41264

Аналіз проходження сигналів через лінійні електричні кола методом інтегралу Дюамеля

Лекция

Физика

При малій тривалості Δτ реакція ланцюга на кожен імпульс fвх kt відповідно до формули 18.3 визначається за допомогою її імпульсної характеристики як добуток: fвых kt= tτSиk = tτ fвх τΔτ.8 Реакцію ланцюга на вплив fвх t відповідно до принципу накладення: знайдемо як суму реакцій fвых kt n τ=nΔt fвых t= Σ fвых kt= Σ fвхτtτΔτ.9 k=0 τ=0...

Украинкский

2013-10-23

116.5 KB

10 чел.

6

Аналіз проходження   сигналів через лінійні  електричні  кола                       методом інтегралу Дюамеля

     В основі розрахунку реакції лінійного ланцюга на вплив довільної форми з використанням її тимчасових характеристик лежить принцип накладення. Суть такого методу розрахунку полягає  в представленні  вхідного

Рис. 18.1

впливу сумою   (накладенням) простих типових імпульсних функцій.

Представимо вхідний сигнал довільної форми накладенням прямокутних

ім

пульсів                 

імпульсів малої тривалості tи=Δτ =Δt (мал. 18.1).

При малій тривалості Δτ реакція ланцюга на кожен імпульс fвх k(t) відповідно до формули (18.3) визначається за допомогою її імпульсної характеристики як добуток:

 fвых k(t)= a(t-τ)Sиk = a(t-τ) fвх (τ)Δτ.                                          (18.8)

Реакцію ланцюга на вплив  fвх (t) відповідно до принципу накладення:

знайдемо як суму реакцій  fвых k(t)

              n                          τ=nΔt

 fвых (t)= Σ fвых k(t)= Σ fвх(τ)a(t-τ)Δτ.                                          (18.9)

                      k=0                          τ=0

Спрямовуючи Δτ→0, у межі одержуємо

                      t

fвых (t)= ∫ fвх(τ)a(t-τ)dτ = fвх(t) * a(t) .                                       (18.10)

                     0

або після заміни перемінних

                       t

fвых (t)= ∫ fвх(t-τ)a(τ)dτ = fвх(t) * a(t).                                        (18.11)

     Тут інтегрування виробляється по τ, а під t розуміють фіксований момент часу, у який потрібно знайти значення fвых (t).

     Отримані вираження називаються інтегралами згортки. Вони дозволяють знайти реакцію лінійного ланцюга на довільний вплив як згорткові вхідного впливу з імпульсної характеристики ланцюга. Подібні вираження можна одержати і при апроксимації функції впливу за допомогою східчастих функцій, розглянутих у минулій лекції.

     Інтегралові згортки можна дати графічну інтерпретацію. Для цього послідовність згортання двох функцій проілюструємо за допомогою мал. 18.2. функції, Що Згортаються, (мал. 18.2, а) після заміни перемінної t на (рис, 18.2, б) перетворимо шляхом заміни , на (-). Таке перетворення (мал. 18.2, в) відповідає дзеркальному відображенню функцій щодо осі ординат. Наступна заміна (-) на (t-) відповідає зсувові відбитих функцій вправо на величину t (мал. 18.2,г). Добуток двох функцій, що знаходиться під знаком інтеграла в згортку (18.10) і (18.11), представлене на мал. 18.2,д. Інтегрування перемножених функцій дає значення інтеграла згортки в даний момент часу (мал. 18.2,е). Ордината результуючій кривій (див. мал. 18.2, е) відповідає площі заштрихованої -поверхні (див. рис, 18.2, д). Для перебування кожної нової ординати потрібне нове відображення і зсув, після чого виконується перемножування ординат і інтегрування.

     Таким чином, згортання двох функцій може бути представлене за допомогою чотирьох дій — відображення, зсуву, перемножування й інтегрування, виконуваних у визначеній послідовності.

