41262

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

Лекция

Физика

Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий стаціонарний і несталий перехідний нестаціонарний. Несталим режимом або перехідним процесом у електричного ланцюга називають элекромагнитный процес що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах при підключенні до них або відключенні від них джерел елект...

Украинкский

2013-10-23

255.5 KB

9 чел.

Лекція 14

Розділ 5. Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Тема : Загальні відомості про розрахунок перехідних процесів.

1.Відомості про класичний метод аналізу перехідних процесів.

2.Вільні напруги і струми в нерозгалужених колахах першого порядку.

Література: Л1 з 251-256

13.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

І КЛАСИЧНИЙ МЕТОД ЇХНЬОГО АНАЛІЗУ

     Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий (стаціонарний) і несталий (перехідний, нестаціонарний). Сталим називають такий режим, при  якому струми, напруги і ЕРС

у ланцюзі є або постійними, або періодичними функціями часу. У попередніх розділах розглядався тільки цей режим.

    Несталим режимом або перехідним процесом у

електричного ланцюга називають элекромагнитный процес,                  

що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого

режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах

при підключенні до них або відключенні від них джерел елект-                           Мал.14.1

ричної енергії, а також при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга або параметрів вхідних у неї елементів.

Зазначені вище операції в ланцюгах називають комутацією. На схемах ланцюгів комутацію звичайно позначають у виді ключа зі стрілкою (мал. 14.1,а — замикання, мал. 14.1,6 — розмикання). Передбачається, що комутація відбувається протягом нескінченно малого проміжку часу, тобто миттєво. Момент комутації звичайно приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. При цьому момент часу, що передує безпосередньо моментові комутації, позначають t= 0-, а момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, позначають t=0+.

     У ланцюгах, не утримуючих енергоємних елементів (індуктивностей і емкостей), новий сталий режим, тобто режим, при якому струми і напруги є або постійними, або періодичними функціями часу, настає безпосередньо за моментом комутації. Тому можна вважати, що в таких ланцюгах перехідні процеси відсутні. .

     У ланцюгах з енергоємними елементами перехідні процеси продовжуються якийсь    час,  тому  що   енергії     електричних  полів  конденсаторів

Wc=Си2з /2 і магнітних полів індуктивних котушок WL =Li2/2 унаслідок закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватися стрибком.

     При аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах класичним методом складається система рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються безпосередньо за законами Кирхгофа або за допомогою інших методів розрахунку ланцюгів, наприклад методу контурних струмів або методу вузлових потенціалів. При цьому використовуються співвідношення між струмами і напругами в елементах ланцюга:

ur = ir,   u=L di/dt;   uс = 1/C *idt;

i= ur;  I=1/L uLdt; I=C d uс /dt                             (14.1)

     В отриманої в такий спосіб системі рівнянь вибирається основна перемінна і виключенням інших перемінних із системи рівнянь одержують одне рівняння, що містить тільки основну перемінну. У загальному випадку для лінійних електричних ланцюгів із зосередженими параметрами, що містить елементи r, L і З, це рівняння є интегро-дифференциальным. Шляхом повторного диференціювання цього рівняння можна одержати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, що має в загальному випадку вид

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+ a1 dx(t)/dt+ a0 x(t)=

= bm dmf(t)/ dtm + bm-1 dm-1f(t)/ dtm-1 +…+ b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .           (14.2)

де   ak і bk  — постійні   коефіцієнти, що   залежать   від  схеми

ланцюга і параметрів її елементів; х(t) -вихідна величина (струм або напруга);  f(t)-зовнішній вплив на ланцюг (джерело э.д. с. або струму).

     Порядок вищої похідної диференціального рівняння визначає порядок ланцюга. Так, наприклад, якщо цей порядок буде першим, те і ланцюг називають ланцюгом першого порядку і т, д. Рішення рівняння (14.2) определяетсятся у виді

x(t) = xсв (t) + xпр (t).                                                                (14.3)

де хсв (t) — вільна складова — загальне рішення однорідного диференціального рівняння

  an dnx(t)/dtn  + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+a1dx(t)/dt+a0x(t)=0,(14...4)

т. е. рівняння (14.2) без правої частини;

    хпр (t) — примушена      складова — частка      рішення рівняння (14.2) із правою частиною.

     Вільна складова xCB(t) — це вільні електричні струми або напруги. Вони характеризують процес розсіювання або нагромадження енергії енергоємними елементами L і С и рівні різниці перехідних і сталих струмів або напруг.

