41264

Аналіз проходження сигналів через лінійні електричні кола методом інтегралу Дюамеля

Лекция

Физика

При малій тривалості Δτ реакція ланцюга на кожен імпульс fвх kt відповідно до формули 18.3 визначається за допомогою її імпульсної характеристики як добуток: fвых kt= tτSиk = tτ fвх τΔτ.8 Реакцію ланцюга на вплив fвх t відповідно до принципу накладення: знайдемо як суму реакцій fвых kt n τ=nΔt fвых t= Σ fвых kt= Σ fвхτtτΔτ.9 k=0 τ=0...

Украинкский

2013-10-23

116.5 KB

10 чел.

6

Аналіз проходження   сигналів через лінійні  електричні  кола                       методом інтегралу Дюамеля

     В основі розрахунку реакції лінійного ланцюга на вплив довільної форми з використанням її тимчасових характеристик лежить принцип накладення. Суть такого методу розрахунку полягає  в представленні  вхідного

Рис. 18.1

впливу сумою   (накладенням) простих типових імпульсних функцій.

Представимо вхідний сигнал довільної форми накладенням прямокутних

ім

пульсів                 

імпульсів малої тривалості tи=Δτ =Δt (мал. 18.1).

При малій тривалості Δτ реакція ланцюга на кожен імпульс fвх k(t) відповідно до формули (18.3) визначається за допомогою її імпульсної характеристики як добуток:

 fвых k(t)= a(t-τ)Sиk = a(t-τ) fвх (τ)Δτ.                                          (18.8)

Реакцію ланцюга на вплив  fвх (t) відповідно до принципу накладення:

знайдемо як суму реакцій  fвых k(t)

              n                          τ=nΔt

 fвых (t)= Σ fвых k(t)= Σ fвх(τ)a(t-τ)Δτ.                                          (18.9)

                      k=0                          τ=0

Спрямовуючи Δτ→0, у межі одержуємо

                      t

fвых (t)= ∫ fвх(τ)a(t-τ)dτ = fвх(t) * a(t) .                                       (18.10)

                     0

або після заміни перемінних

                       t

fвых (t)= ∫ fвх(t-τ)a(τ)dτ = fвх(t) * a(t).                                        (18.11)

     Тут інтегрування виробляється по τ, а під t розуміють фіксований момент часу, у який потрібно знайти значення fвых (t).

     Отримані вираження називаються інтегралами згортки. Вони дозволяють знайти реакцію лінійного ланцюга на довільний вплив як згорткові вхідного впливу з імпульсної характеристики ланцюга. Подібні вираження можна одержати і при апроксимації функції впливу за допомогою східчастих функцій, розглянутих у минулій лекції.

     Інтегралові згортки можна дати графічну інтерпретацію. Для цього послідовність згортання двох функцій проілюструємо за допомогою мал. 18.2. функції, Що Згортаються, (мал. 18.2, а) після заміни перемінної t на (рис, 18.2, б) перетворимо шляхом заміни , на (-). Таке перетворення (мал. 18.2, в) відповідає дзеркальному відображенню функцій щодо осі ординат. Наступна заміна (-) на (t-) відповідає зсувові відбитих функцій вправо на величину t (мал. 18.2,г). Добуток двох функцій, що знаходиться під знаком інтеграла в згортку (18.10) і (18.11), представлене на мал. 18.2,д. Інтегрування перемножених функцій дає значення інтеграла згортки в даний момент часу (мал. 18.2,е). Ордината результуючій кривій (див. мал. 18.2, е) відповідає площі заштрихованої -поверхні (див. рис, 18.2, д). Для перебування кожної нової ординати потрібне нове відображення і зсув, після чого виконується перемножування ординат і інтегрування.

     Таким чином, згортання двох функцій може бути представлене за допомогою чотирьох дій — відображення, зсуву, перемножування й інтегрування, виконуваних у визначеній послідовності.

