40828

Моделирование случайных воздействий на систему

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Моделирование случайных воздействий на систему Моделирование случайных событий. Моделирование дискретных случайных величин. Моделирование непрерывных случайных величин. Моделирование случайных векторов 4.

Русский

2013-10-22

216 KB

59 чел.

Лекция 17. Моделирование случайных воздействий на систему Моделирование случайных событий. Моделирование дискретных случайных величин. Моделирование непрерывных случайных величин. Моделирование случайных векторов

4.4. Моделирование случайных воздействий на систему

Моделирование случайных событий

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования.

Пусть имеются случайные числа хi, т.е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие A, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение хi случайной величины удовлетворяет неравенству

хi  р.    (4.13)

Тогда вероятность события А будет Р(А) == p. Противоположное событие  состоит в том, что хi > р. Тогда Р()=1 – р.

Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значений хi и сравнении их с р. При этом, если условие (4.13) выполняется, исходом испытания является событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть
А1, A2, ..., Аsполная группа событий, наступающих с вероятностями
р1, р2, ..., рs соответственно. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение хi случайной величины . удовлетворяет неравенству

lm–1 < xi  lm,    (4.14)

где . Тогда

.

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел хi со значениями lr. Исходом испытания оказывается событие Аm, если выполняется условие (4.14). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями р1, р2, …, рs.

При моделировании на ЭВМ используются псевдослучайные числа с квазиравномерным распределением, что приводит к некоторой ошибке.

При моделировании систем искомый результат может быть сложным событием, зависящим от двух (и более) простых событий. Пусть, например, независимые события А и В имеют вероятность поступления рA и pB. Возможными исходами совместных испытаний в этом случае будут события AB, В, A, с вероятностью рA, pB, (1 – рA)pB, рA(1 – pB),
(1
 рA)(1  pB).

Для моделирования совместных испытаний можно использовать два варианта процедуры: 1) последовательную проверку условия (4.13);  
2)
определение одного из исходов AB, В, A, по жребию с соответствующими вероятностями, т.е. аналогия (4.14). Первый  вариант требует двух чисел хi, и сравнений для проверки условия (4.14). При втором варианте можно обойтись одним числом хi, но сравнений может потребоваться больше. С точки зрения удобства построения моделирующего алгоритма и экономии количества операций и памяти ЭВМ более предпочтительней первый вариант.

Рассмотрим теперь случай, когда события А или В являются зависимыми и наступают с вероятностями рA и pB. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло. При этом считаем, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из последовательности случайных чисел {хi} извлекается очередное число хm и проверяется справедливость неравенства xт < pA. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В, используется вероятность Р(В/А). Из совокупности чисел {xi} берется очередное число хm+1 и проверяется условие хm+1  P(B/A). В зависимости от того, выполняется или нет это неравенство, исходом испытания являются АВ или А. 

Если неравенство хтА не выполняется, то наступило событие . Поэтому для испытания, связанного с событием B, необходимо определить вероятность

Р(В/) = [Р(В)  Р(А)Р(В/А)] / (1  Р(А)).

Выберем из совокупности {xi} число хm+1 и проверим справедливость неравенства хm+1  Р(В/). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания B или .

Логическая схема алгоритма для реализации этого варианта модели показана на рис. 4.11. Здесь ВИД[…] – процедура ввода исходных данных; ГЕН[] – генератор равномерно распределенных случайных чисел; ХМхm; ХМ1хm+1; РАpA; PBpB; PBAP(B/A); PBNAP(B/); КА, KNA, KAВ, KANB, КNАВ, KNANB число событий А, , АВ, В, A, соответственно; ВРМ[...] – процедура выдачи результатов моделирования.

Рис. 4.11. Схема моделирующего алгоритма при зависимых событиях

Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим особенности преобразования для случая получения дискретных случайных величин. Дискретная случайная величина принимает значения у1  y2  …  yj  … с вероятностями р1, p2, …, pj, …, составляющими дифференциальное распределение вероятностей:

у    у1  у2 уj 

P( = y)   p1 p2 … pj …      (4.15)

При этом интегральная функция распределения

F(y) = P(  y) = ; ym  ym+1; m = 1, 2, …,

F(y) = 0; y < y1.      (4.16)

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если – равномерно распределённая на интервале (0,1) случайная величина, то искомая случайная величина получается с помощью преобразования

= F-1(),      (4.17)

где F-1 функция, обратная F.

Алгоритм вычисления по (4.16) и (4.17) сводится к выполнению следующих действий:

если x1 < p1, то = y1,  иначе,

если x2 < p1 + p2, то = y2, иначе,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

если xj < , то = ym.      (4.18)

При счете по (4.18) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Рассмотрим особенности генерации на ЭВМ непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения

F(y) = P(  y) = f(y)dy,

где f(y) плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин, можно воспользоваться методом обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция
= F-1(), полученная решением относительно уравнения F(y) = , преобразует равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину в с требуемой плотностью f(y).