     Примушена складова xпр(t) характеризує процес, що виникає в ланцюзі під впливом зовнішнього збурювання після закінчення перехідних процесів. Це сталі, тобто постійні або періодичні, струми і напруги, що встановлюються в електричному ланцюзі після закінчення перехідних процесів при впливі на ланцюг постійних або періодичних э.д. с. або струмів.

Рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд

xCB(t)= A1  e p1 t + A2  e p2 t +…+Anepnt=Akepkt(14...5)

де pk  — корені характеристичного рівняння

an pn + an-1 pn-1 +…+a1p+a0=0;(13...6)

Ak — постійні інтегрування.

Корені характеристичних рівнянь pk  у пасивних електричних ланцюгів завжди або негативні, або комплексні з негативною речовинною частиною. Фізично це порозумівається тим, що вільний процес відбувається за рахунок енергії, накопиченої в елементах L або С. З часом ця енергія витрачається на необоротні втрати (виділяється у виді тепла в активних опорах), а величина хсв (t)/t  0.

    Постійні інтегрування Ak визначають з початкових умов — значень струмів і напруг у ланцюзі в момент часу t=0+, тобто в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації.

     Для визначення початкових умов використовують два закони
комутації: .

     i(0+) = i(0-)  і uс(0+) = uс(0-), (14.7)

тобто струм   в   індуктивності   безпосередньо   після   комутації i(0+) дорівнює току в цій же індуктивності безпосередньо перед  комутацією i(0-),. а  напруга  на ємності безпосередньо після комутації uс(0+) дорівнює напрузі на цій же ємності безпосередньо перед комутацією uс(0-).

    Неможливість стрибків струмів в індуктивностях L і напруг на емкостях Із при комутації випливає з закону безперервності енергії, що затверджує, що енергія в часі не може змінюватися стрибком.

     Початкові умови в електричних ланцюгах можуть бути нульовими або ненульовими. Нульові початкові умови будуть у тому випадку, якщо в момент комутації  i(0) = 0 і uс(0)= 0. При цьому в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, струм в індуктивності L і напруга на ємності З будуть продовжувати залишатися рівними нулеві, тобто в момент комутації індуктивність L рівносильна розривові ланцюга, а ємність З еквівалентна короткому замиканню.

      Якщо в момент комутації по індуктивності L протікав струм i(0), а на ємності З була напруга uс(0), то в ланцюзі мають місце ненульові початкові умови.

       Слід зазначити, що напруга на індуктивності L і струм через ємність С в момент комутації можуть змінюватися стрибком, тому що вони не характеризують енергію, запасену в елементах L і С.

У наступних підрозділах розглянемо приклади аналізу перехідних процесів в електричних ланцюгах, що мають як самостійне значення, так і иллюстрирующие сутність класичного методу.

13.2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку описуються лінійним- неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку з постійними коефіцієнтами, що мають у загальному випадку вид

a1 dx(t)/dt+ a0 x(t) = b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .

     Примушену складову xпр(t) загального рішення цього рівняння (14.3), що є струмом або напругою в сталому режимі, визначають безпосередньо зі схеми ланцюга при t, а вільну складову хсв(t) шукають у виді

                                              хсв(t)  = А1 P1t.        (13.8)

де      р1 — корінь характеристичного рівняння a1p + a0 =0;

          А1 -постійна інтегрування, обумовлена початковими умовами в ланцюзі.

     Спочатку розглянемо вільні напруги і струми, а потім перехідні процеси при підключенні до ланцюга джерел постійний і синусоїдальний токи або напруги.

14.2.1. Вільні напруги і струми

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

     Методику аналізу вільних напруг і струмів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку розглянемо на прикладі ланцюга, показаної на мал. 14.2. При розмиканні ключа К в ізольованому від зовнішніх джерел електричної

енергії контурі r (мал. 14.3) за рахунок енергії, запасеної в магнітному полі елемента L, виникнуть вільні напруги і струм.

                    Рис. 14.2                 Рис. 14.3

У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого контуру можна записати

u + ur = 0.

З огляду на, що u = L di/dt  і  ur =ri,  одержимо

                                 L di/dt  + ri = 0,  . (14.9)

Рішення   цього   однорідного   диференціального   рівняння має вигляд

i = А1 exp(p1 t)                                     (14.10)

З характеристичного рівняння

Lp + r=0  

знайдемо

                                                     p1 = -r/L = -1/τц ,

де   τц =L/r -величина, що має розмірність часу, називаний постійної часу ланцюга. Підставивши  p1  у формулу (14.10), одержимо

i = А1 exp(-t/τц)                   (14.11)

     Постійну інтегрування А1 знайдемо з початкових умов скориставшись першим законом комутації: i(0+) = i(0+)= I0. Підставивши це у вираження (14.11), при t= 0 одержимо

i(0) = А1 = I0.

