41262

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

Лекция

Физика

Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий стаціонарний і несталий перехідний нестаціонарний. Несталим режимом або перехідним процесом у електричного ланцюга називають элекромагнитный процес що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах при підключенні до них або відключенні від них джерел елект...

Украинкский

2013-10-23

255.5 KB

8 чел.

Лекція 14

Розділ 5. Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Тема : Загальні відомості про розрахунок перехідних процесів.

1.Відомості про класичний метод аналізу перехідних процесів.

2.Вільні напруги і струми в нерозгалужених колахах першого порядку.

Література: Л1 з 251-256

13.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

І КЛАСИЧНИЙ МЕТОД ЇХНЬОГО АНАЛІЗУ

     Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий (стаціонарний) і несталий (перехідний, нестаціонарний). Сталим називають такий режим, при  якому струми, напруги і ЕРС

у ланцюзі є або постійними, або періодичними функціями часу. У попередніх розділах розглядався тільки цей режим.

    Несталим режимом або перехідним процесом у

електричного ланцюга називають элекромагнитный процес,                  

що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого

режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах

при підключенні до них або відключенні від них джерел елект-                           Мал.14.1

ричної енергії, а також при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга або параметрів вхідних у неї елементів.

Зазначені вище операції в ланцюгах називають комутацією. На схемах ланцюгів комутацію звичайно позначають у виді ключа зі стрілкою (мал. 14.1,а — замикання, мал. 14.1,6 — розмикання). Передбачається, що комутація відбувається протягом нескінченно малого проміжку часу, тобто миттєво. Момент комутації звичайно приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. При цьому момент часу, що передує безпосередньо моментові комутації, позначають t= 0-, а момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, позначають t=0+.

     У ланцюгах, не утримуючих енергоємних елементів (індуктивностей і емкостей), новий сталий режим, тобто режим, при якому струми і напруги є або постійними, або періодичними функціями часу, настає безпосередньо за моментом комутації. Тому можна вважати, що в таких ланцюгах перехідні процеси відсутні. .

     У ланцюгах з енергоємними елементами перехідні процеси продовжуються якийсь    час,  тому  що   енергії     електричних  полів  конденсаторів

Wc=Си2з /2 і магнітних полів індуктивних котушок WL =Li2/2 унаслідок закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватися стрибком.

     При аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах класичним методом складається система рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються безпосередньо за законами Кирхгофа або за допомогою інших методів розрахунку ланцюгів, наприклад методу контурних струмів або методу вузлових потенціалів. При цьому використовуються співвідношення між струмами і напругами в елементах ланцюга:

ur = ir,   u=L di/dt;   uс = 1/C *idt;

i= ur;  I=1/L uLdt; I=C d uс /dt                             (14.1)

     В отриманої в такий спосіб системі рівнянь вибирається основна перемінна і виключенням інших перемінних із системи рівнянь одержують одне рівняння, що містить тільки основну перемінну. У загальному випадку для лінійних електричних ланцюгів із зосередженими параметрами, що містить елементи r, L і З, це рівняння є интегро-дифференциальным. Шляхом повторного диференціювання цього рівняння можна одержати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, що має в загальному випадку вид

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+ a1 dx(t)/dt+ a0 x(t)=

= bm dmf(t)/ dtm + bm-1 dm-1f(t)/ dtm-1 +…+ b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .           (14.2)

де   ak і bk  — постійні   коефіцієнти, що   залежать   від  схеми

ланцюга і параметрів її елементів; х(t) -вихідна величина (струм або напруга);  f(t)-зовнішній вплив на ланцюг (джерело э.д. с. або струму).

     Порядок вищої похідної диференціального рівняння визначає порядок ланцюга. Так, наприклад, якщо цей порядок буде першим, те і ланцюг називають ланцюгом першого порядку і т, д. Рішення рівняння (14.2) определяетсятся у виді

x(t) = xсв (t) + xпр (t).                                                                (14.3)

де хсв (t) — вільна складова — загальне рішення однорідного диференціального рівняння

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+a1dx(t)/dt+a0x(t)=0,(14...4)

т. е. рівняння (14.2) без правої частини;

    хпр (t) — примушена      складова — частка      рішення рівняння (14.2) із правою частиною.

     Вільна складова xCB(t) — це вільні електричні струми або напруги. Вони характеризують процес розсіювання або нагромадження енергії енергоємними елементами L і С и рівні різниці перехідних і сталих струмів або напруг.

