4084

Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека и его компьютерного имитатора

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изложены основные положения кинематики и динамики твердого тела. Приведена методика и описан эксперимент по проверке основного закона динамики вращательного движения. Эксперимент может быть выполнен как на реальной лабораторной установке (маятнике ...

Русский

2012-11-13

183.5 KB

141 чел.

Изложены основные положения кинематики и динамики твердого тела. Приведена методика и описан эксперимент по проверке основного закона динамики вращательного движения. Эксперимент может быть выполнен как на реальной лабораторной установке (маятнике Обербека), так и на ее компьютерном имитаторе.

Методические указания подготовлены на кафедре физики и предназначены для студентов тех специальностей, учебные планы которых предусматривают изучение курса физики.


Цель работы
  проверка основного закона динамики вращательного движения и определение момента инерции маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка, включающая маятник Обербека, линейку, набор гирей различной массы, секундомер, штангенциркуль, а также  IBM-совместимый персональный компьютер и пакет компьютерных программ, имитирующих работу лабораторной установки.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

При изучении различных видов движения протяженных тел широко используется физическая модель абсолютно твердого тела. В рамках этой модели полагают, что действие сил на тело не приводит к его деформации, а влияет лишь на особенности движения тела. В дальнейшем для краткости такую модель будем называть просто «твердым телом».

Чтобы указать положение твердого тела в пространстве, необходимо зафиксировать какие-либо три его точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки описываются девятью координатами, между которыми имеются три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками твердого тела. Следовательно, в общем случае движение твердого тела это движение с шестью степенями свободы.

Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения. Поступательным называется движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение  это такой вид движения, при котором по крайней мере две точки тела остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, другие его точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения.

Вращательное движение можно рассматривать как движение с одной степенью свободы, если ввести угловую координату , т.е. угол между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Одна из этих плоскостей зафиксирована в пространстве, а вторая жестко связана с телом. При этом для определенности полагают, что в начальный момент времени эти плоскости совпадают, т.е. 0=0.

Быстроту вращения тела характеризуют угловой скоростью

, (1)

а быстроту изменения угловой скорости – угловым ускорением

. (2)

Для того чтобы изменить угловую скорость тела, к нему необходимо приложить вращающий момент – величину, характеризующую вращательный эффект силы F при ее воздействии на твердое тело. Вращающий момент численно равен

, (3)

где  – плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Тело, обладая инертностью, противодействует изменению его скорости. Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении. Эта величина зависит от массы, формы и размеров тела, а также от расположения оси вращения. Кроме того, для неоднородных тел момент инерции зависит от того, как распределена плотность вещества по объему тела.

Обычно момент инерции различных тел приводят относительно оси, проходящей через центр их инерции. Например, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно оси стержня, определяется формулой

, (4)

где  и  –соответственно масса и длина стержня.

Если же необходимо рассчитать момент инерции I относительно оси, не проходящей через центр инерции тела, то используют теорему Штейнера, связывающую моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр инерции тела:

, (5)

где  – масса тела;

– расстояние между параллельными осями.

Из формулы (5), в частности, следует, что если тело движется по окружности радиусом  и размерами тела можно пренебречь (), то его момент инерции

. (6)

Иногда говорят, что формула (6) определяет момент инерции частицы (материальной точки), движущейся по окружности.

Ниже приведены моменты инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы:

  •  сплошного цилиндра относительно продольной оси

; (7)

  •  полого цилиндра относительно продольной оси

; (8)

  •  шара относительно оси, проходящей через его центр

. (9)

Часто при расчете момента инерции оказывается полезным использовать его свойство аддитивности: момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции его отдельных частей:

. (10)

В соответствии с законом динамики вращательного движения угловое ускорение тела пропорционально результирующему вращающему моменту всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела, т.е.

. (11)

Результирующий вращающий момент находится как алгебраическая сумма всех вращающих моментов, приложенных к телу. Вращающие моменты, стремящиеся повернуть тело против часовой стрелки, считаются положительными, по часовой стрелке – отрицательными. В зависимости от их соотношения угловое ускорение также может быть положительным или отрицательным.

Закон, выражаемый формулой (11), при изучении вращения тел играет ту же роль, что и второй закон Ньютона в динамике частиц.


ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНО
ВКИ

Внешний вид лабораторной установки представлен на рис. 1. Маятник Обербека состоит из двух стержней 1 длиной  и массой , закрепленных на валу 2 так, что ось вращения проходит через центр тяжести системы. На концах стержней укреплены четыре одинаковых груза 3 массой  на расстоянии  от оси вращения. На валу 2 имеются два барабана 4 радиусами  и , на которые наматывается шнур 5. Шнур перекинут через ролик 7. К свободному концу шнура прикрепляется гиря 6 массой . Вал 2 свободно вращается благодаря подшипникам, закрепленным в раме установки.

