41265

Операторні передавальні функції

Лекция

Физика

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДОр називають відношення зображення вихідної величини Xρ до зображення вхідної величини Fp при нульових початкових умовах: дор=Xρ Fρ.23...

Украинкский

2013-10-23

180.5 KB

0 чел.

Лекція 19

Тема 19. Операторні передавальні функціі.

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

2.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.

3.Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

 

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

     Для рішення лінійних диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь у теорії електричних ланцюгів знайшов широке застосування так званий операторний метод, заснований на перетвореннях Лапласа.

     Сутність цього методу полягає в тому, що функції речовинного перемінного t перетворяться у функції комплексного перемінного ρ = σ+jω таким чином, щоб замість інтегро-диференціальних рівнянь одержати алгебраїчні рівняння. Після рішення цих рівнянь роблять зворотний перехід до функції речовинного перемінного t. Це значно спрощує рішення інтегро-диференціальних рівнянь.

     Перехід від функції речовинного перемінного t до функцій комплексного перемінного р здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа:

        (18.1)

Зворотний перехід від функцій комплексного перемінного ρ до функцій речовинного перемінного t здійснюють на підставі зворотного перетворення Лапласа:

          (18.2)

Функцію ƒ(t) називають оригіналом, а функцію F(p)-зображенням оригіналу по Лапласу, або просто зображенням.

Нагадаємо, що для того, щоб функція ƒ(t) мала зображення (18.1), необхідно, щоб вона:

а)   задовольняла умовам Діріхле;

б)   дорівнювала нулю для негативних значень t, тобто при t<0,   ƒ(t-0);

в) в інтервалі t від 0 до  не зростала швидше, ніж деяка показова функція

,

де М и  — довільні позитивні числа, тобто тут не потрібно абсолютна інтегрованість функції ƒ(t), як це потрібно в інтегралах Фур'є. Тому перетворення Лапласа можливі для більш широкого класу функцій, ніж перетворення Фур'є.

3.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.  

Нагадаємо деякі властивості перетворення   Лапласа,   відомі з математики.

1. Властивість лінійності. Якщо   , то

           (18.3)

тобто зображення суми функцій дорівнює сумі зображень кожної з функцій окремо.

2. Диференціювання оригіналу. Якщо , то

         (18.4)

де ƒ(k- 1)(0) - значення похідної (k—1)-го порядку функції ƒ(t) при t=0.

При   нульових   початкових   умовах, коли      ƒ(0)=ƒ'(0) == ...= ƒ (n-1)=0,

,                           (18.5)

тобто   n-кратному   диференціюванню   оригіналу   відповідає n -кратне множення зображення на оператор р.

3. Інтегрування оригіналу. Якщо f(t)  F(p),   то

(18.6)

т операції інтегрування оригіналу в межах від 0 до t відповідає розподіл його зображення на оператор р.

4. Теорема запізнювання. Якщо ,   то

.                    (18.7)

Це означає, що запізнюванню оригіналу на час τ відповідає множення зображення на .

5. Теорема зсуву. Якщо ,   то

,                          (18.8)

тобто заміні в зображенні оператора р на оператор р + δ відповідає множення оригіналу на .

6. Множення    зображень    (теорема    згортання).     

Якщо

і , то

   (18.8)

Це означає, що множенню зображень відповідає «згортання» оригіналів

Наслідок:   застосовуючи  правило диференціювання  оригіналу до (18.9), одержимо

   (18.10)

Це дві форми запису інтеграла Дюамеля, з яких можна одержати   інші   форми   цього   інтеграла.

7. Теорема розкладання. Якщо зображення має вигляд раціонального дробу

  (18.11)

причому ступінь поліному F1(p) нижче ступеня поліному F2(р), коефіцієнти ak і bkречовинні числа, а корені рk рівняння F2(р) =0 різні, тому оригінал визначається вираженням

      (18.12)

У випадку якщо один з коренів рівняння F2(p)=Q дорівнює нулю, тобто F2(p) = p3(p), а оригінал знаходиться по формулі

        (18.13)

У випадку якщо рівняння F2(p)=0   має   кратні   корені,   то оригінал знаходиться за формулою

   (18.14)

Теорема розкладання в сполученні з іншими властивостями перетворення Лапласа дає можливість скласти таблиці зображень і оригіналів, що полегшують і прискорюють перебування оригіналів по зображеннях. Деякі операторні відповідності, що найбільш часто зустрічаються, приведені в табл. 19.1.

     Слід зазначити, що можливість інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами за допомогою операторного методу вперше була показана математиком М. Е. Ващенко-Захарченко у 1862 м, Наприкінці XIX в.

