40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование – делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25319. Мозжечок 56.5 KB
  Полушария мозжечка делят па переднюю долю и заднюю долю; последнюю разделяют еще на две части. Филогенетически наиболее молодым образованием мозжечка является передняя часть задней доли новый мозжечок; она достигает максимального развития у человека и высших обезьян. Верхняя поверхность полушарий мозжечка состоит из серого вещества толщиной от 1 до 25 мм называемого корой мозжечка. В белом веществе мозжечка составляющем основную его массу находятся скопления серого вещества ядра мозжечка.
25320. Промежуточный мозг и подкорковые ядра 54 KB
  Функционально все ядра таламуса делят на две большие группы специфические и неспецифические. Специфические ядра таламуса имеют прямые связи с определенными участками коры больших полушарий. Неспецифические же ядра в большинстве случаев передают сигналы в подкорковые ядра от которых импульсы поступают одновременно в разные отделы коры.
25321. Кора больших полушарий головного мозга 27.5 KB
  Ритмы электроэнцефалограммы. Альфаритм это ритмические колебания потенциала почти синусоидальной формы частотой 8 13 в секунду с амплитудой до 50 мкв. Альфаритм отчетливо выражен если испытуемый человек находится в условиях физического и умственного покоя лежа или сидя в удобном кресле с расслабленной мускулатурой и закрытыми глазами при отсутствии внешних раздражений. Многие исследователи считают что существует две области коры в которых альфаритм имеет наибольшую амплитуду и характеризуется большим постоянством: одна из них...
25322. Физиологическое значение коры больших полушарий 30 KB
  Пирамидные нейроны осуществляют эфферентную функцию коры преимущественно через пирамидный тракт и внутрикорковые процессы взаимодействия между удаленными друг от друга нейронами. Наиболее крупные пирамидные клетки гигантские пирамиды Беца находятся в передней центральной извилине моторной зоне коры. Функциональной единицей коры является вертикальная колонка взаимосвязанных нейронов.
25323. Структурно-функциональные особенности вегетативной НС 31 KB
  Вегетативной нервной системой называют совокупность эфферентных нервных клеток спинного и головного мозга а также клеток особых узлов ганглиев иннервирующих внутренние органы. Эфферентные пути симпатической нервной системы начинаются в грудном и поясничном отделах спинного мозга от нейронов его боковых рогов. Эфферентные пути парасимпатической нервной системы начинаются в головном мозге от некоторых ядер среднего и продолговатого мозга и в спинном мозге от нейронов крестцового отдел а. ФУНКЦИИ СИМПАТИЧЕСКОЙ НС С участием симпатической...
25324. Механизм образования и значение условных рефлексов 37 KB
  запах мяса для слюнного рефлекса и искусственные на посторонние сигналы например запах мяты; 2 наличные и следовые на условный сигнал непосредственно предшествующий безусловному подкреплению и на его следовое влияние; положительные с активным проявлением ответной реакции и отрицательные с ее торможением; 4 условные рефлексы на время при ритмической подаче условных сигналов ответная реакция появляется через заданный интервал даже при отсутствии очередного сигнала; 5 условные рефлексы первого порядка на один предшествующий...
25325. Высшая нервная деятельность 31 KB
  Синтетическая деятельность коры полушарий большого мозга обеспечивает объединение сигналов поступающих от различных анализаторов от органов чувств от функциональных центров нервной системы. Такая синтетическая деятельность мозга человека возможна благодаря многочисленным и разнообразным ассоциативным связям между различными отделами центральной нервной системы. Типы нервной системы Нервные реакции в организме у разных людей отличаются по силе подвижности и уравновешенности. На основании этих трех признаков в первую очередь силы нервных...
25326. Первая и вторая сигнальные системы 44 KB
  И у человека вырабатываются условные рефлексы на различные сигналы внешнего мира или внутреннего состояния организма если только различные раздражения экстеро или интерорецепторов сочетаются с какимилибо раздражениями вызывающими безусловные или условные рефлексы. И у человека при соответствующих условиях возникает внешнее безусловное или внутреннее условное торможение. И у человека наблюдается иррадиация и концентрация возбуждения и торможения индукция динамическая стереотипия и другие характерные проявления условнорефлекторной...
25327. Типы высшей нервной деятельности 36.5 KB
  Современное представление об анализаторах как сложных многоуровневых системах передающих информацию от рецепторов к коре и включающих регулирующие влияния коры на рецепторы и нижележащие центры привело к появлению более общего понятия сенсорные системы. 0036 Рецепторы и их свойства Рецепторами называются специальные образования преобразующие энергию внешнего раздражения в специфическую энергию нервного импульса. Все рецепторы по воспринимаемой среде делятся на экстерорецепторы принимающие раздражения из внешней среды рецепторы органов...