     Примушена складова xпр(t) характеризує процес, що виникає в ланцюзі під впливом зовнішнього збурювання після закінчення перехідних процесів. Це сталі, тобто постійні або періодичні, струми і напруги, що встановлюються в електричному ланцюзі після закінчення перехідних процесів при впливі на ланцюг постійних або періодичних э.д. с. або струмів.

Рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

xCB(t)= A1  e p1 t + A2  e p2 t +…+Anepnt=Akepkt(14...5)

де pk  — корені характеристичного рівняння

an pn + an-1 pn-1 +…+a1p+a0=0;(13...6)

Ak — постійні інтегрування.

Корені характеристичних рівнянь pk  у пасивних електричних ланцюгів завжди або негативні, або комплексні з негативною речовинною частиною. Фізично це порозумівається тим, що вільний процес відбувається за рахунок енергії, накопиченої в елементах L або С. З часом ця енергія витрачається на необоротні втрати (виділяється у виді тепла в активних опорах), а величина хсв (t)/t  0.

    Постійні інтегрування Ak визначають з початкових умов — значень струмів і напруг у ланцюзі в момент часу t=0+, тобто в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації.

     Для визначення початкових умов використовують два закони
комутації: .

     i(0+) = i(0-)  і uс(0+) = uс(0-), (14.7)

тобто струм   в   індуктивності   безпосередньо   після   комутації i(0+) дорівнює току в цій же індуктивності безпосередньо перед  комутацією i(0-),. а  напруга  на ємності безпосередньо після комутації uс(0+) дорівнює напрузі на цій же ємності безпосередньо перед комутацією uс(0-).

    Неможливість стрибків струмів в індуктивностях L і напруг на емкостях Із при комутації випливає з закону безперервності енергії, що затверджує, що енергія в часі не може змінюватися стрибком.

     Початкові умови в електричних ланцюгах можуть бути нульовими або ненульовими. Нульові початкові умови будуть у тому випадку, якщо в момент комутації  i(0) = 0 і uс(0)= 0. При цьому в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, струм в індуктивності L і напруга на ємності З будуть продовжувати залишатися рівними нулеві, тобто в момент комутації індуктивність L рівносильна розривові ланцюга, а ємність З еквівалентна короткому замиканню.

      Якщо в момент комутації по індуктивності L протікав струм i(0), а на ємності З була напруга uс(0), то в ланцюзі мають місце ненульові початкові умови.

       Слід зазначити, що напруга на індуктивності L і струм через ємність С в момент комутації можуть змінюватися стрибком, тому що вони не характеризують енергію, запасену в елементах L і С.

У наступних підрозділах розглянемо приклади аналізу перехідних процесів в електричних ланцюгах, що мають як самостійне значення, так і иллюстрирующие сутність класичного методу.

13.2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку описуються лінійним- неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку з постійними коефіцієнтами, що мають у загальному випадку вид

a1 dx(t)/dt+ a0 x(t) = b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .

     Примушену складову xпр(t) загального рішення цього рівняння (14.3), що є струмом або напругою в сталому режимі, визначають безпосередньо зі схеми ланцюга при t, а вільну складову хсв(t) шукають у виді

                                              хсв(t)  = А1 P1t.        (13.8)

де      р1 — корінь характеристичного рівняння a1p + a0 =0;

          А1 -постійна інтегрування, обумовлена початковими умовами в ланцюзі.

     Спочатку розглянемо вільні напруги і струми, а потім перехідні процеси при підключенні до ланцюга джерел постійний і синусоїдальний токи або напруги.

14.2.1. Вільні напруги і струми

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

     Методику аналізу вільних напруг і струмів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку розглянемо на прикладі ланцюга, показаної на мал. 14.2. При розмиканні ключа К в ізольованому від зовнішніх джерел електричної

енергії контурі r (мал. 14.3) за рахунок енергії, запасеної в магнітному полі елемента L, виникнуть вільні напруги і струм.

                    Рис. 14.2                 Рис. 14.3

У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого контуру можна записати

u + ur = 0.