     Якщо підставити в інтеграли (18.10) і (18.11) вираження (18.4) і використовувати заміну перемінних, то одержимо ще двох форм інтеграла згортки

які в теорії ланцюгів звичайно називають інтегралами Дюамеля: 


                

     Інтегруючи в (18.10) і (18.11) вроздріб (udv = uv — vdu) одержуємо ще двох форм (третього і четверту)  інтеграла Дюамеля:                        -

                                                                                                             t

                         fвых (t) = fвх(0) h (t) +  fвх(t-) h () d.                        (18.14)

                                                                                                        0

                                                                                                             t

                         fвых (t) = fвх(0) h (t) +  fвх() h (t - ) d.                      (18.15)

                                                                                                        0

тому що

Диференціюючи визначений інтеграл   (18.10)   і  (18.11)  по

верхній межі     

                                      

одержуємо п'яту і шосту форми інтеграла Дюамеля:

                                                                                                                  t

                                          fвых (t) = d/dt  fвх(t-) h () d.                    (18.16)

                                                                                                              0

                                                                                                           t

                                     fвых (t) = d/dt  fвх() h (t - ) d.                       (18.17)

                                                                                                      0

     Вибір зручної форми запису інтеграла згортки (Дюамеля) визначається умовою розв'язуваної задачі, видом вхідного впливу і використовуваної тимчасової характеристики ланцюга.

     Розрахунок реакції ланцюга на вплив довільної форми розпадається в загальному випадку на два етапи:

- розрахунок тимчасової характеристики потрібного виду;

- розрахунок реакції ланцюга за допомогою інтеграла згортки (Дюамеля) у будь-якій зручній його формі (18.10) —(18.17).

Інтеграл Дюамеля.

На підставі розгляду динамічної системи  вхідний сигнал представимо  як.

Реакцію ланцюга на такий сигнал запишеться в наступному виді.

Т.ч. система лінійна і стаціонарна, те оператор системи  можна внести під знак інтеграла.

На основі властивостей згортки даний вираз можна записати у вигляді.

Приведені два вирази звуться інтеграла Дюамеля. Інтеграл Дюамеля дозволяє обчислити реакцію ланцюга на будь-який зовнішній вплив шляхом зваженого підсумовування вхідного сигналу. Ваговими коефіцієнтами для миттєвого значення сигналу є значення імпульсної характеристики.

      Умови фізичної реалізуємості імпульсної характеристики.

  1.  Вихідний сигнал, що відповідає, або є реакцієя на вхідний імпульсний вплив не може з'явитися  до моменту появи сигналу на вході.

 

З даної умови випливають обмеження, що накладаються на інтеграл Дюамеля: межі інтегрування не до , а до часу .

Вираз (1) показує, що лінійна стаціонарна система виконує обробку сигналу, що надходить на вхід, виконуючи операцію зваженого підсумовування для всіх миттєвих значень сигналу, що існували    до початку обробки в інтервалі . Роль вагових коефіцієнтів грає ІПХ у кожен момент часу .

  1.  ІПХ повинна бути стаціонарна (тому що система повинна бути стаціонарна.), тобто  оператор системи не повинний залежати від часу.

Дані умови називаються стійкістю імпульсної характеристики. Т.ч. імпульсна характеристика повинна підкорятися умові повної інтеграції.

Імпульсна і перехідна характеристика.

ЇХ є реакцією на зовнішній вплив, при тому, що зовнішнім впливом була -функція.

                                   (5)

Дане вираження розглядаємо для стаціонарної системи.

Тоді.

                (6)

Дана форма запису ідеалізована, тому що реальні системи можуть тільки приблизно створити імпульс з одиничною площею і тривалістю прагнучої до нуля. Реальний імпульс можна вважати -функцією, якщо його тривалість досить мала в порівнянні з тривалістю комплексної підлягаючій обробці обгинає, що сигналу.

Перехідна характеристика. Нехай на вході лінійної стаціонарної системи діє сигнал, зображуваний функцією Хевісайда σ(t).

                  0,       t< to ,    

σ(t-to)=       0,5     t= to

                   1       t> to

Вихідну реакцію

          g (t)= T σ(t)                                  (6)

прийнято називати перехідною характеристикою системи. Оскільки розглянута система стаціонарна, те перехідна характеристика інваріантна щодо тимчасового зрушення:

 g (t- to) =T σ(t-to).                                    (7)

Висловлені раніше розуміння про фізичнуe реалізацію системи цілком переносяться на той випадок, коли система збуджується не дельта-функцією, а одиничним стрибком. Тому перехідна характеристика фізично реалізованої системи відмінна від нуля лише при t>0, у той час як

g (t)=0   при   t<0.