     При цьому остаточне рішення рівняння (13.9) буде мати вигляд

                                                        i = I0 exp(-t/τц)                    (14.12) 

     З отриманого вираження видно, що вільний струм у розглянутому ланцюзі убуває з часом по експонентному законі. Графік цього струму приведений на мал. 14.4.

     При t=τц струм у ланцюзі i = I0 I0/2,72 0,368I0.

                   Рис. 14.4 Рис. 14.5

Тому постійну часу ланцюга τц  можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого экспоненциально убутна величина зменшується в е 2,72 рази. Вона визначає тривалість- перехідного процесу.

Чим більше τц, тим більше триває перехідний процес (мал. 14.5). Теоретично перехідний процес у розглянутому ланцюзі триває нескінченно довго. Однак його можна вважати практично закінченим після закінчення часу t=(35) τц, коли i= (0,054 0,007)I0 , тобто коли значення струму будуть складати 5 0,7% його початкового значення.

 Рис.14.6       Вільні напруги на активному опорі иr і на індуктивності и у розглянутому ланцюзі змінюються за законом, аналогічному законові зміни струму i:

иr =ri = r0 exp(-t/ τц)                            (14.13)

и =L di/dt = -r0 exp(-t/ τц)                   (14.14)

     Графіки цих напруг приведені на мал. 14.6.

     Слід зазначити, що ці напруги в момент часу t=0+ змінюються стрибком від нульових значень до величини, рівної r0. Ця величина при великих значеннях r і I0 може бути дуже великий,- що може з'явитися причиною несправностей електричних ланцюгів, що містять індуктивності, при їхньому відключенні від джерел електричної енергії.

14.2.2. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

     Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її схеми або параметрів, її елементів.

Рис.14.7

     При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

     Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 13.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E або

                                          L di/dt  + ri = E,  .                 (14.15)

     Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у виді

i = iсв + iпр.

    З огляду на, що примушена складового струму в розглянутому ланцюзі

iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i  = A1 exp(-t/ τц)+E/r,                            (14.16)

    де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0. Підставивши це у формулу (14.16), при t=0 одержимо 0=А1 +Е/r, відкіля А1 =Е/r. При цьому остаточне рішення рівняння (13.15) буде мати вигляд

i = E/r 1- exp(-t/ τц) .                             (14.17)

  Напруга на опорі м змінюється по аналогічному законі.

                                ur = ri= E1- exp(-t/ τц) ,                       (14.18)

а напруга на індуктивності L -по законові

                                u = L di/dt = E exp(-t/ τц).            (14.19)

Криві зміни i, iсв, iсв, иr і u показані на мал. 14.8. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r  і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному законі до нуля при t=.

   Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1 – е-1) 0,632 свого сталого значення.

    Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 14.9. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи

Рис. 13.9 Рис. 13.10

опір  r2.  При  цьому  у  відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E або

                               r1 + Ldi/dt = E                                           (14.20)      

     З огляду на, що примушена складового струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

                               i = iсв + iпр = E/r + A1 exp(-t/τц),              (14.21)

     де τц =L/r — постійна часу ланцюга. "      .

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0)=E/(r1+r2), те з   вираження   (14.21)   при  t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1,

відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (14.21), одержимо

                               i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц),              (14.22)

Напруги ип і ul будуть змінюватися за законами:

                            ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц);             (14.23)        

                            u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц);             (14.24) 

Графіки струму і напруг у  розглянутому  ланцюзі показані на мал. (14.10).


14.2.3. Перехідні процеси
в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
c джерелами синусоїдальної напруги

Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга  при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ)  (мал.14.11).  У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати   ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ).   З огляду на,  що

ur =ri =r duc /dt,

 одержимо

rС duc /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (14.25)

                                                                                            Рис.14.11

Вільна   складової   напруги   на   ємності, що   є рішенням рівняння  (14.25)  без правої частини, має вигляд

р иСйа = А^, --• (13.26)

;-де р\ = -Ijr — корінь    характеристичного    рівняння    ланцюга
т.: гСр+1=0.

