41129

Проекции точки

Лекция

Математика и математический анализ

Плоскости проекции. Проекции разделяются на центральные и параллельные. Пусть заданы в пространстве точка S центр проекции и плоскость П1 плоскость проекции.

Русский

2013-10-22

196.5 KB

3 чел.

PAGE  8

Лекция 1

Проекции точки.

  1.  Методы проецирования.
  2.   Плоскости проекции.
  3.   Задание точки на комплексном чертеже Монжа (или эпюр Монжа).
  4.   Обратимость чертежа.

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету.

Начертательная геометрия передает часть своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность, а, следовательно, и возможность осуществления изображенных предметов.

 

1.1.      Метод проецирования.

            Для построения изображения предметов на плоскости пользуются методом проецирования. Слово «проекция» - латинское, от глагола projecere, что в переводе означает «бросать вперед».

            Следовательно, проекция – это изображение предмета, «отброшенное» на плоскость при помощи лучей. Спроецировать предмет на плоскость – это значит построить его изображение на плоскости. 

      Проекции разделяются на центральные и параллельные.

Рассмотрим центральное проецирование (рис. 1.1.).

Пусть заданы в пространстве точка Sцентр проекции и плоскость П1плоскость проекции. Плоскость П1 и точка S составляют аппарат центральной проекции. Проецируемый треугольник АВС называется оригиналом, или натурой. Чтобы спроецировать заданный оригинал, нужно из центра проекции S через вершины треугольника провести проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекции П1. Точки пересечения А1, В1, С1, называются центральными проекциями вершин А, В, С, на плоскость П1, а треугольник А1В1С1 центральной проекцией треугольника АВС.

Центральные проекции (перспективу) применяют в архитектурных чертежах, в аэрофотосъемке, рисовании и др. Вследствие трудностей при построении изображений и их измерении, а также при чтении чертежей, в машиностроительном черчении центральными проекциями не используются.

Рис. 1.1.

В начертательной геометрии используют метод параллельного проецирования (рис. 1.2.). Как и в предыдущем случае, выбирают плоскость проецирования П1, но вместо центра проекции S задают направление проецирования s, т. е. считают, что точка S – центр проекции – расположена в бесконечности и поэтому проецирующие лучи параллельны между собой. Плоскость П1 и направление s составляют аппарат параллельной проекции. Чтобы спроецировать треугольник АВС на плоскость П1, через вершины А, В, С проводят проецирующие лучи параллельно направлению проецирования s. Треугольник А1В1С1, образованный пересечением лучей АА1, ВВ1, СС1 с плоскостью П1, и будет параллельной проекцией треугольника АВС.

Рис. 1.2.

            Параллельные проекции разделяются на прямоугольные и косоугольные. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 1.3.), то способ проецирования называется прямоугольным, а полученные при этом проекции – прямоугольными, или ортогональными. Если же угол наклона лучей не равен 90º, то подобная параллельная проекция называется косоугольной. В черчении используют, главным образом, прямоугольные проекции.

Рис. 1.3.

 1.2 Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций

 

В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексный чертеж) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрический чертеж).  

 Из рис. 1.4  видно, что проекции А1 отвечает бесчисленное множество точек (А, A’, A''), лежащих  на проецирующем луче, идущем из А1 перпендикулярно к плоскости проекции П1.

Рис. 1. 4.

            Совокупность двух прямоугольных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости позволяет однозначно определить форму и положение предмета в пространстве. Однако в черчении при построении изображений чаще используют три плоскости проекции, и потому рассмотрим законы проецирования на три плоскости проекции.

            Пусть заданы три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образующих прямой трехгранный угол (рис.1.5.): П1 – горизонтальная, П2 – фронтальная и П3 – профильная плоскости проекций; линии Оx, Оy, Оz взаимного пересечения плоскостей проекций называются осями проекций, а точка О – началом осей проецирования.

Рис. 1.5.

            В пространстве трехгранного угла задана точка А и требуется построить ее проекции на плоскости П1, П2, П3 (точку можно рассматривать как вершину некоторого предмета). Для этого из точки А проводят проецирующие лучи АА1, АА2, АА3, перпендикулярные к плоскостям проекций, до пересечения с ними. В результате пересечения получают А1 – горизонтальную, А2 – фронтальную, А3 – профильную проекции точки А. Прямая АА1 называется горизонтально проецирующим, АА2фронтально проецирующим, АА3профильно проецирующим лучами. Проецирующие лучи АА1 и АА2 определяют плоскость перпендикулярную к оси Ох и ∩ плоскостям П1, П2 пересекает плоскости проекций по прямым А1Ах  и А2АХ, перпендикулярно к оси Ох. Точку пересечения этой плоскости с осью Ох обозначают Ах. Рассуждая аналогично, получают прямые А1Ау и А3Ау, перпендикулярные к оси Оу, и прямые А2Az и А3Az, перпендикулярные к оси Оz.

  Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей:

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций;

Ось х – ось абсцисс;

Ось у – ось ординат;

Ось z – ось аппликат;

О – начало координат.

Положительными направлениями оси считают: для оси х – влево от начала координат, для оси у – в сторону зрителя от плоскости П2, для оси z – вверх от плоскости П1, противоположные направления осей считаются отрицательными (рис. 1.11.).

Рис. 1.11.

Плоскости проекции делят пространство на 8 частей – октантов, каждый из которых представляет собой прямоугольный треугольник, где гранями являются части плоскостей проекций, а ребрами – оси координат.

Учитывая при отсчете координат направления осей х, у, z, получим знаки координат для каждого октанта (табл. 2).

 1.3 Задание точки на комплексном чертеже Монжа (или эпюр Монжа).

            В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций (рис. 1.9.).

Сохраняя неподвижной фронтальную плоскость проекций П2, горизонтальную плоскость П1 поворачивают вокруг оси Ох вниз на 90о, а профильную – вокруг оси Оz вправо на 90о до их совмещения с фронтальной плоскостью проекций. Направление вращения показано на рис. 1.5. стрелками.

Рис. 1.9.

Полученное изображение трех плоскостей проекций вместе с изображенными на них проекциями А1, А2, А3 точки А называют комплексным чертежом точки А. На комплексном чертеже ось Оу раздваивается и кроме вертикального положения Оу1 (вниз от точки О) занимает и второе – горизонтальное положение Оу3 (вправо от точки О).

            Прямую, соединяющую две проекции точки на комплексном чертеже, называют линией связи.

            Из анализа рис. 1.9 вытекают следующие основные положения:

а) горизонтальная А1 и фронтальная А2 проекции точки всегда расположены на вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох;

б) Фронтальная А2 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оси проекций ОZ;

в) горизонтальная А1 и профильная А3 проекции точки всегда расположены на линиях связи, пересекающихся на биссектрисе угла у1Оу3. Эта биссектриса получила наименование постоянной прямой чертежа (линия К), а линия связи А1А0А3 – ломаной или горизонтально- вертикальной линии связи.

            В начертательной геометрии часто приходится решать задачи на построение третьей проекции фигуры по двум данным. Для этого прежде нужно научиться строить третью проекцию точки, если известны две ее проекции. Выполнить это можно тремя способами.

            Проекционный способ (рис 1.9). Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 опускают перпендикуляр на ось Оу1,  получают точку Ау1, и при помощи циркуля или прямоугольного равнобедренного треугольника находят на оси Оу3 положение точки Ау3. из этой точки проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией связи, проведенной из А2. Точка А3 – профильная проекция точки А.

            Координатный способ.  Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Измеряют циркулем расстояние от проекции А1 до оси Ох (глубину точки, или координату уА) и откладывают этот отрезок на линии связи вправо от точки АZ. Получают профильную проекцию А3.

            Способ с использованием постоянной прямой чертежа. Из фронтальной проекции А2 проводят горизонтальную линию связи. Из горизонтальной проекции А1 проводят линию связи до пересечения в точке А0 с постоянной прямой К, т.е. биссектрисой угла у1Оу3. из точки А0 проводят вертикальную линию связи до пересечения с линией, проведенной из фронтальной проекции А2.

            Предпочтительней второй и третий способы, требующие меньшего числа построений и позволяющие использовать чертежные приборы.

Если принять плоскость и оси проекции за координатные плоскости и оси координат х  у, z, то положение любой точки пространства может быть задано тремя ее координатами. В этом случае (рис.1.10):

            х – широта точки (ее удаление от профильной плоскости проекций) или расстояние от точки АХ до начала осей проекции О (АА3 = АХО).

            у – глубина точки, измеряют ее расстоянием от фронтальной плоскости проекций или удалением ее горизонтальной проекции А1 от оси Ох (АА2 = А1Ах).

            Z – высота точки, определяется ее расположением от горизонтальной плоскости проекций или удалением ее фронтальной проекции А2 от точки Ох (АА1 = А2Ах).

Рис. 1.10.

Запись типа А (10, 16, 8) означает, что координата х точки А равна 10мм, координата у=16 мм, координата z= 8 мм.   

Возможны следующие случаи.

