40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование – делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38517. Раскрытие юридического механизма действия уголовно-правовой нормы об убийстве, совершенном при превышении пределов необходимой обороны 467 KB
  Равно как и тесно связанный с ним являющийся как бы его частью институт превышения пределов необходимой обороны.37 УК РФ не является преступлением причинение вреда посягающему лицу при защите личности и прав обороняющегося или других лиц интересов общества или государства от общественно опасного посягательства если при этом не допущено превышения пределов необходимой обороны. Стало быть превышение пределов необходимой обороны – действие преступное.
38518. Общие сведения работы на предприятии, санитарно-технические требования и пошаговое приготовление блюд (Борщ и куриные котлеты на косточке) 845 KB
  Исторически борщ — это национальное блюдо Древнего Рима, где специально для него выращивали много капусты и свеклы. Из Рима этот прекрасный суп постепенно проник в кулинарии многих народов мира, в каждой из них приобретая свои особенные национальные черты.
38519. Разработка базы данных «Кредитование клиентов» 430 KB
  Одной из постоянных проблем персональных компьютеров является нехватка памяти. Как правило, персональный компьютер мы используем в ежедневной работе, учебе, отдыхе, играх. Поэтому очень важно, чтобы ваш ПК имел достаточное количество памяти для хранения различного рода информации
38520. Разработка дизайн-проекта актового зала ГБОУ СПО (ССУЗ) «Златоустовский Металлургический колледж» а с учетом эргономических требований 20.98 MB
  Сначала роль электрической лампочки выполняли обычные свечи рисунок 1 позже им на смену пришел керосин рисунок 2 потом появились газовые фонари рисунок 3. Рисунок 1 – Свеча Рисунок 2 – Керосиновая лампа Рисунок 3 – Газовый фонарь Кованые фонари издавна использовались не только как средство освещения улицы или помещения но и как красивое украшение. Рисунок 4 Кованый фонарь Рисунок 5 Кованые фонари Рисунок 6 ...
38522. Технологічний процес виробництва НАД (нікотинамідаденіндинуклеотиду) 1.51 MB
  Складено аналітичний огляд літератури щодо властивостей сучасних лікарських форм та галузей застосування коферментів. завдяки сучасним біотехнологіям отримало надзвичайні можливості щодо вирішення соціальних проблем пов’язаних з харчуванням зростаючого населення планети підтримкою здоров’я людини і навколишнього середовища поповненням джерел енергії та природних ресурсів [1]. Стан біотехнологічної галузі потребує великої уваги з боку держави тому що роль сучасної біотехнології є вирішальною для становлення економіки...
38523. РИСК И ПРИ ОПЕРАЦИЯХ С НЕДВИЖИМЫМ ИМУЩЕСТВОМ 128.5 KB
  1 РИСК И ПРИ ОПЕРАЦИЯХ С НЕДВИЖИМЫМ ИМУЩЕСТВОМ В операциях с недвижимостью риск может проявляться в более низкой чем планировалось ранее цене при продаже недвижимости; в более высоком чем предполагалось уровне операционных расходов при управлении недвижимости; в снижении фактической рентабельности инвестиционного проекта по сравнению с проектной и даже в утрате собственности как в связи с разрушением самого тела недвижимости так и по причине потери прав на недвижимость. Целесообразно рассмотреть общую классификацию рисков...
38524. Електропостачання виробничого цеху деревообробного комбінату ТОВАРИСТВА «ДНІПРОВУД» 1.77 MB
  Потужність двигунів коливається від 55 до 37 кВт. При напрузі розподільної мережі 10 кВ двигуни середньої потужності 3501000 кВт потрібно використовувати на напругу 6 кВ з використанням в необхідних випадках схеми блоку трансформатордвигун при невеликій кількості двигунів на 6 кВ.1 – Відомість електричних приймачів цеху Номер на плані Найменування електроприймачів Кількість Рн кВт соsφ tgφ Кв 1 Верстат багатопильний 1 37 065 117 017 28 Лінія форматної обробки 2 55 05 17 014 3 Лінія для вирізання сучків 1 66 06 13 016 4...
38525. Рост и развитие сортов хризантем, их декоративные качества и изыскания путей повышения их устойчивости к неблагоприятным факторам окружающей среды с помощью регуляторов роста 435.5 KB
  Сегодня в России и за рубежом многие селекционеры работают с хризантемами совревнуясь выводя все новые сорта более приспособленные к условиям различных климатических зон. Древние китайские оригинаторы из невзрачных диких форм вывели роскошные крупные сорта с разнообразной формой цветка и окраской соцветий. В нашей стране сорта хризантем подразделяют на три группы крупноцветковые среднецветковые и мелкоцветковые. По срокам цветения сорта хризантем подразделяются на четыре группы: ранние средние среднепоздние и поздние.