З огляду на, що u = L di/dt  і  ur =ri,  одержимо

                                 L di/dt  + ri = 0,  . (14.9)

Рішення   цього   однорідного   диференціального   рівняння має вигляд

i = А1 exp(p1 t)                                     (14.10)

З характеристичного рівняння

Lp + r=0  

знайдемо

                                                     p1 = -r/L = -1/τц ,

де   τц =L/r -величина, що має розмірність часу, називаний постійної часу ланцюга. Підставивши  p1  у формулу (14.10), одержимо

i = А1 exp(-t/τц)                   (14.11)

     Постійну інтегрування А1 знайдемо з початкових умов скориставшись першим законом комутації: i(0+) = i(0+)= I0. Підставивши це у вираження (14.11), при t= 0 одержимо

i(0) = А1 = I0.

     При цьому остаточне рішення рівняння (13.9) буде мати вигляд

                                                        i = I0 exp(-t/τц)                    (14.12) 

     З отриманого вираження видно, що вільний струм у розглянутому ланцюзі убуває з часом по експонентному законі. Графік цього струму приведений на мал. 14.4.

     При t=τц струм у ланцюзі i = I0 I0/2,72 0,368I0.

                   Рис. 14.4 Рис. 14.5

Тому постійну часу ланцюга τц  можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого экспоненциально убутна величина зменшується в е 2,72 рази. Вона визначає тривалість- перехідного процесу.

Чим більше τц, тим більше триває перехідний процес (мал. 14.5). Теоретично перехідний процес у розглянутому ланцюзі триває нескінченно довго. Однак його можна вважати практично закінченим після закінчення часу t=(35) τц, коли i= (0,054 0,007)I0 , тобто коли значення струму будуть складати 5 0,7% його початкового значення.

 Рис.14.6       Вільні напруги на активному опорі иr і на індуктивності и у розглянутому ланцюзі змінюються за законом, аналогічному законові зміни струму i:

иr =ri = r0 exp(-t/ τц)                            (14.13)

и =L di/dt = -r0 exp(-t/ τц)                   (14.14)

     Графіки цих напруг приведені на мал. 14.6.

     Слід зазначити, що ці напруги в момент часу t=0+ змінюються стрибком від нульових значень до величини, рівної r0. Ця величина при великих значеннях r і I0 може бути дуже великий,- що може з'явитися причиною несправностей електричних ланцюгів, що містять індуктивності, при їхньому відключенні від джерел електричної енергії.

14.2.2. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

     Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її схеми або параметрів, її елементів.

Рис.14.7

     При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

     Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 13.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E або

                                          L di/dt  + ri = E,  .                 (14.15)

     Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у виді

i = iсв + iпр.

    З огляду на, що примушена складового струму в розглянутому ланцюзі

iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i  = A1 exp(-t/ τц)+E/r,                            (14.16)

    де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0. Підставивши це у формулу (14.16), при t=0 одержимо 0=А1 +Е/r, відкіля А1 =Е/r. При цьому остаточне рішення рівняння (13.15) буде мати вигляд

i = E/r 1- exp(-t/ τц) .                             (14.17)

  Напруга на опорі м змінюється по аналогічному законі.

                                ur = ri= E1- exp(-t/ τц) ,                       (14.18)

а напруга на індуктивності L -по законові

                                u = L di/dt = E exp(-t/ τц).            (14.19)

Криві зміни i, iсв, iсв, иr і u показані на мал. 14.8. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r  і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному законі до нуля при t=.

   Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1 – е-1) 0,632 свого сталого значення.

    Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 14.9. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи

Рис. 13.9 Рис. 13.10

опір  r2.  При  цьому  у  відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E або

                               r1 + Ldi/dt = E                                           (14.20)      

     З огляду на, що примушена складового струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

                               i = iсв + iпр = E/r + A1 exp(-t/τц),              (14.21)

     де τц =L/r — постійна часу ланцюга. "      .

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0)=E/(r1+r2), те з   вираження   (14.21)   при  t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1,

відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (14.21), одержимо

                               i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц),              (14.22)

Напруги ип і ul будуть змінюватися за законами:

                            ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц);             (14.23)        

                            u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц);             (14.24) 

Графіки струму і напруг у  розглянутому  ланцюзі показані на мал. (14.10).


14.2.3. Перехідні процеси
в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
c джерелами синусоїдальної напруги

Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга  при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ)  (мал.14.11).  У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати   ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ).   З огляду на,  що

ur =ri =r duc /dt,

 одержимо

rС duc /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (14.25)

                                                                                            Рис.14.11

Вільна   складової   напруги   на   ємності, що   є рішенням рівняння  (14.25)  без правої частини, має вигляд

р иСйа = А^, --• (13.26)

;-де р\ = -Ijr — корінь    характеристичного    рівняння    ланцюга
т.: гСр+1=0.

