41185

Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей при периодическом синусоидальном воздействии

Лекция

Физика

Из курса Математики известно что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Если допустить что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью  то это комплексное число запишется: Величину назвали – оператор вращения. Комплексное число назвали комплексной амплитудой тока а – комплексном действующего значения тока. Комплексное число назвали комплексной...

Русский

2013-10-23

267.5 KB

21 чел.

Лекция 8. Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей

при периодическом синусоидальном воздействии.

 

Из курса "Математики" известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси.

(В электротехнике, т.к. буква i изображает ток, за признак мнимости  принята буква j, а само число или сверху точка, или снизу подчеркнуто  ,  ).

;

            А – модуль;

                     – аргумент или фаза.

 

Если допустить, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то это комплексное число запишется:

Величину  назвали – оператор вращения.

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения ,  похоже на мнимую часть нашего вращающегося комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой тока, а  – комплексном действующего значения тока.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой напряжения, – комплексом действующего значения напряжения (как мы помним , ).

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения есть мнимая часть произведения комплексной амплитуды тока или напряжения на оператор вращения  .

Пример:

А,   А,  А.

; , В.

Таким образом, реальные мгновенные значения синусоидального тока и напряжения мы можем заменить неким символом – комплексной амплитудой или комплексом действующего значения тока и напряжения, помня все время об операторе  и  (отсюда и название метода – комплексный или символический).

Посмотрим на расчете простейшей электрической схемы, что нам это даст.

Последовательное соединение R, L, C.

 По 2-му закону Кирхгофа:

  (1)

Тогда (1) можно записать:

 (2)

В математике давно доказано, что операции над мнимыми частями комплексных чисел равноценны операциям над комплексным числом с выделением из результата мнимой части.

Тогда (2) примет вид:

Решили данное уравнение:

        .

Видим, что на  можно сократить, и помня, что , , ,  в результате получим:

где      – назвали комплексным сопротивлением,

 –комплексным индуктивным сопротивлением,

          –комплексным емкостным сопротивлением,

          –комплексным реактивным сопротивлением (знак показывает, какое сопротивление больше – индуктивное или емкостное).

Следует помнить: , , , , .

В результате получим, что нашу исходную схему с реальными мгновенными синусоидальными токами и напряжениями можно заменить схемой с комплексным сопротивлением , в которой есть комплексные амплитуды или комплексы действующих значений токов или напряжений.

        ,

        

 

Получили закон Ома в комплексной форме, а также переход от комплексной величины тока и напряжения к мгновенному значению имеет только одно решение, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й закон (в узле электрической цепи)

2-й закон (в замкнутом контуре цепи)

\

.

Используя при расчетах схемы с комплексными сопротивлениями, комплексами токов и напряжений мы от интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в реальной схеме, имеем уравнения обычной алгебры, но с комплексными числами. В этом основное преимущество данного метода.

Комплексное число всегда можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Диаграмма, отражающая совокупность векторов токов и напряжений с учетом их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на комплексной плоскости называется векторной диаграммой (она широко используется при расчетах).

Для нашей схемы:

       

,

     

       (надо помнить, что  )

Параллельное соединение R, L, С.

     

Примем

Оперируем  комплексом тока и напряжения и отбросим .

,

где , , , ,

, .

– комплексная полная проводимость;

– комплексная индуктивная проводимость;

– комплексная емкостная проводимость;

– комплексная реактивная проводимость.

Связь между комплексными сопротивлениями и проводимостями:

;

;

;

;

;

;

; ;

;

; .

Комплексная мощность

За комплексную мощность  приняли произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряженный комплекс действующего значения тока  (сопряженный комплекс изменен на обратный () знак прямого комплексного числа (, )).

Если , ,  тогда учитывая известные ранее полную мощность , активную мощность , реактивную мощность ,  имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть ровна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

, .

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66499. Автоматическое управление в функции времени. Реле времени 248.5 KB
  Наряду с автоматизацией технологических процессов реле времени широко применяют для автоматизации процесса пуска мощных электродвигателей посредством пусковых реостатов в металлорежущих станках бытовых машинах и пр.
66501. Программирование и использование программных модулей 83 KB
  Разработать программный модуль (ПМ), в котором содержится не менее 4 подпрограмм (таблица 1) Задание 2 Составить Паскаль-программу, в которой используется не менее 4 подпрограмм программного модуля, разработанного в задании 1. Отчет должен содержать: -название лабораторной работы и номер варианта...
66502. Вибір та тестування оперативної пам’яті ПК 319 KB
  Мета: Набути вмінь та навиків при виборі та тестуванні оперативної пам’яті. ХІД РОБОТИ 1. Отримати від викладача материнську плату. 2. Визначити кількість роз’ємів для оперативної пам’яті. 3. Визначити тип модулів пам’яті, які встановлюються в дану материнську плату...
66503. Исследование датчика линейных ускорений 806 KB
  Датчик линейных ускорений (ДЛУ) предназначен для измерения линейных ускорений летательных аппаратов и выдачи электрического сигнала, величина которого пропорциональна линейному ускорению, действующему вдоль оси чувствительности.
66504. Электроизмерительные приборы, описание устройства, принципа действия и характеристик изучаемых приборов 5.33 MB
  Ознакомиться с классификацией назначением устройством принципом действия и характеристиками основных типов измерительных приборов. По представленным наглядным образцам и макетам уяснить принципы работы приборов и варианты их конструктивного исполнения отразив в отчете их основные технические характеристики.
66506. Тестування моніторів та відеоадаптерів 136 KB
  Крізь металеву маску або грати вони потрапляють на внутрішню поверхню скляного екрану монітора яка покрита різнокольоровими люмінофорними точками. Причини виходу монітора з ладу: Порушення втрата вакууму Часта причина відмови монітора особливо на початку експлуатації походить від того що...
66507. СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 539.92 KB
  Построим переходные и частотные характеристики непрерывной и дискретной модели: Рис. Переходная характеристика непрерывной системы Рис. Переходная характеристика дискретной системы Рис. Частотные характеристики непрерывной системы...