Ц    Позначивши тц=лС, одержимо

|-; «Ссв = Де~/Ьц- (13.27)

|:   Примушена  складової  напруги  на ємності  буде |винусоидальной функцією часу:

|Г- • аСпр = ^81п(про^ + ф-?-«/2), (13.28)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31731. Педагогічні здібності вчителя та їх розвиток 28.5 KB
  Педагогічні здібності - це індивідуальні стійкі властивості особистості, що складаються в специфічної чутливості до об'єкта, засобів, умов педагогічної праці і створенню продуктивних моделей формування шуканих якостей в особистості воспитуемого.
31732. Психологічні передумови взаємин вчителя з учнями та колегами 30 KB
  Психологічні передумови взаємин вчителя з учнями та колегами Професіональне педагогічне спілкування комунікативна взаємодія педагога з учнями батьками колегами спрямована на встановлення сприятливого психологічного клімату психологічну оптимізацію діяльності і стосунків. Непрофесіональне педагогічне спілкування навпаки породжує страх невпевненість спричинює зниження працездатності порушення динаміки мовлення і внаслідок цього появу стереотипних висловлювань у школярів оскільки у них зменшується бажання думати і діяти самостійно....
31733. CASE-технологии 62.5 KB
  02 CSEтехнологии 1. Основные понятия и классификация CSEтехнологий Потребность контролировать процесс разработки ИС прогнозировать и гарантировать стоимость разработки сроки и качество результатов привела в конце 70х гг. Термин CSE означает Computer ided System Softwre Engineering. Под CSE средством понимается программное средство поддерживающее процессы жизненного цикла ИС включая анализ требований к системе проектирование прикладного ПО и баз данных генерацию кода тестирование документирование обеспечение качества...
31734. CASE-средства, практическое внедрение CASE-средств 150.5 KB
  Технология внедрения CSEсредств Процесс внедрения CSEсредств включает следующие этапы: определение потребностей в CSEсредствах; оценка и выбор CSEсредств; выполнение пилотного проекта; практическое внедрение CSEсредств. Несмотря на все потенциальные возможности CSEсредств существует множество примеров их неудачного внедрения в результате чего эти средства становятся полочным ПО shelfwre. В связи с этим необходимо отметить следующее: CSEсредства не обязательно дают немедленный эффект; он может быть получен только спустя...
31735. CASE-средства, реализующие структурный подход 277.5 KB
  В состав этого семейства продуктов входят: llFusion Process Modeler ранее носивший название BPwin средство моделирования бизнеспроцессов; llFusion ERwin Dt Modeler ранее называвшийся ERwin средство моделирования данных являющееся самым популярным в мире в этой категории продуктов; llFusion Dt Model Vlidtor бывший ERwin Exminer средство проверки корректности моделей данных и их соответствия правилам нормализации; llFusion Model Mnger бывший ModelMrt серверный продукт обеспечивающий коллективную работу пользователей ERwin и...
31736. ИС: Основные понятия 78 KB
  Методологические основы проектирования ИС Процесс проектирования ИС это процесс принятия проектноконструкторских решении направленных на получение описания системы проекта ИС удовлетворяющего требования заказчика. Под проектированием ИС понимается процесс преобразования входной информации об объекте проектирования о методах проектирования и об опыте проектирования объектов аналогичного назначения в соответствии с ГОСТом в проект ИС. С этой точки зрения проектирование ИС сводится к последовательной формализации проектных решений на...
31737. Жизненный цикл ИС 92 KB
  Жизненный цикл ИС Потребность в создании ЭИС может обусловливаться либо необходимостью автоматизации или модернизации существующих информационных процессов либо необходимостью коренной реорганизации в деятельности предприятия проведении бизнесреинжиниринга. Потребности создания ЭИС указывают вопервых для достижения каких именно целей необходимо разработать систему; вовторых к какому моменту времени целесообразно осуществить разработку; втретьих какие затраты необходимо осуществить для проектирования системы. Проектирование ЭИС ...
31738. МОДЕЛИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПО 128.5 KB
  1 МОДЕЛИ И СТАДИИ ЖЦ ПО Под моделью ЖЦ ИС понимается структура определяющая последовательность выполнения и взаимосвязи процессов действий и задач на протяжении ЖЦ. Модель ЖЦ ЭИС определяет характер процесса его создания который представляет собой совокупность упорядоченных во времени взаимосвязанных и объединенных в стадии работ выполнение которых необходимо и достаточно для создания ПО соответствующего заданным требованиям. Под стадией создания ПО понимается часть процесса создания ПО ограниченная некоторыми временными рамками и...