Між імпульсною і перехідною характеристиками існує тісний зв'язок. Дійсно, оскільки δ(t) = dσ/dt, то на підставі (5)

                              h(t) = T[d/dt σ(t)].                                (8)

Оператор диференціювання d/dt і лінійний стаціонарний оператор T можуть мінятися місцями, і тому

                                               h(t) =d/dt σ(t) = dg /dt .                     (9)

або

                                   g(t)= ∫h(ξ)dξ                                   (10)



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24570. Обработка металлов давление в металлургическом производстве 264 KB
  В промышленности и сельском хозяйстве изложение технологии описывается в документах, именуемых операционная карта технологического процесса (при подробном описании) или маршрутная карта (при кратком описании). В сценическом искусстве технология исполнения спектаклей, пьес, съёмки кинофильмов
24571. Профилактика наркозависимости и аддиктивного поведения средствами групповой психокоррекции 60.5 KB
  Зависимость состояние периодической или хронической интоксикации вызываемое повторным употреблением психоактивного вещества разделяемой на психическую и физическую зависимость. Психическая зависимость характеризуется овладевающим желанием или неодолимым влечением к употреблению психоактивного вещества тенденцией к увеличению его дозы для достижения желаемого эффекта и возникновением вызванных употреблением индивидуальных и социальных проблем разрешаемых через повторное употребление; отнятие вещества вызывает психический дискомфорт и...
24572. Групповая динамика как базовый элемент психотехнологии работы с группой 54.5 KB
  Групповая динамика это совокупность групповых действий и интеракций возникающих в результате взаимоотношений и взаимодействий членов группы их деятельности и влияния членов на окружение и представляет собой развитие или движение группы во времени. Важной общей чертой тренингов является их стадиальность обусловленная социальнопсихологическими закономерностями развития малой группы. Стадии развития группы: 1. Знакомство участников группы друг с другом и тренером.
24573. Концепции, направления и формы основных практик групповой работы 57.5 KB
  В Тгруппах акцентируются на анализе развития группы что происходит в группе когда она проходит стадии своего развития. Условия формирования сильного Взрослого: изучение своего Ребенка его страхов; изучение своего Родителя его требований установок; изучение Ребенка своего партнера; откладывать свои импульсивные реакции. Дают возмть учкам обратить внимание на течение своего непосредственного опыта побуждают опознать и принять ранее игнорируемые аспекты самости. Включает в себя: инициацию действия максимальное преувеличение...
24574. Психотерапия как вид психологической помощи 55 KB
  Условно различают клинически ориентированную психотерапию направленную преимущественно на смягчение или ликвидацию имеющейся симптоматики и личностно ориентированную психотерапию которая стремится помочь человеку изменить свое отношение к социальному окружению и собственной личности История развития психотерапии за рубежом и в России. появляется кафедра психотерапии под руководством В. Карвасарский организует кафедру психотерапии в институте Бехтерева который делает ставку на групповую психотерапию и индивидуальную. Алексейчик открывает...
24575. Технологии посредничества 62.5 KB
  Возможность взаимопонимания предполагает такое конструктивное взаимодействие которое ведет к ослаблению противостояния сторон. Функции посредника 1 Партнера неохотно идущего на переговоры легче склонить к участию если диалог предлагается третьей стороной а не оппонентом. Эффект аудитории объясняет почему участники чувствуют больше обязательств выполнять свою часть соглашения перед нейтральной третьей стороной чем перед своим противником по конфликту. Принципы медиации посредничества: 1 Добровольность: вступление всех спорящих...
24576. Работа психолога с соматическими больными 58 KB
  Внутренняя картина болезни ВКБ А. Лурия ввел понятие ВКБ субъективные внутренние переживания ощущения болезненных проявлений отношение к себе и болезни страхи тревоги жалобы действия и поступки и т. Компоненты внутренней картины болезни: 1. Болевая сторона болезни уровень ощущений чувственный уровень локализация болей и других неприятных ощущений их интенсивность и т.
24577. Методичні прийоми внутрішнього аудиту 29 KB
  Для отримання аудиторських доказів при проведенні внутрішнього аудиту використовуються прийоми фактичного контролю суцільна та вибіркова інвентаризація контрольні обмірювання контрольний запуск сировини експертиза та лабораторні аналізи обстеження і документальний контроль із застосуванням юридичної перевірки та аналітичних процедур спостереження порівняння і зіставлення зустрічні перевірки огляд невизначених зобов'язань підтвердження опитування перевірка механічної точності аудиторська вибірка а також інші різноманітні прийоми...
24578. Перевірка складання правильності балансу 27 KB
  Перевірка складання правильності балансу. Перевірка правильності складання балансу базується на таких основних моментах: 1 дані статей балансу на початок періоду повинні відповідати даним балансу на кінець попереднього періоду. При зміні вступного балансу на початок року в порівнянні зі звітними даними за попередній рік повинні бути надані відповідні пояснення; 2 дані статей балансу на кінець звітного періоду повинні бути обґрунтовані результатами інвентаризації; 3 суми статей балансу за розрахунками із фінансовими податковими органами...