Изображение

Оригинал

1

n – целое положительное число

2. Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

                                                                                                    

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДО(р) називають відношення зображення вихідної величини X(ρ) до зображення вхідної величини F(p) при нульових початкових умовах:

до(р)=X(ρ)/F(ρ).                      (18.23)

                                                                                               

За аналогією з комплексними передатними функціями операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як чотириполюсник (мал. 18.7), є: передатна функція по напрузі КU(р) = U2(p)/U1(p), по струму KI(p)=I2(P)/I1(P), операторное передатний опір Z21(p) = U2(p)/I1(p) і операторная передатна провідність Y21 (р)=I2(p/U1(р).

Операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як двухполюсник (мал. 18.8), є операторное вхідний опір Z(p) = U(p)/I(p) і операторная вхідна провідність Y(p)=I(p)/U(p) = 1/Z(p).

Операторные передатні функції електричного ланцюга ДО(р), так само як і її комплексні передатні функції ДО(jω) і тимчасові характеристики h(t) і a(t), не залежать від зовнішніх впливів на ланцюг. Вони визначаються тільки схемою ланцюга і параметрами вхідних у неї елементів, тобто характеризують власне ланцюг, і зв'язані між собою. Знайдемо ці зв'язки.

З порівняння виражень для прямих перетворень Лапласа (18.1) і Фур'є (16.3) безпосередньо випливає, що

,                       (18.24)

т. е. операторная передатна функція ланцюга ДО(р) виходить з її комплексної передатної функції K(jω) шляхом заміни в K(jω) перемінної jω оператором р. Тому для розрахунку ДО(р) за відомою схемою ланцюга можна застосувати всі методи розрахунку K(jω). Зв'язок між операторной передатною функцією ДО(р) і тимчасових характеристик ланцюга h(t) і a(t) можна установити безпосередньо з визначення цих характеристик і зі зв'язку зображень вихідної величини X(ρ) і вхідної величини F(p), що випливає з рівняння (18.23):

X(p) = F(p)K(p).                        (18.25)

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді одиничної функції включення l(t), то реакція на виході ланцюга буде її перехідною характеристикою h(t), тобто якщо ƒ(t) = l(t), те x(t)=h(t). Тому що зображення одиничної функції включення 1 (t) = Ì/p, те, з огляду на вираження (18.25), одержимо

h(t)  K(p)/p,                 (18.26)

тобто зображення перехідної характеристики ланцюга дорівнює її операторной передатної функції, діленої на оператор р.

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді дельта-функції δ(t), те реакція на виході ланцюга буде її імпульсною характеристикою α(t), тобто якщо ƒ(t)=δ(t), те x(t)=a(t). Тому що зображення дельта-функції δ(t) 1, то, з огляду на вираження (18.25), одержимо

a(t)  K(p),                            (18.27)

тобто зображенням імпульсної характеристики ланцюга є її операторная передатна функція або оригіналом операторной передатної функції ланцюга є її імпульсна характеристика.

Отримані співвідношення дозволяють знайти перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики ланцюга по її операторной передатної функції.

Приклад 18.3.

Знайти операторную передатну функцію, перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики цінуй (мал. 18.9) по напрузі.

Рішення.

Операторная передатна функція по напрузі для розглянутого ланцюга

,

де .

Зображення перехідної характеристики

.

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

.

Зображення імпульсної характеристики

                                                                                                             

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

Співвідношення .(18.26)  і  (18.27)  дозволяють також знайти вираження для операторной передатної функції ланцюга ДО(р)  по її заданим перехідної h(t) або імпульсної a(t) характеристиках, що використовується при рішенні задач синтезу електричного ланцюга.

Приклад 18.4.

Знайти  операторную передатну  функцію,  схему і параметри    цінуй,    якщо    її    перехідна    характеристика

Рішення.

По таблиці операторных відповідностей знаходимо зображення перехідної характеристики ланцюга:

.

відкіля .

Таку операторную передатну функцію має електричний ланцюг, розглянута в прикладі 18.3. Однак таку ж операторную передатну функцію можуть мати й інші ланцюги, наприклад ланцюг, приведений на мал. 18.10, у якій =L/r.

З розглянутого приклада видно, що рішення задачі синтезу електричного ланцюга є неоднозначним, тому що ті самі операторные передатні функції можуть мати різні електричні ланцюги.

