40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование – делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

1 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36333. Англійська мова. 8 клас. Підсумкові контрольні роботи. Відповіді з коментарями 16.62 MB
  Доценко І. В. Англійська мова. 8 клас (Підсумкові контрольні роботи. Відповіді з коментарями) Видання містить відповіді до завдань закритої форми і пропонує перекоади усхних відповідей до завдань відкритої форми. Для полегшення роботи додається переклад українскою мовою і коментарі до найскладніших моментів у завданнях
36334. Классификация САПР по типу и разновидности объектов проектирования 12.38 KB
  Классификация САПР по типу и разновидности объектов проектирования. САПР классифицируются по ГОСТ 23 501. Основные признаки характеризующие САПР: Тип. Число уровней в структуре технического обеспечения САПР.
36335. Методы измерения температуры, бесконтактный метод 56.5 KB
  О температуре нагретого тела можно судить на основании измерения параметров его теплового излучения представляющего собой электромагнитные волны различной длины. Термометры действие которых основано на измерении теплового излучения называются пирометрами. Физические тела характеризуются либо непрерывным спектром излучения твердые и жидкие вещества либо избирательным газы. Эта связь описывается законом Планка: где М0λТ – плотность мощности излучения испускаемого телом находящимся при температуре Т на длине волны λ Т –...
36336. Методы измерения температуры 12.61 KB
  Методы измерения температуры. Существует два метода измерения температуры: контактный метод и бесконтактный. Из всего многообразия методов измерения температуры и измерительных средств в металлургии широкое распространение получили термопреобразователи сопротивления термоэлектрические преобразователи и пирометры излучения. Первые две разновидности датчиков используются для контроля температуры охлаждающей воды подогретых газов и воздуха поступающих к горелочным устройствам отходящих продуктов сгорания футеровки агрегатов жидких металлов...
36337. Назначение и правила выполнения структурной схемы комплекса технических средств автоматизации 54.21 KB
  Назначение и правила выполнения структурной схемы комплекса технических средств автоматизации. В самом общем виде структурная схема системы автоматизации представлена на рисунке 9. Система автоматизации состоит из объекта автоматизации и системы управления этим объектом. Благодаря определенному взаимодействию между объектом автоматизации и системой управления система автоматизации в целом обеспечивает требуемый результат функционирования объекта характеризующийся параметрами х1 х2хn Работа комплексного объекта автоматизации...
36338. Поясните понятие устойчивости линейной САУ. Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их 41.01 KB
  Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их. Устойчивость СУ по начм условиям по Ляпунову это свво системы без которого она не работоспособна. устойчива то затухают все составляющее свободных движений вызванных любыми ненулми начми условиями.
36340. Функциональная схема САР развернутым способом с изображением технологического оборудования. 37.53 KB
  Развернутый способ как правило применяют для наиболее сложных объектов автоматизации. Упрощенный способ применяют в основном для несложных объектов автоматизации. Изображение приборов и средств автоматизации при этом способе производят непосредственно на изображении технологического оборудования и трубопроводах. Приборы и средства автоматизации осуществляющие сложные функции контроль регулирование сигнализацию и т.
36341. Приведите классификацию, формулировки критериев устойчивости и поясните их 46.57 KB
  Для более сложных случаев разработаны критерии устойчивости т. Алгебраические позволяют судить об устойчивости по коэффициентам Ар. Критерий Гурвица: Для асимптотической устойчивости необходимо чтобы все миноры данной матрицы были положительными.