41185

Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей при периодическом синусоидальном воздействии

Лекция

Физика

Из курса Математики известно что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Если допустить что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью  то это комплексное число запишется: Величину назвали – оператор вращения. Комплексное число назвали комплексной амплитудой тока а – комплексном действующего значения тока. Комплексное число назвали комплексной...

Русский

2013-10-23

267.5 KB

21 чел.

Лекция 8. Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей

при периодическом синусоидальном воздействии.

 

Из курса "Математики" известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси.

(В электротехнике, т.к. буква i изображает ток, за признак мнимости  принята буква j, а само число или сверху точка, или снизу подчеркнуто  ,  ).

;

            А – модуль;

                     – аргумент или фаза.

 

Если допустить, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то это комплексное число запишется:

Величину  назвали – оператор вращения.

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения ,  похоже на мнимую часть нашего вращающегося комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой тока, а  – комплексном действующего значения тока.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой напряжения, – комплексом действующего значения напряжения (как мы помним , ).

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения есть мнимая часть произведения комплексной амплитуды тока или напряжения на оператор вращения  .

Пример:

А,   А,  А.

; , В.

Таким образом, реальные мгновенные значения синусоидального тока и напряжения мы можем заменить неким символом – комплексной амплитудой или комплексом действующего значения тока и напряжения, помня все время об операторе  и  (отсюда и название метода – комплексный или символический).

Посмотрим на расчете простейшей электрической схемы, что нам это даст.

Последовательное соединение R, L, C.

 По 2-му закону Кирхгофа:

  (1)

Тогда (1) можно записать:

 (2)

В математике давно доказано, что операции над мнимыми частями комплексных чисел равноценны операциям над комплексным числом с выделением из результата мнимой части.

Тогда (2) примет вид:

Решили данное уравнение:

        .

Видим, что на  можно сократить, и помня, что , , ,  в результате получим:

где      – назвали комплексным сопротивлением,

 –комплексным индуктивным сопротивлением,

          –комплексным емкостным сопротивлением,

          –комплексным реактивным сопротивлением (знак показывает, какое сопротивление больше – индуктивное или емкостное).

Следует помнить: , , , , .

В результате получим, что нашу исходную схему с реальными мгновенными синусоидальными токами и напряжениями можно заменить схемой с комплексным сопротивлением , в которой есть комплексные амплитуды или комплексы действующих значений токов или напряжений.

        ,

        

 

Получили закон Ома в комплексной форме, а также переход от комплексной величины тока и напряжения к мгновенному значению имеет только одно решение, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й закон (в узле электрической цепи)

2-й закон (в замкнутом контуре цепи)

\

.

Используя при расчетах схемы с комплексными сопротивлениями, комплексами токов и напряжений мы от интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в реальной схеме, имеем уравнения обычной алгебры, но с комплексными числами. В этом основное преимущество данного метода.

Комплексное число всегда можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Диаграмма, отражающая совокупность векторов токов и напряжений с учетом их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на комплексной плоскости называется векторной диаграммой (она широко используется при расчетах).

Для нашей схемы:

       

,

     

       (надо помнить, что  )

Параллельное соединение R, L, С.

     

Примем

Оперируем  комплексом тока и напряжения и отбросим .

,

где , , , ,

, .

– комплексная полная проводимость;

– комплексная индуктивная проводимость;

– комплексная емкостная проводимость;

– комплексная реактивная проводимость.

Связь между комплексными сопротивлениями и проводимостями:

;

;

;

;

;

;

; ;

;

; .

Комплексная мощность

За комплексную мощность  приняли произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряженный комплекс действующего значения тока  (сопряженный комплекс изменен на обратный () знак прямого комплексного числа (, )).

Если , ,  тогда учитывая известные ранее полную мощность , активную мощность , реактивную мощность ,  имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть ровна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

, .

