41149

Способы задания плоскости на эпюре

Лекция

Математика и математический анализ

Способы задания плоскости на эпюре Из курса элементарной геометрии известно что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. Таким образом положение плоскости в пространстве логично определить задать тремя точками точки А В С табл. Кроме этого положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С не лежащая на прямой табл.

Русский

2013-10-23

592.5 KB

45 чел.

PAGE  19

Глава 3

 

Проекции плоскости

 

3.1 Способы задания плоскости на эпюре

 

            Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. Таким образом, положение плоскости в пространстве логично определить (задать) тремя точками (точки А, В, С, табл. 3.1, п1.)

            Кроме этого, положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой (табл. 3.1, п.2), две пересекающиеся прямые АВ и CD (табл. 3.1, п.3), две параллельные прямые АВ и CD (табл. 3.1, п.4), плоская фигура, т.е. часть плоскости, ограниченная линиями (треугольник, квадрат, круг, ромб и т.д.).

            На эпюре (табл. 3.1) плоскость может быть задана соответственно проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, прямой и точки, не лежащей на прямой, двух пересекающихся или параллельных прямых, проекцией плоской фигуры.

            Плоскости условимся обозначать прописными латинскими буквами, следующими за буквой P по алфавиту: R, S, T  и т.д.

 

Таблица 3.1  Способы задания плоскости в пространстве и на эпюре

Задание плоскости в пространстве

Наглядное изображение

Эпюр

Задание плоскости на эпюре

1

Тремя точками, не лежащими на одной прямой

Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой

2

Прямой и точкой, не лежащей на прямой

Проекциями прямой и точки, не лежащими на одной прямой

3

Двумя пересекающимися прямыми

Проекциями двух пересекающихся прямых

4

Двумя параллельными прямыми

Проекциями двух параллельных прямых

5

Плоской фигурой

Проекциями плоской фигуры

6

Следами

Следами

 

 

3.2 Следы плоскости

 

            Положение плоскости в пространстве может быть определено ее следами. Следами плоскости называются прямые линии, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

            В общем случае плоскость имеет три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный.

            На рис. 3.1. и в таблице 3.1. п.6  они обозначены соответственно P1, P2, P3 (буквой Р обозначена заданная плоскость, а индексы 1, 2, 3 означают, с какой из плоскостей проекций пересекается плоскость Р).

            В точках Px, Py, Pz, лежащих на осях координат, следы плоскости пересекаются. Эти точки называются точками схода следов плоскости.

            Следы плоскости всегда можно построить, если положение плоскости в пространстве задано одним из перечисленных выше способов.

            Если прямая АВ (рис.3.1. а и б) лежит в плоскости Р, то она пересечет плоскость П1 в точке М1 расположенной на линии Р1, т.е. горизонтальный след прямой, лежащей в плоскости, расположен на горизонтальном следе плоскости.

Плоскость П2 прямая АВ пересечет в точке  N, расположенной на линии Р2.

            Иными словами, следы прямой, лежащей в плоскости, расположены на одноименных следах плоскости.

            Отсюда следует, что следы плоскости должны проходить через одноименные следы прямых, лежащих в плоскости.

            Чтобы построить след плоскости, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в плоскости.

            На рис. 3.1. плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СD. Чтобы построить горизонтальный след плоскости необходимо найти горизонтальный след прямой АВ – точку М и прямой СD – точку М1. Горизонтальный след плоскости будет проходить через точки М и М1.

 

 

Рис. 3.1.

 

           Фронтальный след плоскости Р2 строится аналогично. Следует отметить, что для построения следа Р2 достаточно иметь фронтальный след только одной прямой, так как второй точкой, определяющей положение следа Р2 будет точка Рх схода следов (точка пересечения ранее построенного следа Р1 с осью х).

 

3.3 Принадлежность прямой и точки   заданной плоскости

 

            Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая MN (рис.3.2,а) расположена в  плоскости Р, заданной следами, поскольку две точки прямой М и N(горизонтальный и фронтальный её следы) принадлежат плоскости, т.е. расположены на её следах. Прямая 1-2 (рис.3.2, б) принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми, поскольку имеет с ней две общие точки.

 Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того, чтобы построить в плоскости точку (рис. 3.2), необходимо провести в плоскости прямую, принадлежащую плоскости, а затем задать на ней точку Е, которая принадлежит прямой и, следовательно, и плоскости.

Рис. 3.2

 

3.4 Плоскости общего и частного положения

 

            Различают частные и общие случаи расположения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций.

           

Плоскость общего положения. Плоскость, произвольно расположенная по отношению к плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1).

            Проекции элементов, которыми задана такая плоскость (точки, прямые, следы плоскости, плоские фигуры), составляют случайные углы с линиями связи и осями проекций комплексного чертежа, т.е. располагаются произвольно и ни в одной проекции не вырождаются в более простой геометрический образ.

            Плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций называются плоскостями частного положения.

            Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций называется проецирующей плоскостью. Проецирующая плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей, к фронтальной – фронтально-проецирующей, к профильной – профильно-проецирующей.

            В прямоугольных проекциях плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, параллельна направлению проецирования и поэтому является проецирующей.  Её проекция на этой плоскости вырождается в прямую; проекция на другую плоскость является неограниченным полем точек.

 

            Горизонтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости Р^П1 является неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.1), горизонтальной – прямая Р1. Горизонтальная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую горизонтальной проекции этой плоскости.

 

Фронтально-проецирующая плоскость. Горизонтальная проекция плоскости Р^П2 представляет собой неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.2), фронтальная проекция Р2 вырождается в прямую. Фронтальная проекция любой точки, линии или фигуры, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, располагаются на выродившейся в прямую фронтальной проекции этой плоскости.

 

            Профильно-проецирующая плоскость. Профильная проекция плоскости Р^П3, вырождается в прямую (табл. 3.2., п.3). Проекциями на плоскость П1 и П2 являются неограниченные поля точек. Профильная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в профильно-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую профильной проекции этой плоскости. Из рисунков в таблице 3.2. видно, что один след проецирующей плоскости (так называемый след-проекция) совпадает с выродившейся в прямую проекцией плоскости, а другой- перпендикулярен к оси проекций.

            Задание на комплексном чертеже проецирующих плоскостей следами изображено в таблице 3.2. и не нуждается в пояснениях (сопоставьте изображения каждой проецирующей плоскости в таблице).

            Заметим, что угол между следом-проекцией и осью проекции равен углу наклона проецирующей плоскости к плоскости проекций.

            На комплексном чертеже проецирующие плоскости чаще изображаются не следами, а своей проекцией, выродившейся в прямую. Вторая проекция, представляющая поле точек, безгранична и обычно не изображается и не обозначается.

 

Таблица 3.2  Положение плоскости относительно плоскости проекций.

 

Положение плоскости в пространстве

Наглядное изображение

Эпюр

Положение следов плоскости

1

Перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально-проецирующая плоскость

Р1 – произвольно Р2 – перпендикулярно к оси X 

Р3 – перпендикулярно к оси Y

2

Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально-проецирующая плоскость

Р1 – перпендикулярно к оси X 

Р2 – произвольно

Р3 – перпендикулярно к оси Z

3

Перпендикулярна к плоскости П3 – профильно-проецирующая плоскость

Р1 и Р2 – параллельны к оси X

Р3 - произвольно

4

Параллельна плоскости П1 – горизонтальная плоскость

Р1 – отсутствует

Р2 – параллельно оси X 

Р3 – параллельно оси Y

5

Параллельна плоскости П2 – фронтальная плоскость

Р1 – параллельно оси X

Р2 – отсутствует

Р3 – параллельно оси Z

6

Параллельна плоскости П3 – профильная плоскость

Р1 и Р2 – перпендикулярно к оси X

Р3 - отсутствует

 

 

            Плоскость, параллельная плоскости проекций называется плоскостью уровня. Такая плоскость перпендикулярна к двум другим плоскостям проекций и, следовательно, по отношению к ним является проецирующей и проецируется на них в прямую линию. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной, параллельная фронтальной – фронтальной и параллельная профильной – профильной плоскостью уровня.

