41163

Метод узловых напряжений

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Русский

2013-10-23

192.5 KB

101 чел.

Лекция 4. Метод узловых напряжений.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разности потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

На рис.29 представлена схема электрической цепи, содержащая пять ветвей и три узла. За базисный принят узел с индексом «0».

Узловое напряжение U10=1-0. Положительное напряжение узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Рис.29. Иллюстрация к методу узловых напряжений.

Напряжение на ветвях цепи равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви. Например, напряжение ветви 4 равно: U4=I4R4=U10-U20   (30)

Из формулы (30) видно, что, зная узловые напряжения, можно найти ток ветви.

Структуру уравнений получим, рассматривая схему рис.30.

Т.к. узел с индексом «0» принят за базисный, то его потенциал равен нулю. Узловые напряжения (потенциалы) узлов 1 и 2 – неизвестны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа для 1 и 2 узлов соответственно записываются:

    (31)

Узловое напряжение     (32)

Отсюда     (33,а)

Аналогично для оставшихся токов:

    (33,б)

Выражения (33,а,б) подставляем в систему (31) и после некоторых арифметических преобразований получаем:

(34)

Обозначим  q11=q1+q2+q4+q5 – собственная проводимость узла 1.

 q22=q3+q4+q5 – собственная проводимость узла 2.

 q12=q21=q4+q5 – взаимная проводимость ветви,

соединяющей узлы 1 и 2.

 Iy1=E1q1+E2q2+E5q5 – узловой ток узла 1.

 Iy2=-E3q3-E5q5 – узловой ток узла 2.

Из приведенных выражений видно:

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений Eiqi и Ji источников тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если э.д.с. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «-».

После введенных обозначений система (34) принимает вид:

    (35)

Из формул (35) видно, что собственная проводимость входит в выражения со знаком «+», а взаимная проводимость – со знаком «-».

Для произвольной схемы, содержащей n+1 узлов, система уравнений по методу узловых напряжений имеет вид:

  (36)

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

Nур=Ny-1-Nэ.д.с.  (37)

где Nэ.д.с. – число идеальных источников э.д.с.

Пример: (общий случай)

Пример: (с идеальными э.д.с.)

Порядок расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

  1.  Выбираем произвольно базисный узел. Желательно нулевой потенциал представить тому узлу, где сходится большее количество ветвей. Если имеется ветвь, содержащая идеальную э.д.с., то базисный узел должен быть концом или началом этой ветви.
  2.  Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (36).
  3.  Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.
  4.  Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

(38)

Следствие: Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных э.д.с.) составляется только одно уравнение.

Например, для схемы рис.30:

U10q11=E1q1-E3q4+J2  (39)   

Формула (39) носит название метода двух узлов.

Рис.30. Иллюстрация к методу двух узлов.

Узловое напряжение по методу двух узлов равно:

(40)

Пример: Дано: E1=8B; E5=12B; R1=R3=1 Ом; R2=R4=2 Ом; R5=3 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Рис.1

Решение:

Т.к. электрическая цепь содержит три узла и не содержит ветвей с идеальными источниками э.д.с., то число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений равно 2.

Узел 3 будем считать базисным.

Тогда

Где

В результате решения системы определяем U13=2,8 B; U23=-1,95 B.

Токи в ветвях определяем по закону Ома:

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4786. Множества в программировании на языке Pascal 47 KB
  Множества. Множественный тип. Конструктор множества. Операции и отношения. Применения множеств в программировании. Задачи и упражнения. Еще одним сложным стандартным типом данных, определенным в языкеPasca...
4787. Простые типы данных. Линейные программы 99.5 KB
  Простые типы данных. Линейные программы Заголовок программы. Константы и их использование. Раздел констант. Переменные программы. Раздел переменных. Стандартные простые типы данных: Тип данных Integer Тип данных Real...
4788. Структурное программирование на языке Pascal 156.5 KB
  Структурное программирование. Основные управляющие структуры. Основные структуры данных. Методология программирования сверху-вниз. Пример: Решение системы линейных уравнений. Проектирование модулей. Модуль RAT. Оформление модуля...
4789. Ветвящиеся программы. Тип данных Boolean 96 KB
  Ветвящиеся программы 1.Понятие условия. Тип данных Boolean (логический). 2.Составной оператор. 3.Выбирающие операторы: условный оператор. 4.Ветвящиеся программы. Пример. 5.Оптимизация ветвящихся программ по времени. 6.Скалярный тип. 7.Выбирающие опе...
4790. Графика в системе программирования TP-6 86 KB
  Графика в системе программирования TP-6. Графический экран. Виды графических адаптеров. Графический модуль GRAPH. Задача построения графика функции. Работа с текстами и ввод-вывод в графическом экране. Рекурсивные описания в графике. Работа ...
4791. Система программирования Вorland Рascal 7.0. Техника программирования структур управления алгоритмов 54 KB
  Система программирования Вorland Рascal 7.0. Цель: Первоначальное знакомство с технологией программирования в среде Вorland Рascal 7.0. Опорные знания: Начальные знания языка программирования Паскаль. Операционные среды Windows, MS DOS + Norto...
4792. Алгоритмы. Императивный подход. О понятии алгоритма. Декларативный подход 132.5 KB
  Алгоритмы. Императивный подход. Содержательное понятие алгоритма. Точное математическое определение алгоритма и изучение этого понятия - предмет специальной математической дисциплины - теории алгоритмов, которая, в свою очередь, опирается на...
4793. Концепция императивного язык программирования 83 KB
  Концепция императивного язык программирования. Основная задача программирования. Краткая история языков программирования. Языки программирования (ЯП) как формальные языки описания алгоритмов. Структура языка программирования. О синтаксисе и семантик...
4794. Концепция данных в программировании 80.5 KB
  Концепция данных Элементарные конструкции языка программирования: алфавит, данные, имена. Типы данных. Вычислительные структуры (многосортные алгебры) как формальные средства описания данных. Носители и сигнатуры, формы записи. Термы. Интерпретации ...