Рис. 1

Вращая маятник Обербека, наматывают шнур 5 на барабан 4. При этом гиря 6 поднимается на некоторую высоту . Если освободить систему, то гиря под действием силы тяжести будет опускаться вниз. Сила натяжения нити передается барабану и создает вращающий момент, под действием которого маятник начинает вращаться. Время падения гири определяется по секундомеру, высота падения – линейкой, размеры деталей маятника – штангенциркулем.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

В ходе эксперимента проверяется основной закон динамики вращательного движения путем сравнения расчетного и экспериментально полученного значений момента инерции маятника Обербека.

Расчетное значение момента инерции маятника получают как сумму моментов инерции всех его деталей:

, (12)

где   – момент инерции груза;

– момент инерции стержня.

Пренебрегая размерами груза по сравнению с радиусом вращения и используя формулу (6), найдем момент инерции груза относительно оси вращения:

, (13)

где  – масса груза;

– расстояние от центра груза до оси вращения.

Из рис. 1 видно, что расстояние от центра груза до оси вращения

, (14)

где  – длина стержня;

– длина груза.

Момент инерции стержня  относительно оси, проходящей через центр тяжести, определяется формулой (4):

, (15)

где  – масса стержня.

Подставляя выражения (13) и (15) в уравнение (12), получим, что расчетное значение момента инерции маятника Обербека можно вычислить по формуле

. (16)

Для получения экспериментального значения момента инерции маятника Обербека рассмотрим действие сил, вызывающих его вращение. На маятник действуют сила тяжести, сила реакции опор подшипников и сила натяжения нити. Кроме того, со стороны подшипников на вращающуюся ось действуют силы трения. Сила тяжести и сила реакции опор, проходя через ось вращения, вращающих моментов не создают. Сила натяжения нити F передается ободу барабана и создает вращающий момент М. Силы трения создают тормозящий момент , препятствующий вращению маятника (рис. 2а).

Под действием постоянных вращающего и тормозящего моментов маятник Обербека будет вращаться равноускоренно с угловым ускорением . Основной закон динамики его вращательного движения, согласно уравнению (11), запишется в виде

. (17)

Вращающий момент связан с силой натяжения нити и радиусом барабана соотношением

. (18)

Для нахождения силы натяжения нити решим задачу динамики поступательно движущейся гири. На нее действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити F, направленная вертикально вверх (рис. 2б). В соответствии со вторым законом Ньютона имеем

mg + F = ma. (19)

а       б

Рис. 2

Проецируя уравнение (19) на ось Y, получим:

,  (20)

где  – ускорение свободного падения.

Ускорение гири можно определить из формулы пути равноускоренного падения без начальной скорости: , откуда

. (21)

Из уравнений (20) и (21) получим, что сила натяжения нити

, (22)

а вращающий момент

. (23)

Как известно, угловое ускорение  связано с линейным ускорение  простым соотношением

(24)

и, используя уравнение (21), для него получим:

. (25)

Таким образом, измерив высоту и время падения гири, можно по формулам (23) и (25) вычислить вращающий момент и угловое ускорение для каждой серии опытов.

Используя разные гири и барабаны, можно изменять вращающий момент. Момент инерции маятника – величина постоянная. Тормозящий момент от условий эксперимента зависит слабо, и его, в первом приближении, также можно считать постоянным. Это обстоятельство позволяет установить функциональную зависимость вращающего момента  от углового ускорения маятника Обербека. Представим ее в виде линейной функции

. (26)

Константы, входящие в формулу (26), определим, воспользовавшись методом наименьших квадратов и экспериментальными данными:

, (27)

, (28)

где

, (29)

здесь i и  – экспериментальные значения углового ускорения и вращающего момента, полученные в i-й серии опытов;

– число серий опытов (в табл. 2а =4).

Сравнивая уравнения (17) и (26), видим, что константа  имеет смысл момента инерции, а константа  – смысл тормозящего момента. Поэтому можно положить, что

, (30)

. (31)

Близость величины  к расчетному значению момента инерции  подтверждает справедливость основного закона динамики вращательного движения. Что же касается величины тормозящего момента, то для обеспечения высокой точности результатов эксперимента должно выполняться неравенство . Соотношение этих двух величин позволяет, с одной стороны, ограничить снизу диапазон масс гирей, а, с другой стороны, оценить техническое состояние экспериментальной установки.

