41265

Операторні передавальні функції

Лекция

Физика

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДОр називають відношення зображення вихідної величини Xρ до зображення вхідної величини Fp при нульових початкових умовах: дор=Xρ Fρ.23...

Украинкский

2013-10-23

180.5 KB

1 чел.

Лекція 19

Тема 19. Операторні передавальні функціі.

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

2.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.

3.Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

 

1.Визначення операторної передавальної функціі  (ОПФ).

     Для рішення лінійних диференціальних і інтегро-диференціальних рівнянь у теорії електричних ланцюгів знайшов широке застосування так званий операторний метод, заснований на перетвореннях Лапласа.

     Сутність цього методу полягає в тому, що функції речовинного перемінного t перетворяться у функції комплексного перемінного ρ = σ+jω таким чином, щоб замість інтегро-диференціальних рівнянь одержати алгебраїчні рівняння. Після рішення цих рівнянь роблять зворотний перехід до функції речовинного перемінного t. Це значно спрощує рішення інтегро-диференціальних рівнянь.

     Перехід від функції речовинного перемінного t до функцій комплексного перемінного р здійснюється за допомогою прямого перетворення Лапласа:

        (18.1)

Зворотний перехід від функцій комплексного перемінного ρ до функцій речовинного перемінного t здійснюють на підставі зворотного перетворення Лапласа:

          (18.2)

Функцію ƒ(t) називають оригіналом, а функцію F(p)-зображенням оригіналу по Лапласу, або просто зображенням.

Нагадаємо, що для того, щоб функція ƒ(t) мала зображення (18.1), необхідно, щоб вона:

а)   задовольняла умовам Діріхле;

б)   дорівнювала нулю для негативних значень t, тобто при t<0,   ƒ(t-0);

в) в інтервалі t від 0 до  не зростала швидше, ніж деяка показова функція

,

де М и  — довільні позитивні числа, тобто тут не потрібно абсолютна інтегрованість функції ƒ(t), як це потрібно в інтегралах Фур'є. Тому перетворення Лапласа можливі для більш широкого класу функцій, ніж перетворення Фур'є.

3.Властивості операторних передавальних функцій електричних кіл.  

Нагадаємо деякі властивості перетворення   Лапласа,   відомі з математики.

1. Властивість лінійності. Якщо   , то

           (18.3)

тобто зображення суми функцій дорівнює сумі зображень кожної з функцій окремо.

2. Диференціювання оригіналу. Якщо , то

         (18.4)

де ƒ(k- 1)(0) - значення похідної (k—1)-го порядку функції ƒ(t) при t=0.

При   нульових   початкових   умовах, коли      ƒ(0)=ƒ'(0) == ...= ƒ (n-1)=0,

,                           (18.5)

тобто   n-кратному   диференціюванню   оригіналу   відповідає n -кратне множення зображення на оператор р.

3. Інтегрування оригіналу. Якщо f(t)  F(p),   то

(18.6)

т операції інтегрування оригіналу в межах від 0 до t відповідає розподіл його зображення на оператор р.

4. Теорема запізнювання. Якщо ,   то

.                    (18.7)

Це означає, що запізнюванню оригіналу на час τ відповідає множення зображення на .

5. Теорема зсуву. Якщо ,   то

,                          (18.8)

тобто заміні в зображенні оператора р на оператор р + δ відповідає множення оригіналу на .

6. Множення    зображень    (теорема    згортання).     

Якщо

і , то

   (18.8)

Це означає, що множенню зображень відповідає «згортання» оригіналів

Наслідок:   застосовуючи  правило диференціювання  оригіналу до (18.9), одержимо

   (18.10)

Це дві форми запису інтеграла Дюамеля, з яких можна одержати   інші   форми   цього   інтеграла.

7. Теорема розкладання. Якщо зображення має вигляд раціонального дробу

  (18.11)

причому ступінь поліному F1(p) нижче ступеня поліному F2(р), коефіцієнти ak і bkречовинні числа, а корені рk рівняння F2(р) =0 різні, тому оригінал визначається вираженням

      (18.12)

У випадку якщо один з коренів рівняння F2(p)=Q дорівнює нулю, тобто F2(p) = p3(p), а оригінал знаходиться по формулі

        (18.13)

У випадку якщо рівняння F2(p)=0   має   кратні   корені,   то оригінал знаходиться за формулою

   (18.14)

Теорема розкладання в сполученні з іншими властивостями перетворення Лапласа дає можливість скласти таблиці зображень і оригіналів, що полегшують і прискорюють перебування оригіналів по зображеннях. Деякі операторні відповідності, що найбільш часто зустрічаються, приведені в табл. 19.1.

