41263

Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку

Лекция

Физика

Перехідні процеси у нерозгалужених ланцюгах першого порядку с джерелом постійної напруги Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга так і при стрибкоподібній зміні її чи схеми параметрів її елементів. Методику аналізу перехідних процесів що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах розглянемо на прикладі ланцюга r мал. На підставі другого закону...

Украинкский

2013-10-23

190 KB

1 чел.

Лекція № 15

Тема: Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку.

1.Перехідні процеси в нерозгалужених колах першого порядку з джерелом постійної напруги.

2.Перехідні процеси в нерозгалужених колахах першого порядку з джерелом синусоїдальної напруги.

3.Перехідні процеси в розгалужених колахах першого порядку.

Література: Л1 с. 257-260,  Л2 с. 298-302,  Л3 с.193-198.

1. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

     Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її чи схеми параметрів, її елементів.

Рис.15.1

     При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

     Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 15.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E, або

                                          L di/dt  + ri = E,  .                 (15.1)

     Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у вигляді

i = iсв + iпр.

    З огляду на, що примушена складова струму в розглянутому ланцюзі

iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i  = A1 exp(-t/ τц)+E/r,                            (15.2)

    де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

    Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0.

Підставивши це у формулу (15.2), при t=0 одержимо 0 =А1 +Е/r,

відкіля А1 =-Е/r.

При цьому остаточне рішення рівняння (15.1) буде мати вид

i = E/r 1- exp(-t/ τц) .                             (15.3)

  Напруга на опорі r змінюється по аналогічному законі.

                                ur = ri= E1- exp(-t/ τц) ,                       (15.4)

а напруга на індуктивності L -по закону

                                u = L di/dt = E exp(-t/ τц).             (15.5)

Криві зміни i, iсв, iпр, иr і u показані на мал. 15.2. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r  і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному закону до нуля при t =.

   Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1– е-1) 0,632 свого сталого значення.

    Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 15.3. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи опір r2.  

           

                                 Рис. 15.2                         Рис. 15.3

При  цьому  у  відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E  чи

                               r1 i + Ldi/dt = E                                           (15.6)      

     З огляду на те, що примушена складова струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

                               i = iсв + iпр = E/r1 + A1 exp(-t/τц),               (15.7)

     де τц =L/r1  — постійна часу ланцюга.

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0) =E/(r1+r2), з   вираження   (15.7)   при  t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1, відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (15.7), одержимо

                               i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц),              (15.8)

Напруги иr1 і u будуть змінюватися за законами:

                           ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц);            (15.9)        

                            u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц).           (15.10) 

Графіки струму і напруг у  розглянутому  ланцюзі показані на мал. (15.3).

2. Перехідні процеси
 в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
 c джерелами синусоїдальної напруги

  Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга  при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ)  (мал.15.4).  

     У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати   ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ).   З огляду на,  що

ur =ri =r duc /dt,

 одержимо

duc /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (15.11)

                                                       Рис.15.4

Вільна   складова   напруги   на   ємності, що   є рішенням рівняння  (15.11)  без правої частини, має вид

 иС св = А exp(p1t),         (15.12)

-де  р1 = —1rкорінь    характеристичного    рівняння    ланцюга
                                        
rСр+1=0.

  Позначивши τц= , одержимо 

                                     uС св = Aеxp(-t /τц).                              (15.13)

  Примушена  складова  напруги  на ємності  буде синусоїдальною функцією часу:

                        uС ін = Um ( ωt + ψ – π /2),               (15.14)

де   

     Um = Em /ωC r2 + (1/ ωC)2

      φ = - arctg (1/ ωCr).          

                

При цьому загальне рішення рівняння (15.11) буде мати вигляд

                    uС  = A1 exp(-t /τц) + Um sin( ωt + ψ - φ – π /2)      (15.15)

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов UC(0)=0. Підставивши це у вираження (15.15), при t=0 одержимо

A1  + Um sin( ψ - φ – π /2)= 0 , відкіля A1 = - Um sin( ψ - φ – π /2).

                                            Рис.15.5

При цьому одержимо

uС = Um sin( ωt + ψ - φ – π /2) -  exp(-t /τц)sin ( ψ - φ – π /2)         (15.16)

   З цього вираження видно, що перехідні процеси в розглянутому ланцюзі залежать від початкової фази синусоїдальної напруги ψ.

   При ψ = ω π/2 у ланцюзі відразу настає сталий режим без перехідного процесу.

   При ψ = φ вільна напруга на ємності буде максимальним (мал. 15.5), а отже, і перехідний процес у ланцюзі буде більш тривалим.

3. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

У РОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

   При аналізі перехідних процесів у розгалужених електричних ланцюгах виникає необхідність у складанні диференціальних рівнянь ланцюга не тільки по другому законі Кирхгофа, як це робилося в розглянутих вище нерозгалужених ланцюгах, але і по першому законі Кирхгофа чи ж у використанні загальних методів розрахунку складних ланцюгів, наприклад методу контурних чи струмів методу вузлових потенціалів.

Методику аналізу перехідних процесів у розгалужених ланцюгах розглянемо на прикладі ланцюга, схема якої приведена на Рис. 15.6, при підключенні до неї  джерела постійної напруги.

