40833

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция

Математика и математический анализ

Точное решение удается получить в исключительных случаях и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы. Первая задача решается графическим методом: на заданном отрезке [ b] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h строится ее график и определяются интервалы длиной h на которых находятся корни.1 в случаях и в значение корня совпадает с точкой экстремума функции и для нахождения таких корней можно использовать методы поиска минимума функции описанные в...

Русский

2013-10-22

748 KB

106 чел.

ТЕМА 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Как решаются нелинейные уравнения

Математической моделью многих физических процессов является функциональная зависимость y=f(x). Поэтому задачи исследования различных свойств функции f(x) часто возникают в инженерных расчетах. Одной из таких задач является нахождение значений x, при которых функция f(x) обращается в ноль, т.е. решение уравнения

      f(x)=0.     (5.1)

Точное решение удается получить в исключительных случаях, и обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы. Решение уравнения (5.1) при этом осуществляется в два этапа:

1. Приближенное определение местоположения, характер и выбор интересующего нас корня.

2. Вычисление выбранного корня с заданной точностью .

Первая задача решается графическим методом: на заданном отрезке [a, b] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график и определяются интервалы  длиной h, на которых находятся корни. На рис. 5.1 представлены три наиболее часто встречающиеся ситуации:

а) кратный корень:

б) простой корень:

в) вырожденный корень:  не существует, .

Как видно из рис. 5.1, в случаях «a» и «в» значение корня совпадает с точкой экстремума функции, и для нахождения таких корней можно использовать методы поиска минимума функции, описанные в теме 6.

На втором этапе вычисление значения корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов. При этом в соответствии с общей методологией m-шагового итерационного метода (cм. подразд. 1.5) на интервале        (, ), где находится интересующий нас корень x*, выбирается m начальных значений x0, x1, …, xm-1  (обычно x0 = a, x1 = b), после чего последовательно находятся члены (xm, xm+1, ..., xn-1, xn) рекуррентной последовательности порядка m по   правилу  до тех пор, пока . Последнее xn выбирается в качестве приближенного значения корня (x*  xn).

Многообразие методов определяется возможностью большого выбора законов . Наиболее часто используемые на практике описаны ниже.

5.2. Итерационные методы уточнения корней

Метод простой итерации (MI)

Очень часто в практике вычислений встречается ситуация, когда уравнение (5.1) записано в виде, разрешенном относительно x:

     .      (5.2)

Заметим, что переход от записи уравнения (5.1) к эквивалентной записи (5.2) можно сделать многими способами, например, положив

         ,     (5.3)

где  – произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция (часто достаточно выбрать =const).  

В этом случае корни уравнения (5.2) являются также корнями (5.1) и наоборот.

Исходя из записи (5.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону

        .    (5.4)

Метод является одношаговым, так как последовательность имеет первый порядок (m = 1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение  или, или .

Геометрическая иллюстрация сходимости и расходимости метода простой итерации представлена на рис. 5.2, a, б, из которого видно, что метод не всегда сходится к точному решению.

 Условием сходимости метода простой итерации, если  дифференцируема, как показывает анализ графиков, является выполнение неравенства        для любого .   (5.5)

Максимальный интервал (, ), для которого выполняется неравенство (5.5), называется областью сходимости. При выполнении условия (5.5) метод сходится, если начальное приближение x0 выбрано из области сходимости. При этом скорость сходимости погрешности  к нулю вблизи корня приблизительно такая же, как у геометрической прогрессии  со знаменателем , т.е. чем меньше q, тем быстрее сходимость, и наоборот. Поэтому при переходе от (5.1) к (5.2) функцию  в (5.3) выбирают так, чтобы выполнялось условие сходимости (5.5) для как можно большей области  и с наименьшим q. Удачный выбор этих условий гарантирует эффективность расчетов. Часто положительные результаты дает применение релаксации (см. подразд. 2.7). Схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис. 5.3.

Метод Ньютона (MN)

Этот метод является модификацией метода простой итерации и часто называется методом касательных. Если f(x) имеет непрерывную производную, тогда, выбрав в (5.3) , получаем эквивалентное уравнение , в котором  Поэтому скорость сходимости рекуррентной последовательности метода Ньютона

        (5.6)

вблизи корня очень большая, погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего .

Из (5.6) видно, что этот метод одношаговый (m = 1), и для начала вычислений требуется задать одно начальное приближение x0 из области сходимости, определяемой неравен-ством . Метод Ньютона получил также второе название метод касательных благодаря геометрической иллюстрации его сходимости, представ-ленной на рис. 5.4. Этот метод позволяет находить как простые, так и кратные корни. Основной его недостаток – малая область сходимости и необходимость вычисления производной f'(x).

