41262

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

Лекция

Физика

Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий стаціонарний і несталий перехідний нестаціонарний. Несталим режимом або перехідним процесом у електричного ланцюга називають элекромагнитный процес що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах при підключенні до них або відключенні від них джерел елект...

Украинкский

2013-10-23

255.5 KB

9 чел.

Лекція 14

Розділ 5. Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Тема : Загальні відомості про розрахунок перехідних процесів.

1.Відомості про класичний метод аналізу перехідних процесів.

2.Вільні напруги і струми в нерозгалужених колахах першого порядку.

Література: Л1 з 251-256

13.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

І КЛАСИЧНИЙ МЕТОД ЇХНЬОГО АНАЛІЗУ

     Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий (стаціонарний) і несталий (перехідний, нестаціонарний). Сталим називають такий режим, при  якому струми, напруги і ЕРС

у ланцюзі є або постійними, або періодичними функціями часу. У попередніх розділах розглядався тільки цей режим.

    Несталим режимом або перехідним процесом у

електричного ланцюга називають элекромагнитный процес,                  

що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого

режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах

при підключенні до них або відключенні від них джерел елект-                           Мал.14.1

ричної енергії, а також при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга або параметрів вхідних у неї елементів.

Зазначені вище операції в ланцюгах називають комутацією. На схемах ланцюгів комутацію звичайно позначають у виді ключа зі стрілкою (мал. 14.1,а — замикання, мал. 14.1,6 — розмикання). Передбачається, що комутація відбувається протягом нескінченно малого проміжку часу, тобто миттєво. Момент комутації звичайно приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. При цьому момент часу, що передує безпосередньо моментові комутації, позначають t= 0-, а момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, позначають t=0+.

     У ланцюгах, не утримуючих енергоємних елементів (індуктивностей і емкостей), новий сталий режим, тобто режим, при якому струми і напруги є або постійними, або періодичними функціями часу, настає безпосередньо за моментом комутації. Тому можна вважати, що в таких ланцюгах перехідні процеси відсутні. .

     У ланцюгах з енергоємними елементами перехідні процеси продовжуються якийсь    час,  тому  що   енергії     електричних  полів  конденсаторів

Wc=Си2з /2 і магнітних полів індуктивних котушок WL =Li2/2 унаслідок закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватися стрибком.

     При аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах класичним методом складається система рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються безпосередньо за законами Кирхгофа або за допомогою інших методів розрахунку ланцюгів, наприклад методу контурних струмів або методу вузлових потенціалів. При цьому використовуються співвідношення між струмами і напругами в елементах ланцюга:

ur = ir,   u=L di/dt;   uс = 1/C *idt;

i= ur;  I=1/L uLdt; I=C d uс /dt                             (14.1)

     В отриманої в такий спосіб системі рівнянь вибирається основна перемінна і виключенням інших перемінних із системи рівнянь одержують одне рівняння, що містить тільки основну перемінну. У загальному випадку для лінійних електричних ланцюгів із зосередженими параметрами, що містить елементи r, L і З, це рівняння є интегро-дифференциальным. Шляхом повторного диференціювання цього рівняння можна одержати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, що має в загальному випадку вид

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+ a1 dx(t)/dt+ a0 x(t)=

= bm dmf(t)/ dtm + bm-1 dm-1f(t)/ dtm-1 +…+ b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .           (14.2)

де   ak і bk  — постійні   коефіцієнти, що   залежать   від  схеми

ланцюга і параметрів її елементів; х(t) -вихідна величина (струм або напруга);  f(t)-зовнішній вплив на ланцюг (джерело э.д. с. або струму).

     Порядок вищої похідної диференціального рівняння визначає порядок ланцюга. Так, наприклад, якщо цей порядок буде першим, те і ланцюг називають ланцюгом першого порядку і т, д. Рішення рівняння (14.2) определяетсятся у виді

x(t) = xсв (t) + xпр (t).                                                                (14.3)

де хсв (t) — вільна складова — загальне рішення однорідного диференціального рівняння

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+a1dx(t)/dt+a0x(t)=0,(14...4)

т. е. рівняння (14.2) без правої частини;

    хпр (t) — примушена      складова — частка      рішення рівняння (14.2) із правою частиною.

