41194

Закон Кирхгофа

Лекция

Физика

Плотности потока собственного излучения серого и абсолютно черного тел; их поглощательные способности; температуры тел. Рассмотрим случай равновесного излучения когда . расход энергии излучения равен ее приходу. Отношение плотности потока собственного излучения тела к его поглощательной способности одинаково для всех серых тел и равно плотности потока собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре.

Русский

2013-10-23

1.34 MB

13 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 14

Лекция 11

4.4. Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностью серых тел  и абсолютно черного тела.

Рассмотрим два плоскопараллельных тела достаточно большой протяженности, одно из которых серое, второе - абсолютно черное.

- плотности потока собственного излучения серого и абсолютно черного тел;

- их поглощательные способности;

- температуры тел.

При достаточно большой протяженности тел систему можно считать замкнутой, то есть такой, в которой теплообмен излучением осуществляется между двумя телами.

Рассмотрим случай равновесного излучения, когда .

Запишем уравнение теплового баланса для рассматриваемой системы. В данных условиях термодинамического равновесия (при равенстве температур ) , т.е. расход энергии излучения равен ее приходу.

Серая поверхность (рис. на след. стр.)

Абсолютно черная поверхность:

Из этих двух соотношений следует один и тот же результат:

Если при той же температуре рассмотреть другие серые тела, то в итоге получим такое соотношение:

                               (14-35)

Выражение (14-35) представляет собой запись закона Кирхгофа.

 Отношение плотности потока собственного излучения тела к его поглощательной способности одинаково для всех серых тел и равно плотности потока собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре.

Рассмотрим монохроматическое излучение аналогичным образом  и получим:

                                                    (14-36)

(14-36) - запись закона Кирхгофа для монохроматического излучения.

Суть этого закона:

«Отношение спектральной плотности потока излучения к его спектральной поглощательной способности одинаково для всех серых тел при одних и тех же длине  волны и температуре тел и равно спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела при тех же λ и Т».

 

Анализируя закон Кирхгофа, можно получить следующие выводы:

  1.  Как следует из  (14-35), чем больше поглощательная способность, тем больше и собственное излучение тела.
  2.  Из (14-35) вытекает: так как абсолютно черное тело имеет наибольшую поглощательную способность А0 = 1, то при данной температуре плотность потока собственного излучения абсолютно черного тела будет наибольшей, по сравнению с любыми другими телами, имеющими такую же температуру.
  3.  В соответствии с законом Кирхгофа Е = АЕ0. С другой стороны согласно закону Стефана-Больцмана . Из сопоставления этих зависимостей следует, что:

А = ε.

     Таким образом, при равновесном излучении коэффициент поглощения А численно равен степени черноты ε. При этом поглощательная способность серого тела, как и его спектральная степень черноты, не зависит ни от длины волны, ни от температуры.

Опытным путем установлено, что в условиях неравновесного излучения при относительно небольших ΔТ:

А Е.

  1.  Согласно (14-36) Е λ = А λ· Е .

Пусть тело при какой-то длине волны имеет Аλ = 0. Таким образом, как вытекает из формулы

Е λ= 0.

Таким образом, тело испускает энергию излучения только таких длин волн, при которых это тело способно поглощать энергию излучения.

4.5. Закон Ламберта.

Или закон косинусов Ламберта

 Этот закон описывает распределение энергии излучения по направлениям.

На поверхности диффузно излучающего тела выделим площадку (df). Для этой площадки выделим два направления:

      n -  нормаль к поверхности;

      s - произвольное направление, являющееся осью элементарного телесного угла ().

          

Используя понятие яркости излучения (см.(14-9)), можем записать:

                      (14-37)

Так как излучение тела является диффузным, то яркость излучения (В) есть постоянная величина, независимая от направления. Учитывая, что

,

         можно записать    

       ,                              (14-38)

где   - элементарная плотность потока собственного излучения в направлении S.

Найдем телесный угол . Для этого вокруг площадки (df) опишем полусферу произвольного радиуса (r). На поверхности полусферы выделим площадку (dF2).

 

Определение телесного угла.

 Телесный угол  представляет собой угол, под которым из какой-либо точки элементарной площадки одного тела видна элементарная площадка другого тела. По определению элементарный телесный угол выражается как:

,

где   элементарная площадка, вырезанная телесным углом на поверхности сферы радиусом .

