41274

Математические схемы моделирования систем

Лекция

Математика и математический анализ

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Также должна быть решена задача упрощения модели которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы отбросив второстепенные. При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке описательная модель математическая схема математическая аналитическая или и имитационная модель. Формальная...

Русский

2013-10-23

238.5 KB

96 чел.

Лекция 4. Математические схемы моделирования систем. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математические схемы. Формальная модель объекта. Типовые математические схемы

2. Математические схемы моделирования систем

2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем

Математические схемы

Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. 

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные.

При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Формальная модель объекта

Модель объекта (системы S) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:

  •  совокупность входных воздействий на систему

xi = X, i = ;

  •  совокупность воздействий внешней среды

vj = V, j = ;

  •  совокупность внутренних (собственных) параметров систем

hk = H, k = ;

  •  совокупность выходных характеристик системы

yj = Y, j = .

В общем случае xi, vj, hk, yj являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

Входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (t) = (x1(t), x2(t), …, xnX(t)); (t) = (v1(t), v2(t), …, vnV(t)); (t) = (h1(t), h2(t), …, h(t)), а выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид: (t) = (у1(t), у2(t), …, уnY(t)). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором FS, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

(t) = FS(,,, t).    (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени yj(t) для всех видов j = называется выходной траекторией (t). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы FS, который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Алгоритмом функционирования AS называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий (t), воздействий внешней среды (t) и собственных параметров системы (t). Один и тот же закон функционирования FS системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования AS.

Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t, т.е. отражают динамические свойства.

Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H} в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как

= f(,,).    (2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Эти соотношения могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

' = (z'1, z'2, …, z'k) и '' = (z''1, z''2, …, z''k),

где z'1 = z1(t'), z'2 = z2(t'), …, z'k = zk(t') в момент t' (t0, T); z''1 = z1(t''), z''2 = z2(t''), …, z''k = zk(t'') в момент t'' (t0, T) и т.д. k = .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z1(t), z2(t), …, zk(t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {} называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем zk  Z.

Состояния системы S в момент времени t0 < t*  T полностью определяются начальными условиями 0 = (z01, z02, …, z0k) [где z01 = z1(t0), z02 = z2(t0), …, z0k = zk(t0)], входными воздействиями (t), внутренними параметрами (t) и воздействиями внешней среды (t), которые имели место в промежутке времени t*t0, c помощью двух векторных уравнений

(t) = Ф(0, , , , t);    (2.3)

(t) = F(, t).     (2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию 0 и экзогенным переменным , ,  определяет вектор-функцию (t), а второе по полученному значению состояний (t) – эндогенные переменные на выходе системы (t). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход»  позволяет определить характеристики системы

(t) = F[Ф(0, , , , t)].   (2.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной t временных единиц каждый, когда T = mt, где m =  – число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {(t), (t), (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками (t).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды (t) и стохастические внутренние параметры (t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(t) = f(, t).   (2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые математические схемы

В практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д.

Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем (например АСОИУ) можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:

  •  непрерывно-детерминированный (D-схемы);
  •  дискретно-детерминированный (F-схемы);
  •  дискретно-стохастический (Р-схемы);
  •  непрерывно-стохастический (Q-схемы);
  •  сетевой (N-схемы);
  •  обобщенный или универсальный (а-схемы).

Пример моделирования системы массового обслуживания:

Система массового обслуживания – это система, состоящая из обслуживающего прибора, заявки, находящейся на обслуживании, и ожидающих обслуживания заявок. Простая система массового обслуживания, изображенная на рис. 1, характеризуется двумя независимыми случайными переменными.

Рассмотрим систему, система обслуживания с одним прибором и очередью, например состоящую из одного человека, выполняющего обслуживание определенного вида. Этот человек может быть кассиром, продающим билеты на станции, контролером в универсальном магазине, парикмахером в парикмахерской с единственным креслом. «Клиенты» приходят к такому «обслуживающему прибору» в случайные моменты времени, ждут своей очереди на обслуживание (если есть необходимость), их обслуживают по принципу «первый пришел – первым обслужен». После этого они уходят. Схематично эта ситуация показана на рис. 1, где прямоугольник – это обслуживающий прибор, а кружок внутри него – заявка, находящаяся на обслуживании.

Рис. 1. Простая система массового обслуживания

Элементом, который занимает и использует устройство, является транзакт. При этом происходят следующие события: 1) транзакт ожидает своей очереди (если необходимо); 2) транзакт занимает устройство; 3) устройство осуществляет обслуживание; 4) транзакт освобождает устройство.

Для моделирования однородных (обладающих определенными общими свойствами например, два парикмахера, работающие рядом.) параллельных приборов используют специальное устройство – многоканальное устройство (МКУ). Схематично такая ситуация представлена на рис. 2. Число приборов, которое моделируется в многоканальном устройстве, называется емкостью многоканального устройства.