     Вільна складова xCB(t) — це вільні електричні струми або напруги. Вони характеризують процес розсіювання або нагромадження енергії енергоємними елементами L і С и рівні різниці перехідних і сталих струмів або напруг.

     Примушена складова xпр(t) характеризує процес, що виникає в ланцюзі під впливом зовнішнього збурювання після закінчення перехідних процесів. Це сталі, тобто постійні або періодичні, струми і напруги, що встановлюються в електричному ланцюзі після закінчення перехідних процесів при впливі на ланцюг постійних або періодичних э.д. с. або струмів.

Рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

xCB(t)= A1  e p1 t + A2  e p2 t +…+Anepnt=Akepkt(14...5)

де pk  — корені характеристичного рівняння

an pn + an-1 pn-1 +…+a1p+a0=0;(13...6)

Ak — постійні інтегрування.

Корені характеристичних рівнянь pk  у пасивних електричних ланцюгів завжди або негативні, або комплексні з негативною речовинною частиною. Фізично це порозумівається тим, що вільний процес відбувається за рахунок енергії, накопиченої в елементах L або С. З часом ця енергія витрачається на необоротні втрати (виділяється у виді тепла в активних опорах), а величина хсв (t)/t  0.

    Постійні інтегрування Ak визначають з початкових умов — значень струмів і напруг у ланцюзі в момент часу t=0+, тобто в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації.

     Для визначення початкових умов використовують два закони
комутації: .

     i(0+) = i(0-)  і uс(0+) = uс(0-), (14.7)

тобто струм   в   індуктивності   безпосередньо   після   комутації i(0+) дорівнює току в цій же індуктивності безпосередньо перед  комутацією i(0-),. а  напруга  на ємності безпосередньо після комутації uс(0+) дорівнює напрузі на цій же ємності безпосередньо перед комутацією uс(0-).

    Неможливість стрибків струмів в індуктивностях L і напруг на емкостях Із при комутації випливає з закону безперервності енергії, що затверджує, що енергія в часі не може змінюватися стрибком.

     Початкові умови в електричних ланцюгах можуть бути нульовими або ненульовими. Нульові початкові умови будуть у тому випадку, якщо в момент комутації  i(0) = 0 і uс(0)= 0. При цьому в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, струм в індуктивності L і напруга на ємності З будуть продовжувати залишатися рівними нулеві, тобто в момент комутації індуктивність L рівносильна розривові ланцюга, а ємність З еквівалентна короткому замиканню.

      Якщо в момент комутації по індуктивності L протікав струм i(0), а на ємності З була напруга uс(0), то в ланцюзі мають місце ненульові початкові умови.

       Слід зазначити, що напруга на індуктивності L і струм через ємність С в момент комутації можуть змінюватися стрибком, тому що вони не характеризують енергію, запасену в елементах L і С.

У наступних підрозділах розглянемо приклади аналізу перехідних процесів в електричних ланцюгах, що мають як самостійне значення, так і иллюстрирующие сутність класичного методу.

13.2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку описуються лінійним- неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку з постійними коефіцієнтами, що мають у загальному випадку вид

a1 dx(t)/dt+ a0 x(t) = b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .

     Примушену складову xпр(t) загального рішення цього рівняння (14.3), що є струмом або напругою в сталому режимі, визначають безпосередньо зі схеми ланцюга при t, а вільну складову хсв(t) шукають у виді

                                              хсв(t)  = А1 P1t.        (13.8)

де      р1 — корінь характеристичного рівняння a1p + a0 =0;

          А1 -постійна інтегрування, обумовлена початковими умовами в ланцюзі.

     Спочатку розглянемо вільні напруги і струми, а потім перехідні процеси при підключенні до ланцюга джерел постійний і синусоїдальний токи або напруги.

14.2.1. Вільні напруги і струми

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

     Методику аналізу вільних напруг і струмів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку розглянемо на прикладі ланцюга, показаної на мал. 14.2. При розмиканні ключа К в ізольованому від зовнішніх джерел електричної

енергії контурі r (мал. 14.3) за рахунок енергії, запасеної в магнітному полі елемента L, виникнуть вільні напруги і струм.

                    Рис. 14.2                 Рис. 14.3

У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого контуру можна записати

u + ur = 0.

