41265

Операторні передавальні функції

Лекция

Физика

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДОр називають відношення зображення вихідної величини Xρ до зображення вхідної величини Fp при нульових початкових умовах: дор=Xρ Fρ.23...

Украинкский

2013-10-23

180.5 KB

1 чел.

Лекція 19

Тема 19. Операторні передавальні функціі.

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

2.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.

3.Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

 

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

     Для рішення лінійних диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь у теорії електричних ланцюгів знайшов широке застосування так званий операторний метод, заснований на перетвореннях Лапласа.

     Сутність цього методу полягає в тому, що функції речовинного перемінного t перетворяться у функції комплексного перемінного ρ = σ+jω таким чином, щоб замість інтегро-диференціальних рівнянь одержати алгебраїчні рівняння. Після рішення цих рівнянь роблять зворотний перехід до функції речовинного перемінного t. Це значно спрощує рішення інтегро-диференціальних рівнянь.

     Перехід від функції речовинного перемінного t до функцій комплексного перемінного р здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа:

        (18.1)

Зворотний перехід від функцій комплексного перемінного ρ до функцій речовинного перемінного t здійснюють на підставі зворотного перетворення Лапласа:

          (18.2)

Функцію ƒ(t) називають оригіналом, а функцію F(p)-зображенням оригіналу по Лапласу, або просто зображенням.

Нагадаємо, що для того, щоб функція ƒ(t) мала зображення (18.1), необхідно, щоб вона:

а)   задовольняла умовам Діріхле;

б)   дорівнювала нулю для негативних значень t, тобто при t<0,   ƒ(t-0);

в) в інтервалі t від 0 до  не зростала швидше, ніж деяка показова функція

,

де М и  — довільні позитивні числа, тобто тут не потрібно абсолютна інтегрованість функції ƒ(t), як це потрібно в інтегралах Фур'є. Тому перетворення Лапласа можливі для більш широкого класу функцій, ніж перетворення Фур'є.

3.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.  

Нагадаємо деякі властивості перетворення   Лапласа,   відомі з математики.

1. Властивість лінійності. Якщо   , то

           (18.3)

тобто зображення суми функцій дорівнює сумі зображень кожної з функцій окремо.

2. Диференціювання оригіналу. Якщо , то

         (18.4)

де ƒ(k- 1)(0) - значення похідної (k—1)-го порядку функції ƒ(t) при t=0.

При   нульових   початкових   умовах, коли      ƒ(0)=ƒ'(0) == ...= ƒ (n-1)=0,

,                           (18.5)

тобто   n-кратному   диференціюванню   оригіналу   відповідає n -кратне множення зображення на оператор р.

3. Інтегрування оригіналу. Якщо f(t)  F(p),   то

(18.6)

т операції інтегрування оригіналу в межах від 0 до t відповідає розподіл його зображення на оператор р.

4. Теорема запізнювання. Якщо ,   то

.                    (18.7)

Це означає, що запізнюванню оригіналу на час τ відповідає множення зображення на .

5. Теорема зсуву. Якщо ,   то

,                          (18.8)

тобто заміні в зображенні оператора р на оператор р + δ відповідає множення оригіналу на .

6. Множення    зображень    (теорема    згортання).     

Якщо

і , то

   (18.8)

Це означає, що множенню зображень відповідає «згортання» оригіналів

Наслідок:   застосовуючи  правило диференціювання  оригіналу до (18.9), одержимо

   (18.10)

Це дві форми запису інтеграла Дюамеля, з яких можна одержати   інші   форми   цього   інтеграла.

7. Теорема розкладання. Якщо зображення має вигляд раціонального дробу

  (18.11)

причому ступінь поліному F1(p) нижче ступеня поліному F2(р), коефіцієнти ak і bkречовинні числа, а корені рk рівняння F2(р) =0 різні, тому оригінал визначається вираженням

      (18.12)

У випадку якщо один з коренів рівняння F2(p)=Q дорівнює нулю, тобто F2(p) = p3(p), а оригінал знаходиться по формулі

        (18.13)

У випадку якщо рівняння F2(p)=0   має   кратні   корені,   то оригінал знаходиться за формулою

   (18.14)

Теорема розкладання в сполученні з іншими властивостями перетворення Лапласа дає можливість скласти таблиці зображень і оригіналів, що полегшують і прискорюють перебування оригіналів по зображеннях. Деякі операторні відповідності, що найбільш часто зустрічаються, приведені в табл. 19.1.

