40832

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

Лекция

Математика и математический анализ

При аппроксимации операторов численного дифференцирования и интегрирования наибольшее распространение ввиду своей простоты нашли интерполяционные формулы Ньютона. Формулы численного дифференцирования Формулы для расчета производной в точке x получаются следующим образом. Такие формулы называют простейшими формулами численного дифференцирования.3 получается три важные формулы второго порядка точности: 4.

Русский

2013-10-22

654 KB

24 чел.

ТЕМА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

4.1. Как аппроксимируют операторы?

Задачи численного дифференцирования и интегрирования являются частным случаем общей задачи аппроксимации операторов, состоящей в том, что заданный на некотором множестве функций оператор  требуется заменить более простым, удобным для последующего использования, оператором , близким в некотором смысле к исходному.

Аппроксимацию операторов обычно осуществляют следующим образом: функцию  аппроксимируют такой функцией , от которой оператор легко вычисляется, после чего полагают = [].

При аппроксимации операторов численного дифференцирования и интегрирования наибольшее распространение ввиду своей простоты нашли интерполяционные формулы Ньютона. В случае когда функция f(x) задана в виде таблицы, полученной с некоторой погрешностью, используют среднеквадратичную аппроксимацию. Ниже рассматривается аппроксимация f(x) интерполяционным многочленом.

4.2. Формулы численного дифференцирования 

 Формулы для расчета производной  в точке x получаются следующим образом. Берется несколько близких к x узлов  (n m+1), называемых шаблоном (точка x может быть одним из узлов). Вычисляются значения  в узлах шаблона, строится интерполяционный многочлен Ньютона (3.6) и после взятия производной от этого многочлена  получается выражение приближенного значения производной (формула численного дифференцирования) через значения функции в узлах шаблона:.

При n=m+1 формула численного дифференцирования не зависит от положения точки x внутри шаблона, т.к. в этом случае m-я производная от полинома  m-й степени Pm(x) есть константа. Такие формулы называют простейшими формулами численного дифференцирования.

Анализ оценки погрешности вычисления производной

   (4.1)

показывает, что погрешность минимальна для значения x в центре шаблона и возрастает на краях. Поэтому узлы шаблона, если это возможно, выбираются симметрично относительно x. Заметим, что порядок погрешности при h0 равен n-m 1, и для повышения точности можно либо увеличивать n, либо уменьшать h (последнее более предпочтительно).

Приведем несколько важных формул для равномерного шаблона, получаемых с использованием (3.7):

  .   (4.2)

Простейшая формула (4.2) имеет второй порядок погрешности в центре интервала и первый по краям:

 .  (4.3)

Эта формула имеет второй порядок погрешности во всем интервале  и часто используется для вычисления производной в крайних точках таблицы, где нет возможности выбрать симметричное расположение узлов. Заметим, что из (4.3) получается три важные формулы второго порядка точности:

        (4.4)

      (4.5)

       (4.6)

Для вычисления второй производной часто используют следующую простейшую формулу:

  ,  (4.7)

которая имеет второй порядок погрешности в центральной точке x2.

4.3. Формулы численного интегрирования 

Формулы для вычисления интеграла  получают следующим образом. Область интегрирования [a, b] разбивают на малые отрезки , в общем случае разной длины. Значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на отрезках . Выбирают на каждом отрезке [xi, xi+1] 1–5 узлов и строят для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена на отрезке. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют квадратурными формулами.

 Приведем наиболее часто используемые квадратурные формулы для равных отрезков длиной

Формула средних

Формула средних получает-ся, если на каждом i-м отрезке взять один центральный узел  соот-ветствующий середине отрезка. Функция на каждом отрезке ап-проксимируется многочленом нулевой степени (константой) Заме-няя площадь криволинейной фигуры площадью прямо-угольника высотой  и основанием h, получим   (рис. 4.1):

  .   (4.8)

Погрешность формулы средних имеет второй порядок по h:

      (4.9)

Формула трапеций

Формула трапеций получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] интерполяционным многочленом первого порядка, т.е. прямой, проходящей через точки , . Площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции с основаниями  и высотой h (рис.4.2):

. (4.10)

Погрешность формулы трапеций в два раза больше, чем погрешность формулы средних:

  .    (4.11)

Формула Симпсона

Формула Симпсона получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] интерполяционным многочленом второго порядка (параболой) c узлами  . После интегрирования параболы получаем (рис.4.3)

   (4.12)

После приведения подобных членов формула (4.12) приобретает удобный для программирования вид:

Погрешность формулы Симпсона имеет четвертый порядок по h:

      (4.13)

Схема с автоматическим выбором шага  по заданной точности

Анализ формул (4.8),(4.10),(4.12) показывает, что точное значение интеграла находится между значениями  и, при этом имеет место соотношение

         (4.14)

Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m = 2 и производится по двум методам, в результате получают . Если  – заданная погрешность), то шаг h уменьшают вдвое (m = m2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле (4.14). При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, зависящей от разрядной сетки ЭВМ (m  n).

   Схема алгоритма с автоматическим выбором шага представлена на рис. 4.4.


