40971

Обернена матриця. Операція ділення для матриць

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .

Украинкский

2013-10-22

201 KB

3 чел.

Лекція 5

Обернена матриця

Операція ділення для матриць не запроваджується, но для квадратних матриць  можна побудувати аналог ділення – множення на обернену матрицю.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю  таку, що .

Матрицю  А, для якої існує обернена матриця, називають оборотною.  

З означення слідує, що матриці  А і взаємообернені і переставні.

Властивості обернення матриць

  1.  Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.

Доведення. Нехай матриці   обернені до матриці  А. Тоді  . Отримали  протиріччя, яке і є доведенням.

  1.  .

Доведення. Ця властивість слідує з означення.

  1.    

Доведення. 

  1.  .

Доведення.

 

  1.  .

Доведення.

 

Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка  n, тобто умову існування такої матриці , для якої    .

Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник не дорівнює 0.

Теорема 5.1. (критерій оборотності матриці). Матриця буде мати обернену тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.

Доведення. Необхідність.  За означенням, →, тобто матриця  А – невироджена.

Достатність. Нехай . Покажемо, що вона має обернену.

Доведемо, що , де

,    - алгебраїчні доповнення елементів матриці  А.

З властивостей визначників слідує, що

 

Отже, . Аналогічно доводимо, що .

Можна записати . Доведено.

Матрицю  називають приєднаною до матриці А.

На цій теоремі грунтується метод приєднаної матриці  знаходження оберненої матриці.

Схема метода приєднаної матриці.

Крок 1. Обчислюємо визначник матриці  А.

Крок 2. Якщо  detA=0, то обернена матриця не існує.

Якщо detA≠0, то будуємо приєднану матрицю .

Крок 3. Обернену матрицю знаходимо за формулою .

Зауваження. Правильність обчислень перевіряється умовою .

Приклад 5.1. Знайти матрицю обернену заданій методом приєднаної

матриці.

Розв’язання.

Крок 1.

Крок 2. Обчислюємо всі алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

.

Крок 3. Знаходимо обернену матрицю:

Перевірка: .

Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розглянемо рівняння відносно матриці  Х:  АХ=В, де А і Ввідомі матриці  розмірністю  і  відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо воно існує) буде матриця  Х розмірністю . Якщо матриця  А має обернену, то існує єдиний розв’язок матричного рівняння . Дійсно, помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо: .

Матричне рівняння  з матрицею А, що має обернену,  має розв’язок .

Властивості невироджених матриць

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано).

  1.  Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).
  2.  Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).
  3.  Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.
  4.  Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.
  5.  Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають  методом  Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n-ого порядка  з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай  А – квадратна матриця 

n-ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю  .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця  Zсхідчаста форма матриці  А,  містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця  А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця Амає обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Розвязання.

Крок 1. .

Крок 2.

~

~

~...

Крок 3. Обратный ход метода Гаусса.

... ~~

~

Крок 4. Виписуєм обернену матрицю: 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32037. Разработка внешнего устройства, предназначенного для сопряжения интерфейсов «Ввода» и «Вывода» информации в составе комплексов СМ 1420 (ВУ для СИВ и ВИ в СК СМ 1420) 1.85 MB
  Отчисление на соцстрах используется на оплату больничных листов оплату путевок выплату пенсий. Лист № докум. Подпись Дата Лист 5 ТКМ 25. Лист № докум.
32039. Оценка финансового состояния ОАО «НГПЭ» 368 KB
  ОАО «НГПЭ» была зарегистрирован Новосибирской регистрационной палатой 19 января 2004 года по адресу г. Новосибирск, ул. Боровая партия д.12. ОАО «НГПЭ» занимается ведением геологоразведочных, геофизических и геохимических работ в области изучения недр на территории города Новосибирска и новосибирской области.
32043. Управління маркетинговою діяльністю підприємства (на прикладі ТОВ «Місто - Д») 579.68 KB
  Пропонуємо нову методику маркетингового аналізу та аудиту підприємства та застосування маркетингу, яка апробована при аналізі підприємства ТОВ «Місто - Д», провести модернізацію організаційної структури підприємства, провести вихід підприємства на ринки сусідніх областей, ввести ефективну систему маркетингового контролю. Це збільшить ефективність і швидкість роботи, збільшить прибутки, оптимізує загрузку на всіх працівників маркетингової служби, розширить діяльність підприємства.
32044. Формування маркетингової стратегії підприємства 889.5 KB
  Тема дипломної роботи: Формування маркетингової стратегії підприємства Затверджена наказом по університету № 127дс від 25 грудня 2009 р. Цільова установка та загальний напрямок дипломної роботи для робіт технічного профілю також вихідні дані: проаналізувати особливості формування маркетингової стратегії організації та запропонувати заходи з її вдосконалення. Теоретичні основи формування маркетингової стратегії 1. Етапи розробки маркетингової стратегії Розділ 2.
32045. Соотношение корня слова и основы слова 22 KB
  Соотношение корня слова и основы слова Все морфемы можно разделить на два больших класса: корни и аффиксы ffixus от лат – прикрепленный. Основа может состоять из одного корня например дом из корня со словообразовательным суффиксом одним или несколькими например домик красный ый окончание красненький ий окончание; из корня и приставки например пригород ; из корня приставки и суффикса например сделать ть суффикс инфинитива не входящий в основу выражает роль которую играет глагол в предложении.