            В таблице 3.2. п. 4, 5, 6 изображены плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня. Здесь же даны изображения этих плоскостей на комплексном чертеже.

            Плоскости уровня не имеют следа на параллельной себе плоскости проекций и проецируются на неё в неограниченные поля точек (эти проекции на комплексном чертеже не обозначаются и не ограничиваются).

            Итак, положение плоскостей уровня подчинено общему правилу: если плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в поле точек. Её проекция на другой плоскости – прямая, перпендикулярная к линии связи. 

3.5 Главные линии плоскости

 

            В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых, среди которых будут линии уровня плоскости, т.е. прямые, параллельные плоскостям проекций, и прямые, перпендикулярные к этим линиям уровня, так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными (или особыми) линиями плоскости. К первым относятся горизонтальные линии плоскости (горизонтали плоскости), а также фронтальные и профильные (фронтали плоскости, профильные прямые плоскости).

            Главные линии плоскости имеют большое практическое применение. Например при помощи горизонталей изображаются части поверхности земляных сооружений, ограниченные плоскостями (откосы насыпей и выемок, плотин и т.п.), определяются их контуры на планах и т.д. Горизонталями плоскости – напластования горных пород, ориентируется положение пласта породы по отношению к сторонам света (простирание), а линией наибольшего уклона указывается положение этого пласта по отношению к плоскости горизонта (падение).

            Горизонтали и фронтали плоскости широко используются при решении различных задач начертательной геометрии. Задание плоскости этими линиями имеет ряд преимуществ перед другими способами задания её.

            Горизонтали плоскости. Горизонтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

 

Рис. 3.3

 

Горизонтальную линию уровня любой плоскости можно рассматривать как линию пересечения этой плоскости с горизонтальной плоскостью уровня. Горизонтальную плоскость проекций П1 можно принять за горизонтальную плоскость нулевого уровня. Поэтому горизонтальный след Р1 плоскости можно принять за горизонтальную линию нулевого уровня этой плоскости.

            Все горизонтали плоскости, в том числе её горизонтальный след взаимно параллельны как линии пересечения одной плоскости с параллельными плоскостями уровня.

На рис. 3.3, а изображена плоскость Р, заданная следами Р1 и  Р2, горизонталь  h и ее проекции h1 и h2. Для построения проекций горизонтали на комплексном чертеже (рис. 3.3, б) проведена проекция h2||ОХ, построены проекции N2=h2ÇP2 и N1ÎОХ фронтального следа N горизонтали и через N1 проведена проекция h1||P1. Построенная горизонталь h находится  в плоскости Р, так как она проходит через точку NÎP и параллельна прямой Р1ÎР.

            На рис.3.3, в показана горизонталь А1, построенная в плоскости треугольника АВС.

            Фронтали плоскости.  Фронтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций.

            Проведя рассуждения, аналогичные рассмотренным для горизонтали, придем к выводу, что фронтали плоскости параллельны фронтальному следу Р2 плоскости, являющемуся фронтальной линией нулевого уровня этой плоскости.

            Плоскость Р, заданная следами Р1 и Р2, фронталь f  и её проекции f1 и f2 изображены на рис 3.4, а.

рис 3.4

 

Для построения проекций фронтали на комплексном чертеже (рис 3.4, б) проведена проекция f1||ОХ, построены проекции М1=f1ÇР1 и М1ÎОХ горизонтального следа М фронтали и через М2 проведена проекция f2||Р2. Построенная фронталь fÎР, т.к. она проходит через точку МÎР и параллельна прямой Р2ÎР.

            Линия наибольшего уклона (ската) плоскости.

