41265

Операторні передавальні функції

Лекция

Физика

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДОр називають відношення зображення вихідної величини Xρ до зображення вхідної величини Fp при нульових початкових умовах: дор=Xρ Fρ.23...

Украинкский

2013-10-23

180.5 KB

2 чел.

Лекція 19

Тема 19. Операторні передавальні функціі.

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

2.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.

3.Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

 

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

     Для рішення лінійних диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь у теорії електричних ланцюгів знайшов широке застосування так званий операторний метод, заснований на перетвореннях Лапласа.

     Сутність цього методу полягає в тому, що функції речовинного перемінного t перетворяться у функції комплексного перемінного ρ = σ+jω таким чином, щоб замість інтегро-диференціальних рівнянь одержати алгебраїчні рівняння. Після рішення цих рівнянь роблять зворотний перехід до функції речовинного перемінного t. Це значно спрощує рішення інтегро-диференціальних рівнянь.

     Перехід від функції речовинного перемінного t до функцій комплексного перемінного р здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа:

        (18.1)

Зворотний перехід від функцій комплексного перемінного ρ до функцій речовинного перемінного t здійснюють на підставі зворотного перетворення Лапласа:

          (18.2)

Функцію ƒ(t) називають оригіналом, а функцію F(p)-зображенням оригіналу по Лапласу, або просто зображенням.

Нагадаємо, що для того, щоб функція ƒ(t) мала зображення (18.1), необхідно, щоб вона:

а)   задовольняла умовам Діріхле;

б)   дорівнювала нулю для негативних значень t, тобто при t<0,   ƒ(t-0);

в) в інтервалі t від 0 до  не зростала швидше, ніж деяка показова функція

,

де М и  — довільні позитивні числа, тобто тут не потрібно абсолютна інтегрованість функції ƒ(t), як це потрібно в інтегралах Фур'є. Тому перетворення Лапласа можливі для більш широкого класу функцій, ніж перетворення Фур'є.

3.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.  

Нагадаємо деякі властивості перетворення   Лапласа,   відомі з математики.

1. Властивість лінійності. Якщо   , то

           (18.3)

тобто зображення суми функцій дорівнює сумі зображень кожної з функцій окремо.

2. Диференціювання оригіналу. Якщо , то

         (18.4)

де ƒ(k- 1)(0) - значення похідної (k—1)-го порядку функції ƒ(t) при t=0.

При   нульових   початкових   умовах, коли      ƒ(0)=ƒ'(0) == ...= ƒ (n-1)=0,

,                           (18.5)

тобто   n-кратному   диференціюванню   оригіналу   відповідає n -кратне множення зображення на оператор р.

3. Інтегрування оригіналу. Якщо f(t)  F(p),   то

(18.6)

т операції інтегрування оригіналу в межах від 0 до t відповідає розподіл його зображення на оператор р.

4. Теорема запізнювання. Якщо ,   то

.                    (18.7)

Це означає, що запізнюванню оригіналу на час τ відповідає множення зображення на .

5. Теорема зсуву. Якщо ,   то

,                          (18.8)

тобто заміні в зображенні оператора р на оператор р + δ відповідає множення оригіналу на .

6. Множення    зображень    (теорема    згортання).     

Якщо

і , то

   (18.8)

Це означає, що множенню зображень відповідає «згортання» оригіналів

Наслідок:   застосовуючи  правило диференціювання  оригіналу до (18.9), одержимо

   (18.10)

Це дві форми запису інтеграла Дюамеля, з яких можна одержати   інші   форми   цього   інтеграла.

7. Теорема розкладання. Якщо зображення має вигляд раціонального дробу

  (18.11)

причому ступінь поліному F1(p) нижче ступеня поліному F2(р), коефіцієнти ak і bkречовинні числа, а корені рk рівняння F2(р) =0 різні, тому оригінал визначається вираженням

      (18.12)

У випадку якщо один з коренів рівняння F2(p)=Q дорівнює нулю, тобто F2(p) = p3(p), а оригінал знаходиться по формулі

        (18.13)

У випадку якщо рівняння F2(p)=0   має   кратні   корені,   то оригінал знаходиться за формулою

   (18.14)

Теорема розкладання в сполученні з іншими властивостями перетворення Лапласа дає можливість скласти таблиці зображень і оригіналів, що полегшують і прискорюють перебування оригіналів по зображеннях. Деякі операторні відповідності, що найбільш часто зустрічаються, приведені в табл. 19.1.

