41136

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты

Лекция

Математика и математический анализ

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. Вычисление работы и теплоты. Вычисление теплоты. В качестве силы которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим Клаузиус предложил рассматривать температуру а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния который называется энтропия.

Русский

2013-10-22

97 KB

1 чел.

Лекция 2

2. Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. 2.1. Вычисление работы и теплоты.

 2.1.Термодинамическая работа. Пусть в цилиндре, закрытом поршнем,  находится газ. Давление газа под поршнем уравновешивается установленным сверху на поршне грузом и давлением внешней среды. Площадь поршня – S.

                                             

 

При каких условиях газ может произвести полезную работу, т.е. поднять груз, преодолевая суммарное давление среды (давление окружающего воздуха и вес груза)? На этот вопрос нужно ответить так: при условии, что давление газа под поршнем будет не меньше давления среды (pгаз     pсреды). В реальных процессах, для того, чтобы сдвинуть поршень из состояния покоя, необходимо, чтобы pгаз   > pсреды. Однако в этом случае, как говорилось ранее, термодинамический процесс расширения газа и совершения им работы будет неравновесным (наличие движущей силы, равной разности давлений внутри и снаружи приведет к ускорению движения поршня и находящегося под ним газа).

Поэтому остается лишь один возможный вариант pгаз   =  pсреды.  

 

                                                                                                                                                          

Выражение (2.1) определяет так называемую термодинамическую работу или работу расширения. При конечном изменении объема полная термодинамическая работы может быть вычислена по уравнению

                                                   ,           Дж      (2.2)

Если отнести величину термодинамической работы к единице массы рабочего тела m, то получим удельную термодинамическую работу:

                            ,       Дж/кг                   (2.3)

где m – масса газа, кг; v - удельный объем, м3/кг.

 

Правило знаков. Знак термодинамической работы определяется знаком произведения pdV. Отметим, что в выражение для работы входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Однако, т.к. ранее было установлено, что всегда pа 0, то знак работы определяется знаком изменения dV:

- при dV 0 рабочее тело (газ) расширяясь совершает работу против внешних сил, работа положительна dL > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dV 0 внешние силы совершают работу над рабочим телом (газом), работа отрицательна dL   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».  

Геометрическая интерпретация термодинамической работы.

Термодинамический процесс в результате которого совершается термодинамическая работа изображается в координатах pv линией.

p

                                                                  

                                                 v      

      Рис.2.1. Геометрическая интерпретация работы.

2.2. Вычисление теплоты.

Для согласования некоторых положений термодинамики Клаузиус предложил по аналогии с выражением для термодинамической работы вычислять теплоту как произведение обобщенной  силы на обобщенную координату. В качестве «силы», которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим, Клаузиус предложил рассматривать температуру, а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния, который называется энтропия.

Тогда выражение для вычисления теплоты будет иметь вид

                                          , Дж       (2.4)

где Tтемпература тела, К; dS – изменение энтропии, Дж.

То же в интегральном виде

                                                  .       (2.5)

Эти же выражения для удельных значений теплоты  могут быть представлены:

                                              , Дж/кг      (2.6)                                          

                                                        и

                                                                  (2.7)

Правило знаков. Знак теплоты определяется знаком произведения TdS. Отметим, что в выражение для теплоты входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Из приведенного выше рисунка шкалы Кельвина ясно, что всегда T  0, то знак теплоты определяется знаком изменения dS:

- при dS 0  к  рабочему телу  теплота подводится теплота положительна dQ > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dS 0    теплота  отводится  от рабочего тела, теплота отрицательна dQ   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».

 

                                                                                        

                                      Рис.2.2. Геометрическая интерпретация теплоты.                      

2.3.Теплота и термодинамическая работа – характеристики процесса.

