40971

Обернена матриця. Операція ділення для матриць

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .

Украинкский

2013-10-22

201 KB

3 чел.

Лекція 5

Обернена матриця

Операція ділення для матриць не запроваджується, но для квадратних матриць  можна побудувати аналог ділення – множення на обернену матрицю.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю  таку, що .

Матрицю  А, для якої існує обернена матриця, називають оборотною.  

З означення слідує, що матриці  А і взаємообернені і переставні.

Властивості обернення матриць

  1.  Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.

Доведення. Нехай матриці   обернені до матриці  А. Тоді  . Отримали  протиріччя, яке і є доведенням.

  1.  .

Доведення. Ця властивість слідує з означення.

  1.    

Доведення. 

  1.  .

Доведення.

 

  1.  .

Доведення.

 

Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка  n, тобто умову існування такої матриці , для якої    .

Квадратну матрицю називають невиродженою, якщо її визначник не дорівнює 0.

Теорема 5.1. (критерій оборотності матриці). Матриця буде мати обернену тоді і тільки тоді, коли вона невироджена.

Доведення. Необхідність.  За означенням, →, тобто матриця  А – невироджена.

Достатність. Нехай . Покажемо, що вона має обернену.

Доведемо, що , де

,    - алгебраїчні доповнення елементів матриці  А.

З властивостей визначників слідує, що

 

Отже, . Аналогічно доводимо, що .

Можна записати . Доведено.

Матрицю  називають приєднаною до матриці А.

На цій теоремі грунтується метод приєднаної матриці  знаходження оберненої матриці.

Схема метода приєднаної матриці.

Крок 1. Обчислюємо визначник матриці  А.

Крок 2. Якщо  detA=0, то обернена матриця не існує.

Якщо detA≠0, то будуємо приєднану матрицю .

Крок 3. Обернену матрицю знаходимо за формулою .

Зауваження. Правильність обчислень перевіряється умовою .

Приклад 5.1. Знайти матрицю обернену заданій методом приєднаної

матриці.

Розв’язання.

Крок 1.

Крок 2. Обчислюємо всі алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

.

Крок 3. Знаходимо обернену матрицю:

Перевірка: .

Розв’язання матричних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Розглянемо рівняння відносно матриці  Х:  АХ=В, де А і Ввідомі матриці  розмірністю  і  відповідно. Розв’язком цього рівняння (якщо воно існує) буде матриця  Х розмірністю . Якщо матриця  А має обернену, то існує єдиний розв’язок матричного рівняння . Дійсно, помноживши обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо: .

Матричне рівняння  з матрицею А, що має обернену,  має розв’язок .

Властивості невироджених матриць

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано).

  1.  Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).
  2.  Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).
  3.  Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.
  4.  Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.
  5.  Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають  методом  Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n-ого порядка  з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай  А – квадратна матриця 

n-ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю  .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця  Zсхідчаста форма матриці  А,  містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця  А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця Амає обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Розвязання.

Крок 1. .

Крок 2.

~

~

~...

Крок 3. Обратный ход метода Гаусса.

... ~~

~

Крок 4. Виписуєм обернену матрицю: 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80895. Стратегическое планирование в Муниципальном Образовании 44.44 KB
  Недостаток опыта стратегического планирования комплексного подхода к определению целей и приоритетов перспективного развития муниципальных образований приводит к тому что разработанные концепции и стратегические планы иногда носят декларативный характер отсутствуют механизмы их реализации. В зависимости от стоящих задач концепции и стратегические планы бывают среднесрочные 3 5 лет и долгосрочные до 10 15 лет. Основные этапы разработки концепции комплексного социальноэкономического развития муниципального образования...
80896. Основные направления по противодействию коррупции государственных и муниципальных органах власти 45.12 KB
  Коррупция - злоупотребление служебным положением, дача взятки, получение взятки, злоупотребление полномочиями, коммерческий подкуп либо иное незаконное использование физическим лицом своего должностного положения вопреки законным интересам общества и государства в целях получения выгоды в виде денег, ценностей, иного имущества или услуг имущественного характера, иных имущественных прав для себя или для третьих лиц либо незаконное предоставление такой выгоды указанному лицу другими физическими лицами;
80897. Информационное обеспечение муниципального управления 45.52 KB
  Распоряжения главы администрации и его заместителей протоколы заседаний коллегии ведомости учета изданных мун. Население выражает свое отношение к дти мун. Общественные объединения граждан выражают отношение к деятельности мун.
80898. Сущность и содержание муниципального управления 43.04 KB
  Местное самоуправление в РФ форма осуществления народом своей власти обеспечивающая в пределах установленных Конституцией РФ федеральными законами а в случаях установленных федеральными законами законами субъектов РФ самостоятельное и под свою ответственность решение населением непосредственно и или через органы местного самоуправления вопросов местного значения исходя из интересов населения с учетом исторических и иных местных традиций . Дана характеристика основных признаков местного самоуправления отличающих его от...
80899. Система муниципальных правовых актов (МПА), Устав муниципального образования 43.13 KB
  РФ федеральным конституционным законам ФЗ №131ФЗ другим федеральным законам и иным нормативным правовым актам РФ а также конституциям уставам законам иным нормативным правовым актам субъектов РФ. В систему МПА входят: 1 устав МО правовые акты принятые на местном референдуме сходе граждан; 2 нормативные и иные правовые акты ПО МО; 3 правовые акты главы МО постановления и распоряжения главы местной администрации иных ОМС и должностных лиц МС предусмотренных уставом МО. Устав МО и оформленные в виде правовых актов решения...
80900. ПОНЯТИЕ, ОСОБЕННОСТИ, ФУНКЦИИ И ЗАКОНЫ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 44.44 KB
  В основе социального управления лежит приоритет человеческого фактора над всеми иными. Функции управления не являются универсальными так как зависят от вида рассматриваемой организации. Законы управления.
80901. МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА 44.37 KB
  Под моделью управления следует понимать теоретически выстроенную целостную совокупность представлений о том как выглядит и как должна выглядеть система управления как она воздействует и как должна воздействовать на объект управления как она адаптируется и как должна адаптироваться к изменениям во внешней среде чтобы управляемая организация могла добиваться поставленных целей устойчиво развиваться и обеспечивать свою жизнеспособность. Модель управления включает в себя базовые принципы управления стратегическое видение целевые установки и...
80902. ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДЫ УПРАВЛЕНИЯ. БЛАГОПРИЯТНАЯ, НЕЙТРАЛЬНАЯ, АГРЕССИВНАЯ СРЕДА УПРАВЛЕНИЯ 43.99 KB
  Среда управления это совокупность внутренних и внешних субъектов сил активно влияющих на положение и перспективы организации на эффективность деятельности менеджеров. Типы среды: микросреда мезосреда макросреда. Микросреда внутр среда организации ее собственный персонал и взаимодействие человека с условиями жизни в личном окружении; Мезосреда среда непосредственного окружения партнеры поставщики потребители или социокультурная среда и сфера труда; Макросреда среда...
80903. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В УПРАВЛЕНИИ 44.22 KB
  Об информации информационных технологиях и о защите информации ИТ процессы методы поиска сбора хранения обработки предоставления распространения информации и способы осуществления таких процессов и методов. Информационная технология ИТ процесс использующий совокупность методов и средств реализации операций сбора регистрации передачи накопления и обработки информации на базе программноаппаратного обеспечения для решения управленческих задач экономического объекта. Особенности ИТ: цель процесса получение информации; предмет...