40971

Обернена матриця. Операція ділення для матриць

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .

Украинкский

2013-10-22

201 KB

3 чел.

Лекція 5

Обернена матриця

Операція ділення для матриць не запроваджується, но для квадратних матриць  можна побудувати аналог ділення – множення на обернену матрицю.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю  таку, що .

Матрицю  А, для якої існує обернена матриця, називають оборотною.  

З означення слідує, що матриці  А і взаємообернені і переставні.

Властивості обернення матриць

  1.  Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.

Доведення. Нехай матриці   обернені до матриці  А. Тоді  . Отримали  протиріччя, яке і є доведенням.

  1.  .

Доведення. Ця властивість слідує з означення.

  1.    

Доведення. 

  1.  .

Доведення.

 

  1.  .

Доведення.

 

Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка  n, тобто умову існування такої матриці , для якої    .

Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник не дорівнює 0.

Теорема 5.1. (критерій оборотності матриці). Матриця буде мати обернену тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.

Доведення. Необхідність.  За означенням, →, тобто матриця  А – невироджена.

Достатність. Нехай . Покажемо, що вона має обернену.

Доведемо, що , де

,    - алгебраїчні доповнення елементів матриці  А.

З властивостей визначників слідує, що

 

Отже, . Аналогічно доводимо, що .

Можна записати . Доведено.

Матрицю  називають приєднаною до матриці А.

На цій теоремі грунтується метод приєднаної матриці  знаходження оберненої матриці.

Схема метода приєднаної матриці.

Крок 1. Обчислюємо визначник матриці  А.

Крок 2. Якщо  detA=0, то обернена матриця не існує.

Якщо detA≠0, то будуємо приєднану матрицю .

Крок 3. Обернену матрицю знаходимо за формулою .

Зауваження. Правильність обчислень перевіряється умовою .

Приклад 5.1. Знайти матрицю обернену заданій методом приєднаної

матриці.

Розв’язання.

Крок 1.

Крок 2. Обчислюємо всі алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

.

Крок 3. Знаходимо обернену матрицю:

Перевірка: .

Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розглянемо рівняння відносно матриці  Х:  АХ=В, де А і Ввідомі матриці  розмірністю  і  відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо воно існує) буде матриця  Х розмірністю . Якщо матриця  А має обернену, то існує єдиний розв’язок матричного рівняння . Дійсно, помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо: .

Матричне рівняння  з матрицею А, що має обернену,  має розв’язок .

Властивості невироджених матриць

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано).

  1.  Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).
  2.  Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).
  3.  Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.
  4.  Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.
  5.  Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають  методом  Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n-ого порядка  з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай  А – квадратна матриця 

n-ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю  .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця  Zсхідчаста форма матриці  А,  містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця  А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця Амає обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Розвязання.

Крок 1. .

Крок 2.

~

~

~...

Крок 3. Обратный ход метода Гаусса.

... ~~

~

Крок 4. Виписуєм обернену матрицю: 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60851. Быт и традиции древних греков 34.5 KB
  Для решения учебных задач урока для усвоения новой темы применяется метод опережающего обучения и работа в группах. Метод применяемый на данном этапе – объяснительно – иллюстративный. Для закрепления теоретического материала учащиеся получают творческое задание: Считаете ли Вы спартанское воспитание образцовым Используется модельный метод обучения в группах что позволяет трансформировать полученные теоретические знания на получение практических навыков.
60852. Описания типов по Тайгеру 173.5 KB
  Первое место среди их приоритетов занимают взаимоотношения с людьми забота о других. Их интересуют не только очевидные явления но и их возможные последствия а также то в какой мере эти последствия могут отразиться на других людях. Чрезвычайно организованные по натуре ENFJ предпочитают жить в упорядоченном мире и ожидают того же от других. Они хорошо разбираются в людях отличаются чувством ответственности и заботы о других.
60853. Складывание рыбки в технике оригами 63.5 KB
  Кто знает откуда к нам пришло искусство оригами из Японии Что такое оригами искусство складывания бумаги А кто уже умеет складывать какие-нибудь фигурки из оригами самостоятельно Какие III.
60855. Осенний бал 42.5 KB
  Я буду читать сценарий называть персонажей у кого в открытке указана эта роль пожалуйте на сцену Итак: камера мотор начали Буффонада: Снимается кино Читает вызывая по одному участников постановки и заставляя их входить в образ...
60856. Эпоха Екатерины II 65.5 KB
  ЦЕЛЬ: охарактеризовать внутреннее и внешнее развитие Российской империи в период правления Екатерины II рассмотреть причины ход и последствия восстания Пугачёва; развивать умение работать с учебником историческими документами...