40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15722. Сертификация в Японии 132.56 KB
  Общие положения сертификации в Японии. Сертификация импорта в Японии Заключение Список литературы Введение Рыночная система хозяйствования имеет множество преимуществ по сравнению например с командноадмин...
15723. Роль руководства в системе качества и оргструктуре предприятия 34.5 KB
  Роли руководства в системе качества и оргструктуре предприятия Линейно-функциональная схема управления предприятием использующая в основном вертикальные а не горизонтальные связи затрудняет внедрение системы менеджмента качества. Основные проблемы с качест...
15724. Типовые ошибки при создании и внедрении системы качества на предприятиях 33 KB
  Типовые ошибки при создании и внедрении системы качества на предприятиях 1. Ограждение генерального директора от принятия решений по системе качества СК. Создание СК как автономно действующий аналог старой КС УКП без пересмотра всей системы управления предприя
15725. Этапы совершенствования управления качеством в Японии 40 KB
  Этапы совершенствования управления качеством в Японии. Если в довоенный период к числу наиболее знаменательных событий произошедших в Японии и связанных с совершенствованием управления качеством можно отнести лишь установление в 1921 г. технических стандартов то в...
15726. Бетоносмеситель СБ-103 341 KB
  Курсовая работа По дисциплине: Автоматизация проектирования на тему: Бетоносмеситель СБ103 СОДЕРЖАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ БЕТОНОСМЕСИТЕЛЕЙ ПРИНЦИП РАБОТЫ И НАЗНАЧЕНИЕ МАШИНЫ ТЕХНИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА БЕТОНОСМЕСИТЕЛЯ СБ10...
15727. АТП на 150 автомобилей ВАЗ-2104 и 200 грузовых автомобилей ГАЗель 364.5 KB
  Расчетнопояснительная записка к курсовому проекту на тему: АТП на 150 автомобилей ВАЗ2104 и 200 грузовых автомобилей ГАЗель Введение Курсовое проектирование по кафедре Автомобильный транспорт имеет своей целью закрепление знаний по дисциплине Производственноте...
15728. Дизельные генераторы KDE12EA3 157.97 KB
  Дизельные генераторы KDE12EA3 Дизельные генераторы KIPOR KDE12EA3 имеют новый автоматический регулятор напряжения обеспечивающий высокую точность значения выходного напряжения и мощный дизельный двигатель KD2V86F. Генератор обладает номинальным напряжением 380 / 220В номинальной с
15729. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ СИСТЕМ ПИТАНИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ 116.9 KB
  Реферат на тему ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ СИСТЕМ ПИТАНИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ Техническое обслуживание системы питания карбюраторного двигателя Неисправности системы питания заключаются в...
15730. Маркировка автомобильных шин 140.17 KB
  Маркировка автомобильных шин Автомобильные шины маркируются алфавитноцифровым кодом который обозначается на борту шины. Этот код определяет размеры шины и некоторые из ее ключевых характеристик типа индикаторов нагрузки и скорости. Иногда внутренний борт шины со