     Слід зазначити, що можливість інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами за допомогою операторного методу вперше була показана математиком М. Е. Ващенко-Захарченко у 1862 м, Наприкінці XIX в.

Изображение

Оригинал

1

n – целое положительное число

2. Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

                                                                                                    

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДО(р) називають відношення зображення вихідної величини X(ρ) до зображення вхідної величини F(p) при нульових початкових умовах:

до(р)=X(ρ)/F(ρ).                      (18.23)

                                                                                               

За аналогією з комплексними передатними функціями операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як чотириполюсник (мал. 18.7), є: передатна функція по напрузі КU(р) = U2(p)/U1(p), по струму KI(p)=I2(P)/I1(P), операторное передатний опір Z21(p) = U2(p)/I1(p) і операторная передатна провідність Y21 (р)=I2(p/U1(р).

Операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як двухполюсник (мал. 18.8), є операторное вхідний опір Z(p) = U(p)/I(p) і операторная вхідна провідність Y(p)=I(p)/U(p) = 1/Z(p).

Операторные передатні функції електричного ланцюга ДО(р), так само як і її комплексні передатні функції ДО(jω) і тимчасові характеристики h(t) і a(t), не залежать від зовнішніх впливів на ланцюг. Вони визначаються тільки схемою ланцюга і параметрами вхідних у неї елементів, тобто характеризують власне ланцюг, і зв'язані між собою. Знайдемо ці зв'язки.

З порівняння виражень для прямих перетворень Лапласа (18.1) і Фур'є (16.3) безпосередньо випливає, що

,                       (18.24)

т. е. операторная передатна функція ланцюга ДО(р) виходить з її комплексної передатної функції K(jω) шляхом заміни в K(jω) перемінної jω оператором р. Тому для розрахунку ДО(р) за відомою схемою ланцюга можна застосувати всі методи розрахунку K(jω). Зв'язок між операторной передатною функцією ДО(р) і тимчасових характеристик ланцюга h(t) і a(t) можна установити безпосередньо з визначення цих характеристик і зі зв'язку зображень вихідної величини X(ρ) і вхідної величини F(p), що випливає з рівняння (18.23):

X(p) = F(p)K(p).                        (18.25)

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді одиничної функції включення l(t), то реакція на виході ланцюга буде її перехідною характеристикою h(t), тобто якщо ƒ(t) = l(t), те x(t)=h(t). Тому що зображення одиничної функції включення 1 (t) = Ì/p, те, з огляду на вираження (18.25), одержимо

h(t)  K(p)/p,                 (18.26)

тобто зображення перехідної характеристики ланцюга дорівнює її операторной передатної функції, діленої на оператор р.

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді дельта-функції δ(t), те реакція на виході ланцюга буде її імпульсною характеристикою α(t), тобто якщо ƒ(t)=δ(t), те x(t)=a(t). Тому що зображення дельта-функції δ(t) 1, то, з огляду на вираження (18.25), одержимо

a(t)  K(p),                            (18.27)

тобто зображенням імпульсної характеристики ланцюга є її операторная передатна функція або оригіналом операторной передатної функції ланцюга є її імпульсна характеристика.

Отримані співвідношення дозволяють знайти перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики ланцюга по її операторной передатної функції.

Приклад 18.3.

Знайти операторную передатну функцію, перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики цінуй (мал. 18.9) по напрузі.

Рішення.

Операторная передатна функція по напрузі для розглянутого ланцюга

,

де .

Зображення перехідної характеристики

.

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

.

Зображення імпульсної характеристики

                                                                                                             

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

Співвідношення .(18.26)  і  (18.27)  дозволяють також знайти вираження для операторной передатної функції ланцюга ДО(р)  по її заданим перехідної h(t) або імпульсної a(t) характеристиках, що використовується при рішенні задач синтезу електричного ланцюга.

Приклад 18.4.