     Слід зазначити, що можливість інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами за допомогою операторного методу вперше була показана математиком М. Е. Ващенко-Захарченко у 1862 м, Наприкінці XIX в.

Изображение

Оригинал

1

n – целое положительное число

2. Зв‘язок ОПФ з комплексними передавальними функціями та часовими характеристиками.

                                                                                                    

Операторной передатною функцією лінійного електричного ланцюга ДО(р) називають відношення зображення вихідної величини X(ρ) до зображення вхідної величини F(p) при нульових початкових умовах:

до(р)=X(ρ)/F(ρ).                      (18.23)

                                                                                               

За аналогією з комплексними передатними функціями операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як чотириполюсник (мал. 18.7), є: передатна функція по напрузі КU(р) = U2(p)/U1(p), по струму KI(p)=I2(P)/I1(P), операторное передатний опір Z21(p) = U2(p)/I1(p) і операторная передатна провідність Y21 (р)=I2(p/U1(р).

Операторными передатними функціями ланцюга, розглянутої як двухполюсник (мал. 18.8), є операторное вхідний опір Z(p) = U(p)/I(p) і операторная вхідна провідність Y(p)=I(p)/U(p) = 1/Z(p).

Операторные передатні функції електричного ланцюга ДО(р), так само як і її комплексні передатні функції ДО(jω) і тимчасові характеристики h(t) і a(t), не залежать від зовнішніх впливів на ланцюг. Вони визначаються тільки схемою ланцюга і параметрами вхідних у неї елементів, тобто характеризують власне ланцюг, і зв'язані між собою. Знайдемо ці зв'язки.

З порівняння виражень для прямих перетворень Лапласа (18.1) і Фур'є (16.3) безпосередньо випливає, що

,                       (18.24)

т. е. операторная передатна функція ланцюга ДО(р) виходить з її комплексної передатної функції K(jω) шляхом заміни в K(jω) перемінної jω оператором р. Тому для розрахунку ДО(р) за відомою схемою ланцюга можна застосувати всі методи розрахунку K(jω). Зв'язок між операторной передатною функцією ДО(р) і тимчасових характеристик ланцюга h(t) і a(t) можна установити безпосередньо з визначення цих характеристик і зі зв'язку зображень вихідної величини X(ρ) і вхідної величини F(p), що випливає з рівняння (18.23):

X(p) = F(p)K(p).                        (18.25)

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді одиничної функції включення l(t), то реакція на виході ланцюга буде її перехідною характеристикою h(t), тобто якщо ƒ(t) = l(t), те x(t)=h(t). Тому що зображення одиничної функції включення 1 (t) = Ì/p, те, з огляду на вираження (18.25), одержимо

h(t)  K(p)/p,                 (18.26)

тобто зображення перехідної характеристики ланцюга дорівнює її операторной передатної функції, діленої на оператор р.

Якщо на вхід лінійного електричного ланцюга при нульових початкових умовах подати вплив у виді дельта-функції δ(t), те реакція на виході ланцюга буде її імпульсною характеристикою α(t), тобто якщо ƒ(t)=δ(t), те x(t)=a(t). Тому що зображення дельта-функції δ(t) 1, то, з огляду на вираження (18.25), одержимо

a(t)  K(p),                            (18.27)

тобто зображенням імпульсної характеристики ланцюга є її операторная передатна функція або оригіналом операторной передатної функції ланцюга є її імпульсна характеристика.

Отримані співвідношення дозволяють знайти перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики ланцюга по її операторной передатної функції.

Приклад 18.3.

Знайти операторную передатну функцію, перехідну h(t) і імпульсну a(t) характеристики цінуй (мал. 18.9) по напрузі.

Рішення.

Операторная передатна функція по напрузі для розглянутого ланцюга

,

де .

Зображення перехідної характеристики

.

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

.