Рис. 2. Три параллельно работающих прибора

В модели системы массового обслуживания может быть несколько приборов, очередей, многоканальных устройств, тогда получается сложная система массового обслуживания с разветвлениями и определенными условиями работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81474. Биосинтез и использование кетоновых тел в качестве источников энергии 127.33 KB
  В результате скорость образования ацетилКоА превышает способность ЦТК окислять его. АцетилКоА накапливается в митохондриях печени и используется для синтеза кетоновых тел. Синтез кетоновых тел начинается с взаимодействия двух молекул ацетилКоА которые под действием фермента тиолазы образуют ацетоацетилКоА. С ацетоацетилКоА взаимодействует третья молекула ацетилКоА образуя 3гидрокси3метилглутарилКоА ГМГКоА.
81475. Пищевые жиры и их переваривание. Всасывание продуктов переваривания. Нарушение переваривания и всасывания. Ресинтез триацилглицеринов в стенке кишечника 106.8 KB
  Переваривание жиров происходит в тонком кишечнике однако уже в желудке небольшая часть жиров гидролизуется под действием липазы языка . Однако вклад этой липазы в переваривание жиров у взрослых людей незначителен. Поэтому действию панкреатической липазы гидролизующей жиры предшествует эмульгирование жиров. Переваривание жиров гидролиз жиров панкреатической липазой.
81476. Образование хиломикронов и транспорт жиров. Роль апопротеинов в составе хиломикронов. Липопротеинлипаза 106.5 KB
  Липиды в водной среде а значит и в крови нерастворимы поэтому для транспорта липидов кровью в организме образуются комплексы липидов с белками липопротеины. ЛП хорошо растворимы в крови не коалесцируют так как имеют небольшой размер и отрицательный заряд на поверхности. В лимфе и крови с ЛПВП на ХМ переносятся апопротеины Е апоЕ и СП апоСП; ХМ превращаются в зрелые . ХМ имеют довольно большой размер поэтому после приёма жирной пищи они придают плазме крови опалесцирующий похожий на молоко вид.
81477. Биосинтез жиров в печени из углеводов. Структура и состав транспортных липопротеинов крови 153.12 KB
  В жировой ткани для синтеза жиров используются в основном жирные кислоты освободившиеся при гидролизе жиров ХМ и ЛПОНП. Молекулы жиров в адипоцитах объединяются в крупные жировые капли не содержащие воды и поэтому являются наиболее компактной формой хранения топливных молекул. В гладком ЭР гепатоцитов жирные кислоты активируются и сразу же используются для синтеза жиров взаимодействуя с глицерол3фосфатом.
81478. Депонирование и мобилизация жиров в жировой ткани. Регуляция синтеза и мобилизации жиров. Роль инсулина, глюкагона и адреналина 107.09 KB
  Регуляция синтеза и мобилизации жиров. Какой процесс будет преобладать в организме синтез жиров липогенез или их распад липолиз зависит от поступления пищи и физической активности. Регуляция синтеза жиров.
81479. Основные фосфолипиды и гликолипиды тканей человека (глицерофосфолипиды, сфингофосфолипиды, гликоглицеролипиды, гликосфиголипиды). Представление о биосинтезе и катаболизме этих соединений 264.19 KB
  Функции гликосфинголипидов можно суммировать следующим образом: Взаимодействие между: клетками; клетками и межклеточным матриксом; клетками и микробами. Церамид служит предшественником в синтезе большой группы сфинголипидов: сфингомиелинов не содержащих углеводов и гликосфинголипидов. В распаде сфингомиелинов участвуют 2 фермента сфингомиелиназа отщепляющая фосфорилхолин и церамидаза продуктами действия которой являются сфингозин и жирная кислота Катаболизм гликосфинголипидов. Катаболизм гликосфинголипидов начинается с перемещения их...
81480. Нарушение обмена нейтрального жира (ожирение), фосфолипидов и гликолипидов. Сфинголипидозы 124.68 KB
  Сфинголипиды метаболизм: заболевания сфинголипидозы таблица Заболевание Фермент недостаточностькоторого обусловливает заболевание Накапливающийся :липид : Клинические симптомы Фукозидоз альфаФукозидаза CerGlcGlNcCl:Fuc НИзоантиген Слабоумие спастическое состояние мышц утолщение кожи Генерализованный ганглиозидоз GM1бетаГалактозидаза CerGlcGlNeucGlNc:Gl Ганглиозид GM1 Умственная отсталость увеличениепечени деформация скелета Болезнь ТеяСакса Гексозаминидаза А CerGlcGlNeuc:GlNc Ганглиозид GM2 Умственная отсталость...
81481. Строение и биологические функции эйкозаноидов. Биосинтез простагландинов и лейкотриенов 107.74 KB
  Биосинтез простагландинов и лейкотриенов. Структура номенклатура и биосинтез простагландинов и тромбоксанов Хотя субстраты для синтеза эйкозаноидов имеют довольно простую структуру полистовые жирные кислоты из них образуется большая и разнообразная группа веществ. Структура и номенклатура простагландинов и тромбоксанов Простагландины обозначают символами например PG А где PG обозначает слово простагландин а буква А обозначает заместитель в пятичленном кольце в молекуле эйкозаноида. Каждая из указанных групп простагландинов состоит из 3...
81482. Холестерин как предшественник ряда других стероидов. Представление о биосинтезе холестерина. Написать ход реакций до образования мевалоновой кислоты. Роль гидроксиметилглутарил-КоА-редуктазы 165.9 KB
  В печени синтезируется более 50 холестерола в тонком кишечнике 15 20 остальной холестерол синтезируется в коже коре надпочечников половых железах. В сутки в организме синтезируется около 1 г холестерола; с пищей поступает 300500 мг Холестерол выполняет много функций: входит в состав всех мембран клеток и влияет на их свойства служит исходным субстратом в синтезе жёлчных кислот и стероидных гормонов. Предшественники в метаболическом пути синтеза холестерола превращаются также в убихинон компонент дыхательной цепи и долихол...