 

 

Рис.15.6

Відповідно до першого і другого законів Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати:

                                      i1 + i2 +  i3  =0;

r1 i1 + r2 i2  == E;                      (15.17)

                                    L di3 dt – r2 i2 = 0

Виключивши з цієї системи рівнянь струми i1 і i2, одержимо рівняння для струму i3

L(1+  r1 / r2) di3 /dt + r1 i3=E.

Рис.15.7

   

Загальне рішення цього рівняння має вид

Зі схеми ланцюга видно, що в сталому режимі галузь з опором r2 буде замикатися накоротко галуззю з індуктивністю L. Тому

i3 ПР = E /r1   і      i3= E /r1 – А1 еxp(-t/τц).

   Вважаючи, що в ланцюзі мають місце нульові початкові умови, тобто що i3(0)=0, при t=0 одержимо i3(0) = E /r1 – А1=0, відкіля А1 = -E/r1 . При цьому остаточно одержимо

                                     i3= E /r1  1 – еxp(-t/τц)                      (15.18)

а напруга на індуктивності і струми i2 і i1 будуть рівні:

                                u = L di3 /dt = E r2 /(r1 +r2) exp(-t/τц);       (15.19)                                

                              

                                i2 =  u / r2 =  E /(r1 +r2) exp(-t/τц);             (15.20)                       

                              

                                i1 = i2 + i3 =  E /r1 *[1- r2 /(r1 +r2) exp(-t/τц)].     (15.21)        

   Графіки струмів у ланцюзі показані на мал. 15.7. Усі ці струми змінюються по експонентному законі, причому постійна часу для всіх галузей ланцюга та сама.

   Як з розглянутого вище приклада, так і зі зробленого раніше аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку випливає, що розрахунок перехідних процесів у ланцюгах першого порядку можна робити без складання диференціальних рівнянь ланцюга, записавши відразу його загальне рішення, що має вид

x(t) = xПР(t) + А1 еxp(-t/τц)                             (15.22)

    Тому що характеристичне рівняння, з якого визначається постійна часу ланцюга, не залежить від наявності в ланцюзі зовнішніх джерел енергії, те. при її визначенні можна вважати, що в ланцюзі мають місце тільки вільні струми і напруги, що виникають за рахунок енергії, запасеної в елементах L чи С. При цьому постійну часі ланцюга можна обчислити по формулі

τц = L /rэ   чи     τц = rэ С.

де rэ—эквивалентное опір ланцюга між крапками, до яких підключені елементи L чи З, за умови, що зовнішні джерела електричної енергії замінені їхніми внутрішніми опорами.

Користаючись цим правилом, для розглянутої вище розгалуженого ланцюга можна записати τц = L /rэ = L (r1 + r2) /r1 r2 , що відповідає значенню, отриманому вище з диференціального рівняння ланцюга.

Висновки.

1.Перехідні процеси в електричних ланцюгах першого порядку є загасаючими незалежно від того, підключається до ланцюга джерело чи напруги ні.

2.Наявність реактивності в ланцюзі першого порядку приводить до наступного результатам:

-Енергія, запасена в реактивності, не змінюється стрибком, а в результаті перехідного процесу перетворюється в теплову енергію;

-При підключенні ланцюга до джерела енергії її  нагромадження відбувається плавно, по експонентному законі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12633. Неуравновешенность роторов и их балансировка 329 KB
  В ней рассматриваются условия рационального подбора масс звеньев механизма, которые обеспечили бы полное или частичное уменьшение динамических давлений на некоторые кинематические пары механизма...
12634. Методы и средства контроля линейных величин Универсальные измерительные инструменты 4.62 MB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Методы и средства контроля линейных величин Универсальные измерительные инструменты. Цель работы: изучить методы и средства контроля линейных величин освоить методику измерений при помощи универсальных измерительных инструментов. К унив...
12635. Создание презентации 501.5 KB
  Лабораторная работа 5. Тема Создание презентации Запустите PowerPoint. Задание 1. Создать презентацию на тему Медицинская информатика Фамилия. Для этого выполните следующую последовательность действий. 1. Для создания презентации выберите команду Создать вмен...
12636. Эффективные способы создания презентаций. Использование электронных таблиц Excel в PowerPoint 262 KB
  Лабораторная работа № 5. Тема: Эффективные способы создания презентаций. Использование электронных таблиц Excel в PowerPoint. Создание электронных презентаций в MS PowerPoint происходит с минимальной затратой усилий. Процесс создания презентаций состоит из таких действий...
12637. Основные компоненты персонального компьютера 625.5 KB
  Лабораторная работа №1 Основные компоненты персонального компьютера. Цель работы: Изучить основные компоненты ПК; Изучить их предназначение. Задачи работы: Разобрать системный блок; Осмотреть маркировку компонентов; Изучить креплен...
12638. Обеспечение маркетинговой программы. Основные задачи планирования 179.09 KB
  Оглавление Введение Пробный заголовок. Финансирование маркетинга. Обеспечение маркетинговой программы. Планирование маркетинга. Основные задачи планирования. Маркетинговые программы. Вывод. В условиях жесткой конкуренции..