – реформатора европейской живописи, основоположника реализма ХVII в 20.58 KB
  Барокко в Италии. Центром развития нового искусства барокко на рубеже XVI XVII столетий был Рим. представляется типичной для эпохи барокко. Мастера барокко порывают со многими художественными традициями Возрождения с его гармоничными уравновешенными объемами.
34457. Искусство Западной Европы ХVII века. Историческая ситуация во Фландрии. Особенности фламандского барокко. Творчество П.П. Рубенса. Современники Рубенса 19.92 KB
  Рубенса. Современники Рубенса. был Питер Пауль Рубенс 1577 1640. Рубенс был внесен в списки свободных мастеров гильдии св.
34458. Искусство Западной Европы ХVII века. Специфика голландской живописи. Творчество Ф. Хальса, В.Дельфтского, Рембрандта 19.83 KB
  Отсюда широкий диапазон живописи этого столетия узкая специализация по отдельным видам тематики: портрет и пейзаж натюрморт и анималистический жанр. прекрасно демонстрирует эволюция творчества одного из крупнейших портретистов Голландии Франса Халса около 1580 1666. В 10 30х годах Халс много работает в жанре группового портрета. Индивидуальные портреты Халса исследователи иногда называют жанровым в силу особой специфичности изображения.
34459. Искусство Западной Европы ХVII века. Своеобразие испанской культуры ХVII в. Творчество Д.С. Веласкеса 18.46 KB
  Веласкеса Со второй половины XV в. Самый замечательный художник золотого испанского века Диего Родригес де Сильва Веласкес 1599 1660. Веласкес севильянец учился у Пачеко. Интересно что у Веласкеса типичнейшего испанца почти отсутствуют произведения на религиозные сюжеты а те которые он избирает трактуются им близко к бодегонес как жанровые сцены Христос в гостях у Марии и Марфы.