Знайти  операторную передатну  функцію,  схему і параметри    цінуй,    якщо    її    перехідна    характеристика

Рішення.

По таблиці операторных відповідностей знаходимо зображення перехідної характеристики ланцюга:

.

відкіля .

Таку операторную передатну функцію має електричний ланцюг, розглянута в прикладі 18.3. Однак таку ж операторную передатну функцію можуть мати й інші ланцюги, наприклад ланцюг, приведений на мал. 18.10, у якій =L/r.

З розглянутого приклада видно, що рішення задачі синтезу електричного ланцюга є неоднозначним, тому що ті самі операторные передатні функції можуть мати різні електричні ланцюги.

англійський вчений О. Хевисайд застосував цей метод до розрахунку електромагнітних перехідних процесів. Великий внесок у розвиток операційного вирахування і його застосування до розрахунку електромагнітних процесів внесли радянські учені В. С. Игнатовский, А. М. Данилевський, А. М. Эфрос, К. А. Коло, М. И. Канторович і ін.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26203. Основные методики патопсихологической диагностики 12.4 KB
  Нестандартизированные методы направлены на определение конкретных нарушений психической деятельности и составляются индивидуально для каждого больного. Выготского который используется для выявления особенностей понятийного мышления при различных психических заболеваниях прежде всего при шизофрении и некоторых органических поражениях головного мозга; 2 метод классификации предметов Гольдштейна который применяется для анализа различных нарушений процессов отвлечения и обобщения; 3 методы классификация предметные картинки исключение...
26204. Структура патопсихологического синдрома при эпилепсии (нарушение динамики психических процессов, нарушение познавательных процессов, личностные нарушения) 16.23 KB
  Аура по своим проявлениям разнообразна у разных больных. Лицо этих больных малоподвижно маловыразительно мимические реакции бедны больные скупы и сдержанны в жестах. Во время патопсихологического исследования больных эпилепсией изучается мышление динамика операции память внимание врабатываемость переключения. Мышление у больных эпилепсией тугоподвижное вязкое.
26205. Исходы черепно-мозговой травмы 14.87 KB
  Например при тяжёлой черепномозговой травме погибают 25 больных моложе 20 лет и до 7080 пострадавших в возрасте старше 60 лет. Даже при лёгкой черепномозговой травме и черепномозговой травме средней тяжести последствия дают знать о себе в течение месяцев или лет. Для определения исходов черепномозговой травмы предложена шкала исходов Глазго ШИГ в которой предусмотрено пять вариантов исходов.
26206. Систематика тревожных расстройств: паническое, фобическое, генерализованное тревожное, обсессивно-компульснвное 12.71 KB
  внезапного возникновения страха и дискомфорта связанного с такими симптомами как одышка сердцебиение головокружение удушье боль в груди дрожь усиленное потоотделение и страх умереть или сойти с ума.Пережив несколько таких приступов многие начинают испытывать сильный страх перед следующим который может случиться в таком месте откуда они не сумеют выбраться или где не смогут получить помощь – в тоннеле в середине ряда в кинотеатре на мосту или в переполненном людьми лифте. Симптомы могут быть сгруппированы в четыре общие категории:...
26207. Концепции тревожных расстройств в различных теоретических подходах 11.39 KB
  Симптомы тревоги рассматриваются как неполное сдерживание вытеснение неприемлемой потребности.Позднее появившаяся когнитивная психология делает акцент на ошибочных и искаженных мыслительных образах предшествующих появлению симптомов тревоги. Например пациент с паническим расстройством может преувеличенно реагировать на нормальные телесные ощущения такие как легкое головокружение или сердцебиение что ведет к усилению страха и тревоги нарастающих до панического приступа.
26208. Концепция истерии в классическом психоанализе. Современные представления об истерии 12.49 KB
  В ней он утверждал что в основе истерической симптоматики находятся подавленные воспоминания о неприятных ситуациях которые практически всегда обладают прямыми или непрямыми сексуальными ассоциациями. €œистерической болезни€ В. Оно обосновано общностью этиологических патогенетических и предрасполагающих факторов которые реализуются в ситуациях нарушенных интерперсональных отношений различной степени выраженности и значимости приводящих к определенной форме истерической патологии – невротической психотической психопатическогою . Тезис...