40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36325. Назовите задачи анализа САУ. Приведите структурную схему одноконтурной САУ и определите ее характеристики по каналам задания, возмущения и ошибок по заданию и возмущению 31.76 KB
  Задачи анализа САУ: изучение их общесистемных свойств и условий выполнения их функций и достижения заданных целей. В результате анализа констатируются свойства системы в целом и количественно оценивается степень удовлетворения требований к процессу управления. Основные задачи анализа: Установление фактов инвариантности робастности устойчивости.
36326. Задачи распределения ресурсов 32.62 KB
  Задачи распределения ресурсов Предприятие можно рассматривать в виде некоторой системы переработки ресурсов по участкам производства или операциям. В качестве ресурсов рассматривают материалы средства труда деньги. В качестве модели объекта при решении задач распределения ресурсов являются соответственно его производственная или операционная структура которая охватывает элементы потребления рассматриваемых ресурсов. Структура металлургического завода Таким образом всегда имеется комплекс операций а некоторые операции можно выполнить...
36327. Измерение расхода методом переменного перепада давлений 18.86 KB
  Принцип действия расходомеров переменного перепада давления РППД основан на измерении в соответствии с уравнением Бернулли перепада статического Рс или полного Р давления потока среды на установленном в нем неподвижном первичном преобразователе ПП и вычислении по этому перепаду средней скорости движения среды и ее расхода. РППД определяет объемный или массовый расход G движущейся среды на основе его квадратичной зависимости от перепада давления Р на ПП: где К расчетный коэффициент учитывающий плотность среды и конструктивные...
36328. Информационно-советующие АСУ ТП 10.9 KB
  Эта АСУ ТП включает в себя локальные системы автоматического контроля и регулирования объединённые центральным ПУ на котором работает оператор. Вычислительный комплекс выполняет функции централизованного контроля вычисление некоторых показателей неподдающийся непосредственному измерению а также контроля работы и состояния оборудования т.
36329. Классификация САПР по сложности объекта проектирования, характеру и числу 36.91 KB
  Классификация САПР по сложности объекта проектирования характеру и числу. По характеру выполняемой проектной документации различают САПР выполняющие документы на бумажной ленте или листе на машинных носителях на фото носителях и комбинированные САПР. САПР бывают малой средней и высокой производительности одно двух и трехуровневые. При использовании мини ЭВМ комплекс технических средств САПР называется автоматизированным рабочим местом.
36330. Режимы работы АСУ ТП 11.5 KB
  Режимы работы АСУ ТП. АСУ ТП может работать в одном из следующих режимов работы. АСУ ТП выполняющая информационные функции. Эта АСУ ТП включает в себя локальные системы автоматического контроля и регулирования объединённые центральным ПУ на котором работает оператор.
36331. Задачи управления запасами 21 KB
  Если заказы на приобретение выдавать слишком часто то это приведет к повышенным расходам на оформление заказов и перестройку производства. На складе осуществляют оформление заказов на поставку продукции хранение продукции отгрузку ее заказчику. В качестве оценки эффективности решений обычно принимаются суммарные издержки учитывающие потери поставщика при пере стройках производства расходы на складские работы хранение оформление заказов и т.
36332. Импульсные регуляторы. Виды импульсной модуляции, достоинства 26.93 KB
  Импульсные регуляторы регуляторы дискретного действия в структуре которых имеется импульсный элемент преобразующий непрерывно изменяющуюся регулируемую величину в последовательность импульсов. Параметры импульсов меняются в соответствии со значениями входной величины модулирующего сигнала. Модулируемым параметром зависящем от значения входного сигнала х вх в начале очередного периода повторения импульсов Тп является высота амплитуда импульсов рис. В ЧИМ частота следования импульсов f = 1 Тп.
36333. Англійська мова. 8 клас. Підсумкові контрольні роботи. Відповіді з коментарями 16.62 MB
  Доценко І. В. Англійська мова. 8 клас (Підсумкові контрольні роботи. Відповіді з коментарями) Видання містить відповіді до завдань закритої форми і пропонує перекоади усхних відповідей до завдань відкритої форми. Для полегшення роботи додається переклад українскою мовою і коментарі до найскладніших моментів у завданнях