     Якщо підставити в інтеграли (18.10) і (18.11) вираження (18.4) і використовувати заміну перемінних, то одержимо ще двох форм інтеграла згортки

які в теорії ланцюгів звичайно називають інтегралами Дюамеля: 


                

     Інтегруючи в (18.10) і (18.11) вроздріб (udv = uv — vdu) одержуємо ще двох форм (третього і четверту)  інтеграла Дюамеля:                        -

                                                                                                             t

                         fвых (t) = fвх(0) h (t) +  fвх(t-) h () d.                        (18.14)

                                                                                                        0

                                                                                                             t

                         fвых (t) = fвх(0) h (t) +  fвх() h (t - ) d.                      (18.15)

                                                                                                        0

тому що

Диференціюючи визначений інтеграл   (18.10)   і  (18.11)  по

верхній межі     

                                      

одержуємо п'яту і шосту форми інтеграла Дюамеля:

                                                                                                                  t

                                          fвых (t) = d/dt  fвх(t-) h () d.                    (18.16)

                                                                                                              0

                                                                                                           t

                                     fвых (t) = d/dt  fвх() h (t - ) d.                       (18.17)

                                                                                                      0

     Вибір зручної форми запису інтеграла згортки (Дюамеля) визначається умовою розв'язуваної задачі, видом вхідного впливу і використовуваної тимчасової характеристики ланцюга.

     Розрахунок реакції ланцюга на вплив довільної форми розпадається в загальному випадку на два етапи:

- розрахунок тимчасової характеристики потрібного виду;

- розрахунок реакції ланцюга за допомогою інтеграла згортки (Дюамеля) у будь-якій зручній його формі (18.10) —(18.17).

Інтеграл Дюамеля.

На підставі розгляду динамічної системи  вхідний сигнал представимо  як.

Реакцію ланцюга на такий сигнал запишеться в наступному виді.

Т.ч. система лінійна і стаціонарна, те оператор системи  можна внести під знак інтеграла.

На основі властивостей згортки даний вираз можна записати у вигляді.

Приведені два вирази звуться інтеграла Дюамеля. Інтеграл Дюамеля дозволяє обчислити реакцію ланцюга на будь-який зовнішній вплив шляхом зваженого підсумовування вхідного сигналу. Ваговими коефіцієнтами для миттєвого значення сигналу є значення імпульсної характеристики.

      Умови фізичної реалізуємості імпульсної характеристики.

  1.  Вихідний сигнал, що відповідає, або є реакцієя на вхідний імпульсний вплив не може з'явитися  до моменту появи сигналу на вході.

 

З даної умови випливають обмеження, що накладаються на інтеграл Дюамеля: межі інтегрування не до , а до часу .

Вираз (1) показує, що лінійна стаціонарна система виконує обробку сигналу, що надходить на вхід, виконуючи операцію зваженого підсумовування для всіх миттєвих значень сигналу, що існували    до початку обробки в інтервалі . Роль вагових коефіцієнтів грає ІПХ у кожен момент часу .

  1.  ІПХ повинна бути стаціонарна (тому що система повинна бути стаціонарна.), тобто  оператор системи не повинний залежати від часу.

Дані умови називаються стійкістю імпульсної характеристики. Т.ч. імпульсна характеристика повинна підкорятися умові повної інтеграції.

Імпульсна і перехідна характеристика.

ЇХ є реакцією на зовнішній вплив, при тому, що зовнішнім впливом була -функція.

                                   (5)

Дане вираження розглядаємо для стаціонарної системи.

Тоді.

                (6)

Дана форма запису ідеалізована, тому що реальні системи можуть тільки приблизно створити імпульс з одиничною площею і тривалістю прагнучої до нуля. Реальний імпульс можна вважати -функцією, якщо його тривалість досить мала в порівнянні з тривалістю комплексної підлягаючій обробці обгинає, що сигналу.

Перехідна характеристика. Нехай на вході лінійної стаціонарної системи діє сигнал, зображуваний функцією Хевісайда σ(t).

                  0,       t< to ,    

σ(t-to)=       0,5     t= to

                   1       t> to

Вихідну реакцію

          g (t)= T σ(t)                                  (6)

прийнято називати перехідною характеристикою системи. Оскільки розглянута система стаціонарна, те перехідна характеристика інваріантна щодо тимчасового зрушення:

 g (t- to) =T σ(t-to).                                    (7)

Висловлені раніше розуміння про фізичнуe реалізацію системи цілком переносяться на той випадок, коли система збуджується не дельта-функцією, а одиничним стрибком. Тому перехідна характеристика фізично реалізованої системи відмінна від нуля лише при t>0, у той час як

g (t)=0   при   t<0.