     Слід зазначити, що можливість інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами за допомогою операторного методу вперше була показана математиком М. Е. Ващенко-Захарченко у 1862 м, Наприкінці XIX в.

Изображение

Оригинал

1

n – целое положительное число

2. Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

                                                                                                    

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДО(р) називають відношення зображення вихідної величини X(ρ) до зображення вхідної величини F(p) при нульових початкових умовах:

до(р)=X(ρ)/F(ρ).                      (18.23)

                                                                                               

За аналогією з комплексними передатними функціями операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як чотириполюсник (мал. 18.7), є: передатна функція по напрузі КU(р) = U2(p)/U1(p), по струму KI(p)=I2(P)/I1(P), операторное передатний опір Z21(p) = U2(p)/I1(p) і операторная передатна провідність Y21 (р)=I2(p/U1(р).

Операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як двухполюсник (мал. 18.8), є операторное вхідний опір Z(p) = U(p)/I(p) і операторная вхідна провідність Y(p)=I(p)/U(p) = 1/Z(p).

Операторные передатні функції електричного ланцюга ДО(р), так само як і її комплексні передатні функції ДО(jω) і тимчасові характеристики h(t) і a(t), не залежать від зовнішніх впливів на ланцюг. Вони визначаються тільки схемою ланцюга і параметрами вхідних у неї елементів, тобто характеризують власне ланцюг, і зв'язані між собою. Знайдемо ці зв'язки.

З порівняння виражень для прямих перетворень Лапласа (18.1) і Фур'є (16.3) безпосередньо випливає, що

,                       (18.24)

т. е. операторная передатна функція ланцюга ДО(р) виходить з її комплексної передатної функції K(jω) шляхом заміни в K(jω) перемінної jω оператором р. Тому для розрахунку ДО(р) за відомою схемою ланцюга можна застосувати всі методи розрахунку K(jω). Зв'язок між операторной передатною функцією ДО(р) і тимчасових характеристик ланцюга h(t) і a(t) можна установити безпосередньо з визначення цих характеристик і зі зв'язку зображень вихідної величини X(ρ) і вхідної величини F(p), що випливає з рівняння (18.23):

X(p) = F(p)K(p).                        (18.25)

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді одиничної функції включення l(t), то реакція на виході ланцюга буде її перехідною характеристикою h(t), тобто якщо ƒ(t) = l(t), те x(t)=h(t). Тому що зображення одиничної функції включення 1 (t) = Ì/p, те, з огляду на вираження (18.25), одержимо

h(t)  K(p)/p,                 (18.26)

тобто зображення перехідної характеристики ланцюга дорівнює її операторной передатної функції, діленої на оператор р.

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді дельта-функції δ(t), те реакція на виході ланцюга буде її імпульсною характеристикою α(t), тобто якщо ƒ(t)=δ(t), те x(t)=a(t). Тому що зображення дельта-функції δ(t) 1, то, з огляду на вираження (18.25), одержимо

a(t)  K(p),                            (18.27)

тобто зображенням імпульсної характеристики ланцюга є її операторная передатна функція або оригіналом операторной передатної функції ланцюга є її імпульсна характеристика.

Отримані співвідношення дозволяють знайти перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики ланцюга по її операторной передатної функції.

Приклад 18.3.

Знайти операторную передатну функцію, перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики цінуй (мал. 18.9) по напрузі.

Рішення.

Операторная передатна функція по напрузі для розглянутого ланцюга

,

де .

Зображення перехідної характеристики

.

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

.

Зображення імпульсної характеристики

                                                                                                             

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

Співвідношення .(18.26)  і  (18.27)  дозволяють також знайти вираження для операторной передатної функції ланцюга ДО(р)  по її заданим перехідної h(t) або імпульсної a(t) характеристиках, що використовується при рішенні задач синтезу електричного ланцюга.

Приклад 18.4.

Знайти  операторную передатну  функцію,  схему і параметри    цінуй,    якщо    її    перехідна    характеристика

Рішення.

По таблиці операторных відповідностей знаходимо зображення перехідної характеристики ланцюга:

.

відкіля .

Таку операторную передатну функцію має електричний ланцюг, розглянута в прикладі 18.3. Однак таку ж операторную передатну функцію можуть мати й інші ланцюги, наприклад ланцюг, приведений на мал. 18.10, у якій =L/r.

З розглянутого приклада видно, що рішення задачі синтезу електричного ланцюга є неоднозначним, тому що ті самі операторные передатні функції можуть мати різні електричні ланцюги.

