41185

Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей при периодическом синусоидальном воздействии

Лекция

Физика

Из курса Математики известно что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси. Если допустить что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью  то это комплексное число запишется: Величину назвали – оператор вращения. Комплексное число назвали комплексной амплитудой тока а – комплексном действующего значения тока. Комплексное число назвали комплексной...

Русский

2013-10-23

267.5 KB

21 чел.

Лекция 8. Комплексный (символический) метод расчета электрических цепей

при периодическом синусоидальном воздействии.

 

Из курса "Математики" известно, что комплексное число можно представить в виде вектора на комплексной плоскости, а действительная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на вещественную и мнимую оси.

(В электротехнике, т.к. буква i изображает ток, за признак мнимости  принята буква j, а само число или сверху точка, или снизу подчеркнуто  ,  ).

;

            А – модуль;

                     – аргумент или фаза.

 

Если допустить, что вектор А на комплексной плоскости вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то это комплексное число запишется:

Величину  назвали – оператор вращения.

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения ,  похоже на мнимую часть нашего вращающегося комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой тока, а  – комплексном действующего значения тока.

Комплексное число  назвали комплексной амплитудой напряжения, – комплексом действующего значения напряжения (как мы помним , ).

Можно видеть, что мгновенное значение периодического синусоидального тока и напряжения есть мнимая часть произведения комплексной амплитуды тока или напряжения на оператор вращения  .

Пример:

А,   А,  А.

; , В.

Таким образом, реальные мгновенные значения синусоидального тока и напряжения мы можем заменить неким символом – комплексной амплитудой или комплексом действующего значения тока и напряжения, помня все время об операторе  и  (отсюда и название метода – комплексный или символический).

Посмотрим на расчете простейшей электрической схемы, что нам это даст.

Последовательное соединение R, L, C.

 По 2-му закону Кирхгофа:

  (1)

Тогда (1) можно записать:

 (2)

В математике давно доказано, что операции над мнимыми частями комплексных чисел равноценны операциям над комплексным числом с выделением из результата мнимой части.

Тогда (2) примет вид:

Решили данное уравнение:

        .

Видим, что на  можно сократить, и помня, что , , ,  в результате получим:

где      – назвали комплексным сопротивлением,

 –комплексным индуктивным сопротивлением,

          –комплексным емкостным сопротивлением,

          –комплексным реактивным сопротивлением (знак показывает, какое сопротивление больше – индуктивное или емкостное).

Следует помнить: , , , , .

В результате получим, что нашу исходную схему с реальными мгновенными синусоидальными токами и напряжениями можно заменить схемой с комплексным сопротивлением , в которой есть комплексные амплитуды или комплексы действующих значений токов или напряжений.

        ,

        

 

Получили закон Ома в комплексной форме, а также переход от комплексной величины тока и напряжения к мгновенному значению имеет только одно решение, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й закон (в узле электрической цепи)

2-й закон (в замкнутом контуре цепи)

\

.

Используя при расчетах схемы с комплексными сопротивлениями, комплексами токов и напряжений мы от интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в реальной схеме, имеем уравнения обычной алгебры, но с комплексными числами. В этом основное преимущество данного метода.

Комплексное число всегда можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Диаграмма, отражающая совокупность векторов токов и напряжений с учетом их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на комплексной плоскости называется векторной диаграммой (она широко используется при расчетах).

Для нашей схемы:

       

,

     

       (надо помнить, что  )

Параллельное соединение R, L, С.

     

Примем

Оперируем  комплексом тока и напряжения и отбросим .

,

где , , , ,

, .

– комплексная полная проводимость;

– комплексная индуктивная проводимость;

– комплексная емкостная проводимость;

– комплексная реактивная проводимость.

Связь между комплексными сопротивлениями и проводимостями:

;

;

;

;

;

;

; ;

;

; .

Комплексная мощность

За комплексную мощность  приняли произведение комплекса действующего значения напряжения  на сопряженный комплекс действующего значения тока  (сопряженный комплекс изменен на обратный () знак прямого комплексного числа (, )).

Если , ,  тогда учитывая известные ранее полную мощность , активную мощность , реактивную мощность ,  имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть ровна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

, .

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30035. Анализ финансово-хозяйственной деятельности (на примере ООО «МБК») 849.5 KB
  Перечень вопросов подлежащих разработке 1 Содержание финансового анализа деятельности предприятия Финансовый анализ: сущность и функции Методы и инструментарий анализа финансового состояния предприятия Роль анализа хозяйственной деятельности в управлении производством и повышение его эффективности 2.1 Комплекс мероприятий по повышению эффективности финансовохозяйственной деятельности предприятия 3. 7 1 СОДЕРЖАНИЕ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ . 10 Финансовый анализ: сущность и...
30036. ПОНЯТИЕ И СУЩНОСТЬ НАЛОГОВОГО УЧЕТА 87 KB
  Таким образом осуществление налогового учета является важнейшим видом деятельности налоговых органов. Следовательно целями и задачами налогового учета являются: 1 формирование полной и достоверной информации о порядке учета для целей налогообложения хозяйственных операций осуществленных налогоплательщиком в течение отчетного налогового периода; 2 обеспечение информацией внутренних и внешних пользователей для контроля за правильностью исчисления полнотой и своевременностью исчисления и уплаты в бюджет налога на прибыль...
30037. РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ ПАКЕТА MATLAB В ВИЗУАЛЬНОЙ СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ C/C++ 1.92 MB
  Палухин Павел Николаевич РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ ПАКЕТА MATLAB В ВИЗУАЛЬНОЙ СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ C C Дипломная работа Научный руководитель: доктор технических наук профессор _____ В. ЯЗЫК MATLAB АВТОНОМНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НА C C MATLAB C MATH LIBRARY ВИЗУАЛЬНАЯ СРЕДА ПРОГРАММИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ. Объект исследования – технология использования средств MATLAB в визуальной среде...
30038. Расчет усилителя звуковой частоты 1.5 MB
  6 Выбор обоснование и расчет структурной схемы усилителя. Широкое распространение получили операционные усилители на основе которых можно сконструировать отдельные каскады и структурные блоки усилителя. Анализ технического задания В данном курсовом проекте техническое задание состоит в проектировании усилителя звуковой частоты на основе интегральных микросхемах.
30039. Усилитель звуковой частоты на основе интегральных микросхем 1.41 MB
  В задачу входит выбор типа электронных компонентов входящих в состав устройства. При проектировании усилителя следует использовать такие элементы чтобы их параметры обеспечивали максимальную эффективность устройства по заданным характеристикам а также его экономичность с точки зрения расхода энергии питания и себестоимости входящих в него компонентов. Параметры микросхемы таковы: Uп=22В P=18Bт Rн=8Ом Fн=20Гц Fв=20кГц Iп=120мА Кг=03 Rвх=50кОм Кш=03мкВ Ку=26 дБ 4. Выбор элементов будем производить на основе выходных...
30040. Формы обращения, связанные с родственными в английском языке 199.12 KB
  Формы обращения в английском языке. Формы обращения связанные с родственными отношениями. Ласковые и дружественные формы обращения. Вежливые формы обращения.
30041. Спектральный анализ дискретных сигналов 231 KB
  Написать программу на языке программирования Паскаль для решения следующей задачи (вариант задания индивидуальный). Результаты расчетов должны выводиться на экран и в файл. Оформление графиков и таблиц выполнять средствами математических пакетов (Maple, MathCad)