40825

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА ЭВМ

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Подэтапы третьего этапа моделирования. Общая характеристика метода статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования. Примеры статистического использования Подэтапы третьего этапа моделирования Прежде чем приступить к последнему третьему этапу моделирования системы необходимо для его успешного проведения иметь чёткий план действий сводящийся к выполнению следующих основных подэтапов.

Русский

2013-10-22

207.5 KB

84 чел.

Лекция 14. Подэтапы третьего этапа моделирования. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА ЭВМ. Общая характеристика метода статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования. Основные предельные теоремы теории вероятности. Примеры статистического использования

Подэтапы третьего этапа моделирования

Прежде чем приступить к последнему, третьему, этапу моделирования системы, необходимо для его успешного проведения иметь чёткий план действий, сводящийся к выполнению следующих основных подэтапов.

3.1. Планирование машинного эксперимента с моделью системы. Планирование машинного эксперимента с указанием комбинаций переменных и параметров позволяет получить максимальный объём необходимой информации об объекте моделирования при минимальных затратах машинных ресурсов.

3.2. Определение требований к вычислительным средствам. Необходимо сформулировать требования по времени использования вычислительных средств, т.е. составить график работы на одной или нескольких ЭВМ, а также указать те внешние устройства ЭВМ, которые потребуются при моделировании.

3.3. Проведение рабочих расчётов. Рабочие расчёты на ЭВМ включают в себя: а) подготовку наборов исходных данных для ввода в ЭВМ; б) проверку исходных данных, подготовленных для ввода; в) проведение расчётов на ЭВМ; г) получение выходных данных, т.е. результатов моделирования.

3.4. Анализ результатов моделирования системы. Планирование машинного эксперимента с моделью ММ позволяет вывести необходимое количество выходных данных и определить метод их анализа. Вычисление статистических характеристик перед выводом результатов на ЭВМ повышает эффективность применения машины и сводит к минимуму обработку выходной информации после её вывода на ЭВМ.

3.5. Представление результатов моделирования. Форма представления окончательных результатов моделирования может быть в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т.п. Наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы S. 

3.6. Интерпретация результатов моделирования. Интерпретация результатов – переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью ММ, к информации применительно к объекту моделирования, на основании которой будут делаться выводы относительно характеристик процесса функционирования исследуемой системы S.

3.7. Подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций. При подведении итогов моделирования должны быть отмечены главные особенности результатов, полученных в соответствии с планом эксперимента над моделью ММ, проведена проверка гипотез и предложений и сделаны выводы на основании этих результатов, сформулированы рекомендации по практическому использованию результатов моделирования.

3.8. Составление технической документации по третьему этапу. Эта документация должна включать в себя: а) план проведения машинного эксперимента; б) наборы исходных данных для моделирования; в) результаты моделирования системы; г) анализ и оценку результатов моделирования;
д) выводы по полученным результатам моделирования; е) указания путей дальнейшего совершенствования машинной модели и возможных областей ее приложения.

Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполнению перечисленных этапов моделирования. На этапе построения концептуальной модели МК проводится исследование моделируемого объекта, определяются необходимые аппроксимации и строится обобщенная схема модели, которая преобразуется в машинную модель ММ на втором этапе моделирования путем последовательного построения логической схемы модели и схемы программы. На последнем этапе моделирования проводят рабочие расчеты на ЭВМ, получают и интерпретируют результаты моделирования системы S.

4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА ЭВМ

4.1. Общая характеристика метода статистического моделирования

Сущность метода статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей.

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учётом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

  •  для изучения стохастических систем;
  •  для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени.

Основные предельные теоремы теории вероятности

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей [2, 13]. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N.

Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g() случайной величины и любого К > 0 выполняется неравенство

P {g() K}  M [g()] / K.   (4.1)

В частности, если g() = (x)2 и K = k22, где x – среднее арифметическое;  – среднее квадратичное отключение, то

P { x   k} 1/k2.   (4.2)

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью p, то относительная частота появления события m/N при N   сходится по вероятности к p, т.е. при любом   0

{ m/Np   } = 0,   (4.3)

где m – число положительных исходов испытания.

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i-м испытании равна pi, то относительная частота появления события m/N при N   сходится по вероятности к среднему из вероятностей pi, т.е. при любом    0

{m/N   } = 0.    (4.4)

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения х1, ..., xN случайной величины , то при N   среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию a, т.е. при любом  0

{  } = 0.   (4.5)

Обобщенная теорема Чебышева. Если  1, ..., N – независимые случайные величины с математическими ожиданиями a1, ..., aN и дисперсиями 12, ..., 2N, ограниченными сверху одним и тем же числом, то при N   среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

{  } = 0.    (4.6)

Теорема Маркова. Выражение (4.6) справедливо и для зависимых случайных величин   1, ..., N , если только

= 0.