англійський вчений О. Хевисайд застосував цей метод до розрахунку електромагнітних перехідних процесів. Великий внесок у розвиток операційного вирахування і його застосування до розрахунку електромагнітних процесів внесли радянські учені В. С. Игнатовский, А. М. Данилевський, А. М. Эфрос, К. А. Коло, М. И. Канторович і ін.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25421. Модели разрешения конфликтов в процессе с/р 17.72 KB
  Предпосылки решения ков: 1 достаточная зрелость кта к ая выражается в видимых формах проявления объявлении своих или противоположных интересов и позиций в организации конфликтных групп; 2 потребность субъектов разрешать кты и способность это осуществить; 3 наличие необходимых средств и ресурсов для разрешения ктов: матерх политич культурных человечх. Выделяют 5 оснх стратегий поведения в конфх ситуациях: а приспособление – субъект не проявляет ни активности ни заинтересованности в достижении х результатов. Она направлена...
25422. Методы исследования в области СР 15.92 KB
  Всю совокупность методов используемых в СР можно классифицировать на 2 большие группы: теоретические и практические. К теоретическим методам СР следует отнести общенаучные методы: индукция заключение осуществляется от фактов к гипотезе и к общему утверждению; дедукция заключение от общих утверждений к частным фактам; синтез соединение элементов в единое целое; аналогия умозаключение при котором 3 об изученном объекте переносятся на сходный менее изученный; сравнение метод позволяющий установить сходство...
25423. Методы исследования в социальной статистике 14.9 KB
  Задачами для СоцС явся: систематический анализ ситуации в соц сфере; анализ важнейших тенденций и закономерностей развития отраслей соц инфрастрры; изучение уровня и условий жизни нася; оценка степени дифференциации этих характеристик; анализ динамики; прогнозирование наиболее вероятного хода развития на ближайшую и более отдаленную перспективу; исследование факторов под влиянием к х сложилась данная ситуация; выяснение соотношений объективных и субъективных факторов. Разработка подходов к построению обобщающих показателей позволяющих...
25424. Семья и ее основные функции. Социально-экономические, духовно-культурные, психолого-педагогические основания современной семьи 47.5 KB
  Социальноэкономические духовнокультурные психологопедагогические основания современной семьи. Структура ответа: Вступление Понятие семьи Основные функции семьи Вывод Общеизвестно что семья является уникальным социальным созданием человечества.1 Интегральными характеристиками семьи которые во многом определяют ее потенциалы считаются: психологическое здоровье функциональноролевая согласованность социальноролевая адекватность эмоциональная удовлетворенность адаптивность в микросоциальных отношениях устремленность на семейное...
25425. Основные направления и технологии социальной работы с семьей 50.5 KB
  Сегодня многие семьи нуждаются в помощи и поддержке для того чтобы полноценно реализовывать предписываемые обществом функции. В такой помощи нуждаются неполные и многодетные семьи семьи одиноких матерей военнослужащих семьи воспитывающие детей с ограниченными возможностями усыновленных и опекаемых детей имеющие родителейинвалидов студенческие семьи семьи беженцев мигрантов безработных асоциальные семьи и др. Исходя их этого социальный работник призван выполнять следующие функции: диагностическую изучение особенностей семьи...
25426. Проблемы социальной защиты семьи, материнства и детства в России 18.19 KB
  В Конституции РФ сказано что в Российской Федерацииобеспечивается государственная поддержка семьи материнства отцовства и детстваразвивается система социальных служб устанавливаются государственные пенсии пособия и иные гарантии социальной защиты. Основными принципами социальной работы с семьей являются: Приоритет прав и интересов ребенка всесторонней развитие и уважение его человеческого достоинства; Уважение прав родителей объективная и компетентная оценка ситуации в семье со стороны социальных служб; Соблюдение конфиденциальности...
25427. Государственная семейная политика и механизм ее реализации 17.26 KB
  Государственная семейная политика – это целостная система принципов оценок и мер организационного экономического правового научного информационного пропагандирующего и кадрового характера направленная на улучшение условий и повышение качества жизни семьи. Цель ГСП – обеспечение государством необходимых условий для реализации семьей ее функций и повышения качества жизни семьи. была принята концепция ГСП в России необходимость семейной политики определилась теми неблагоприятными последствиями в изменении структуры и функций семьи...
25428. Гендерные аспекты социальной работы 68 KB
  анализу социальной ситуации клиента социальной службы изысканию ресурсов и технологий оказания помощи клиенту в зависимости от его принадлежности к мужскому или женскому полу. Доминанты пола играют определенную роль для выбора стратегий поддерживающей терапии клиента. Проблемы мужчиныклиента в контексте брачносемейных отношений и психосексуальных конфликтов являются важной составной частью социальной работы. Таким образом полоролевые особенности клиента вызывают ряд специфических проблем которые имеют свою функциональную...
25429. Женщины – один из наиболее значимых объектов социальной работы 47.5 KB
  Женщины составляют большинство населения в России где их доля равна 531 881 мужчина на 1000 женщин. Для возрастной структуры России гендерный аспект имеет особое значение: среди жителей страны в возрасте 60 лет и старше доля женщин составляет более 65 диспропорция мужского и женского населения что ведет к женскому одиночеству. Исследованием положения женщин вплотную заняты 2 науки: гендерология и феминология. Предмет гендерологиисоциальные статусы женщины и мужчины определяющие определенный характер их взаимодействия и...