41136

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты

Лекция

Математика и математический анализ

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. Вычисление работы и теплоты. Вычисление теплоты. В качестве силы которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим Клаузиус предложил рассматривать температуру а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния который называется энтропия.

Русский

2013-10-22

97 KB

1 чел.

Лекция 2

2. Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. 2.1. Вычисление работы и теплоты.

 2.1.Термодинамическая работа. Пусть в цилиндре, закрытом поршнем,  находится газ. Давление газа под поршнем уравновешивается установленным сверху на поршне грузом и давлением внешней среды. Площадь поршня – S.

                                             

 

При каких условиях газ может произвести полезную работу, т.е. поднять груз, преодолевая суммарное давление среды (давление окружающего воздуха и вес груза)? На этот вопрос нужно ответить так: при условии, что давление газа под поршнем будет не меньше давления среды (pгаз     pсреды). В реальных процессах, для того, чтобы сдвинуть поршень из состояния покоя, необходимо, чтобы pгаз   > pсреды. Однако в этом случае, как говорилось ранее, термодинамический процесс расширения газа и совершения им работы будет неравновесным (наличие движущей силы, равной разности давлений внутри и снаружи приведет к ускорению движения поршня и находящегося под ним газа).

Поэтому остается лишь один возможный вариант pгаз   =  pсреды.  

 

                                                                                                                                                          

Выражение (2.1) определяет так называемую термодинамическую работу или работу расширения. При конечном изменении объема полная термодинамическая работы может быть вычислена по уравнению

                                                   ,           Дж      (2.2)

Если отнести величину термодинамической работы к единице массы рабочего тела m, то получим удельную термодинамическую работу:

                            ,       Дж/кг                   (2.3)

где m – масса газа, кг; v - удельный объем, м3/кг.

 

Правило знаков. Знак термодинамической работы определяется знаком произведения pdV. Отметим, что в выражение для работы входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Однако, т.к. ранее было установлено, что всегда pа 0, то знак работы определяется знаком изменения dV:

- при dV 0 рабочее тело (газ) расширяясь совершает работу против внешних сил, работа положительна dL > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dV 0 внешние силы совершают работу над рабочим телом (газом), работа отрицательна dL   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».  

Геометрическая интерпретация термодинамической работы.

Термодинамический процесс в результате которого совершается термодинамическая работа изображается в координатах pv линией.

p

                                                                  

                                                 v      

      Рис.2.1. Геометрическая интерпретация работы.

2.2. Вычисление теплоты.

Для согласования некоторых положений термодинамики Клаузиус предложил по аналогии с выражением для термодинамической работы вычислять теплоту как произведение обобщенной  силы на обобщенную координату. В качестве «силы», которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим, Клаузиус предложил рассматривать температуру, а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния, который называется энтропия.

Тогда выражение для вычисления теплоты будет иметь вид

                                          , Дж       (2.4)

где Tтемпература тела, К; dS – изменение энтропии, Дж.

То же в интегральном виде

                                                  .       (2.5)

Эти же выражения для удельных значений теплоты  могут быть представлены:

                                              , Дж/кг      (2.6)                                          

                                                        и

                                                                  (2.7)

Правило знаков. Знак теплоты определяется знаком произведения TdS. Отметим, что в выражение для теплоты входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Из приведенного выше рисунка шкалы Кельвина ясно, что всегда T  0, то знак теплоты определяется знаком изменения dS:

- при dS 0  к  рабочему телу  теплота подводится теплота положительна dQ > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dS 0    теплота  отводится  от рабочего тела, теплота отрицательна dQ   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».

 

                                                                                        

                                      Рис.2.2. Геометрическая интерпретация теплоты.                      

2.3.Теплота и термодинамическая работа – характеристики процесса.

Из рис.2.1 и 2.2 понятно, что величина работы и теплоты зависит от пути, по которому протекает термодинамический процесс, т.е. от вида функциональных  зависимостей p(v) и T(s) и вида кривых 1-2 на рисунках. Это в свою очередь означает, что и теплота, и работа не отвечают понятиям параметров состояния. Т.к. эти величины зависят от вида термодинамического процесса, то они называются характеристиками (функциями) процесса.       

Следствия из определения теплоты и работы как характеристик процесса.

1. Теплота и работа не обладают свойствами полного дифференциала и поэтому при записи для бесконечно малых значений теплоты и работы не используется символ d… Для обозначения бесконечно малых значений теплоты и работы используется символ δ.

2. Интеграл по замкнутому контуру от δQ  и δL не равен 0, а имеет конечное значение.  

2.4.Теплоемкость рабочих тел. Для количественной оценки теплоты также используется понятие теплоемкости рабочего тела.

Теплоемкость – это количество теплоты, которое необходимо подвести к рабочему телу, чтобы увеличить его температуру на 1 Кельвин (градус Цельсия).

Математически сказанное представляется, как:

                                                           (2.8)

где Cx , Qx – соответственно, теплоемкость и теплота конкретного термодинамического процесса при постоянном параметре процесса х;Т=Т2 – Т1, Т1,Т2 – соответственно, начальное и конечное значения температуры процесса, К. 