Формулы Гаусса

При построении предыдущих формул в качестве узлов интерполяционного многочлена выбирались середины и (или) концы интервала разбиения. При этом оказывается, что увеличение количества узлов не всегда приводит к уменьшению погрешности (сравни формулы средних и трапеций), т.е. за счет удачного расположения узлов можно значительно увеличить точность. Суть методов Гаусса порядка n состоит в таком расположении n узлов интерполяционного многочлена на отрезке [xi, xi+1], при котором достигается минимум погрешности квадратурной формулы. Детальный анализ показывает, что узлами, удовлетворяющими такому условию, являются нули ортогональнoго многочлена Лежандра степени n (см. подразд. 3.1). Так, для n = 1 один узел должен быть выбран в центре. Следовательно, метод средних является методом Гаусса порядка 1.

Для n=2 узлы должны быть выбраны следующим образом:

,

и соответствующая формула Гаусса 2-го порядка имеет вид

          .    (4.15)

Порядок погрешности этой формулы при h 0 равен p = 4, т.е. такой же, как у метода Симпсона, хотя используется только 2 узла!

Для n = 3 узлы выбираются следующим образом:

,

и соответствующая формула Гаусса 3-го порядка имеет вид

         .   (4.16)

Порядок погрешности этой формулы при h 0 равен p = 7, т.е. значительно выше, чем у формулы Симпсона, практически при одинаковых затратах на вычисления. Следует отметить, что формулы Гаусса, особенно широко применяются для вычисления несобственных интегралов специального вида, когда подынтегральная функция имеет достаточно высокие производные.

4.4. Варианты заданий

Для каждого варианта задан интервал [a, b], функция f(x) и указан метод вычисления интеграла. Вначале вычислить точные выражения для первой, второй производных  и для интеграла. Затем необходимо составить подпрограмму для вычисления первой и второй производных по формулам (4.4), (4.7) и подпрограмму вычисления интеграла указанным методом. Составить основную программу, которая вычисляет таблицу значений функции, ее

точных и приближенных производных  в точках  а также точное и приближенное значения интеграла. Расчет первой производной в крайних точках a и b выполнить по формулам (4.5) и (4.6) соответственно, вторую производную вычислять только во внутренних точках. Схема выполнения расчетов приведена на рис. 4.5.

Расчеты производной произвести для hp =0.2, 0.1 и 0.05. Расчеты интеграла произвести для m=10, 20 и 40.

При использовании алгоритма вычисления интеграла с автоматическим выбором шага по данной точности расчет произвести для =0.1, 0.01, 0.001 и получить зависимость m().

Проанализировать погрешность вычислений, для чего построить графики и вычислить погрешности производных и интеграла.

Таблица 4.1

N вар.

Функция f(x)

Интервал

Метод

Значение

a

b

интегрирования

1

–2

3

средних

5.983

2

0

3

трапеций

6.699

3

1

8

Симпсона

8.896

4

4

7

автомат

6.118

5

5

8

Гаусса 2

6.067

6

3

6

Гаусса 3

3.367

7

1

4

средних

0.100

8

0

4

трапеций

0.153

9

–8

2

Симпсона

713.3

10

–2

5

автомат

69.42

11

–5

3

Гаусса 2

167.6

12

–1

4

Гаусса 3

22.09

13

1

7

средних

3.533

14

–2

5

автомат

154.73

15

–4

2

Симпсона

20.375

4.5. Контрольные вопросы

1. Как производится аппроксимация оператора общего вида?

2. Получите формулы (4.2), (4.3) и (4.7).

3. Дайте геометрическую интерпретацию методов: средних, трапеций, Симпсона. Какой порядок погрешности они имеют?

4. В чем суть метода Гаусса?

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62006. Джаз – искусство XX века 25.64 KB
  Познакомить учащихся с истоками джазовой музыки (спиричуэл, блюз), со стилем “джаз”; историей возникновения этого музыкального направления; с характерными особенностями стиля; со знаменитыми исполнителями джазовой музыки...
62007. Категории человеческого бытия 45.79 KB
  Категории человеческого бытия Основные категории бытия человека определяющие его жизнь это прежде всего свобода смысл жизни творчество любовь счастье вера смерть. Любовь Любовь самый верный свидетель моего существования.
62008. Как быть успешным? 44.43 KB
  Have you made up your mind yet? Will you be so kind as to share your choices with us? (Students’ answers) Well, I see most of you are quite self-confident, and those who doubt a bit, don’t worry, be happy, I’m sure our today’s talk will blow over all your doubts.
62009. Единицы измерения информации. 6 класс 77.99 KB
  Цели урока: Обобщить знания учащихся о представлении информации в памяти компьютера; Дать представление о единицах измерения информации; Воспитать интерес к уроку. Основные понятия: Бит; Байт; Килобайт; Мегабайт; Гигабайт; ЦОР: Видеоурок Единицы измерения информации...
62011. Открытый урок к педсовету по здоровьесбережению воспитанников 16.43 KB
  Объявление темы занятия «Здравствуй, Я!» в рамках месячника «За здоровый образа жизни» и предстоящего педагогического совета. Теоретический блок - кластерный анализ на основе ассоциаций термина «Здоровье», сравнение его с термином Всемирной организации здравоохранения: