41263

Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку

Лекция

Физика

Перехідні процеси у нерозгалужених ланцюгах першого порядку с джерелом постійної напруги Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга так і при стрибкоподібній зміні її чи схеми параметрів її елементів. Методику аналізу перехідних процесів що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах розглянемо на прикладі ланцюга r мал. На підставі другого закону...

Украинкский

2013-10-23

190 KB

1 чел.

Лекція № 15

Тема: Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку.

1.Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку з джерелом постійної напруги.

2.Перехідні процеси в нерозгалужених колахах першого порядку з джерелом синусоїдальної напруги.

3.Перехідні процеси в розгалужених колахах першого порядку.

Література: Л1 с. 257-260,  Л2 с. 298-302,  Л3 с.193-198.

1. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

     Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її чи схеми параметрів, її елементів.

Рис.15.1

     При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

     Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 15.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E, або

                                          L di/dt  + ri = E,  .                 (15.1)

     Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у вигляді

i = iсв + iпр.

    З огляду на, що примушена складова струму в розглянутому ланцюзі

iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i  = A1 exp(-t/ τц)+E/r,                            (15.2)

    де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

    Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0.

Підставивши це у формулу (15.2), при t=0 одержимо 0 =А1 +Е/r,

відкіля А1 =-Е/r.

При цьому остаточне рішення рівняння (15.1) буде мати вид

i = E/r 1- exp(-t/ τц) .                             (15.3)

  Напруга на опорі r змінюється по аналогічному законі.

                                ur = ri= E1- exp(-t/ τц) ,                       (15.4)

а напруга на індуктивності L -по закону

                                u = L di/dt = E exp(-t/ τц).             (15.5)

Криві зміни i, iсв, iпр, иr і u показані на мал. 15.2. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r  і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному закону до нуля при t =.

   Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1– е-1) 0,632 свого сталого значення.

    Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 15.3. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи опір r2.  

           

                                 Рис. 15.2                         Рис. 15.3

При  цьому  у  відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E  чи

                               r1 i + Ldi/dt = E                                           (15.6)      

     З огляду на те, що примушена складова струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

                               i = iсв + iпр = E/r1 + A1 exp(-t/τц),               (15.7)

     де τц =L/r1  — постійна часу ланцюга.

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0) =E/(r1+r2), з   вираження   (15.7)   при  t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1, відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (15.7), одержимо

                               i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц),              (15.8)

Напруги иr1 і u будуть змінюватися за законами:

                           ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц);            (15.9)        

                            u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц).           (15.10) 

Графіки струму і напруг у  розглянутому  ланцюзі показані на мал. (15.3).

2. Перехідні процеси
 в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
 c джерелами синусоїдальної напруги

  Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга  при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ)  (мал.15.4).  

     У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати   ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ).   З огляду на,  що

ur =ri =r duc /dt,

 одержимо

duc /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (15.11)

                                                       Рис.15.4

Вільна   складова   напруги   на   ємності, що   є рішенням рівняння  (15.11)  без правої частини, має вид

 иС св = А exp(p1t),         (15.12)

-де  р1 = —1rкорінь    характеристичного    рівняння    ланцюга
                                        
rСр+1=0.

  Позначивши τц= , одержимо 

                                     uС св = Aеxp(-t /τц).                              (15.13)

  Примушена  складова  напруги  на ємності  буде синусоїдальною функцією часу:

                        uС ін = Um ( ωt + ψ – π /2),               (15.14)

де   

     Um = Em /ωC r2 + (1/ ωC)2

      φ = - arctg (1/ ωCr).          

                

При цьому загальне рішення рівняння (15.11) буде мати вигляд

                    uС  = A1 exp(-t /τц) + Um sin( ωt + ψ - φ – π /2)      (15.15)

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов UC(0)=0. Підставивши це у вираження (15.15), при t=0 одержимо

A1  + Um sin( ψ - φ – π /2)= 0 , відкіля A1 = - Um sin( ψ - φ – π /2).

                                            Рис.15.5

При цьому одержимо

uС = Um sin( ωt + ψ - φ – π /2) -  exp(-t /τц)sin ( ψ - φ – π /2)         (15.16)

   З цього вираження видно, що перехідні процеси в розглянутому ланцюзі залежать від початкової фази синусоїдальної напруги ψ.

   При ψ = ω π/2 у ланцюзі відразу настає сталий режим без перехідного процесу.

   При ψ = φ вільна напруга на ємності буде максимальним (мал. 15.5), а отже, і перехідний процес у ланцюзі буде більш тривалим.

3. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

У РОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

   При аналізі перехідних процесів у розгалужених електричних ланцюгах виникає необхідність у складанні диференціальних рівнянь ланцюга не тільки по другому законі Кирхгофа, як це робилося в розглянутих вище нерозгалужених ланцюгах, але і по першому законі Кирхгофа чи ж у використанні загальних методів розрахунку складних ланцюгів, наприклад методу контурних чи струмів методу вузлових потенціалів.

Методику аналізу перехідних процесів у розгалужених ланцюгах розглянемо на прикладі ланцюга, схема якої приведена на Рис. 15.6, при підключенні до неї  джерела постійної напруги.

 

 

Рис.15.6

Відповідно до першого і другого законів Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати:

                                      i1 + i2 +  i3  =0;

r1 i1 + r2 i2  == E;                      (15.17)

                                    L di3 dt – r2 i2 = 0

Виключивши з цієї системи рівнянь струми i1 і i2, одержимо рівняння для струму i3

L(1+  r1 / r2) di3 /dt + r1 i3=E.

Рис.15.7

   

Загальне рішення цього рівняння має вид

Зі схеми ланцюга видно, що в сталому режимі галузь з опором r2 буде замикатися накоротко галуззю з індуктивністю L. Тому

i3 ПР = E /r1   і      i3= E /r1 – А1 еxp(-t/τц).

   Вважаючи, що в ланцюзі мають місце нульові початкові умови, тобто що i3(0)=0, при t=0 одержимо i3(0) = E /r1 – А1=0, відкіля А1 = -E/r1 . При цьому остаточно одержимо

                                     i3= E /r1  1 – еxp(-t/τц)                      (15.18)

а напруга на індуктивності і струми i2 і i1 будуть рівні:

                                u = L di3 /dt = E r2 /(r1 +r2) exp(-t/τц);       (15.19)                                

                              

                                i2 =  u / r2 =  E /(r1 +r2) exp(-t/τц);             (15.20)                       

                              

                                i1 = i2 + i3 =  E /r1 *[1- r2 /(r1 +r2) exp(-t/τц)].     (15.21)        

   Графіки струмів у ланцюзі показані на мал. 15.7. Усі ці струми змінюються по експонентному законі, причому постійна часу для всіх галузей ланцюга та сама.

   Як з розглянутого вище приклада, так і зі зробленого раніше аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку випливає, що розрахунок перехідних процесів у ланцюгах першого порядку можна робити без складання диференціальних рівнянь ланцюга, записавши відразу його загальне рішення, що має вид

x(t) = xПР(t) + А1 еxp(-t/τц)                             (15.22)

    Тому що характеристичне рівняння, з якого визначається постійна часу ланцюга, не залежить від наявності в ланцюзі зовнішніх джерел енергії, те. при її визначенні можна вважати, що в ланцюзі мають місце тільки вільні струми і напруги, що виникають за рахунок енергії, запасеної в елементах L чи С. При цьому постійну часі ланцюга можна обчислити по формулі

τц = L /rэ   чи     τц = rэ С.

де rэ—эквивалентное опір ланцюга між крапками, до яких підключені елементи L чи З, за умови, що зовнішні джерела електричної енергії замінені їхніми внутрішніми опорами.

Користаючись цим правилом, для розглянутої вище розгалуженого ланцюга можна записати τц = L /rэ = L (r1 + r2) /r1 r2 , що відповідає значенню, отриманому вище з диференціального рівняння ланцюга.

Висновки.

1.Перехідні процеси в електричних ланцюгах першого порядку є загасаючими незалежно від того, підключається до ланцюга джерело чи напруги ні.

2.Наявність реактивності в ланцюзі першого порядку приводить до наступного результатам:

-Енергія, запасена в реактивності, не змінюється стрибком, а в результаті перехідного процесу перетворюється в теплову енергію;

-При підключенні ланцюга до джерела енергії її  нагромадження відбувається плавно, по експонентному законі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17669. Наближення дифракції Френеля і Фраунгофера в теорії дифракції 20.48 KB
  Наближення дифракції Френеля і Фраунгофера в теорії дифракції При вивченні дифракційних явищ в оптиці виникають деякі труднощі які не завжди мають точне розв’язання тому доводиться користуватися деякими наближеннями. Між дифракційними явищами Френеля та Фраунгофер
17670. Наближення Релея-Джинса і Віна формули Планка 16.21 KB
  Наближення РелеяДжинса і Віна формули Планка. Формула Планка: Наближення РелеяДжинса працює для малих частот або великих температур. Тобто виконується умова тоді можна розкласти експоненту в ряд: . Підставивши назад в формулу Планка отримаємо формулу РелеяДжинс
17671. Нелінійна поляризація класифікація нелінійних явищ 25.01 KB
  Нелінійна поляризація: класифікація нелінійних явищ. В оптиці взагалі кажучи можна говорити про багато параметричних явищ які в широкому розумінні можна віднести до нелінійних. До них наприклад можна віднести ефект Керра в якому під дією сильного електричного поля
17672. Обмін енергією між нелінійною поляризацією і електромагнітним полем 23.58 KB
  Обмін енергією між нелінійною поляризацією і електромагнітним полем. При распространении света в среде все такие явления связаны прежде всего с нелинейной зависимостью вектора поляризации среды Р от напряженности электрического поля Е световой волны. Среду мы будем п
17673. Одноосні кристали звичайні та незвичайні хвилі 46.76 KB
  Одноосні кристали звичайні та незвичайні хвилі. Оптически одноосными кристаллами называются кристаллы у которых свойства обладают симметрией вращения в некотором избранном направлении – оптической оси кристаллав более узком смысле: 2 главных значения диэлектрическ...
17674. Однофотонна інтерференція 18.6 KB
  Однофотонна інтерференція. Якщо розглядати випромінення на рівні окремих фотонів тобто з дуже малою інтенсивністю то також можна отримати інтерференційну картину але її природа буде дещо іншою. При проходженні окремих фотонів через щілину вони дифрагуватимуть і у...
17675. Оптичний резонатор лазера подовжні та поперечні моди 23.72 KB
  Оптичний резонатор лазера: подовжні та поперечні моди Оптичний резонатор коливальна система утворена сукупністю дзеркал в якій можуть збуджуватися і підтримуватися слабо затухаючі електромагнітні коливання оптичних і СВЧнадвисокі частоти діапазонів з випроміню
17676. Оптичний хвилевід. Числова апертура 32.31 KB
  Оптичний хвилевід. Числова апертура Оптичний хвилевід – пристрій для передавання інформації оптичним методом через оптичні волокна. В центрі такого волокна знаходиться гірська порода – кернпоказник заломлення який оточений полімерною оболонкою . Числова апертур
17677. Побудова Гюйгенса для анізотропних кристалів 279.35 KB
  Побудова Гюйгенса для анізотропних кристалів. Проходження світла крізь анізотропну речовину оптичні властивості якої в різних напрямках не однакові супроводжується рядом світлових явищ. Особливості цих явищ в анізотропних середовищах пов’язані з тим що індукований...