Т.к. и теплота, и работа – характеристики процесса, то их величина зависит от функциональной зависимости, которой выражается процесс. Следовательно, в зависимости от того или иного термодинамического процесса, необходимо различать и теплоемкость, которую проявляет рабочее тело в данном конкретном процессе. Т.к. в термодинамике различают 4 основных термодинамических процесса (изобарный, изохорный, изотермический, адиабатный), то и принимается, что рабочее тело может проявлять 4 различных теплоемкости: изобарную, изохорную, изотермическую, адиабатную.  

Сопоставление (2.7) и (2.8) показывает, что теплоемкость Cx - имеет смысл среднеинтегральной величины. Из определений теплоты (имеет смысл только при протекании термодинамического процесса) и теплоемкости (2.8), можно сделать следующие выводы:

-  теплоемкость имеет смысл только для интервала температур Т;

 - теплоемкость является функцией температуры. 

На рис.2.3 показан принцип разбиения диапазона изменения температуры на интервалы с определением среднеинтегрального значения теплоемкости для

заданного  Т.

                                                                                                  

Рис.2.3. Геометрическая интерпретация теплоты.

Каждый раз, разбивая интервал Т меньшие получаем все более узкий диапазон температуры, для которого может быть определено среднеинтегральное значение Сср. Когда интервал Т  уменьшится до бесконечно малой величины dT, будем считать, что нами определено истинное значение теплоемкости для любой из температур границ интервала.

                                                           

                                                    Истинная теплоемкость

                                                                   ,    Дж                    (2.9)

                                                    Удельная истинная теплоемкость

                                                                   ,        Дж/кг                  (2.10)

                                                       

                                                       

                                                    


pсреды

 dH

Пусть в результате расширения газа поршень переместился на небольшую высоту dН.

Элементарная механическая работа, которую совершил газ, действуя на поршень силой

                F = pсреды  S 

будет равна

              dL= pсреды  SdH 

или, принимая во внимание, что

               SdH = dV  - приращение объема, получим

             dL= pсреды  dV

 или

                dL= pdV      (2.1)

p2

p1

v1

v2

1

2

Если провести аналогию с известными из курса физики выражениями для механической работы, то можно заметить, что давление – есть аналог силы, а изменение объема - аналог изменения координаты.

Т.о. можно сказать, что термодинамическая работа – это произведение обобщенной силы на обобщенную координату.

2

1

s2

s1

T1

T2

 T

s

T

 C

2

1

T2

T1

C1ср

Tа

C2ср

dT

T1

T2

C(T)

В выражении  всегда в термодинамической шкале температур Кельвина Т 0. Следовательно, если  0 – теплота имеет знак «+», т.е. подводится к рабочему телу; если  0 – теплота имеет знак «-», т.е. отводится от рабочего тела.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6733. Методы определения таможенной стоимости товаров 27.97 KB
  Методы определения таможенной стоимости товаров. От выбора метода определения таможенной стоимости зависит не только размер рассчитываемой в таможенных целях цены пересекающего границу товара, но и величина платежей, базой для расчета которых выступ...
6734. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами 28.93 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами. Согласно ст.2 Соглашения от 25.01.2008г., основой определения таможенной стоимости ввозимых товаров должна быть в максимально возможной степени стоимость сделки с этими това...
6735. Ограничения в использовании метода определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами 28.92 KB
  Ограничения в использовании метода определения таможенной стоимости по цене сделки с ввозимыми товарами. Для определения таможенной стоимости товаров не применяется метод по цене сделки если: Существуют ограничения в отношении прав покупателя ...
6736. Дополнительные начисления к цене сделки. Суммы, подлежащие вычитанию из цены сделки 29.48 KB
  Дополнительные начисления к цене сделки. Суммы, подлежащие вычитанию из цены сделки. В соответствии со ст. 5 Соглашения от 25.01.2008 г. при определении таможенной стоимости ввозимых товаров по стоимости сделки с ними к цене, фактически уплаченной и...
6737. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с идентичными товарами 29.04 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с идентичными товарами. Цена сделки с идентичным товаром может быть принята в качестве определения таможенной стоимости только в том случае, если на момент определения таможенной стоимости товара...
6738. Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с однородными товарами 23.29 KB
  Метод определения таможенной стоимости по цене сделки с однородными товарами. Под однородными товарами понимаются товары, не являющиеся идентичными во всех отношениях, но имеющие сходные характеристики и состоящие из схожих компонентов, произведенны...
6739. Метод определения таможенной стоимости на основе вычитания стоимости 23.32 KB
  Метод определения таможенной стоимости на основе вычитания стоимости. Рассмотренные выше методы ОТСТ базировались на цене сделки с ввозимыми, идентичными или однородными товарами. В случаях, когда первые три метода определения таможенной стоимости н...
6740. Метод определения таможенной стоимости на основе сложения стоимости 22.98 KB
  Метод определения таможенной стоимости на основе сложения стоимости. При применении метода ОТСТ на основе сложения стоимости в качестве основы для ОТСТ товара принимается расчетная стоимость товаров, которая определяется путем сложения: расходов ...
6741. Резервный метод определения таможенной стоимости товаров 23.17 KB
  Резервный метод определения таможенной стоимости товаров. Если в силу, установленными правовыми актами, условий таможенная стоимость товаров не может быть определена в результате последовательного применения рассмотренных ранее методов определения т...