40971

Обернена матриця. Операція ділення для матриць

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .

Украинкский

2013-10-22

201 KB

3 чел.

Лекція 5

Обернена матриця

Операція ділення для матриць не запроваджується, но для квадратних матриць  можна побудувати аналог ділення – множення на обернену матрицю.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю  таку, що .

Матрицю  А, для якої існує обернена матриця, називають оборотною.  

З означення слідує, що матриці  А і взаємообернені і переставні.

Властивості обернення матриць

  1.  Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.

Доведення. Нехай матриці   обернені до матриці  А. Тоді  . Отримали  протиріччя, яке і є доведенням.

  1.  .

Доведення. Ця властивість слідує з означення.

  1.    

Доведення. 

  1.  .

Доведення.

 

  1.  .

Доведення.

 

Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка  n, тобто умову існування такої матриці , для якої    .

Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник не дорівнює 0.

Теорема 5.1. (критерій оборотності матриці). Матриця буде мати обернену тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.

Доведення. Необхідність.  За означенням, →, тобто матриця  А – невироджена.

Достатність. Нехай . Покажемо, що вона має обернену.

Доведемо, що , де

,    - алгебраїчні доповнення елементів матриці  А.

З властивостей визначників слідує, що

 

Отже, . Аналогічно доводимо, що .

Можна записати . Доведено.

Матрицю  називають приєднаною до матриці А.

На цій теоремі грунтується метод приєднаної матриці  знаходження оберненої матриці.

Схема метода приєднаної матриці.

Крок 1. Обчислюємо визначник матриці  А.

Крок 2. Якщо  detA=0, то обернена матриця не існує.

Якщо detA≠0, то будуємо приєднану матрицю .

Крок 3. Обернену матрицю знаходимо за формулою .

Зауваження. Правильність обчислень перевіряється умовою .

Приклад 5.1. Знайти матрицю обернену заданій методом приєднаної

матриці.

Розв’язання.

Крок 1.

Крок 2. Обчислюємо всі алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

.

Крок 3. Знаходимо обернену матрицю:

Перевірка: .

Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розглянемо рівняння відносно матриці  Х:  АХ=В, де А і Ввідомі матриці  розмірністю  і  відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо воно існує) буде матриця  Х розмірністю . Якщо матриця  А має обернену, то існує єдиний розв’язок матричного рівняння . Дійсно, помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо: .

Матричне рівняння  з матрицею А, що має обернену,  має розв’язок .

Властивості невироджених матриць

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано).

  1.  Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).
  2.  Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).
  3.  Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.
  4.  Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.
  5.  Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають  методом  Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n-ого порядка  з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай  А – квадратна матриця 

n-ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю  .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця  Zсхідчаста форма матриці  А,  містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця  А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця Амає обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Розвязання.

Крок 1. .

Крок 2.

~

~

~...

Крок 3. Обратный ход метода Гаусса.

... ~~

~

Крок 4. Виписуєм обернену матрицю: 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19953. Современный этап развития ядерной энергетики. Реакторы на тепловых и быстрых нейтронах 87.44 KB
  Конкретные пути решения задач, поставленных Президентом, представлены в «Стратегии развития ядерной энергетики России до середины XXI века», принятой Минатомом России в 2000-м году и одобренной Правительством РФ. В последующие годы были разработаны и приняты к исполнению ряд конкретных программ по направлениям. Некоторые из них включают разделы связанные непосредственно с решением проблем экологии и выводом АЭС из эксплуатации, эти задачи обеспечиваются значительной финансовой поддержкой.
19954. Элементы активной зоны ядерного реактора и реакторные испытания 30.76 KB
  Снижение затрат в процессе разработки твэлов удается достигнуть при использовании расчетных программ определения их работоспособности. Использование в программах расчета феноменологических характеристик материалов требует экспериментального исследования последних в режимах, близких к режимам эксплуатации материалов в твэлах. Знание этих характеристик особенно важно для разработчиков твэлов.
19955. Программа комплексной стандартизации методов, облучательных устройств и технических требований к реакторным и стендовым испытаниям 23.73 KB
  Рассмотреть программу комплексной стандартизации методов, облучательных устройств и технических требований к реакторным и стендовым испытаниям. Познакомить слушателей с каталогом и рубрикатором методов радиационных испытаний материалов и изделий ядерной техники в реакторах и защитных камерах и отраслевыми стандартами.
19956. Классификаций реакторных испытаний 28.86 KB
  Любую классификацию, по-видимому, следует рассматривать как, достаточно, подвижную форму упорядочения наших представлений. Именно поэтому ее не следует считать законченной и устоявшейся. К представленной ниже классификации необходимо относиться как к одному из многих возможных вариантов, который может дополняться и уточняться.
19957. Исследовательские реакторы ИРТ-2000 (проект) и ИРТ-МИФИ 28.79 KB
  Рассмотреть ядерный исследовательский реактор как источник излучений для реакторных испытаний. Познакомить слушателей с техническими характеристиками исследовательских реакторов Российской Федерации. Обосновать выбор реакторов для последующего детального рассмотрения. Дать общие представления о проекте типового исследовательского реактора ИРТ-2000 и рассмотреть возможности реактора ИРТ-МИФИ.
19958. Исследовательский реактор ИВВ-2- пример максимально возможного использования оборудования типового проекта ИРТ-2000 29.79 KB
  Познакомить слушателей с техническими характеристиками исследовательского реактора ИВВ-2, результатами его модернизации, устройством активной зоны и его возможностями и приспособленностью для проведения реакторных испытаний. Рассмотреть картограмму активной зоны и распределения потоков излучений по экспериментальным каналам.
19959. Исследовательский реактор СМ-2- пример достижения максимально возможных значений плотностей нейтронных потоков 214.92 KB
  Познакомить слушателей с техническими характеристиками исследовательского реактора CМ-2, устройством активной зоны и его возможностями для проведения реакторных испытаний. Рассмотреть картограмму активной зоны и распределения потоков излучений по экспериментальным каналам.
19960. Исследовательский реактор БР-10 – база проверки работоспособности элементов активных зон быстрых реакторов 33.21 KB
  Познакомить слушателей с техническими характеристиками исследовательских реакторов БР-10 и МИР, устройством их активных зон, их возможностями для проведения реакторных испытаний. Рассмотреть картограммы активных зон и распределения потоков излучений по экспериментальным каналам.
19961. Общая схема последовательности стадий разработки облучательного устройства 28.5 KB
  Познакомить слушателей с вопросами разработки и конструирования облучательных устройств для пассивных и активных реакторных испытаний. Обратить внимание на специфику конструкторских разработок облучательных устройств, последовательность проведения этой работы. Выделить наиболее важную задачу для разработки конструкции облучательного устройства- расчет поля температуры по его элементам. Приступить к постановке задачи расчета температурного поля.