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15123. Аралбай Оңғарбекұлы 26 KB
  Аралбай Оңғарбекұлы 1854-1914 Аралбай Оңғарбекұлы Маңғыстаудың Қарақұм аумағында туып өскен.Кедейліктің кесірінен жасынан ауруға шалдығыпкедейлік тірлігімен қатар денсаулықтың кемдігі де оны өмірге...
15124. Асан қайғы - дала данышпаны 47.5 KB
  АСАН ҚАЙҒЫ ДАЛА ДАНЫШПАНЫ Г.Б. Әбдіқадрова № 47 М.В. Ломоносов атындағы қазақ орта мектебі Шиелі ауданы Қызылорда облысы Табиғат – бүкіл әлем.Адам табиғатта өмір сүреді онымен тұрақты қатынаста болады. Адам оның денесі мен рухани өмірі табиғатпен тікелей байл...
15125. Асан қайғы - жырау, данышпан ойшыл 58 KB
  Мәлім де беймәлім асан абыз Сәбитұлы Асан қайғы 14 15 ғғ. жырау философ қоғам қайреткері. Еділ бойында дүниеге келген. Құрбанғали Халидұлы өзінің Тауарих хамса атты еңбегінде әйгілі Майқы биді Асан қайғының арғы атасы еді дейді. Берке хан дүниеден қайтқан соң...
15126. Ахмет Байтұрсынұлының өмірі мен қызметі 47 KB
  А. Байтұрсыновтың өмірі мен қызметі Кезінде репрессияға ұшырап мерт болған боздақтар қайта тірілді сөнген жанып жоғалған табылды. Алыптар қайта оралды. Тұтас буынның төлбасы кешегі Абай Ыбырай Шоқан салған ағартушылық демократтық бағытты ілгері жалғастырушы ір...
15127. Б. Адамбаев - фольклортанушы 37.5 KB
  ӘОК 8219 Қ64 Б. АДАМБАЕВ ФОЛЬКЛОРТАНУШЫ М.Б. Қоңқашова ӘулиеАта университеті Тараз қ. Қазақ ауыз әдебиеті туралы ғылыми зерттеулер он тоғызыншы ғасырда өз бастауын алды. Бұған дейінгі уақытта қазақ фольклоры жайында жекелеген пікірлер ғана айтылып т
15128. Баймырзаұлы Балуан Шолақ 41.5 KB
  Баймырзаұлы Балуан Шолақ 1864-1916 – қазақтың халық композиторы ат ойынының түрлі тәсілін меңгерген өнерпазы күш өнерін көрсеткен спортшысы жауырыны жерге тимеген балуаны. Оның есімін де халық осы соңғы өнеріне сүйсінгендіктен еркелет
15129. Балалардың сүйікті жыршысы - Мұзафар Әлімбай 320 KB
  Балалардың сүйікті жыршысы М.Әлімбаевтың шығармашылығына арналған әдістемелік құрал Ол алуан қырлы талантты ақын Д.Әбілов Кіріспе орнына Қымбатты достым қалай ойлайсыз қазіргі қазақ әдебиеті мен поэ
15130. Батыр жырау - Қожаберген 173.5 KB
  Ел тарихын ұмыттырмаған ән €œҚожаберген жыраудың шығармаларын сұрыптап толықтырылған жинағын баспаға дайындап жатыр едiк соған сiз алғы соз жазсаңыз€ деп Қызылжардан телефон шалғанда уәдемдi берiп қалып едiм. Өзiң атқарар iстi бiреу жарқыратып атқарып жатса құдайды...
15131. Бейімбет Майлин 89.5 KB
  Бейімбет Майлин Майлин Бейімбет 1894-1938 Бейімбет – поэзия проза драма саласында бірдей өнімді еңбек еткен қаламгер. Ол Садақ қолжазба журналында Айқап журналында Қазақ газетінде жарияланған алғашқы өлеңдерінен бастапақ ел өмірінің сансала көкейкесті мәсе...