Точка расположена в пространстве. В этом случае ее зададут тремя координатами (измерениями). Все три проекции точки удалены от осей проекций (рис.1.9).

Точка находится на одной из плоскостей проекций – П1, П2 или П3. В этом случае ее задают двумя действующими координатами, не равными нулю. Одна проекция совпадает с самой точкой, а две другие лежат на осях. На рисунке 1.12 изображены проекции точки  В (20, 0, 15), лежащей в плоскости проекций П2. В этом случае фронтальная проекция В2 совпадает с самой точкой В, горизонтальная проекция В1 лежит на оси Ох, а профильная В3 – на оси Оz.

Точка находится на одной из осей проекций – Ох, Оу, Оz. В этом случае ее задают одной действительной  координатой, не равной нулю. Две проекции совпадают с самой точкой, а третья находится в точке О – начале осей проекций. На рисунке 1.10 изображены проекции точки С (15, 0, 0), лежащей на оси Ох. В этом случае горизонтальная С1 и фронтальная С2 проекции совпадают с самой точкой С, а профильная проекция С3 находится в точке О.

Рис.1.12

1.4 Обратимость чертежа

 

           Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А1 (см. рис. 1.4.) не определяет положение самой точки в пространстве, так как неизвестно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций П1. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображения дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58428. Персидская держава «царя царей» 47 KB
  Вавилонский царь Хаммурапи некогда владея не только Южным Междуречьем но и Северным Ассирией 17921750 г. Древнее предание рассказывает: Могущественный вавилонский царь Навуходоносор выбрал себе в жены красавицуцаревну из горной страны Мидии. Огорчен был царь. Твоему горю можно помочь отвечал ей царь.
58429. Решение уравнений производства. Закон установления цен на продукты и услуги 72.5 KB
  Произведённое количество счётного товара (А) пока определенно только наугад; но и его следует определить так, чтобы предприниматели не имели ни прибыли, ни убытков. Но для этого, естественно, необходимо, чтобы себестоимость счетного товара была равна его продажной цене.
58430. Учись быть верным другом. Избрание Апостолов 118 KB
  Развивать эстетический вкус творческие способности детей. Приветствие С любовью и с радостью встречайте детей. Молитва Пригласите детей помолиться за свои огорчения и радости поблагодарить Бога за все и попросите благословения на этот урок. Всех детей поблагодарите за участие за старание вместе с ними ещё раз полюбуйтесь совместной работой подведите к выводу что одному было бы сложно выполнить такую работу а команде это под силу.
58431. Декларація прав дитини. Основний Закон держави. Обовязки батьків та дітей 54.5 KB
  Мета. Формувати в учнів уявлення про Декларацію прав дитини, Основний Закон нашої держави. Зясувати обовязки батьків і дітей. Виховувати шанобливе ставлення до батьків.
58432. Национальная экономика 45 KB
  Основные цели национальной экономики Макроэкономика изучает: процессы использования разнообразных ресурсов которыми располагает общество для удовлетворения потребностей людей. Предметом макроэкономики являются закономерности развития и функционирования национальной экономики...
58433. Учись быть благодарным. Десять прокаженных 158 KB
  Показать им что в нашей жизни есть множество поводов благодарить Бога.Молитва Предложите детям совершить молитву и попросить у Бога благословения на этот урок.Мотивация Ребята когда мы говорим Спасибо А что хорошее сделал вам Бог За что же мы должны благодарить Бога За пищу за одежду за здоровье. Бога в небесах.
58434. ПРОБЛЕМЫ ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ УЧАСТИЯ В ДОГОВОРЕ ДОЛЕВОГО СТРОИТЕЛЬСТВА ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ 353.5 KB
  Появление и дальнейшее развитие договора участия в долевом строительстве в российском законодательстве имеют огромное значение для решения жилищной проблемы, поскольку надежное правовое регулирование отношений долевого строительства - гарантия успешного развития данных отношений
58435. Чудесная любовь Иисуса. Пасха 156 KB
  Побудить детей своими поступками не огорчать Иисуса но быть всегда послушными исполнительными дружелюбными. И спросил правитель Иисуса: Ты Царь Иудейский Иисус отвечал: Ты говоришь. В чем же он заключался Бог Отец послал Сына Иисуса на землю сказать людям чтобы они перестали делать злые дела поверили в Бога и исполняли Его заповеди.
58436. Религия 47.5 KB
  Религия как форма мировоззрения; Структура и функции религии; Виды религий; Веротерпимость и свобода совести. Другие определения религии: одна из форм общественного сознания; совокупность духовных представлений основывающихся на вере в сверхъестественные силы и существа богов...