Метод секущих (MS)

Данный метод является модификацией метода Ньютона, позволяющей избавиться от явного вычисления производной путем ее замены приближенной формулой (4.2). Это эквивалентно тому, что вместо касательной на рис. 5.4 проводится секущая. Тогда вместо процесса (5.6) получаем

  .    (5.7)

Здесь h – некоторый малый параметр метода, который подбирается из условия наиболее точного вычисления производной (см. тему 4).

Метод одношаговый (m = 1), и его условие сходимости при правильном выборе h такое же, как у метода Ньютона.

Метод Вегстейна (MV)

Этот метод является модификацией предыдущего метода секущих. В нем предлагается при расчете приближенного значения производной по разностной формуле использовать вместо точки  в (5.7) точку , полученную на предыдущей итерации (рис. 5.5). Расчетная формула метода Вегстейна:

(5.8)

Метод является двухшаговым (m = 2), и для начала вычислений требуется задать два начальных приближения . Лучше всего  (см. рис. 5.1). Метод Вегстейна сходится медленнее метода секущих, однако, требует в 2 раза меньшего числа вычислений f(x) и за счет этого оказывается более эффективным.

Этот метод иногда называется улучшенным методом простой итерации и в применении к записи уравнения в форме (5.2) имеет вид

  .     (5.9)

Схема алгоритма метода Вегстейна представлена на рис. 5.6.

Метод парабол (MP)

Предыдущие три метода (Ньютона, секущих, Вегстейна) фактически основаны на том, что исходная функция f(x) аппроксимируется линейной зависимостью вблизи корня и в качестве следующего приближения выбирается точка пересечения аппроксимирующей прямой с осью абсцисс. Ясно, что аппроксимация будет лучше, если вместо линейной зависимости использовать квадратичную. На этом и основан один из самых эффективных методов – метод парабол. Его суть: задаются три начальные точки  (например  ), в этих точках рассчитываются три значения функции  и строится интерполяционный многочлен второго порядка (рис. 5.7), который удобно записать в форме

   .   (5.10)

Коэффициенты этого многочлена вычисляются по формулам

    

.  (5.11)

Полином (5.10) имеет два корня:

,

из которых выбирается наименьший по модулю zm и рассчитывается следующая точка  в результате получается рекуррентная формула метода парабол:

.  (5.12)

Метод трехшаговый (m = 3). Скорость сходимости его больше, чем у метода Вегстейна, однако, не лучше, чем у метода Ньютона вблизи корня. Схема алгоритма метода парабол представлена на рис. 5.8.

Метод деления отрезка пополам (MD)

Все вышеописанные методы могут работать, если функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня. В противном случае они не гарантируют получение решения.

Для разрывных функций, а также если не требуется быстрая сходимость, для нахождения простого корня на интервале (, ) применяют надежный метод деления отрезка пополам. Его алгоритм основан на построении рекуррентной

последовательности по следующему закону: в качестве начального приближения выбираются границы интервала, на котором точно имеется один простой корень далее находится его середина  очередная точка x3 выбирается как середина того из смежных с x2 интервалов  или , на котором находится корень. В результате получается следующий алгоритм метода деления отрезка пополам:

 1. Вычисляем .

 2. Вычисляем .

 3. Если   тогда   иначе .

 4. Если  тогда повторять с п.2.

 5. Вычисляем

 6. Конец.

За одно вычисление функции погрешность уменьшается вдвое, т. е. скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

5.3. Варианты заданий

По схеме на рис. 5.9 отладить программу определения всех корней функции f(x) в указанном интервале [a, b], использовать метод в соотвествии с полученным вариантом из табл. 5.1. 

Таблица 5.1

N вар.

f(x)

Интервал

метод

а

b

1

–2

2

MI

2

1

3

MN

3

1

8

MS

4

4

7

MV

5

4

8

MP

6

2

6

MD

7

3

9

MI

8

4

0

MN

9

12

5

MS

10

2

5

MV

11

6

2

MP

12

4

2

MD

13

7

3

MI

14

4

3

MN

15

4

4

MS

Примечание. В табл. 5.1 все функции на указанном интервале имеют три корня.

Программа работает следующим образом: сначала на экран выдается таблица значений функции и делается запрос на ввод начального приближения (это может быть , или x0) к тому корню, который надо получить с заданной точностью. После того как введены требуемые данные, идет обращение к подпрограмме и печать результатов.

Расчет функции, а также метод нахождения корня оформить в виде отдельных подпрограмм. Вариант метода и функции взять из таблицы. Выбрать точность =10-4, а значение m по усмотрению.

После выполнения расчетов нарисовать график функции, а также график сходимости  к указанному корню , для чего предусмотреть в процедуре нахождения корня возможность вывода значений  и .

