40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование – делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35016. Взаимосвязь инфляции и безработицы. Кривая Филлипса 25.5 KB
  Пытаясь искусственно добиться высокого уровня занятости соответственно сокращения безработицы государство выходит за максимально допустимые рамки вмешательства в рыночные процессы. В современных рыночных системах занятость становится подлинно полной и эффективной только тогда когда уровень безработицы близок к естественной норме а она как известно никак не может быть равна нулю. Все эти действия носят сугубо инфляционный характер ведут к сохранению по существу лишних рабочих мест поддержанию противоестественного уровня занятости...
35017. Деньги: сущность, функции, виды 38 KB
  Возникновение денег есть исторический процесс в основе которого лежит развитие товарного обмена. Функции денег. Сущность денег полнее проявляется в их функциях: меры стоимости средства обращения.
35018. Кредитно-денежные системы. Банки 26.5 KB
  Депозиты представляют собой все виды денежных средств переданных в банк их владельцами на временное хранение с предоставлением права использовать эти деньги для кредитования. Депозит до востребования это текущий лицевой счет с которого вкладчик может снять деньги в любое время. Срочные Депозиты это счета с которых вкладчик обязуется не брать деньги до истечения определенного срока. В связи с этим и банк может вкладывать полученные им в распоряжение деньги тоже лишь на определенный срок поэтому кредиты всегда выдаются лишь на...
35020. Операции банка 25 KB
  Операции банка делятся на пассивные по привлечению свободных денежных средств в банк и активные по размещению ссуд и кредитованию клиентов. Процент за предоставленные кредиты бывает выше чем за привлеченные вклады что представляет одну из составляющих прибыли банка. Кроме того банк организует операции по учету векселей. Банк покупает вексель удерживая из обозначенной на нем суммы учетный процент что также составляет прибыль банка на этой операции.
35021. Мультипликатор Депозитный 18.33 KB
  Денежные агрегаты Показателями структуры денежной массы являются денежные агрегаты. Денежными агрегатами называются виды денег и денежных средств отличающиеся друг от друга степенью ликвидности возможностью быстрого превращения в наличные деньги. В разных странах выделяются денежные агрегаты разного состава. Денежные агрегаты представляют собой иерархическую систему каждый последующий агрегат включает в свой состав предыдущий.
35022. Денежно-кредитная (или монетарная) политика 16.22 KB
  Воздействие на макроэкономические процессы инфляцию экономический рост безработицу осуществляется посредством денежнокредитного регулирования. Обычно денежнокредитная политика ЦБ направлена на достижение и сохранение финансовой стабилизации в первую очередь укрепление курса национальной валюты и обеспечение устойчивости платежного баланса страны. Денежнокредитное регулирование это совокупность конкретных мероприятий центрального банка направленных на изменение денежной массы в обращении объема кредитов уровня процентных ставок и...
35023. Федеральные финансы 23.5 KB
  Главное место в системе финансов государства занимает государственный бюджет являющийся мощным рычагом регулирования национальной экономики средством воздействия стимулирующего или сдерживающего на хозяйственную конъюнктуру экспорт ноимпортный баланс и т. С одной стороны федеральный бюджет это детально разработанный многоплановый документ сводный план доходов и расходов государства. С другой стороны федеральный бюджет представляет собой централизованный фонд денежных средств которыми располагает высшая исполнительная власть для...
35024. Введение в систему MathCad 308.68 KB
  Целью работы является ознакомление с системой MathCad, изучение ее интерфейса и произведение требуемых расчетов, а так же изучение встроенных функций MathCad