             Из всех линий, расположенных в плоскости, прямая, идущая под прямым углом к горизонталям (рис. 3.5,а), наклонена к плоскости П1 под наибольшим углом – линия наибольшего ската плоскости (ЛНС). Её горизонтальная проекция составляет прямой угол с горизонтальным следом плоскости и с горизонтальными проекциями горизонталей. Поэтому ЛНС следует начинать строить с горизонтальной проекции (рис. 3.5, б), которая расположена по прямым углом к следу Р1 и к горизонтальной проекции горизонтали. Отметив на горизонтальной проекции линии  наибольшего ската две точки М1 и А1, строим их фронтальные проекции. Фронтальная проекция линии наибольшего ската пройдет через точки М2 и А2. Построение линии наибольшего ската на плоскости, заданной треугольником АВС, показано на рис. 3.5, в, где сначала перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали проведена горизонтальная проекция 11-21, а затем фронтальная проекция  12-22 этой линии.

            Угол a наклона линии наибольшего ската к плоскости П1 определяет наклон плоскости Р к плоскости П!.

 

Рис. 3.5

 

3.6 Построение линии пересечения двух плоскостей

 

            Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

            Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии, имеющих большое практическое значение. Она относится к так называемым позиционными задачам.

            Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.

            Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям. Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения. 

            Рассмотрим частный случай пресечения плоскостей, когда одна из них проецирующая. На рис. 3.6 приведены плоскость общего положения, - заданная треугольником АВС и горизонтально-проецирующая Р. Двумя общими точками, принадлежащими обеим плоскостям, являются точки D и Е, которые и определяют линию пересечения.

            Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей  плоскостью. Построение точек D и Е как на  пространственном чертеже (рис. 3.6, а), так и на эпюре (рис. 3.6,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.

            Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D1 Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.

 

Рис. 3.6

             Рассмотрим общий случай пересечения когда обе плоскости - общего положения. На рис. 3.8,а показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня R и Т. Вспомогательная плоскость R пересекает заданные плоскости по двум горизонталям h и h1, которые в своем пересечении определяют точку 1, общую для плоскостей P и Q, так как они одновременно принадлежат вспомогательной секущей плоскости R. Вторая плоскость – посредник Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям h2 и h3, которые параллельны первым двум горизонталям. В пересечении горизонталей получим вторую общую точку 2 заданных плоскостей. Соединяя на эпюре (рис. 3.8,б) одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения плоскостей.

 

Рис. 3.7

             На рис. 3.9 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа (см. пример 5), а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П1 и П2.

 

Рис 3.8

  

Рис. 3.9

             На рис. 3.9 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (Р||П1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через  эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.  В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.

 

3.7. Построение точки пересечения прямой и плоскости

           

            Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости (этот случай был рассмотрен ранее в пункте 3.4 настоящей главы), а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Первый случай был разобран в пункте 3.4, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение линий, принадлежащих плоскости.

             Рассмотрим случай пересечения прямой линии с плоскостью.

            Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пресечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью.

            При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 3.10.).

Если заданная плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

            Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 3.12):

  1.  провести через прямую АВ вспомогательную проецирующую плоскость Q;
  2.  построить линию 1-2 пересечения данной плоскости и вспомогательной;

определить искомую точку К пересечения данной прямой DЕ с линией пересечения плоскостей 1-2.

 

Рис. 3.10

 

а)                                                                                           б)

Рис. 3.11

 

Решение этой задачи показано на пространственной модели (рис. 3.12, а) и на комплексном чертеже (рис. 3.12,б). Завершается решение задачи определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяется путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях (метод конкурирующих точек).

 

Рис. 3.12

 Задача на пресечение прямой с плоскостью решается аналогичным способом и в том случае, когда плоскость задана следами (рис. 3 13). Через прямую АВ проведена горизонтально–проецирующая плоскость Q. Найдена линия пересечения МN плоскости посредника Q с плоскостью заданной Р. Искомая точка пересечения К прямой АВ с плоскостью Р найдена в пересечении заданной прямой с полученной линией пересечения. Видимость участков прямой определена методом конкурирующих точек.