З огляду на, що u = L di/dt  і  ur =ri,  одержимо

                                 L di/dt  + ri = 0,  . (14.9)

Рішення   цього   однорідного   диференціального   рівняння має вигляд

i = А1 exp(p1 t)                                     (14.10)

З характеристичного рівняння

Lp + r=0  

знайдемо

                                                     p1 = -r/L = -1/τц ,

де   τц =L/r -величина, що має розмірність часу, називаний постійної часу ланцюга. Підставивши  p1  у формулу (14.10), одержимо

i = А1 exp(-t/τц)                   (14.11)

     Постійну інтегрування А1 знайдемо з початкових умов скориставшись першим законом комутації: i(0+) = i(0+)= I0. Підставивши це у вираження (14.11), при t= 0 одержимо

i(0) = А1 = I0.

     При цьому остаточне рішення рівняння (13.9) буде мати вигляд

                                                        i = I0 exp(-t/τц)                    (14.12) 

     З отриманого вираження видно, що вільний струм у розглянутому ланцюзі убуває з часом по експонентному законі. Графік цього струму приведений на мал. 14.4.

     При t=τц струм у ланцюзі i = I0 I0/2,72 0,368I0.

                   Рис. 14.4 Рис. 14.5

Тому постійну часу ланцюга τц  можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого экспоненциально убутна величина зменшується в е 2,72 рази. Вона визначає тривалість- перехідного процесу.

Чим більше τц, тим більше триває перехідний процес (мал. 14.5). Теоретично перехідний процес у розглянутому ланцюзі триває нескінченно довго. Однак його можна вважати практично закінченим після закінчення часу t=(35) τц, коли i= (0,054 0,007)I0 , тобто коли значення струму будуть складати 5 0,7% його початкового значення.

 Рис.14.6       Вільні напруги на активному опорі иr і на індуктивності и у розглянутому ланцюзі змінюються за законом, аналогічному законові зміни струму i:

иr =ri = r0 exp(-t/ τц)                            (14.13)

и =L di/dt = -r0 exp(-t/ τц)                   (14.14)

     Графіки цих напруг приведені на мал. 14.6.

     Слід зазначити, що ці напруги в момент часу t=0+ змінюються стрибком від нульових значень до величини, рівної r0. Ця величина при великих значеннях r і I0 може бути дуже великий,- що може з'явитися причиною несправностей електричних ланцюгів, що містять індуктивності, при їхньому відключенні від джерел електричної енергії.

14.2.2. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

     Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її схеми або параметрів, її елементів.

Рис.14.7

     При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

     Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 13.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E або

                                          L di/dt  + ri = E,  .                 (14.15)

     Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у виді

i = iсв + iпр.

    З огляду на, що примушена складового струму в розглянутому ланцюзі

iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i  = A1 exp(-t/ τц)+E/r,                            (14.16)

    де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0. Підставивши це у формулу (14.16), при t=0 одержимо 0=А1 +Е/r, відкіля А1 =Е/r. При цьому остаточне рішення рівняння (13.15) буде мати вигляд

i = E/r 1- exp(-t/ τц) .                             (14.17)

  Напруга на опорі м змінюється по аналогічному законі.

                                ur = ri= E1- exp(-t/ τц) ,                       (14.18)

а напруга на індуктивності L -по законові

                                u = L di/dt = E exp(-t/ τц).            (14.19)

Криві зміни i, iсв, iсв, иr і u показані на мал. 14.8. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r  і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному законі до нуля при t=.

   Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1 – е-1) 0,632 свого сталого значення.

    Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 14.9. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи

Рис. 13.9 Рис. 13.10

опір  r2.  При  цьому  у  відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E або

                               r1 + Ldi/dt = E                                           (14.20)      

     З огляду на, що примушена складового струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

                               i = iсв + iпр = E/r + A1 exp(-t/τц),              (14.21)

     де τц =L/r — постійна часу ланцюга. "      .

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0)=E/(r1+r2), те з   вираження   (14.21)   при  t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1,

відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (14.21), одержимо

                               i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц),              (14.22)

Напруги ип і ul будуть змінюватися за законами:

                            ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц);             (14.23)        

                            u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц);             (14.24) 

Графіки струму і напруг у  розглянутому  ланцюзі показані на мал. (14.10).