Задание 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

Порядок выполнения задания на лабораторной установке:

  1.  Установить все четыре груза массой  на одинаковом раcстоянии  от оси вращения (на концах стержней).
  2.  Измерить длину стержня .
  3.  Измерить длину цилиндрического груза .
  4.  Вычислить по формуле (14) расстояние  от центра груза до оси вращения.
  5.  По формуле (16) рассчитать момент инерции маятника Обербека .
  6.  Измерить диаметры малого  и большого  барабанов и подсчитать их радиусы  и . Результаты измерений и расчетов внести в табл. 1.

Таблица 1

,

м

,

м

,

м

,

м

,

м

,

м

,

м

,

кг

,

кг

,

кгм2

Порядок выполнения задания на компьютерном имитаторе:

  1.  Снять с экрана монитора данные о массе груза , массе и длине стержня  и , а также длине цилиндрического груза .
  2.  Выполнить пп. 4 и 5 «Порядка выполнения задания 1 на лабораторной установке».
  3.  Снять с экрана монитора данные о диаметрах малого  и большого  барабанов и вычислить их радиусы  и . Снятые данные и результаты расчетов внести в табл. 1.

Задание 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

Порядок выполнения задания на лабораторной установке:

  1.  Подвесить к шнуру, перекинутому через ролик, гирю массой .
  2.  Вращая вал маятника Обербека, намотать шнур на большой барабан, поднять гирю на высоту . Линейкой измерить высоту подъема гири от пола. Значения величин  и , а также радиуса барабана  внести в табл. 2а.
  3.  Освободить систему и одновременно включить секундомер. Когда гиря коснется пола, секундомер выключить. Затормозить маятник.
  4.  Опыт (пп. 2 и 3) повторить не менее трех раз, устанавливая гирю на одну и ту же высоту. Данные о времени падения гири  внести в табл. 2а.
  5.  Снять первую гирю. Подвесить к шнуру, перекинутому через ролик, вторую гирю. Повторить пп. 2-4.
  6.  Намотать шнур на малый барабан, подвесить к шнуру первую гирю. Повторить пп. 2-5.
  7.  Рассчитать для каждой серии опытов среднее значение времени падения .
  8.  По формулам (23) и (25) вычислить для каждой серии опытов значения вращающего момента и углового ускорения. Данные расчетов внести в табл. 2а.
  9.  По формулам (29) рассчитать значения вспомогательных величин  и внести их в табл. 2б.
  10.  По формуле (30) вычислить экспериментальное значение момента инерции маятника  и сравнить эту величину с расчетным значением , воспользовавшись выражением

. (32)

  1.  По формуле (31) вычислить значение тормозящего момента . Данные всех расчетов внести в табл. 2б.
  2.  Построить на миллиметровке график зависимости вращающего момента от углового ускорения. Для этого провести координатные оси  (ось абсцисс) и  (ось ординат), по данным табл. 2а нанести точки с координатами  и по данным табл. 2б провести прямую, описываемую уравнением (26).

Таблица 2а

, кг

, м

, м

, с

, с

, Нм

, c-2

11

42

33

44

Таблица 2б

, с-4

, с-2

, Нмс2

, Нм

, кгм2

,

, Нм

Порядок выполнения задания на компьютерном имитаторе:

  1.  Для задания массы и высоты подъема гири, а также номера барабана маятника Обербека нажать на любую клавишу клавиатуры.
    1.  Ввести из заданных интервалов массу гири , высоту ее подъема  и номер барабана, определяющий его радиус . Значения величин ,  и  внести в табл. 2а.
    2.  Нажать на любую клавишу. При этом секундомер начнет отсчет времени, маятник будет вращаться, а гиря – опускаться вниз. Снять с экрана монитора время падения гири . Значение времени  внести в табл. 2а.
    3.  Повторить п. 3 с тем, чтобы для данных значений ,  и  получить три значения времени .
    4.  Вычислить среднее значение времени  и по формулам (23) и (25) рассчитать для данной серии опытов (одинаковые значения ,  и ) значения величин  и  и внести их в табл. 2а.
    5.  Дважды нажать на любую клавишу и ввести из заданных интервалов новые значения массы гири, высоты ее подъема и номера барабана. Значения ,  и  внести в табл. 2а.
    6.  Провести не менее четырех серий опытов. Для этого соответствующее число раз повторить п.п. 3-6.
    7.  Выполнить пп. 9-12 «Порядка выполнения задания 2 на лабораторной установке».

Контрольные вопросы

  1.  Основные виды движения твердого тела движения.
  2.  Кинематические характеристики вращательного движения.
  3.  Момент инерции, вращающий момент и плечо силы.
  4.  Моменты инерции однородных тел правильной формы. Теорема Штейнера.
  5.  Уравнение динамики вращательного движения.
  6.  Цель и порядок выполнения лабораторной работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики: Учебник. – М.: Наука, 1988. Т.1-3.
  2.  Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 2000.
  3.  Зисман О.И., Тодес Т.Н. Курс физики: Учебник. – М.: Высшая школа, 1974. Т.1-3.