Рис. 3.13.

 

 

3.8 Параллельность прямой и плоскости

 

При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 3.14.

 

Рис. 3.14

 

Для этого проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость Q (Q^П1).

В данном случае через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой А1В1. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 1-2 сравнение которых с проекциями прямой показывает, что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

На рис. 3.15 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П1 (дополнительное условие).

 

Рис. 3.15

 

Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали.

 

3.9 Перпендикулярность прямой и плоскости

 

Из стереометрии известна теорема об условии  перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Известно также, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе к её линиям уровня.

Рис. 3.16

 

При построении проекций прямой перпендикулярной к плоскости, в качестве пересекающихся прямых этой плоскости берутся её линии уровня или следы плоскости, а не случайные прямые.

Пусть прямая К^Р (рис. 3.16). Проведем через точку А горизонталь h (АС) плоскости Р. Эти прямые образуют прямой угол (КА^АС), одна сторона которого АС параллельна плоскости П1. Такой угол спроецируется на плоскость П1 без искажения А1К1^h11С1). Но так как h1||Р1, то А1К1^Р1. Проведем фронталь f(АВ) плоскости Р: АК^f(АВ) и А2К2^f22В2), так как f||П2. Но f22В2) || Р2, поэтому А2К2^Р2.

Итак условие построения модели взаимно перпендикулярных прямых и плоскости: если АК^Р и (h, f)ÎР, то А1К1^h1 и А2К2^f2.

Выводы: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция её перпендикулярна к горизонтальным проекциям горизонталей, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальным проекциям фронталей этой плоскости.

Приведенное положение дает возможность решать ряд задач и, в частности, опустить или восстановить перпендикуляр к плоскости, решить обратную задачу – провести плоскость перпендикулярно прямой, определить расстояние от точки до плоскости (см. пример 7.8)

 

3.10 Параллельность плоскостей

 Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (рис. 3.17,а).

 

Рис. 3.17

 

Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например, следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой (3.17, б, где Р1||Q1, P2||Q2).

На рис. 3.18 показано построение плоскости, параллельной заданной плоскости Р.

В первом случае (рис. 3.18,а) искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку А и являющимися главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью. На рис. 3.18 б показано построение следов искомой плоскости Т, проходящей через заданную точку А.

Решение начато с построения горизонтали искомой плоскости и её фронтального следа N, через который проведен фронтальный след плоскости Т(Т12). Через точку схода следов Тх прошел горизонтальный след искомой плоскости Т1||Р1.

 

Рис. 3.18

 

3.11 Перпендикулярность плоскостей

 

Из стереометрии известно условие перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости (или параллельна этому перпендикуляру), то она перпендикулярна к данной плоскости.

 

Рис. 3.19

 

Через данную точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости Р (рис. 3.19). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость Р.

На эпюре (рис. 3.20) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра АК к данной плоскости. Построение А1К1 и А2К2 не вызывает затруднений, так как плоскость Р задана главными линиями. Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии АD. Эти две пересекающиеся линии АК и АD и определяют искомую плоскость Р.