Ц    Позначивши тц=лС, одержимо

|-; «Ссв = Де~/Ьц- (13.27)

|:   Примушена  складової  напруги  на ємності  буде |винусоидальной функцією часу:

|Г- • аСпр = ^81п(про^ + ф-?-«/2), (13.28)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52097. Загальні особливості клімату Африки. Кліматичні пояси i типи клімату 43 KB
  Мета: повторите поняття клімат вірні чинники типи клімату кліматичний пояс; сформувати знання про загальні особливості клімату Африки про типи клімату в кожному кліматичному поясі Африки; продовжити формування навичок аналізу карти кліматичної карти Африки кліматичних діаграм; розвивати увагу спостережливість вміння робити висновки визначати головне. Найвища точка Африки: а г. Вам уже відомо що більша частина Африки розташована в тропічних широтах екватор перетинає материк майже посередині саме тому Африка протягом року...
52098. Фізико-географічне положення та берегова лінія Африки 49 KB
  Розмістити порядкові номери географічних об’єктів по океанам до яких вони належать Острів Камчатка Острів Шпіцберген Півострів Аравійський Острів Шрі-Ланка Півострів Скандинавський Острови Японські Острів НоваЗемля Острів Ісландія Хребет Ломоносова Острови Бермудські Острів Мадагаскар Море Червоне Острови Гавайські Море Карське Море Чорне Море Берингове Хребет Менделеєва Півострів Індостан Півострів Сомалі Острові Філіппінські Море Азовське Море Саргасове Острови Маріанські ...
52100. Общая характеристика климата Африки 5.32 MB
  Общая характеристика климата Африки Цель: формировать у учащихся систему знаний об общих особенностях климата Африки и основных климатообразующих факторах; совершенствовать практические умения объяснять особенности климата Африки характеризовать влияние климатообразующих факторов на его формирование развивать коммуникативные навыки воспитывать интерес к предмету. Оборудование: физическая карта Африки климатическая карта Африки учебники атласы шаблоны в рабочей тетради приготовлена картосхема Африки. В рабочей тетради вы должны были...
52101. Природні зони Африки 7.36 MB
  Мета: повторити вивчений матеріал; з’ясувати рівень оволодіння учнями навчальним матеріалом з попередніх тем; формувати знання про особливості розміщення природних зон Африки; поглибити систему знань учнів про взаємозв’язки природних компонентів у складі природних зон; сформувати в учнів вміння складати характеристику природних зон в певній послідовності за типовим планом...
52102. Особливості географічного положення Африки. Елементи берегової лінії. Дослідження та освоєння 1.58 MB
  Мета: формувати загальні уявлення про зміст та структуру розділу Материки; ознайомити з планом вивчення материків; розкрити поняття географічне положення;познайомити учнів з історією відкриття Африки. Обладнання: фізична карта світу фізична карта Африки плани характеристики географічного положення материка контурні карти портрети дослідників підручники атласи. До Африки взимку відлітають птахи України: лелеки ластівки журавлі тощо.
52103. Води суходолу Африки 890.5 KB
  Мета: сформувати в учнів уявлення про особливості вод суходолу Африки; охарактеризувати головні річкові системи та басейни основні типи озер; систематизувати знання учнів про гідрологічні особливості території; продовжити формування практичних умінь характеристики водних ресурсів; сформувати поняття учнів про гідроекологічні проблеми Африки; удосконалити навички роботи з картами атласу контурною картою; виховувати бережливе ставлення до природи водних...
52104. Африка. Особливості географічного положення та історія дослідження материка 101 KB
  Мета: ознайомити учнів з історією дослідження Африки, своєрідністю природи материка, яка пов`язана з особливостями географічного положення, сформувати уявлення про періоди дослідження материка; закріпити вміння визначити координати крайніх точок материка; розвивати творчу уяву...
52105. Внутрішні води Африки 53 KB
  Кагера що впадає в озеро Вікторія. Що таке озеро Які за походженням вони бувають Виступи дітей ОЗЕРА Більшість озер Африки розташовані уздовж Східноафриканських розломів. Найбільше з них озеро Танганьїка глибиною 1470 метрів друге за глибиною після Байкалу і найдовше світі озеро 670 км. Найбільше озеро Африки і друге за площею пріноводне озеров світі після о.