41136

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты

Лекция

Математика и математический анализ

Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. Вычисление работы и теплоты. Вычисление теплоты. В качестве силы которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим Клаузиус предложил рассматривать температуру а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния который называется энтропия.

Русский

2013-10-22

97 KB

1 чел.

Лекция 2

2. Математические выражения для термодинамической работы и теплоты. 2.1. Вычисление работы и теплоты.

 2.1.Термодинамическая работа. Пусть в цилиндре, закрытом поршнем,  находится газ. Давление газа под поршнем уравновешивается установленным сверху на поршне грузом и давлением внешней среды. Площадь поршня – S.

                                             

 

При каких условиях газ может произвести полезную работу, т.е. поднять груз, преодолевая суммарное давление среды (давление окружающего воздуха и вес груза)? На этот вопрос нужно ответить так: при условии, что давление газа под поршнем будет не меньше давления среды (pгаз     pсреды). В реальных процессах, для того, чтобы сдвинуть поршень из состояния покоя, необходимо, чтобы pгаз   > pсреды. Однако в этом случае, как говорилось ранее, термодинамический процесс расширения газа и совершения им работы будет неравновесным (наличие движущей силы, равной разности давлений внутри и снаружи приведет к ускорению движения поршня и находящегося под ним газа).

Поэтому остается лишь один возможный вариант pгаз   =  pсреды.  

 

                                                                                                                                                          

Выражение (2.1) определяет так называемую термодинамическую работу или работу расширения. При конечном изменении объема полная термодинамическая работы может быть вычислена по уравнению

                                                   ,           Дж      (2.2)

Если отнести величину термодинамической работы к единице массы рабочего тела m, то получим удельную термодинамическую работу:

                            ,       Дж/кг                   (2.3)

где m – масса газа, кг; v - удельный объем, м3/кг.

 

Правило знаков. Знак термодинамической работы определяется знаком произведения pdV. Отметим, что в выражение для работы входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Однако, т.к. ранее было установлено, что всегда pа 0, то знак работы определяется знаком изменения dV:

- при dV 0 рабочее тело (газ) расширяясь совершает работу против внешних сил, работа положительна dL > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dV 0 внешние силы совершают работу над рабочим телом (газом), работа отрицательна dL   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».  

Геометрическая интерпретация термодинамической работы.

Термодинамический процесс в результате которого совершается термодинамическая работа изображается в координатах pv линией.

p

                                                                  

                                                 v      

      Рис.2.1. Геометрическая интерпретация работы.

2.2. Вычисление теплоты.

Для согласования некоторых положений термодинамики Клаузиус предложил по аналогии с выражением для термодинамической работы вычислять теплоту как произведение обобщенной  силы на обобщенную координату. В качестве «силы», которая обеспечивает передачу теплоты от одних тел к другим, Клаузиус предложил рассматривать температуру, а в качестве обобщенной координаты некоторый параметр состояния, который называется энтропия.

Тогда выражение для вычисления теплоты будет иметь вид

                                          , Дж       (2.4)

где Tтемпература тела, К; dS – изменение энтропии, Дж.

То же в интегральном виде

                                                  .       (2.5)

Эти же выражения для удельных значений теплоты  могут быть представлены:

                                              , Дж/кг      (2.6)                                          

                                                        и

                                                                  (2.7)

Правило знаков. Знак теплоты определяется знаком произведения TdS. Отметим, что в выражение для теплоты входит значение давления собственно газа, т.е. абсолютное давление газа. Из приведенного выше рисунка шкалы Кельвина ясно, что всегда T  0, то знак теплоты определяется знаком изменения dS:

- при dS 0  к  рабочему телу  теплота подводится теплота положительна dQ > 0 и берется в вычислениях со знаком «+»;  

- при dS 0    теплота  отводится  от рабочего тела, теплота отрицательна dQ   0 и берется в вычислениях со знаком « - ».

 

                                                                                        

                                      Рис.2.2. Геометрическая интерпретация теплоты.                      

2.3.Теплота и термодинамическая работа – характеристики процесса.