Рис. 3.20


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80141. ОСОБЕННОСТИ БЮДЖЕТНЫХ ПРАВ РФ 31 KB
  Бюджетноправовой статус Российской Федерации составляет совокупность следующих бюджетных прав полномочий. Согласно этому РФ определяет основы бюджетного устройства и бюджетного процесса действующие на всей территории России которые конкретизируются в актах органов государственной власти субъектов федерации и местного самоуправления. что отразило укрепление самостоятельности субъектов Федерации.
80142. ОСОБЕННОСТИ БЮДЖЕТНЫХ ПРАВ СУБЪЕКТОВ РФ 39 KB
  Важной стороной в характеристике бюджетноправового статуса субъектов РФ выступает их равноправие. Правовой основой компетенции субъектов РФ помимо конституционных норм является текущее бюджетное законодательство Российской Федерации а также законодательство самих субъектов РФ конституции и уставы в которых содержатся основополагающие нормы о бюджетной компетенции субъектов РФ их другое законодательство.; Закон РФ О субвенциях краям областям республикам в составе Российской Федерации ежегодно принимаемые законы о федеральном...
80143. БЮДЖЕТНЫЙ ПРОЦЕСС НА МУНИЦИПАЛЬНОМ УРОВНЕ 80.5 KB
  Цель формирования и исполнения бюджета муниципального образования в дальнейшем МО заключается в содействии развитию МО путем проведения обоснованной налоговой политики и финансирования бюджетных расходов. Для содействия развитию МО и в целях усиления стимулирующей функции местного бюджета могут предприниматься в частности следующие меры: увеличение объема капитальных расходов в общем объеме расходов бюджета; увеличение расходов на адресные программы капитальных вложений за счет которых финансируются важнейшие мероприятия...
80144. Бюджетный процесс в РФ 289 KB
  В них регламентирован весь цикл формирования бюджета от момента его составления до момента утверждения отчета об его исполнении порядок и последовательность вступления в бюджетные правоотношения различных субъектов участников этих правоотношении на разных стадиях бюджетного процесса. Бюджетный процесс это регламентированная нормами процессуального бюджетного права деятельность государства и муниципальных образований по составлению рассмотрению и утверждению бюджета его исполнению и заключению а также составлению и утверждению отчета о...
80145. БЮДЖЕТНЫЙ ФЕДЕРАЛИЗМ 171 KB
  Как будет показано ниже в практике российского бюджетного федерализма трансферту придается более узкий смысл как денежному потоку из фондов финансовой помощи субъектам Российской Федерации. Структуры местного самоуправления города районы поселки муниципальные территории не вступают в отношения федерализма ни с федеральным центром ни с органами власти субъектов Российской Федерации. Поэтому по юридическому и политическому смыслу их бюджетные связи с органами государственной власти нельзя трактовать в аспектах отношений субъектов...
80146. ВАЛЮТНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ 192 KB
  Валюта Российской Федерации это: а находящиеся в обращении а также изъятые или изымаемые из обращения но подлежащие обмену рубли в виде банковских билетов банкнот Центрального банка РФ и монеты; б средства в рублях на счетах в банках и иных кредитных учреждениях в Российской Федерации; в средства в рублях на счетах в банках и иных кредитных учреждениях за пределами Российской Федерации на основании соглашения заключаемого Правительством РФ и Центральным банком РФ с соответствующими органами иностранного государства об использовании...
80147. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ФИНАНСОВО-ПРАВОВЫХ НОРМ 53.5 KB
  Как и любая другая норма права финансовоправовая норма представляет собой установленное и охраняемое государством правило поведения участников общественных отношений выраженное в их юридических правах и обязанностях. Особенности финансовоправовой нормы обусловлены тем что она в отличие от норм других отраслей права регулирует отношения возникающие в процессе планового образования распределения и использования государством и органами местного самоуправления финансовых ресурсов необходимых им для осуществления своих задач. Это...
80148. ВИДЫ ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ 53.5 KB
  Одним из важнейших принципов контроля в государстве является финансовый контроль. Финансовый контроль в России особенно актуален в период перехода от командноадминистративных к рыночным формам управления экономикой. По мере развития рыночной экономики тем более с усилением ее социальной ориентации контрольнофинансовые функции государства все более усложняются все большее число функций по защите финансовых прав и интересов граждан ложится на плечи государства.
80149. ПРАВОВОЙ РЕЖИМ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ВНЕБЮДЖЕТНЫХ ФОНДОВ 99.5 KB
  Бюджеты государственных внебюджетных фондов Российской Федерации рассматриваются и утверждаются Федеральным Собранием в форме федеральных законов одновременно с принятием федерального закона о федеральном бюджете на очередной финансовый год. Проекты бюджетов территориальных государственных внебюджетных фондов представляются органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации одновременно с представлением проектов законов субъектов Российской Федерации о бюджете на очередной финансовый год и утверждаются одновременно с принятием...