Действительно, если случайная величина имеет плотность распределения (y), то распределение случайной величины

является равномерным в интервале (0, 1). На основании этого можно сделать следующий вывод. Чтобы получить число, принадлежащее последовательности случайных чисел {yj}, имеющих функцию плотности (y), необходимо разрешить относительно yj уравнение

.    (4.19)

Рассмотрим некоторые примеры получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения на основе случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1), методом обратной функции.

Способ получения случайных чисел с заданным законом распределения имеет ограниченную сферу применения в практике моделирования систем на ЭВМ, что объясняется следующими обстоятельствами:

1) для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах моделирования, интеграл (4.19) не берётся, т.е. приходится прибегать к численным методам решения, что увеличивает затраты машинного времени на получение каждого случайного числа;

2) даже для случаев, когда интеграл (4.19) берётся в конечном виде, получаются формулы, содержащие действия логарифмирования, извлечение корня и т.д., которые увеличивают затраты машинного времени на получение каждого случайного числа.

Поэтому в практике моделирования систем часто пользуются приближёнными способами преобразования случайных чисел, которые можно классифицировать следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получить случайные числа с законом распределения любого вида;

б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Рассмотрим приближённый универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {yj} с функцией плотности (y), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим (y) в виде кусочно-постоянной функции, т.е. разобьём интервал (а, b) на m интервалов, как это показано на рис. 4.12, и будем считать (y) на каждом интервале постоянной.

Рис. 4.12. Кусочная аппроксимация функции плотности

Тогда случайную величину можно представить в виде = ak + k*, где ak – абсцисса левой границы k-го интервала; k* – случайная  величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала, т.е. на каждом участке akak+1 величина k* считается распределённой равномерно. Чтобы аппроксимировать (y) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал (ak, ak+1) была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала. Таким образом, для вычисления ak воспользуемся следующим соотношением:

.     (4.20)

Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к последовательному выполнению следующих действий:
1) генерируется случайное равномерно распределённое число
xi из интервала (0,1); 2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал (ak, ak+1); 3) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (ak, ak+1), т.е. домножается на коэффициент (ak, ak+1)xi+1;
4) вычисляется случайное число
уi = ak + (ak+1ak)xi+1 с требуемым законом распределения.

Достоинства этого приближенного способа преобразования случайных чисел: при реализации на ЭВМ требуется небольшое количество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования (4.20) выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точности аппроксимации, т.е. от количества интервалов m.

Моделирование случайных векторов

При решении задач исследования характеристик процессов функционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМ возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов, обладающих заданными вероятностными характеристиками. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения. В простейшем случае, когда рассматриваемый случайный вектор расположен на плоскости x0y, он может быть задан совместным законом распределения его проекций и на оси 0x и 0y.

Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двухмерная cлучайная величина (, ) является дискретной и ее составляющая принимает возможные значения x1, x2, …, xn, а составляющая   значения y1, y2, …, yn, причем каждой паре (xi, yi) соответствует вероятность pij. Тогда каждому возможному значению xi случайной величины будет соответствовать

Тогда в соответствии с этим распределением вероятностей можно определить конкретное значение xi случайной величины (по правилам, рассмотренным ранее) и из всех значений pij выбрать последовательность

   (4.21)

которая описывает условное распределение величины при условии, что
= xi. Затем по тем же правилам определяем конкретное значение yi1 случайной величины в соответствии с распределением вероятностей (4.21). Полученная пара (xi1, yi1) будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным образом определяем возможные значения xi1, выбираем последовательность

    (4.22)

и находим yi2 в соответствии с распределением (4.22). Это дает реализацию вектора (xi2, yi2) и т. д.

Рассмотрим моделирование непрерывного случайного вектора с составляющими и . В этом случае двухмерная случайная величина (, ) описывается совместной функцией плотности f(x, y). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной величины как

Имея функцию плотности f(x), можно найти случайное число x, а затем при условии, что = xi, определить условное распределение случайной величины :

В соответствии с этой функцией плотности можно определить случайное число yi. Тогда пара чисел (xi, yi) будет являться искомой реализацией вектора (, ).

Рассмотренный способ формирования реализаций двухмерных векторов можно применить в случае многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л. Машиностроение 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

7

нет

да

нет

KNANB=KNABN+1

Пуск

ГЕН[ХМ1]

ГЕН[ХМ1]

ГЕН[XM]

ВЫЧ [РВNA]

ВИД[РА,РВ,РВА]

KANB=KANB+1

KNAB=KNAB+1

КАВ=КАВ+1

KNA=KNA+1

КА=КА+1

РАХМ

РВNАХМ1

РВАХМ1

BPM […]

Останов

f

да

нет

да

a    ak   ak+1   b y


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60514. Meet My Friends. Мої друзі та я 128.5 KB
  We shall speak about English and Ukrainian schools once more. As a result you’ll write a project about your favourite school and the best friend at school.
60515. Мій найкращий товариш і я 135.5 KB
  Мета уроку: практична: актуалізувати лексичний та граматичний матеріал за темами; учбова: продовжувати формувати комунікативні вміння в говорінні та письмі...