Из рис.2.1 и 2.2 понятно, что величина работы и теплоты зависит от пути, по которому протекает термодинамический процесс, т.е. от вида функциональных  зависимостей p(v) и T(s) и вида кривых 1-2 на рисунках. Это в свою очередь означает, что и теплота, и работа не отвечают понятиям параметров состояния. Т.к. эти величины зависят от вида термодинамического процесса, то они называются характеристиками (функциями) процесса.       

Следствия из определения теплоты и работы как характеристик процесса.

1. Теплота и работа не обладают свойствами полного дифференциала и поэтому при записи для бесконечно малых значений теплоты и работы не используется символ d… Для обозначения бесконечно малых значений теплоты и работы используется символ δ.

2. Интеграл по замкнутому контуру от δQ  и δL не равен 0, а имеет конечное значение.  

2.4.Теплоемкость рабочих тел. Для количественной оценки теплоты также используется понятие теплоемкости рабочего тела.

Теплоемкость – это количество теплоты, которое необходимо подвести к рабочему телу, чтобы увеличить его температуру на 1 Кельвин (градус Цельсия).

Математически сказанное представляется, как:

                                                           (2.8)

где Cx , Qx – соответственно, теплоемкость и теплота конкретного термодинамического процесса при постоянном параметре процесса х;Т=Т2 – Т1, Т1,Т2 – соответственно, начальное и конечное значения температуры процесса, К. 

Т.к. и теплота, и работа – характеристики процесса, то их величина зависит от функциональной зависимости, которой выражается процесс. Следовательно, в зависимости от того или иного термодинамического процесса, необходимо различать и теплоемкость, которую проявляет рабочее тело в данном конкретном процессе. Т.к. в термодинамике различают 4 основных термодинамических процесса (изобарный, изохорный, изотермический, адиабатный), то и принимается, что рабочее тело может проявлять 4 различных теплоемкости: изобарную, изохорную, изотермическую, адиабатную.  

Сопоставление (2.7) и (2.8) показывает, что теплоемкость Cx - имеет смысл среднеинтегральной величины. Из определений теплоты (имеет смысл только при протекании термодинамического процесса) и теплоемкости (2.8), можно сделать следующие выводы:

-  теплоемкость имеет смысл только для интервала температур Т;

 - теплоемкость является функцией температуры. 

На рис.2.3 показан принцип разбиения диапазона изменения температуры на интервалы с определением среднеинтегрального значения теплоемкости для

заданного  Т.

                                                                                                  

Рис.2.3. Геометрическая интерпретация теплоты.

Каждый раз, разбивая интервал Т меньшие получаем все более узкий диапазон температуры, для которого может быть определено среднеинтегральное значение Сср. Когда интервал Т  уменьшится до бесконечно малой величины dT, будем считать, что нами определено истинное значение теплоемкости для любой из температур границ интервала.

                                                           

                                                    Истинная теплоемкость

                                                                   ,    Дж                    (2.9)

                                                    Удельная истинная теплоемкость

                                                                   ,        Дж/кг                  (2.10)

                                                       

                                                       

                                                    


pсреды

 dH

Пусть в результате расширения газа поршень переместился на небольшую высоту dН.

Элементарная механическая работа, которую совершил газ, действуя на поршень силой

                F = pсреды  S 

будет равна

              dL= pсреды  SdH 

или, принимая во внимание, что

               SdH = dV  - приращение объема, получим

             dL= pсреды  dV

 или

                dL= pdV      (2.1)

p2

p1

v1

v2

1

2

Если провести аналогию с известными из курса физики выражениями для механической работы, то можно заметить, что давление – есть аналог силы, а изменение объема - аналог изменения координаты.

Т.о. можно сказать, что термодинамическая работа – это произведение обобщенной силы на обобщенную координату.