англійський вчений О. Хевисайд застосував цей метод до розрахунку електромагнітних перехідних процесів. Великий внесок у розвиток операційного вирахування і його застосування до розрахунку електромагнітних процесів внесли радянські учені В. С. Игнатовский, А. М. Данилевський, А. М. Эфрос, К. А. Коло, М. И. Канторович і ін.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81166. Бюрократическая модель управления (М. Вебер) 42.07 KB
  Вебер. Максимилиан Карл Эмиль Вебер Mximilin Crl Emil Weber родился 21го апреля 1864го в Эрфурте в Тюрингии Erfurt Thuringi. Старший из семи детей Макса Веберастаршего богатого и известного политика из Националлиберальной партии Германии и Хелен Фалленштайн Helene Fllenstein протестантки и кальвинистки. В доме Веберов собирались видные ученые и политики и молодой Вебер как и его брат Альфред lfred также ставший социологом и экономистом процветал в такой интеллектуальной атмосфере.
81167. Достоинства и недостатки теории рациональной бюрократии 35.68 KB
  Негативные стороны бюрократии.Вебер полагает что чем ближе организация к идеальному типу бюрократии тем более эффективно она будет справляться с задачами для решения которых была создана. Он часто сравнивал бюрократии со сложными механизмами.
81168. Человек - иерархия потребностей (А. Маслоу, Ф. Херцберг, Э. Гомерсол) 77.33 KB
  Все человеческие потребности он разделял на пять групп и назвал их базовыми потребностями. Физиологические потребности которые являются необходимыми для жизни и существования. Они включают потребности в еде питье убежище отдыхе и сексуальные потребности. Сам автор пишет об этом следующее: За отправную точку при создании мотивационной теории обычно принимаются специфические потребности которые принято называть физиологическими позывами.
81169. Процессуальные теории мотивации 32.09 KB
  Вознаграждение все что человек считает ценным для себя. Внутреннее вознаграждение дает сама работа внешнее дает начальник. Результат вознаграждение. ценность удовлетворенность вознаграждением так как предпочтения у различных людей различны.
81170. Теория стилей руководства Р. Лайкерта 91.67 KB
  Ренсис Лайкерт 1903 1981 разработал собственную теорию стилей руководства. С помощью опроса лидеров и их подчиненных было выявлено два стиля руководства: руководство ориентированное на выполнение задачи и руководство ориентированное на взаимоотношения со служащими подбор кадров и работу с ними. в продолжение своих исследований Лайкерт обобщил реальные методы управления и предложил четыре базовых стиля руководства.
81171. Теория управленческих решений А. Пригожина 35.5 KB
  Обладая собственной логикой функционирования объект управления приобретает не только значительный запас инерционности но и способность задерживать и искажать исполнение решений принятых наверху. Однако в развитии отечественной социологии управления все еще налицо так называемый эффект запаздывания. У современной социологии управления в нынешнем хаотичном малопредсказуемом мире мире повышенных рисков цивилизационных экономических политических экологических как науки изучающей более широкую в сравнении с менеджментом проблематику...
81172. Прикладное социологическое исследование в сфере социального управления 38.95 KB
  Фундаментальные исследования ориентированы на разработку теорий выявление социальных тенденций развития системы анализ общих противоречий возникающих в ней. Прикладные исследования направлены на изучение конкретных социальных проблем связанных с решением практических задач регулированием меж групповых и внутригрупповых отношений и социальных процессов. ее репрезентативность; метода...
81173. Программа социологического исследования 42.46 KB
  Программа социологического исследования документ содержащий развернутое изложение ее теоретикометодологических предпосылок общей концепции с обоснованием актуальности целей задач объекта предмета и гипотез предпринимаемого исследования а также его методикоинструментального аппарата вместе с логически обоснованной последовательностью необходимых процедур и организационным планомграфиком и стоимостью всех видов работ. Содержание программы варьируется и зависит от типа и целей исследования. Обоснование цели задач объекта и предмета...
81174. Методы социологического исследования 38.81 KB
  Набор специфических методов исследования социологической науки позволяет наэмпирическом уровне отследить происходящие в обществе процессы т. Конкретный вид социологического исследования обусловлен характером поставленной цели выдвинутых задач в соответствии с чем различают три основных вида социологического исследования: разведывательное; описательное; аналитическое. Разведывательное исследование наиболее простой вид прикладного социологического анализа решает весьма ограниченные по своему содержанию задачи; как правило оно...