Площадку  определим как произведение верхней и боковой дуг

- верхняя дуга,

       -  боковая дуга.

В соответствии с определением

= .                          (14-39)

Подставив величину  (14-39) в (14-38), получим

dEs = B·sinψ·cosψ·dψ·dФ.                  (14-39а)

Используя (14-39а), найдем плотность потока собственного излучения

В результате интегрирования получим      

.                                         (14-40)

Определив из последней формулы величину (В), а затем подставив ее в (14-37), получим запись закона Ламберта для собственного излучения в виде:

.                                     (14-41)

Из закона Ламберта (14-41) следует, что энергия собственного излучения распределена по направлению пропорционально (cos ψ).

Таким образом, наибольшее количество энергии испускается телом по направлению нормали, так как (соs 0 = 1). По мере отклонения от направления нормали количество испускаемой энергии падает. Отметим, что закон Ламберта справедлив только для диффузного собственного излучения.

Если отраженное телом излучение также является диффузным,  то при диффузном собственном излучении будет также диффузным и эффективное излучение, при этом закон Ламберта для эффективных излучений можно записать в таком виде:

,                                         (14-42)

где  Еэф – плотность потока эффективного излучения.

5.  Коэффициенты облученности и взаимные поверхности    излучения.

Рассмотрим два тела (1 и 2), поверхности которых равны соответственно F1 и F2.

Поверхности тел являются изотермическими при температурах Т1 и Т2.

Все потоки излучения для тел 1 и 2 являются диффузными. Таким образом, справедлив закон Ламберта (14-42).

Пусть Еэф1, Еэф2 – плотности потока эффективного излучения для 1 и 2 тела. На поверхности указанных тел выделим элементарные площадки dF1 и dF2, расстояние между которыми равно  r.

телесный угол, под которым из О1 видна площадка dF2

     телесный угол, под которым из О2 видна площадка dF1

        n1, n2 - соответствующие нормали;

      ψ11 О2 ^n1; ψ21 О2 ^ n2.

- элементарный поток излучения, падающий с элементарной площадки dF1 на dF2 ;

 - элементарный поток излучения, падающий с элементарной  площадки dF2 на площадку dF1. (И так, здесь первый индекс относится к излучающей поверхности, второй – к облучаемой )

Замечание: Во всех расчетах теплообмена излучением важную роль играет геометрия системы. Она учитывается при помощи угловых коэффициентов излучения (или, что то же самое, коэффициентов облученности).

Используя закон Ламберта, можем записать:

,

.

Учитывая, что      получим

 .                   (14-43).

Аналогично для получим

 .               (14-44).

Введем понятие элементарных коэффициентов облученности  .

 Элементарный коэффициент облученности показывает, какая доля излучения исходящего от элементарной площадки (dF1) попадает на площадку (dF2)

;                                        (14-45)

.                                        (14-46)

Учитывая, что:

                                 

,

а также (14-43) и (14-44), получим

                                 (14-47)

                                 (14-48)

Введем понятие угловых коэффициентов облученности - локального (местного) и среднего.

Локальный (местный) коэффициент облученности показывает, какая доля излучения исходящего от элементарной площадки одного тела попадает на всю поверхность другого тела:

                                                      (14-49)

- поток излучения попадающий из  на .

                                                (14-50)

Можно также локальные коэффициенты облученности выразить через элементарные коэффициенты облученности

                                               (14-51)

                                                (14-52)

Учитывая, что (14-44) – (14-48) далее получим, что:

                                     (14-53)

           .                         (14-54)

Рассмотрим далее средний коэффициент облученности ()

Средний коэффициент облученности показывает, какая доля излучения, исходящего от всей поверхности одного тела попадает на всю поверхность другого тела.

        ,                             (14-55)

    .                  (14-56)

Или же, если выразить средний коэффициент облученности через локальный, то получим

;                                       (14-57)

                                         

.     (14-58)

Если под знак интеграла подставить формулы (14-53) и (14-54), то получим:

      ,                       (14-59)

             .                               (14-60)

Из (14-47) – (14-48), а также из (14-53) – (14-54) и (14-59),    (14-60) следует, что коэффициенты излучения являются чисто геометрическими характеристиками, зависящими от формы, размеров тел и их взаимного расположения в пространстве.