1

b

m

m1

m2

r2

r1

3

4

5

7

6

h

l

2

F

Мтр

r

0

y

mg

F

а

М

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13118. Бұқар жырау мен Дулат Бабатайұлының тәлім тәрбиелік идеялары 47.5 KB
  Бұқар жырау мен Дулат Бабатайұлының тәлім тәрбиелік идеялары 1. Бұқар жыраудың тәлімтәрбиелік идеялары. 1668-1781 ХҮІІІ ғасырда Қазақстанда ағартушылық ойпікірдің дамуында өзіндік із қалдырған ақынжыраулар поэзиясының көрнекті өкілі Бұқаржырау Қалқаманұлы....
13119. Сухомлинскийдің В.А. педагогикалық идеясы 38.5 KB
  В.А.Сухомлинскийдің педагогикалық идеясы 1918-1970 В.А.Сухомлинскийдің шығармашылығы әрбір жыл өткен сайын біздің елімізде сол сияқты шетелде ғылыми және педагогикалық жұртшылықтың тарапынан бірденбір ерекше көңіл бөлініп келеді. Бұл кездейсоқтық емес. Оның талда...
13120. Белинский В.Г. мен А.И.Герценнің педагогикалық теориясы 44.5 KB
  В.Г.Белинский мен А.И.Герценнің педагогикалық теориясы. В.Г.Белинскийдің педагогикалық көзқарастары. 18111848 ХІХ ғасырдың 3040 жылдары орыстың прогрессивтік қоғамдықпедагогикалық ойпікірінің дамуына В.Г.Белинский мен А.Н.Герцен ерекше роль атқарды. Революциял
13121. Ғұмар Қараштың педагогикалық көзқарастары 43.5 KB
  Ғұмар Қараштың педагогикалық көзқарастары. 18751921 жж. Қазан төңкерісіне дейінгі Қазақстанда қоғамдықсаяси ағартушылықпедагогикалық ойпікірдің дамуына өзінің өлшеусіз үлесін қосқан ХХ ғ.бас кезіндегі қазақ әдебиетінің ең көрнекті қайраткерлерінің бірі ағартуш...
13122. Дамыта оқытудың тиімділігі 49.5 KB
  Дамыта оқытудың тиімділігі Оқу – адамның психикалық дамуының формасы элементі. Кез келген оқыту белгілі бір мөлшерде адамды дамытады. Даму ұғымы сөздікте ... мөлшерлік өзгерістердің белгілі бір өлшем шегінен шығып сапалық өзгерістерге айналуыдеп түсі...
13123. Джон Локктың педагогикалық теориясы 42.5 KB
  Джон Локктың педагогикалық теориясы. 16321704 Саясиәлеуметтік және философиялық дүниетанымы. 1688 жылы Англияда буржуазиялық төңкеріс болды. Ол өндірістік төңкеріске негіз дайындады. Бұл төңкеріс жаңа кезеңнің – буржуазияның үстемдік ету кезіңін жария етті ол ...
13124. ӘЛКЕЙ МАРҒҰЛАННЫҢ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ҚЫЗМЕТТЕРІ 40.5 KB
  ӘЛКЕЙ МАРҒҰЛАННЫҢ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ҚЫЗМЕТТЕРІ С. Сұрағанов Л.Н.Гумилев атындағы Еуразиялық ұлттық университеті Астана қ. Ғұлама ғалым Әлкей Хақанұлы Марғұланның тікелей оқытушылық қызметпен айналысқанын көрсететін бірнеше нақты мәліметтер бар. Әлкей 1915 жылы Ба...
13125. Әл-Фараби еңбектеріндегі халықтық педагогика мәселелері 55.5 KB
  ӘлФараби еңбектеріндегі халықтық педагогика мәселелері Халықтық педагогикалық құбылыстарды зерттеушілер ресми педагогика мен халық педагогикасының бірінбірі толықтыратын кеңейтіп отыратын өзара ықпалы мен өзара шарттастығын дәлелді ашып түсіндіреді. Егер рес...
13126. Әулие ата - Жамбыл өңіріндегі оқу-ағарту ісінің дамуы мен ерекшеліктері 43 KB
  ӘУЛИЕ–АТА МЕН ЖАМБЫЛ ОБЛЫСЫНДАҒЫ ОҚУ–АҒАРТУ ІСІНІҢ ДАМУ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ Э.Қайырбаева А.Мейірбекова Керімбай атындағы №12 мектепресурстық орталығыТараз қ. Араға жарты ғасыр салып өлгеніміз тіріліп өшкеніміз жанды жоғымызды қозғап барымызды көрсетуге мүмкін...