Зображення імпульсної характеристики

                                                                                                             

Використовуючи таблицю операторных відповідностей, одержимо

Співвідношення .(18.26)  і  (18.27)  дозволяють також знайти вираження для операторной передатної функції ланцюга ДО(р)  по її заданим перехідної h(t) або імпульсної a(t) характеристиках, що використовується при рішенні задач синтезу електричного ланцюга.

Приклад 18.4.

Знайти  операторную передатну  функцію,  схему і параметри    цінуй,    якщо    її    перехідна    характеристика

Рішення.

По таблиці операторных відповідностей знаходимо зображення перехідної характеристики ланцюга:

.

відкіля .

Таку операторную передатну функцію має електричний ланцюг, розглянута в прикладі 18.3. Однак таку ж операторную передатну функцію можуть мати й інші ланцюги, наприклад ланцюг, приведений на мал. 18.10, у якій =L/r.

З розглянутого приклада видно, що рішення задачі синтезу електричного ланцюга є неоднозначним, тому що ті самі операторные передатні функції можуть мати різні електричні ланцюги.

англійський вчений О. Хевисайд застосував цей метод до розрахунку електромагнітних перехідних процесів. Великий внесок у розвиток операційного вирахування і його застосування до розрахунку електромагнітних процесів внесли радянські учені В. С. Игнатовский, А. М. Данилевський, А. М. Эфрос, К. А. Коло, М. И. Канторович і ін.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4331. Системы управления контентом сайта CMS Mambo 2.41 MB
  Системы управления контентом сайта (ContentManagementSystems) CMSMambo Цели лабораторного практикума: получение навыков создания персонального Web-сайта с помощью системы управления контентом сайта Mambo. Скачать более поздню...
4332. Разработка персонального сайта студента. Структура и интерфейс сайта 91.5 KB
  Разработка персонального сайта студента. Структура и интерфейс сайта Необходимое программное обеспечение: Для выполнения лабораторной работы необходимо следующее ПО: Редактор HTML документов (HomeSite, AditorPro Блокнот...
4333. Работа с базами данных с помощью PHP. СУБД MySQL 47 KB
  Работа с базами данных с помощью PHP. СУБД MySQL. Цель работы: формирование умений применение PHP для доступа к базам данных, и формирование умений работы с MySQL. Теоретическая информация СУБД MySQL и программа phpMyAdmin MySQL - это реляцион...
4334. Модификация персонального сайта студента с использованием PHP и MySQL 81.5 KB
  Модификация персонального сайта студента с использованием PHP и MySQL Необходимое программное обеспечение: Для выполнения лабораторной работы необходимо следующее ПО: Редактор HTML документов (HomeSite 4.5 и выше, AditorPro 3.05, Блокно...
4335. MySQL и Internet. Проектирование приложения 318 KB
  MySQL и Internet. Проектирование приложения Разработать информационную систему для реализации конкурсного отбора кадров на базе программного обеспечения MySQL и Internet. Анализ задания Разрабатываемая система позволяет предприятию через Internet об...
4336. Разработка гостевой книги для персонального сайта студента 80 KB
  Разработка гостевой книги для персонального сайта студента Необходимое программное обеспечение: Для выполнения лабораторной работы необходимо следующее ПО: Редактор HTML документов (HomeSite 4.5 и выше, AditorPro 3.05 , Блокнот и др.)...
4337. Cascading Style Sheet (CSS) в примерах 730.5 KB
  CascadingStyleSheet в примерах Назначение CSS Дизайн Web-узлов — это точное размещение компонентов HTML-страниц относительно друг друга в рабочей области окна браузера. Недостатки такого определения Web-дизайна очевидны. В нем не уч...
4338. CSS – каскадные таблицы стилей 50.5 KB
  CSS – каскадные таблицы стилей CSS – CascadingStyleSheets (каскадные таблицы стилей). Стили определяют отображение элементов HTML HTML – для логической разметки документа (заголовки, параграфы, списки). Браузеры стали ввод...
4339. Использование JavaScript в HTML 64.5 KB
  JavaScript в HTML Основные тезисы: Не тоже самое, что и Java, хотя синтаксис немного схож. Скриптовый (облегченный) интерпретируемый язык без строгой типизации. Внедряется в HTML-код Поддерживается всеми ...