40971

Обернена матриця. Операція ділення для матриць

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .

Украинкский

2013-10-22

201 KB

3 чел.

Лекція 5

Обернена матриця

Операція ділення для матриць не запроваджується, но для квадратних матриць  можна побудувати аналог ділення – множення на обернену матрицю.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю  таку, що .

Матрицю  А, для якої існує обернена матриця, називають оборотною.  

З означення слідує, що матриці  А і взаємообернені і переставні.

Властивості обернення матриць

  1.  Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.

Доведення. Нехай матриці   обернені до матриці  А. Тоді  . Отримали  протиріччя, яке і є доведенням.

  1.  .

Доведення. Ця властивість слідує з означення.

  1.    

Доведення. 

  1.  .

Доведення.

 

  1.  .

Доведення.

 

Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка  n, тобто умову існування такої матриці , для якої    .

Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник не дорівнює 0.

Теорема 5.1. (критерій оборотності матриці). Матриця буде мати обернену тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.

Доведення. Необхідність.  За означенням, →, тобто матриця  А – невироджена.

Достатність. Нехай . Покажемо, що вона має обернену.

Доведемо, що , де

,    - алгебраїчні доповнення елементів матриці  А.

З властивостей визначників слідує, що

 

Отже, . Аналогічно доводимо, що .

Можна записати . Доведено.

Матрицю  називають приєднаною до матриці А.

На цій теоремі грунтується метод приєднаної матриці  знаходження оберненої матриці.

Схема метода приєднаної матриці.

Крок 1. Обчислюємо визначник матриці  А.

Крок 2. Якщо  detA=0, то обернена матриця не існує.

Якщо detA≠0, то будуємо приєднану матрицю .

Крок 3. Обернену матрицю знаходимо за формулою .

Зауваження. Правильність обчислень перевіряється умовою .

Приклад 5.1. Знайти матрицю обернену заданій методом приєднаної

матриці.

Розв’язання.

Крок 1.

Крок 2. Обчислюємо всі алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

.

Крок 3. Знаходимо обернену матрицю:

Перевірка: .

Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розглянемо рівняння відносно матриці  Х:  АХ=В, де А і Ввідомі матриці  розмірністю  і  відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо воно існує) буде матриця  Х розмірністю . Якщо матриця  А має обернену, то існує єдиний розв’язок матричного рівняння . Дійсно, помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо: .

Матричне рівняння  з матрицею А, що має обернену,  має розв’язок .

Властивості невироджених матриць

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано).

  1.  Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).
  2.  Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).
  3.  Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.
  4.  Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.
  5.  Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають  методом  Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n-ого порядка  з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай  А – квадратна матриця 

n-ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю  .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця  Zсхідчаста форма матриці  А,  містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця  А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця Амає обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Розвязання.

Крок 1. .

Крок 2.

~

~

~...

Крок 3. Обратный ход метода Гаусса.

... ~~

~

Крок 4. Виписуєм обернену матрицю: 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14813. Оқу формалары 98.5 KB
  Оқу формалары Жоспары 1. Оқу формасы түсінігі 2. Оқу формаларының қалыптасуы мен жетіліп баруы 3. Оқу процесін ұйымдастыру формалары 4. Оқу түрлері 1. Оқу формасы түсінігі Оқушылардың білім мазмұнын игеру ісəрекеттері əрқилы формада жүзеге асып барады. Ла...
14814. Оқушылардың танымдық қызығушылығының теориясы 71 KB
  Оқушылардың танымдық қызығушылығының теориясы. Бiлiм беру жүйесi қоғамның әлеуметтiк экономикалық дамуында жетекшi роль атқарады сондай ақ оны әрi қарай айқындай түседi. Ал бiлiмнiң қалыптасып дамуының жалпы шарттары философияның негiзгi мәселесi рухтың материяға ...
14815. Ойлау және оқыту үрдісінде оның дамытудың жолдары 61.5 KB
  Ойлау және оқыту үрдісінде оның дамытудың жолдары. Ойлау процесі объект пен субъектінің өзара әрекеті ретінде жүзеге асады.Ойлауды психологиялық тұрғыдан зерттеу дегенімізоның ішкі танымдық құпия мәнін және жемісті болуының себебін ашып көрсету яғни ойла
14816. ҚҰРАСТЫРУШЫДАН 167 KB
  ҚҰРАСТЫРУШЫДАН Адамның жеке басының алғашқы қалыптасуы отбасынан басталады. Оның ер жетіп өсуі бойындағы алғашқы адамгершілік белгілер отбасында қалыптасады сондықтан да туған үйдің жылуы оның көкірегінде көп жылдар бойы сақталып мәңгі есінде жүреді. Ақын сөзі
14817. МЕН және МЕНІҢ ОТБАСЫМ 204.5 KB
  МЕН және МЕНІҢ ОТБАСЫМТөменгі сынып оқушыларына арналған әдебимузыкалық кеш. Дайындық кезеңі: Балаларға алдынала отбасы мүшелеріне арнап өлең шумақтарын ән жаттап келуге тапсырма беріледі. Безендірілуі: кітап көрмесі жасалып отбасы мүшелері туралы нақыл сөзд
14818. ОТБАСЫ – КӨРКЕМ ӘДЕБИЕТТЕ 210.5 KB
  ОТБАСЫ КӨРКЕМ ӘДЕБИЕТТЕ Отбасы адамның өте маңызды өте жауапты жан ұясы себебі отбасы адамға бақыт толық мәнді тыныстіршілік әкеледі. Отбасы қоғамдық құрылымның кіші тобы алғашқы ұясы. Қоғамның негізгі мақсаты адамдарды бақытты ету ал мұның өзі терезесі т...
14819. СПИД (ЖҚТБ) және СЕНПАТРИК ДИКСОН 506 KB
  СПИД ЖҚТБ және СЕН ПАТРИК ДИКСОН МАЗМҰНЫ Автор жайлы бірер сөз Кіріспе: Сенушілер ЖҚТБға қарсы күрестің алдыңғы шебінде 1 Тарау: ЖҚТБ сізге де төніп тұрған қатер 2 Тарау: Вакцина дәрідәрмек және сақтандырғыштар 3 Тарау: Адамдар жиі қоятын сұрақтар 4...
14820. Жеке тұлғаның бейімділіктерін психодиагностикалық зерттеу тәсілдері 63 KB
  Жеке тұлғаның бейімділіктерін психодиагностикалық зерттеу тәсілдері Жеке тұлғаны психофизиологиялық тұрғыдан зерттеу оның психикалық және ақылой сапаларын болашақ мамандықтарына бейімділігін анықтап беруге және олардың жекелеген бөліктерін жетілдіру туралы ұс...
14821. Темперамент жөнінде түсінік 50.5 KB
  Темперамент жөнінде түсінік. Темперамент 25 ғасырдан бері ғылыми ойды қызықтырған мәселелердің бірі. Оған деген қызығушылықтың төркіні адамдар бойында болатын дара өзгешеліктер. Әр адамның баланың жан дүниесі өз алдына бір болмыс. Оның қайталанбастығы бір жағына...