Такой вывод справедлив только для случаев, когда все потоки излучения являются диффузными, и таким образом справедлив закон Ламберта.

Из анализа (14-59) – (14-60) следует, что двойные интегралы в правой части этих выражений – есть размерные величины, и имеет размерность площади. Обозначим эти интегралы

   ,                               (14-61)

 ,                             (14-62)

 – средняя взаимная поверхность излучения тела 1 относительно тела 2.

– средняя взаимная поверхность излучения тела 2 относительно тела 1.

  ,                                            (14-63)

.                                             (14-64)                  

Из двух последних формул вытекает, что средний коэффициент облучения есть отношение средней взаимной поверхности излучения к площади поверхности соответствующего тела.

Рассматривая попарно формулы (14-55) – (14-56) и (14-63) – (14- 64) получаем, что:

 ,

.

Или

  ,                                              (14-65)

  .                                               (14-66).

 Средняя взаимная поверхность излучения - это некоторая условная поверхность, которая обладает тем свойством, что будучи умноженная на плотность потока эффективного излучения соответствующего тела, дает величину потока излучения, падающего от этого тела на другое.

 

6. Геометрические свойства потоков излучения.

Эти свойства отражаются выделенными выше величинами:

1) коэффициентами облученности;

2) взаимными поверхностями излучения.

 

Можно показать  3 основные свойства лучистых потоков:

а) Свойство взаимности лучистых потоков.

Состоит в том, что средняя взаимная поверхность излучения первого тела относительно второго такая же, как и средняя взаимная поверхность второго тела относительно первого.

          ,                                            (14-67)

так как выражения (14-61) – (14-62) равны между собой.

Если учесть (14-63) и (14-64), то получим

.                                        (14-68)

Выражение (14-68) представляет собой математическую запись свойства взаимности лучистых потоков.

Если рассматривается система из двух тел, для одного из которых известен коэффициент облученности, то, используя свойства взаимности лучистых потоков (14-68), можно легко найти коэффициент облученности для другого тела.

б) Свойство замыкаемости потоков излучения.

 

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из n тел. В этой системе выделим тело 1, от поверхности которого исходит поток излучения  .

Пусть  - поток излучения, падающий от тела 1 на i-тое тело.

В соответствии с законом сохранения энергии:

                               .                                           (14-69)

Суммирование происходит от i = 1, так как возможно самооблучение тела, которое имеет место  в том случае, когда поверхность тела 1 является вогнутой.

Если поверхность плоская или выпуклая, то самооблучение отсутствует.

Если (14-69) разделить на , то получим

.                                         (14-70).

Если поверхность 1 вогнутая, то , т.е имеется самооблучение данной поверхности.

Если далее учесть (14-63) – (14-64), то можем записать

.

С учетом этого получим

   .                                                (14-71).

Выражения (14-70) и (14-71) отражают свойства замыкаемости лучистых потоков тела, и с физической точки зрения представляют собой запись закона сохранения энергии применительно к замкнутой системе излучающих тел.

в) Свойство затеняемости.

 

Если между телами 1 и 2 находится непрозрачная поверхность, то

     .                                            (14-72)

7. Основные методы решения задач теплообмена излучением

Чаще всего задачи по теплообмену излучением рассматриваются в таком виде. Задаются: формы, размеры и ориентация в пространстве тел, входящих в излучающую систему. Другими словами  задается геометрия излучающей системы. Известными при этом являются температуры поверхностей тел, а также их оптические свойства, под которыми понимают поглощательную, пропускную и отражательную способности тел.

Необходимо определить поток результирующего излучения между телами.

Для решения могут быть использованы два таких метода.

1) Метод многократных отражений.

2) Метод сальдо.

Метод многократных отражений состоит в том, что теплообмен излучением рассматривается как результат множества последовательных затухающих от поверхности к поверхности отражений,  поглощений и пропусканий. При таком подходе вскрывается механизм теплообмена излучением и в этом достоинство метода. Однако, в силу громоздкости  этого метода его использование для сложных систем затруднительно.

Противоположным методу многократных отражений есть метод сальдо. Метод сальдо оперирует конечными величинами характеризующими процесс, такими как эффективное и результирующее излучения, связь между которыми устанавливается соотношениями (14-22) и (14-23).