Из рис.2.1 и 2.2 понятно, что величина работы и теплоты зависит от пути, по которому протекает термодинамический процесс, т.е. от вида функциональных  зависимостей p(v) и T(s) и вида кривых 1-2 на рисунках. Это в свою очередь означает, что и теплота, и работа не отвечают понятиям параметров состояния. Т.к. эти величины зависят от вида термодинамического процесса, то они называются характеристиками (функциями) процесса.       

Следствия из определения теплоты и работы как характеристик процесса.

1. Теплота и работа не обладают свойствами полного дифференциала и поэтому при записи для бесконечно малых значений теплоты и работы не используется символ d… Для обозначения бесконечно малых значений теплоты и работы используется символ δ.

2. Интеграл по замкнутому контуру от δQ  и δL не равен 0, а имеет конечное значение.  

2.4.Теплоемкость рабочих тел. Для количественной оценки теплоты также используется понятие теплоемкости рабочего тела.

Теплоемкость – это количество теплоты, которое необходимо подвести к рабочему телу, чтобы увеличить его температуру на 1 Кельвин (градус Цельсия).

Математически сказанное представляется, как:

                                                           (2.8)

где Cx , Qx – соответственно, теплоемкость и теплота конкретного термодинамического процесса при постоянном параметре процесса х;Т=Т2 – Т1, Т1,Т2 – соответственно, начальное и конечное значения температуры процесса, К. 

Т.к. и теплота, и работа – характеристики процесса, то их величина зависит от функциональной зависимости, которой выражается процесс. Следовательно, в зависимости от того или иного термодинамического процесса, необходимо различать и теплоемкость, которую проявляет рабочее тело в данном конкретном процессе. Т.к. в термодинамике различают 4 основных термодинамических процесса (изобарный, изохорный, изотермический, адиабатный), то и принимается, что рабочее тело может проявлять 4 различных теплоемкости: изобарную, изохорную, изотермическую, адиабатную.  

Сопоставление (2.7) и (2.8) показывает, что теплоемкость Cx - имеет смысл среднеинтегральной величины. Из определений теплоты (имеет смысл только при протекании термодинамического процесса) и теплоемкости (2.8), можно сделать следующие выводы:

-  теплоемкость имеет смысл только для интервала температур Т;

 - теплоемкость является функцией температуры. 

На рис.2.3 показан принцип разбиения диапазона изменения температуры на интервалы с определением среднеинтегрального значения теплоемкости для

заданного  Т.

                                                                                                  

Рис.2.3. Геометрическая интерпретация теплоты.

Каждый раз, разбивая интервал Т меньшие получаем все более узкий диапазон температуры, для которого может быть определено среднеинтегральное значение Сср. Когда интервал Т  уменьшится до бесконечно малой величины dT, будем считать, что нами определено истинное значение теплоемкости для любой из температур границ интервала.

                                                           

                                                    Истинная теплоемкость

                                                                   ,    Дж                    (2.9)

                                                    Удельная истинная теплоемкость

                                                                   ,        Дж/кг                  (2.10)

                                                       

                                                       

                                                    


pсреды

 dH

Пусть в результате расширения газа поршень переместился на небольшую высоту dН.

Элементарная механическая работа, которую совершил газ, действуя на поршень силой

                F = pсреды  S 

будет равна

              dL= pсреды  SdH 

или, принимая во внимание, что

               SdH = dV  - приращение объема, получим

             dL= pсреды  dV

 или

                dL= pdV      (2.1)

p2

p1

v1

v2

1

2

Если провести аналогию с известными из курса физики выражениями для механической работы, то можно заметить, что давление – есть аналог силы, а изменение объема - аналог изменения координаты.

Т.о. можно сказать, что термодинамическая работа – это произведение обобщенной силы на обобщенную координату.

2

1

s2

s1

T1

T2

 T

s

T

 C

2

1

T2

T1

C1ср

Tа

C2ср

dT

T1

T2

C(T)

В выражении  всегда в термодинамической шкале температур Кельвина Т 0. Следовательно, если  0 – теплота имеет знак «+», т.е. подводится к рабочему телу; если  0 – теплота имеет знак «-», т.е. отводится от рабочего тела.