Між імпульсною і перехідною характеристиками існує тісний зв'язок. Дійсно, оскільки δ(t) = dσ/dt, то на підставі (5)

                              h(t) = T[d/dt σ(t)].                                (8)

Оператор диференціювання d/dt і лінійний стаціонарний оператор T можуть мінятися місцями, і тому

                                               h(t) =d/dt σ(t) = dg /dt .                     (9)

або

                                   g(t)= ∫h(ξ)dξ                                   (10)



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65265. ПОКРАЩЕННЯ ДИСПЕРСНОСТІ РОЗПИЛЕННЯ ПЕСТИЦИДІВ 248 KB
  Актуальною є вимога енергозбереження: високодисперсне розпилення за умови низького тиску та осаджування краплин з мінімальними втратами через випаровування знесення і зісковзування з обєктів обприскування.
65266. Комплексна оцінка економічної безпеки підприємства (на прикладі підприємств гірничодобувної промисловості) 566 KB
  Теоретичні аспекти економічної безпеки підприємства та методики її оцінки розглянуто в наукових працях багатьох вітчизняних і зарубіжних учених зокрема Л. Разом з тим питання класифікації загроз і формування...
65267. Оптимізація основних елементів технології вирощування сучасних сортів пшениці м’якої озимої в умовах східної частини Лісостепу України 342 KB
  Основна задача рослинництва це стійке підвищення урожайності і якості зерна в конкретних агроекологічних умовах окремої зони сівозміни чи поля. Збільшення нестабільності погодних умов постійні зміни конюнктури ринку зерна поява нових засобів виробництва нових сортів пшениці...
65268. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ ЗАЛІЗНИЧНИХ ТРАНСПОРТНИХ СИСТЕМ ПРИ ОРГАНІЗАЦІЇ ВАНТАЖНИХ ПЕРЕВЕЗЕНЬ 524.5 KB
  Поставлені задачі в умовах обмежених ресурсів крім реформування управління перевізним процесом вимагають розробки раціональних рішень щодо удосконалення технологій та конструкції вирішальних вантажних станцій де зароджуються та погашаються...
65269. Оптимальне автоматизоване управління технологічним процесом залізорудного комбінату на основі прогнозу технологічних показників для підвищення прибутку підприємства 17.29 MB
  Причини такого стану полягають у тому що у практиці аналізу процесів управління досить поширене припущення про детермінованість технологічних процесів гірничорудного виробництва їх ергодичність але таке припущення досить обмежене.
65270. НОВІТНІ БІОТЕХНОЛОГІЧНІ ПРАКТИКИ: ФІЛОСОФСЬКО-МЕТОДОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ 135 KB
  Виникає потреба осмислити потужні можливості та ризики які повязані з такими практиками. В їх системі особлива роль належить новітнім біотехнологічним практикам які виникли в галузі сучасної фундаментальної науки досить широко використовуються в житті людини змінюючи його.
65271. Ефективність використання селену і марганцю в складі преміксів для молодняку свиней у зоні Вінницького Прибужжя Лісостепу України 257.5 KB
  Маючи в адміністративному районі області регіоні підприємство або лінію з виробництва преміксів потужність якої становитиме 1 від загального виготовлення комбікормів можна за рахунок місцевих сировинних ресурсів забезпечити повноцінну і збалансовану годівлю сільськогосподарських тварин у тому числі свиней.
65272. СИСТЕМА АДМІНІСТРАТИВНОГО ПРАВА УКРАЇНИ 224.5 KB
  Реформування адміністративного права є одним з найважливіших завдань у сфері вітчизняного права над вирішенням якого працюють ученіадміністративісти представники органів законодавчої виконавчої та судової гілок влади громадськість.
65273. Розроблення двошарових композиційних електрохімічних покриттів системи Ni–B–Cr для підвищення зносо- та корозійної тривкості виробів з вуглецевих сталей 6.65 MB
  Для поверхневого захисту виробів надання їм декоративного вигляду чи певних функціональних властивостей у промисловості широко використовують гальванічні покриття нікелем хромом їх сплавами і багатошаровими композиціями цих металів.