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если 1, ..., N – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание a и дисперсию 2, то при N   закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному:

{  (– Na ) /  < } =  = Ф0() – Ф0().

Здесь интеграл вероятностей

Ф0() = .

Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р , то

{ α < ( m – Np ) /  < β } = Ф0(β) – Ф0(α) ,

где m – число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

Примеры статистического использования

Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Рассмотрим сущность метода статистического моделирования на примерах.

Пример 4.1. Необходимо методом статистического моделирования найти оценки выходных характеристик некоторой стохастической
системы
SR, функционирование которой описывается следующими соотношениями: x = 1 – e - входное воздействие, v = 1 – e – воздействие внешней среды, где λ и φ – случайные величины, для которых известны их функции распределения. Целью моделирования является оценка математического ожидания М[y] величины у. Зависимость последней от входного воздействия х и воздействия внешней среды v имеет вид:
у = .

В качестве оценки математического ожидания М[y], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле

,

где уi – случайное значение величины у; N – число реализаций, необходимое для статистической устойчивости результатов.

Структурная схема системы SR показана на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Структурная схема системы SR 

Здесь элементы выполняют следующие функции:

вычисление

В1:  и  В2: ;

возведение в квадрат

К1:   и  К2: ;

суммирование

С: ;

извлечение квадратного корня

И: .

Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М[y] системы SR, приведена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Схема моделирующего алгоритма системы SR

Здесь LA и FI – функции распределения случайных величин λ и φ; N – заданное число реализаций; Ii – номер текущей реализации; LAIλi; FII≡φi; EXP≡e; MY≡M[y], SY≡ – суммирующая ячейка; ВИД[…], ГЕН[…], ВРМ[…] – процедуры ввода исходных данных, генерации псевдослучайных последовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно.

Таким образом, данная модель позволяет получить методом статистического моделирования на ЭВМ статистическую оценку математического ожидания выходной характеристики М[y] рассмотренной стохастической системы SR. Точность и достоверность результатов взаимодействия будут определяться числом реализаций N.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

6

hi''

λi       xi   hi'     hi 

Vi

система SR  

В2

К2

С

И

К1

В1

φ i

Внешняя среда Е

yi


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66065. Свободные экономические зоны РФ 39.5 KB
  Одной из важнейших форм экономических связей являются свободные экономические зоны СЭЗ. Через свободные экономические зоны проходит около 10 мирового товарооборота причем темпы роста в них объемов экспорта и импорта весьма высоки.
66066. Национальные и региональные инвестиционные проекты РФ. Инвестиционные программы Омска 45.83 KB
  Согласно действующему законодательству инвестиционная деятельность на территории РФ может финансировать за счет: собственных финансовых ресурсов и внутрихозяйственных резервов инвестора (прибыль, амортизационные отчисления, денежные накопления и сбережения граждан и юридических лиц...
66067. Всемирный банк 38.27 KB
  В настоящее время под Всемирным банком фактически понимают две организации: Международный банк реконструкции и развития Международная ассоциация развития В разное время к ним присоединились созданные для решения задач Всемирного банка ещё три организации...
66068. Бюджетный дефицит в период до 1990 года 34.5 KB
  Падение объема производства естественно привело к сокращению доходной базы бюджета. Уклонение от налогов в условиях несовершенства налогового законодательства и существующего в обществе отношения к обязательности налоговых платежей...
66069. Бюджетный дефицит в зарубежных странах 32.5 KB
  Бюджетный дефицит в США Дефицит федерального бюджета США в 20112012 финансовом году завершившемся 30 сентября с. По сравнению с прошлым финансовым годом дефицит бюджета сократился на 16 в 2010-2011 финансовом году он составлял 1299 трлн долл.
66070. Инвестиционные и кредитные рейтинги РФ и регионов 161 KB
  Распределение российских регионов по рейтингу инвестиционного климата в 2010-2011 годах: Максимальный потенциал минимальный риск 1 10 Московская область 29 г.Санкт-Петербург 32 Краснодарский край Средний потенциал минимальный риск 2 1 Белгородская область...
66072. Негосударственный пенсионный фонд (НПФ) 40 KB
  Негосударственный пенсионный фонд (НПФ) — особая организационно-правовая форма некоммерческой организации социального обеспечения, исключительными видами деятельности которой являются...
66073. Ипотека. Ипотека с государственной поддержкой 66 KB
  Его обязательством перед кредитором является погашение кредита а обеспечивает исполнение этого обязательства залог недвижимости. Недвижимость приобретенная с помощью ипотеки является собственностью заемщика кредита с момента приобретения.