14.2.3. Перехідні процеси
в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
c джерелами синусоїдальної напруги

Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга  при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ)  (мал.14.11).  У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати   ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ).   З огляду на,  що

ur =ri =r duc /dt,

 одержимо

rС duc /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (14.25)

                                                                                            Рис.14.11

Вільна   складової   напруги   на   ємності, що   є рішенням рівняння  (14.25)  без правої частини, має вигляд

р иСйа = А^, --• (13.26)

;-де р\ = -Ijr — корінь    характеристичного    рівняння    ланцюга
т.: гСр+1=0.

Ц    Позначивши тц=лС, одержимо

|-; «Ссв = Де~/Ьц- (13.27)

|:   Примушена  складової  напруги  на ємності  буде |винусоидальной функцією часу:

|Г- • аСпр = ^81п(про^ + ф-?-«/2), (13.28)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48775. Напряжение разложения, автоматизация процесса электролиза и извлечение алюминия из электролизных ванн 570.5 KB
  Из литейных сплавов более распространены сплавы алюминия с кремнием называемые силуминами. Важнейшие потребители алюминия и его сплавов авиационная и автомобильная промышленность железнодорожный и водный транспорт машиностроение электротехническая химическая металлургическая и пищевая промышленности промышленное и гражданское строительство. Судя по свойствам алюминия можно сказать что он мог бы применяться значительно шире и в больших количествах и заменять в большинстве конструкций сталь. Но этому препятствует большая по сравнению...
48776. Методичні рекомендації до виконання і захисту курсових робіт у педагогічних коледжах 207 KB
  У додатках представлені зразки окремих компонентів курсової роботи. Структура курсової роботи Структура курсової роботи з практикуму навчальних майстерняхСтруктура курсової роботи з декоративноприкладного мистецтва
48778. Локализация неисправностей в аппаратуре спецвычислителя 74 KB
  Задание на курсовую работу: Во втором разряде старшего байта регистра заявок РЗ УК формируется признак прерывания. Состав регистров УК: регистр заявок РЗ; регистр масок РМ; регистр подмены РП; регистр сдвига РТА РСд1; регистр буферный РТА РБф; Т. обмен с регистрами однобайтовый то по обращению регистры заявок и масок разделены на 2 однобайтовых части со старшим и младшим байтами. Поскольку все устройства отвечающие за хранение заявок на прерывание а также за сброс этих заявок расположены в УК то неисправность...
48780. Реалізація трудового потенціалу в умовах глобалізації економіки 97 KB
  В даній роботі ми дослідили вплив глобалізації на реалізацію трудового потенціалу її позитивні та негативні наслідки. Однак залучення до глобальних процесів країн з різними економічними технологічними та експортноімпортними можливостями на умовах рівної інституціональної відкритості призводить до нерівних результатів коли переваги глобалізації використовують економічно розвинені країни а слаборозвинені держави зазнають негативних наслідків. Тому питання реалізації трудового потенціалу в...
48781. Схемотехнічна і конструкторська розробка вузла сканування, що входить в склад оптико-електричного приладу 911.5 KB
  Спектральні прилади призначені для розкладу складного спектра випромінювання на монохроматичні складові і для вимірювання їх довжини хвилі та інтенсивності. За допомогою сучасних спектральних приладів можливо докладно вивчати властивості і будову різних матеріалів їх структуру і хімічний склад по наявності в спектрі випромінювання або поглинання визначених спектральних ліній. Тому виник розділ спектроскопії названий лазерною спектроскопією під якою розуміється сукупність апаратури і методів дослідження в яких лазери використовуються...
48783. Использование нейронных сетей для определения коммуникативных способностей индивидов 425 KB
  Слышали и про холодильники с выходом в Интернет и про внедрение Microsoft в будущие версии Windows элементов искусственного интеллекта. В подобном развитии области искусственного интеллекта нет ничего необычного. И наконец сети третьей группы являющиеся дальнейшим развитием предыдущих представляют собой уже нейроподобные системы и нацелены они на создание экзотических в настоящее время виртуальных личностей информационных копий человека средой обитания которых является глобальная сеть Интернет. Сейчас в Интернете повсеместно можно...