2

1

s2

s1

T1

T2

 T

s

T

 C

2

1

T2

T1

C1ср

Tа

C2ср

dT

T1

T2

C(T)

В выражении  всегда в термодинамической шкале температур Кельвина Т 0. Следовательно, если  0 – теплота имеет знак «+», т.е. подводится к рабочему телу; если  0 – теплота имеет знак «-», т.е. отводится от рабочего тела.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43747. Колодкові гальма підйомно-транспортних машин та механізмів 313 KB
  У підйомно-транспортному машинобудуванні широке застосування знайшли гальма, конструкція важільної системи яких забезпечує можливість використання для замикання електромагнітів як змінного (гальма типу ТКТ із електромагнітами типу МО-Б), так і постійного (гальма типу ТКП із електромагнітами типу МП) струму .
43748. Разработка технических и технологических мероприятий по созданию централизованной системы водоотведения 862.13 KB
  Город Кириши расположен в зоне дерново-подзолистых почвы и легко- и среднесуглинистого механического состава. Такие почвы бедные, с плохой структурой и отличающиеся значительной кислотностью. По механическому составу они большей частью тяжелосуглинистые, но встречаются суглинистые и супесчаные.
43749. Спроектирован участок механической обработки детали и произведен расчет и анализ условий труда и безопасности жизнедеятельности 1.2 MB
  Штамп с верхним прижимом предназначен для вырубки листа сердечника электродвигателя ВАО44502 асинхронный трехфазный двигатель с короткозамкнутым ротором обдуваемый взрывозащищенный. В данном дипломном проекте разрабатывается технология изготовления матрицы для вырубного штампа форма и размеры которой унифицированы т. данный тип матрицы используется во многих штампах листовой штамповки матрицы которых отличаются только профилем вырубаемого листа. Ведомость по заказам матриц для вырубных штампов Заводпотребитель Условный годовой...
43750. Розробка Інтернет-магазину «Компьютерна техніка» 2.29 MB
  Характерними рисами інтернет-магазинів є те, що вони можуть пропонувати значно більшу кількість товарів та послуг, ніж реальні магазини і забезпечувати споживачів значно більшим обсягом інформації, необхідної для прийняття рішення про покупку
43751. Система и меры антикризисного управления 174 KB
  В данном направлении государство осуществляет следующие виды регулирования: Правовое регулирование создается правовая основа антикризисного регулирования проводятся экспертизы на наличие случаев преднамеренного и фиктивного банкротства; Методическое регулирование проведение мониторинга состояния организации и методическое обеспечение профилактика ее банкротства судебные процедуры а также санации если возникнет факт несостоятельности; Информационное регулирование производит учет и анализ платежеспособности экономически и социально...
43752. Страхові послуги 649.5 KB
  В ній виділена фінансова діяльність код 65 яка включає фінансове посередництво грошове посередництво фінансовий лізинг страхування код 66 яка представлена значною кількістю фінансових послуг. Страховий продукт це набір основних і додаткових послуг що надаються страхувальнику при укладенні договору страхування. З точки зору цивільного права – це визначений договором страхування та іншими нормативними актами в системі цивільноправових відносин комплекс заходів які страховик зобов’язується здійснити в інтересах страхувальника....
43753. СТРАХОВІ НАКОПИЧУВАЛЬНІ ПОСЛУГИ 80 KB
  На практиці найчастіше договори страхування життя мають змішаний характер, тобто поєднують у собі страхування як на випадок смерті, так і на випадок дожиття. Тому одноразова нетто-ставка в цьому випадку дорівнює сумі розрахованих нетто-ставок за кожним ризиком.
43754. СТРАХОВІ ПОСЛУГИ У РАЗІ НЕЩАСНИХ ВИПАДКІВ 72.5 KB
  Нещасні випадки та їх класифікація Сутність та особливості страхових послуг у разі нещасних випадків Добровільні страхові послуги у разі нещасних випадків Обов'язкове особисте страхування від нещасних випадків на транспорті Нещасні випадки та їх класифікація Постійною складовою суспільного розвитку були і залишаються численні нещасні випадки що загрожують існуванню людини й суспільству загалом. У правилах страхування від нещасних випадків страхові компанії виділяють як правило чотири групи...