8. Теплообмен излучением между телами образующими замкнутую систему.

8.1. Общий случай.

Рассмотрим два вогнутых серых тела (1,2) образующими замкнутую систему.

Заданы: величины поверхности ( и ) и поглотительные способности ( и ).

Пусть температура первого тела превышает температуру второго  тела (>) .

Теплообмен излучением направлен от 1 ко 2 телу.

Требуется определить поток .

Все потоки излучения являются диффузными, т.е. справедлив закон Ламберта. Т.к. система замкнута и при этом (>) то (). Величину потока результирующего излучения по первому способу можно определить как разность (см.(14-19) между эффективным и падающим излучением.

Учитывая самооблучение для тела 1 при этом получим, что

;

Отсюда получим, что:

; (а)

В соответствии со свойствами замыкаемости (14-70) имеем:

;

поэтому:

(б)

Согласно определению

                                                                          см.(14-55)

Тогда (б) можно переписать

                                                                   (14-73)

Потоки падающего излучения входящие в (14-73) выразим при помощи (14-65),

(14-66). При этом получим:

;                                                             (14-74)

Плотность эффективного излучения для тел    (1 и 2) выразим по формуле (14-23)

;

- плотность потока  собственного  излучения для тела 1;

;

- плотность потока  собственного  излучения для тела 2.

Для замкнутой системы состоящей из двух тел справедливо соотношение при

(>)

;                                                                см.(14-21)

Отсюда следует

С учетом двух последних соотношений формулы  для плотности эффективного излучения для тел    (1 и 2) можем переписать:

;

;

() и () подставляем в (14-74). При этом получим:

                                                                                

Введем обозначение

                                                (14-75)

- приведенная поглотительная способность системы тел;

Это чисто расчетная величина, значение которой зависит от формы, размеров

и взаимного расположения тел входящих в системы, а также от их поглотительных способностей.

=;                                                                      (14-76)

 (и ) выразим по закону Стефана-Больцмана

=;                                          (14-77)

и - интегральные степени черноты тел 1 и 2.

На основании закона Кирхгофа примем ()

=;                                          (14-78)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19037. Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау 416.5 KB
  Лекция 19 Собственный магнитный момент. Уравнение Паули. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау Многие элементарные частицы в том числе и незаряженные имеют магнитный момент не связанный с ее движением в пространстве а связанный с внутренними ...
19038. Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордана 1.3 MB
  Лекция 20 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана Поскольку в классической механике суммарный момент импульса системы из двух частиц равен векторной сумме моментов частиц квантовомеханический оператор суммарного момента двух частиц определяется как
19039. Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов ½. Классификация спиновых функций в системе из двух частиц 660.5 KB
  Лекция 21 Примеры построения собственных функций оператора суммарного момента двух частиц. Сложение двух спинов . Классификация спиновых функций в системе из двух частиц Покажем как вычисляются коэффициенты КлебшаГордана на нескольких примера. Пусть система из ду...
19040. Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера, сшивка квазиклассических решений 664.5 KB
  Лекция 22 Квазиклассическое приближение. Квазиклассические решения уравнения Шредингера сшивка квазиклассических решений Число случаев когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера то есть найти собственные значения и собственные функции операт...
19041. Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении 384.5 KB
  Лекция 23 Правило квантования БораЗоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении Квазиклассические решения и условия их сшивки в точках поворота позволяют получить в кв...
19042. Уравнение Томаса-Ферми 127 KB
  Лекция 24 Уравнение ТомасаФерми Распределение заряда и электрического поля в атомах с учетом взаимодействия электронов друг с другом проводятся методами самосогласованного поля. Эти расчеты очень сложны и громоздки особенно многоэлектронных атомов. Но как раз дл
19043. Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра 279 KB
  Лекция 25 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра Точное решение стационарного уравнения Шредингера как правило представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших кв...
19044. Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры 309 KB
  Лекция 26 Теория стационарных возмущений в случае невырожденного спектра: примеры Рассмотрим несколько примеров. Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение . Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора. ...
19045. Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырож-денного спектра 269.5 KB
  Лекция 27 Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай вырожденного спектра Рассмотрим теперь случай когда невозмущенный оператор Гамильтона имеет вырожденные собственные значения. Пусть функции ... отвечают одному и тому же собст...