40803

Сущность операторного метода

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р а интегрирование делением на него что в свою очередь определяет переход от системы интегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Изображения типовых функций Оригинал А Изображение Некоторые свойства изображений Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых: . Законы...

Русский

2013-10-22

83.67 KB

2 чел.

Лекция 24. Операторный метод.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

 

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

  1.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

 

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

Тогда

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

 Закон Ома в операторной форме

Пусть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

Отсюда

,    

(2)

где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При  

.

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15011. Алғашқы қазақ газеттерінің тарихы 39.5 KB
  Алғашқы шығарылған қазақ газеттерінің тарихы. Кез келген әдебиет бір күннің төңірегінде өрбитін немесе белгілі бір тарихи кезеңнің оқиғасын баяндайтын тар ұғымды дүние емес. Мәдениеті бай елдердің әдебиеті де қаз тұрып қалыптасқанша қоғамның дамуы секілді т
15012. Алпамыс батыр дастанының зерттелуі 560 KB
  УДК 398.22 574 А 61 АЛПАМЫС БАТЫР ЖЫРЫНЫЊ ЗЕРТТЕЛУІ А. Аманбаева А. Мќашева Тараз мемлекеттік педагогикалыќ институты Тараз қ. Батырлар жыры ќазақ ауыз әдебиетінің өте ертеден келе жатқан күрделі саласының бірі. Батырлар жыры бір ғасырдың ғана жемісі емес.Ол...
15013. Алпамыс батыр жырын оқыту және тәрбие жұмыстары 42.5 KB
  ӘОЖ 373.371.83 АЛПАМЫС БАТЫР ЖЫРЫН ОҚЫТУ АРҚЫЛЫ ТӘРБИЕ ЖҰМЫСТАРЫНЫҢ ҚҰЗЫРЕТТІЛІГІН АРТТЫРУ З.Д. Көшімбетова Қ.А. Яссауи атындағы Халықаралық қазақтүрік университеті Тараз институты Тараз қ. Алпамыс батыр жыры қазақ халқының ауыз әдебиетіне жатады және жыр...
15014. Арқалық батыр жырының нұсқалары 230.5 KB
  Тақырыптың өзектілігі. Қазақ халқының кез келген халықтың эпикалық қазынасынан кем түспейтін телегей-теңіз мол, әрі көркемдігі кемел, танымдық-тағылымдық мәні зор жырларының басым көпшілігі, әлі де болса
15015. Асан Қайғы туралы аңыздар 176.5 KB
  Ұлттың рухы бейнеленген мұра халықтың асыл қазыналарының бірі екендігін тәуелсіздік мұраты жолында жаңа экономикалық және саяси-әлеуметтік реформаларды қарқынды...
15016. Ахмет Байтұрсынұлының Әдебиет танытқыш еңбегі ХХ ғасыр басындағы әдебиеттану ғылымының контексінде 190.5 KB
  ЖҰМЫСТЫҢ ЖАЛПЫ СИПАТТАМАСЫ Диссертациялық жұмыста ірі энциклопедист ғалым қазақ әдебиеттану ғылымындағы әдебиет теориясының негізін салушы Ахмет Байтұрсынұлының сөз өнерінің теориялық сипаты жөніндегі тұжырымдары талқыланып отыр. Ол тұжырымдар ғалымның 1926 жыл
15017. БАУЫРЖАН МОМЫШҰЛЫ ШЫҒАРМАЛАРЫНДАҒЫ АБАЙ ДӘСТҮРІ 72 KB
  БАУЫРЖАН МОМЫШҰЛЫ ШЫҒАРМАЛАРЫНДАҒЫ АБАЙ ДӘСТҮРІ Даурбекова Ширинкуль Седазымқызы Б. Момышұлы атындағы №44 орта мектеп. Шымкент қаласы Туады ерлер ел үшін Өлмейді ісі мәңгілік Өшпейді абзал есімдер. Ұрпаққа жетіп м
15018. Балалар әдебиеті кейіпкерлерінің тілдік тұлғасы (Б.Соқпақбаев, М.Гумеров, М.Қабанбаевтың шығармалары бойынша) 191 KB
  КІРІСПЕ Жұмыстың өзектілігі. Қазақ балалар әдебиеті өз даму кезеңінде өзіндік тарихы бар сала. Балаларға арналған әдебиет ұлт тарихында сонау ауыз әдебиетінен бастау алып қазіргі кезеңге дейін өзінің тілдік стильдік жағынан мазмұны мен құрылымы жағынан үлкен б
15019. БАТЫРЛАР ЖЫРЫ МЕН «ШАҺНАМА» ДАСТАНЫНДАҒЫ ТАҚЫРЫП ҮНДЕСТІГІ 55 KB
  Батырлар жыры мен Шаһнама дастанындағы тақырып үндестігі Ж. Қ. Әбдібаева Қ.Жұбанов атындағы Ақтөбе мемлекеттік университеті Ақтөбе қ Көркемдік дамудыңәдеби процестің маңызды бір заңдылығыәдеби байланыстарәдебиет әлеміндегі тоғысулар мен қарымқатынаста