41185

Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей при периодическом синусоидальном воздействии

Лекция

Физика

Из курса Математики известно что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Если допустить что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью  то это комплексное число запишется: Величину назвали – оператор вращения. Комплексное число назвали комплексной амплитудой тока а – комплексном действующего значения тока. Комплексное число назвали комплексной...

Русский

2013-10-23

267.5 KB

21 чел.

Лекция 8. Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей

при периодическом синусоидальном воздействии.

 

Из курса "Математики" известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси.

(В электротехнике, т.к. буква i изображает ток, за признак мнимости  принята буква j, а само число или сверху точка, или снизу подчеркнуто  ,  ).

;

            А – модуль;

                     – аргумент или фаза.

 

Если допустить, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то это комплексное число запишется:

Величину  назвали – оператор вращения.

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения ,  похоже на мнимую часть нашего вращающегося комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой тока, а  – комплексном действующего значения тока.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой напряжения, – комплексом действующего значения напряжения (как мы помним , ).

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения есть мнимая часть произведения комплексной амплитуды тока или напряжения на оператор вращения  .

Пример:

А,   А,  А.

; , В.

Таким образом, реальные мгновенные значения синусоидального тока и напряжения мы можем заменить неким символом – комплексной амплитудой или комплексом действующего значения тока и напряжения, помня все время об операторе  и  (отсюда и название метода – комплексный или символический).

Посмотрим на расчете простейшей электрической схемы, что нам это даст.

Последовательное соединение R, L, C.

 По 2-му закону Кирхгофа:

  (1)

Тогда (1) можно записать:

 (2)

В математике давно доказано, что операции над мнимыми частями комплексных чисел равноценны операциям над комплексным числом с выделением из результата мнимой части.

Тогда (2) примет вид:

Решили данное уравнение:

        .

Видим, что на  можно сократить, и помня, что , , ,  в результате получим:

где      – назвали комплексным сопротивлением,

 –комплексным индуктивным сопротивлением,

          –комплексным емкостным сопротивлением,

          –комплексным реактивным сопротивлением (знак показывает, какое сопротивление больше – индуктивное или емкостное).

Следует помнить: , , , , .

В результате получим, что нашу исходную схему с реальными мгновенными синусоидальными токами и напряжениями можно заменить схемой с комплексным сопротивлением , в которой есть комплексные амплитуды или комплексы действующих значений токов или напряжений.

        ,

        

 

Получили закон Ома в комплексной форме, а также переход от комплексной величины тока и напряжения к мгновенному значению имеет только одно решение, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й закон (в узле электрической цепи)

2-й закон (в замкнутом контуре цепи)

\

.

Используя при расчетах схемы с комплексными сопротивлениями, комплексами токов и напряжений мы от интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в реальной схеме, имеем уравнения обычной алгебры, но с комплексными числами. В этом основное преимущество данного метода.

Комплексное число всегда можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Диаграмма, отражающая совокупность векторов токов и напряжений с учетом их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на комплексной плоскости называется векторной диаграммой (она широко используется при расчетах).

Для нашей схемы:

       

,

     

       (надо помнить, что  )

Параллельное соединение R, L, С.

     

Примем

Оперируем  комплексом тока и напряжения и отбросим .

,

где , , , ,

, .

– комплексная полная проводимость;

– комплексная индуктивная проводимость;

– комплексная емкостная проводимость;

– комплексная реактивная проводимость.

Связь между комплексными сопротивлениями и проводимостями:

;

;

;

;

;

;

; ;

;

; .

Комплексная мощность

За комплексную мощность  приняли произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряженный комплекс действующего значения тока  (сопряженный комплекс изменен на обратный () знак прямого комплексного числа (, )).

Если , ,  тогда учитывая известные ранее полную мощность , активную мощность , реактивную мощность ,  имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть ровна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

, .

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18756. Система работы с молодежью, оказавшейся в трудной жизненной ситуации (ТЖС) 21.4 KB
  Система работы с молодежью оказавшейся в трудной жизненной ситуации ТЖС. Понятие и сущность ТЖС. Особенности молодёжи оказавшейся в ТЖС. Технологии социальной работы с молодежью оказавшейся в ТЖС. Типы и виды учреждений и организаций работающих с подростками и молод...
18757. Система социального обслуживания молодежи 22.33 KB
  Система социального обслуживания молодежи. Понятие и сущность социального обеспечения социального обслуживания социальной защиты и социальной работы. Закон о социальном обслуживании населения 1995 г. Социальные гарантии и минимальные социальные стандарты. Особенно
18758. Технологии социальной работы с молодежью 22.48 KB
  Технологии социальной работы с молодежью. Определение сущность классификации сфера воздействия. Технологии адаптации реабилитации диагностики профилактики определение специфика сущность целевая аудитория примеры реализации. Определение сущность классиф...
18759. Клубные технологии в работе с молодежью 20.98 KB
  Клубные технологии в работе с молодежью. Определение и основные типы клубов. Специфика клубных технологий в сфере работы с молодежью. Организация работы подростковомолодёжного клуба по месту жительства документы регламентирующие деятельность клуба планирование ра
18760. Методы исследования ППИ молодёжи 26.08 KB
  Методы исследования ППИ молодёжи. Сущность метода экспертной оценки. Метод попарного сравнения. Метод опроса наблюдения контент анализ. Фокус – группа. Модерация. Сущность экспертной оценки. Метод экспертных оценок – одна из форма получения и оценки маркетингово
18761. Социальная безопасность молодежи 24.21 KB
  Социальная безопасность молодежи. Сущность и структура безопасности личности и общества. Жизнь людей во все времена была небезопасна. С момента рождения человека подстерегают многочисленные опасности его существованию и благополучию: голод болезни хищные животные...
18762. Молодежь в информационном обществе 22.57 KB
  Молодежь в информационном обществе. Теории и концепции развития информационного общества. Функции и свойства информации. Роль информации в аграрном индустриальном и постиндустриальном обществе. Роль молодежи в информационном обществе. Информационное общество со
18763. Малые и большие группы: особенности работы 28.97 KB
  Малые и большие группы: особенности работы. Малая группа: особенности виды структура. Под малой группой понимается немногочисленная по составу группа члены которой объединены общей социальной деятельностью и находится в непосредственном личном общении что является...
18764. Характеристика молодежных СМИ в современной России 25.01 KB
  Характеристика молодежных СМИ в современной России. Функции и типология СМИ. 21 век справедливо называют веком информации. Ее развитие стремительно и далеко не однозначно. Современное общество все более зависит от информационных потоков. В новых исторических условиях...