5.4. Контрольные вопросы

1. Как решается задача нахождения корней?

2. В чем суть метода простой итерации и условие его сходимости?

3. Дайте геометрическую интерпретацию метода Ньютона.

4. В чем отличие метода Вегстейна от метода секущих?

5. Дайте геометрическую интерпретацию метода парабол.

PAGE  47


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23176. Cтруктура світогляду 38 KB
  У систему цінностей людини входять уявлення про добро і зло щастя і нещастя мету і сенс життя. Наприклад: життя це головна цінність людини безпека людини це теж велика цінність і т. Ціннісне відношення людини до світу і до самого себе формується в певну ієрархію цінностей на вершині якої розташовуються свого роду абсолютні цінності зафіксовані в тих або інших суспільних ідеалах. які регулюють повсякденне життя як окремої людини так і всього суспільства.
23177. Історичні типи світогляду 39 KB
  Історичні типи світогляду Підкреслимо що світогляд не просто узагальнене уявлення про світ а форма суспільної самосвідомості людини вузловими категоріями якої виступають поняття світ і людина . Через ці поняття суб'єкт світогляду усвідомлює своє призначення у світі і формує життєві установки. Світогляд за самою своєю суттю є універсальним і практич ним оскільки орієнтує на вирішення найважливіших проблем людського існування виражає імперативи поведінки людини та сенс її життя. В цьому і полягає функціональне призначення світогляду.
23178. Класична онтологія та її фундаментальні проблеми 40.5 KB
  Класична онтологія та її фундаментальні проблеми Онтологія розділ філософії що вивчає проблеми буття. ТермінОнтологія був запропонований Р. Вольфом явно розділили семантику термінівонтологія іметафізика. Формально онтологія складається з понять термінів організованих в таксономія їх описів і правил виводу.
23179. Технология Token Ring 81.5 KB
  Сети Token Ring, так же как и сети Ethernet, характеризует разделяемая среда передачи данных, которая в данном случае состоит из отрезков кабеля, соединяющих все станции сети в кольцо. Кольцо рассматривается как общий разделяемый ресурс, и для доступа к нему требуется не случайный алгоритм
23180. Філософський зміст категорії матерія 37 KB
  Якщо для філософів стародавнього світу матерія це матеріал з якого складаються тіла предмети а кожний предметтіло складається з матерії та форми як духовного першопочатку то для Р.Ньютон додає до Декартового визначення матерії як субстанції ще три атрибути: протяжність непроникність непорушна цілісність тілаінертність пасивність нездатність самостійно змінювати швидкість згідно із законами динаміки; вага зумовлена дією закону всесвітньої гравітації. Причому інертність та вага потім об'єднуються ним у поняття маси яка виступає...
23181. Рух, як спосіб простір та час як форми існування матерії 37 KB
  Рухяк спосіб простір та час як форми існування матерії Простір і час це філософські категорії за допомогою яких позначаються основні форми існування матерії. Філософію цікавить насамперед питання про відношення простору і часу до матерії тобто чи є вони реальними чи це тільки абстракціїфеномени свідомості. Сучасна наука розглядає простір і час як форми існування матерії. Матеріалізм підкреслює об'єктивний характер простору і часу невіддільність від руху матерії: матерія рухається у просторі і часі.
23182. Онтологія 128.5 KB
  Поняття онтологія не має однозначного тлумачення у філософії. Існує принаймні три значення цього поняття: Поперше під онтологією розуміють ту частину філософії яка з'ясовує основні фундаментальні принципи буття першоначала всього сутнісного. Саме поняття онтологія у перекладі з грецької мови означає вчення про суще сутнісне найважливіше онто суще сутнісне логія вчення. Подруге у марксистській філософії поняття онтологія вживається для з'ясування сутності явищ що існують незалежно від людини її свідомості та...
23183. Визначальні категоріальні характеристики світу 40 KB
  Визначальні категоріальні характеристики світу. Визначення змісту поняття світ можливе і дійсне тільки у системі відношення людина світ . Іншими словами світ є все те що відмінне від людини і що одночасно органічно має людину в собі. Отже на противагу об'єктивно існуючому світу є внутрішній світ людини .
23184. Поняття природи 115 KB
  природаангл. В побуті слово природа часто вживається у значенні природне середовище в якому живе людина все що нас оточує за винятком створеного людиною. 4 Друга природа створені людиною матеріальні умови її існування. У широкому розумінні природа органічний і неорганічний матеріальний світ Всесвіт у всій сукупності і зв'язках його форм що є об'єктом людської діяльності і пізнання основний об'єкт вивчення науки включно з тим що створене діяльністю людини.