41185

Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей при периодическом синусоидальном воздействии

Лекция

Физика

Из курса Математики известно что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Если допустить что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью  то это комплексное число запишется: Величину назвали оператор вращения. Комплексное число назвали комплексной амплитудой тока а комплексном действующего значения тока. Комплексное число назвали комплексной...

Русский

2013-10-23

267.5 KB

21 чел.

Лекция 8. Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей

при периодическом синусоидальном воздействии.

 

Из курса "Математики" известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси.

(В электротехнике, т.к. буква i изображает ток, за признак мнимости  принята буква j, а само число или сверху точка, или снизу подчеркнуто  ,  ).

;

            А – модуль;

                     – аргумент или фаза.

 

Если допустить, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то это комплексное число запишется:

Величину  назвали – оператор вращения.

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения ,  похоже на мнимую часть нашего вращающегося комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой тока, а  – комплексном действующего значения тока.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой напряжения, – комплексом действующего значения напряжения (как мы помним , ).

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения есть мнимая часть произведения комплексной амплитуды тока или напряжения на оператор вращения  .

Пример:

А,   А,  А.

; , В.

Таким образом, реальные мгновенные значения синусоидального тока и напряжения мы можем заменить неким символом – комплексной амплитудой или комплексом действующего значения тока и напряжения, помня все время об операторе  и  (отсюда и название метода – комплексный или символический).

Посмотрим на расчете простейшей электрической схемы, что нам это даст.

Последовательное соединение R, L, C.

 По 2-му закону Кирхгофа:

  (1)

Тогда (1) можно записать:

 (2)

В математике давно доказано, что операции над мнимыми частями комплексных чисел равноценны операциям над комплексным числом с выделением из результата мнимой части.

Тогда (2) примет вид:

Решили данное уравнение:

        .

Видим, что на  можно сократить, и помня, что , , ,  в результате получим:

где      – назвали комплексным сопротивлением,

 –комплексным индуктивным сопротивлением,

          –комплексным емкостным сопротивлением,

          –комплексным реактивным сопротивлением (знак показывает, какое сопротивление больше – индуктивное или емкостное).

Следует помнить: , , , , .

В результате получим, что нашу исходную схему с реальными мгновенными синусоидальными токами и напряжениями можно заменить схемой с комплексным сопротивлением , в которой есть комплексные амплитуды или комплексы действующих значений токов или напряжений.

        ,

        

 

Получили закон Ома в комплексной форме, а также переход от комплексной величины тока и напряжения к мгновенному значению имеет только одно решение, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й закон (в узле электрической цепи)

2-й закон (в замкнутом контуре цепи)

\

.

Используя при расчетах схемы с комплексными сопротивлениями, комплексами токов и напряжений мы от интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в реальной схеме, имеем уравнения обычной алгебры, но с комплексными числами. В этом основное преимущество данного метода.

Комплексное число всегда можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Диаграмма, отражающая совокупность векторов токов и напряжений с учетом их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на комплексной плоскости называется векторной диаграммой (она широко используется при расчетах).

Для нашей схемы:

       

,

     

       (надо помнить, что  )

Параллельное соединение R, L, С.

     

Примем

Оперируем  комплексом тока и напряжения и отбросим .

,

где , , , ,

, .

– комплексная полная проводимость;

– комплексная индуктивная проводимость;

– комплексная емкостная проводимость;

– комплексная реактивная проводимость.

Связь между комплексными сопротивлениями и проводимостями:

;

;

;

;

;

;

; ;

;

; .

Комплексная мощность

За комплексную мощность  приняли произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряженный комплекс действующего значения тока  (сопряженный комплекс изменен на обратный () знак прямого комплексного числа (, )).

Если , ,  тогда учитывая известные ранее полную мощность , активную мощность , реактивную мощность ,  имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть ровна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

, .

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55324. На Україну линуть журавлі 55 KB
  Формувати уявлення про специфіку літератури української діаспори потребу до самостійного читання художньої літератури. Виховувати любов до української літератури.
55325. Здорові зуби 73.5 KB
  Основні цілі: сформувати поняття «здоровя», розкрити його психологічний фізіологічний та соціальний стан, ознайомити учнів з факторами, що визначають здоровя людини.
55326. Україна в моєму житті. Україна в моєму серці 47.5 KB
  Мета проекту: сформувати адекватні ставлення та сприйняття української мови культури традицій тощо в учнів та вчителів школи; викликати справжній інтерес до традицій історії культури українського народу...
55327. Палити чи ні – твій вибір? 59 KB
  Чи корисно палити цигарки Чому так багато дорослих і підлітків палять якщо це шкідливо Як ви гадаєте: чи можемо ми привернути увагу дітей і дорослих до Проблеми тютюнопаління Як Дитячі відповіді. основ здоровя ГПД Виготовлення емблем...
55328. Природа рідна - наша втіха, тож, хай вона не знає лиха 58 KB
  Чи хотіли б ви дізнатися більше про планету Земля рослинний та тваринний світ Звідки ми можемо про це дізнатися Я пропоную вам провести екскурсію до краєзнавчого музею прочитати в довідниках енциклопедіях тощо...
55329. Антарктида. Південний край Землі. Материк таємниць і загадок 159.5 KB
  За планом скласти характеристику географічного положення Антарктиди. Які особливості природи материка визначаються її географічним положенням? В чому своєрідність географічного положення Антарктиди порівняно з іншими материками?
55330. Функція 2.38 MB
  Задачі проекту: розширити знання учнів з алгебри про про функцію; Познайомити учнів з різними видами функцій; усвідомити важливість даної теореми; Тематичні питання: Що ви знаєте з історії математики про функцію? Хто вперше ввів поняття функції? Які способи задання функції?
55331. Взаєморозуміння 152 KB
  Мета й завдання проекту: поглибити знання гімназистів про етикет і його важливість у житті людини; навчити дітей жити у злагоді з оточуючими; сприяти розвитку культурного рівня учнів; вдосконалити практичні уміння учасників проекту; виховувати повагу одне до одного.
55332. Система взаємодії у профорієнтаційній роботі школи та вищого навчального закладу 173 KB
  Забезпечення максимально сприятливих умов для професійного розвитку учнів формування мотивації професіональних намірів. Виявлення можливостей учнів їх корекція і розвиток розвиток професійних інтересів і необхідних якостей.